第一篇：橢圓及其標準方程教案

橢圓及其標準方程教案

湖北鄖陽中學(xué)

梁學(xué)文

教學(xué)目標:

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程及標準方程的推導(dǎo)過程

培養(yǎng)學(xué)生運用坐標解決集合問題的能力

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋求規(guī)律、認識規(guī)律和用規(guī)律解決問題的能力 教學(xué)重點：

橢圓的定義及標準方程的推導(dǎo) 教學(xué)難點：

橢圓定義的理解 教學(xué)方法;探索法 教具準備：

細繩一根 教學(xué)過程：

課前引入部分：

一、明確教學(xué)目標：告訴大家開始新的章節(jié)：圓錐曲線，思考：為什么這三類曲線叫做圓錐曲線？

二、教具演示：在黑板用細繩演示到定點距離和等于定長的點的軌跡，請同學(xué)幫忙。分三類：繩長小于兩點距；等于；大于。

三、探索總結(jié)：師生共同歸納得到：繩長等于點距，得到線段；繩長大于點距，得到橢圓；繩長小于點距，不能得到圖形。

定義及方程推導(dǎo)：

一、定義引導(dǎo)：

平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距．

學(xué)生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調(diào)：

(1)將穿有粉筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．即兩定點的距離。

二、方程推導(dǎo) 1．標準方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點；(2)點的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設(shè)點

建立坐標系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認識到下列選取方法是恰當?shù)模?/p>

以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程

(4)化簡方程 化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標準方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．

(三)例題與練習

例題

平面內(nèi)兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié) 1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

課后習題

第二篇：橢圓及其標準方程 教案.doc

學(xué)習資 料

教學(xué)目標

1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程；

2．能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；

3．通過對橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力；

4．通過橢圓的標準方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

5．通過讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習興趣和創(chuàng)新意識．

教學(xué)建議 教材分析 1． 知識結(jié)構(gòu)

2．重點難點分析

重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式．難點是橢圓標準方程的建立和推導(dǎo)．關(guān)鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法．

橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內(nèi)容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程．橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學(xué)中鞏固和應(yīng)用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學(xué)好橢圓對于學(xué)生學(xué)好圓錐曲線是非常重要的．

（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質(zhì)，可以對比圓的定義來理解．

另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當常數(shù)等于

．這樣規(guī)定是為了避免出

時無軌

時軌跡是一條線段；當常數(shù)小于

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跡”．這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)．但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性．

（2）根據(jù)橢圓的定義求標準方程，應(yīng)注意下面幾點：

①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當?shù)淖鴺讼担乔笄€方程首先應(yīng)該注意的地方．應(yīng)讓學(xué)生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導(dǎo)過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔．

②設(shè)橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導(dǎo)過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學(xué)生認真領(lǐng)會．

③在方程的推導(dǎo)過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學(xué)生的難點．要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側(cè)，把其他項移至另一側(cè)；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側(cè)，并使其中一側(cè)只有一項．

④教科書上對橢圓標準方程的推導(dǎo)，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程

“而沒有證明，”方程 的解為坐標的點都在橢圓上”．這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學(xué)們不作要求．

（3）兩種標準方程的橢圓異同點

中心在原點、焦點分別在 軸上，軸上的橢圓標準方程分別為：，．它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有，．不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同．

橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大；

橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大．

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另外，形如 中，只要，同號，就是橢圓方程，它可以化為

．

（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個作用：第一是教給學(xué)生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向?qū)W生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學(xué)生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓． 教法建議

（1）使學(xué)生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣．

為激發(fā)學(xué)生學(xué)習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學(xué)生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學(xué)生尋找身邊與圓錐曲線有關(guān)的例子。

例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上．如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行．人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理．相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道．因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關(guān)，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的．

（2）安排學(xué)生課下切割圓錐形的事物，使學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷

為了讓學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學(xué)時應(yīng)安排讓學(xué)生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識．

（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學(xué)生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學(xué)生先對橢圓有一個直觀的了解。

教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學(xué)上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學(xué)生按教師的要求在以上資料均從網(wǎng)絡(luò)收集而來

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黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學(xué)生按同樣的要求作圖。學(xué)生通過觀察兩次作圖的過程，總結(jié)出經(jīng)驗和教訓(xùn)，教師因勢利導(dǎo)，讓學(xué)生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學(xué)生對這一定義就會有深刻的了解。

（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質(zhì)

在教學(xué)時，可以設(shè)置幾個問題，讓學(xué)生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學(xué)生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學(xué)過程中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學(xué)生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內(nèi)涵，這樣就使得學(xué)生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯(lián)系

在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學(xué)生注意橢圓的圖形特征，一般學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學(xué)生就比較容易選擇適當?shù)淖鴺讼盗耍词菇裹c在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質(zhì)）．雖然這時學(xué)生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎(chǔ)上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學(xué)生就較為容易接受，也向?qū)W生逐步滲透了坐標法．

（6）推導(dǎo)橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法．

推導(dǎo)橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學(xué)時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學(xué)生對橢圓的標準方程的推導(dǎo)過程的整體認識．通過具體的例子使學(xué)生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項．（為了避免二次平方運算）

（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發(fā)學(xué)生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學(xué)生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識．

（8）在學(xué)習新知識的基礎(chǔ)上要鞏固舊知識

橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導(dǎo)橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念．對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向?qū)W生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒

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有給出證明過程，但學(xué)生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學(xué)生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析．

（9）要突出教師的主導(dǎo)作用，又要強調(diào)學(xué)生的主體作用，課上盡量讓全體學(xué)生參與討論，由基礎(chǔ)較差的學(xué)生提出猜想，由基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助證明，培養(yǎng)學(xué)生的團結(jié)協(xié)作的團隊精神。

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第三篇：橢圓及其標準方程教案

橢圓及其標準方程教案

教學(xué)目標:

(一)知識目標：掌握橢圓的定義及其標準方程，能正確推導(dǎo)橢圓的標準方程，會由標準方程求出橢圓的交點和焦距；

(二)能力目標：通過對橢圓概念的引入和標準方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析、探索的能力，增強學(xué)生運用代數(shù)法解決幾何問題的能力；

(三)情感目標：激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣、提高學(xué)生的審美情趣、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,敢于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點:橢圓的定義和橢圓的標準方程的推導(dǎo)。教學(xué)難點:橢圓標準方程的推導(dǎo)。

教學(xué)方法:探究式教學(xué)法（教師通過問題誘導(dǎo)→啟發(fā)討論→探索結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察→歸納抽象→總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生在獲得知識的同時,能夠掌握方法、提升能力。）

教具準備:自制教具(圓柱體、細繩)。

教學(xué)過程:(一)啟發(fā)誘導(dǎo)，推陳出新

1、復(fù)習舊知識：拉直一根細線，一端固定，作一個圓，由此回憶圓的定義（到一點的距離等于定長的點的軌跡），圓的標準方程；

2、提出新問題：到兩點的距離等于定長的點是什么軌跡呢？ 嘗試作圖；

3、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題：“橢圓及其標準方程”。(二)小組合作，形成概念

下面請同學(xué)們思考下面的問題：

1、在作圖時,視筆尖為動點，線的兩個固定的端點為定點，動點到兩定點距離之和符合什么條件？其軌跡如何？

2、改變兩端點之間的距離,使其與繩長相等,畫出的圖形還是橢圓嗎？

3、當繩長小于兩圖釘之間的距離時,還能畫出圖形嗎？

學(xué)生經(jīng)過動手操作→獨立思考→小組討論→共同交流的探究過程，得出這樣三個結(jié)論：橢圓、線段、不存在。

歸納出橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于定長(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。

(三)橢圓標準方程的推導(dǎo)

1、建立適當坐標系（讓學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗來確定）

原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；主要應(yīng)使曲線對于坐標軸具有較多的對稱性。

2、標準方程推導(dǎo)過程如下：

①建立直角坐標系：以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建

立如圖所示的坐標系；

②確定點的坐標：設(shè)F1F2?2c，則F1??c，0?，F(xiàn)2?c，0?，設(shè)P?x，y?是橢圓上的任意一點；

③設(shè)定長為2a，由條件PF1?PF2?2a得

?x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a；

x2y2④化簡：得到橢圓方程為2?2?1。

ab（通過學(xué)生自己動手推導(dǎo)方程是學(xué)生構(gòu)建知識的一個過程。）

3、歸納方程特點，鞏固上述知識。

4、延伸：①焦點在y軸上：F1?0，?c?，F(xiàn)2?0，c?

y2x2②方程：2?2?1

ab③a，b，c的關(guān)系：b2?a2?c2，a?b?0，a?c?0

(四)例題講解

例1：平面內(nèi)兩個定點的距離是8，寫出到這兩個定點距離的和是10的動點的軌跡方程。

解：這個軌跡是橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示。

取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸。?2a?10，2c?8

?a?5，c?4，b2?a2?c2?52?42?9，即b?3

x2y2x2y2?這個橢圓的標準方程是2?2?1，即??1

25953（例1是鞏固橢圓的定義及標準方程）

x2y2x2y2??1與橢圓c2:??1的焦點。

例2：分別求橢圓c1:433解：?4?3

?橢圓c1的焦點在x軸上，橢圓c2的焦點在y 軸上

a2?4，b2?3，c?a2?b2?1

??1，?橢圓c1的兩個焦點分別是0?和?1，0? ?0，是?1?和?0，1?。

橢圓c2的兩個焦點分別（例2會由橢圓的標準方程求出橢圓的焦點坐標和焦距）

(五)課堂練習

課本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)課堂小結(jié)

1、橢圓定義

2、焦點分別在x軸和y軸上的橢圓的標準方程（結(jié)合圖形，表述焦點坐標，焦距，系數(shù)的關(guān)系等）

3、考慮一下將橢圓平移到坐標軸任意位置時的坐標，留給同學(xué)們課后思考

4、布置作業(yè)：課本P61 A 1(1)(4)2(1)(2)

第四篇：橢圓及其標準方程(905)（范文模版）

橢圓及其標準方程

★教學(xué)目標

1、知識目標：掌握橢圓的定義、橢圓的標準方程及其推導(dǎo)，進一步熟悉求曲線方程的方法。

2、能力目標：通過橢圓的定義和橢圓方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生實際動手、合作學(xué)習能力，抽象概括能力和邏輯思維能力。

3、情感目標：培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義思想。

★教學(xué)重點難點

教學(xué)重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程。

教學(xué)難點：橢圓標準方程的推導(dǎo)。★教學(xué)方法：探究式與講授式 ★教學(xué)過程：

一、新課引入

同學(xué)們，我們來共同欣賞一段動畫：[神舟六號] 2005年10月12日至17日，神舟六號載人航天飛行圓滿成功，實現(xiàn)了幾代航天人飛天的夢想，中華兒女為此感到無比的驕傲和自豪。

同學(xué)們，你知道神舟六號運行的軌道是什么嗎？

它有什么特性呢？在直角坐標系中方程如何求？

這些就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容——橢圓及其標準方程（板書課題）。［用神舟六號的精彩動畫激起同學(xué)們的學(xué)習興趣，從而導(dǎo)入本節(jié)課的主題］

二、講授新課

（一）實踐操作

大家知道“平面內(nèi)到一個定點的距離等于常數(shù)的點的軌跡是圓”，那么，平面內(nèi)到兩個定點的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡又是什么？ 我們先做一個實驗： ［實踐操作］

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在作業(yè)本上的F1和F2兩點，當繩長大于 F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在作業(yè)上慢慢移動，就可以畫出一條曲線。

鉛筆尖形成的曲線是什么？--------是橢圓。

我們再用多媒體演示一下畫橢圓的過程，請同學(xué)們仔細觀察：在動點運動的過程中，什么是不變的？ [演示動畫] 演示結(jié)束后，請同學(xué)回答上面提出的問題： 同學(xué)回答：第一，兩個定點不變，第二，動點與兩定點距離的和不變，始終等于繩長。

同學(xué)們能不能給橢圓下一個定義？[讓學(xué)生思考1分鐘] 同學(xué)的回答是：“與兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”。這位同學(xué)回答的對嗎？

在剛才的實驗中，有繩長大于兩定點F1和F2的距離這一條件，當繩長等于兩定點F1和F2的距離時，滿足條件的動點軌跡是什么？ ［動畫演示］

動點的軌跡是這兩個定點F1和F2所確定的線段。

當繩長小于兩定點F1和F2 距離時，動點的軌跡又是什么？ 很明顯滿足條件的點不存在。

請同學(xué)們重新給橢圓下一個定義，然后與課本對照，看哪一個更準確？

（二）橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓。其中兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距。

強調(diào)：

1、平面內(nèi)——這是大前提

2、動點M到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)

3、常數(shù)要大于焦距

以上是橢圓的定義及有關(guān)概念，下面來求一下橢圓的方程。

（三）橢圓的標準方程

1、橢圓標準方程的推導(dǎo)。如何求曲線的方程呢？

一般求曲線方程的方法與步驟如下：[幻燈片] 建系設(shè)點——寫出點集——列出方程——化簡方程——檢驗 下面我們按照這五個基本步驟來推導(dǎo)橢圓的方程：（1）建系設(shè)點

建立坐標系是求曲線方程重要而關(guān)鍵的一步，一般應(yīng)符合簡單和諧化原則，注意充分利用圖形的對稱性。請學(xué)生討論建系的方案。（稍停）

以兩定點F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，設(shè)，F(xiàn)2（c，0）。F1F2?2c(c?0)，M（x，y）為橢圓上任意一點，則有F1（-c，0）又設(shè)M到F1、F2距離的和等于2a。

（2）寫出點集

由定義不難得出橢圓集合為：

P??MMF1?MF2?2a?（3）代數(shù)方程

?MF1??x?c?2?y2,MF2???x?c?2?y2，?2a 得方程?x?c?2?y2?x?c?2?y2［到此為止完成了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)換］

這一方程直接反映了橢圓的本質(zhì)屬性，但需要盡量化簡方程形式，使數(shù)量關(guān)系更加清晰。

（4）化簡方程

[教師指導(dǎo)，學(xué)生自己完成] 如何化簡呢？請同學(xué)們討論一下。

化簡此式的關(guān)鍵是去掉根號，而去根號就要兩邊平方，是直接平方呢？還是移項后再平方呢？（1）原方程要移項后平方，否則化簡相當復(fù)雜：

?x?c?2?y2?2a??x?c?2?y2

?x?c?2?y2平方后整理，得a2?cx?a再平方化簡得，(a2?c2)x2?a2y2?a2?a2?c2?

（2）為使方程簡單、對稱、和諧，引入b，由a2?c2?0令a2?c2?b2，其中b＞0則

b2x2?a2y2?a2b2

兩邊同除以a2b2得，x2y2??1（a＞b＞0）a2b2（5）證明，因教材不要求，可從略

這一簡化的方程稱為橢圓的標準方程。它表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1（-c,0）、F2（c,0）.這里c2=a2-b2.注意若坐標系的選取不同，可得到橢圓的不同方程。

若橢圓的焦點在y軸上，a、b的意義同上時，橢圓方程如下：

y2x2?2?1(a?b?0)2ab這也是橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在y軸上，焦點坐標是F1（0,－c）、F2(0,c)，（課下由學(xué)生自己推導(dǎo)）

2、兩種標準方程的比較（引導(dǎo)學(xué)生歸納）

x2y2y2x2?2?1（a?b?0）2?2?1（a?b?0）2abab思考一：橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c的關(guān)系如何？

a?b?0,a2?b2?c2。

思考二：如何由橢圓的標準方程判定焦點的位置？

x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。

三、例題講解

例1 判斷下列各橢圓的焦點位置，并說出焦點坐標、焦距。

x2y2x2y2??1（2）??

1（1）3442

答案：（1）y軸（0,1）（0，-1）（2）x軸（2，0）（-2, 0）

例2 求適合下列條件的橢圓的標準方程 已知兩個焦點的坐標分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10。

x2y2??1 答案是：259點評：求標準方程時，先確定焦點的位置，設(shè)出標準方程（若不能確定焦點的位置，應(yīng)分類討論），再用待定系數(shù)法確定a、b的值。

四、隨堂練習：

x2y2??1上一點P到焦點F1的距離等于6，1、如果橢圓則點P到另一個焦點10036F2的距離是。

2、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）a=4,b=1,焦點在x軸上；

（2）a=4,c=15.五、嘗試回憶

1）橢圓的定義：MF1?MF2?2a?2c。2）橢圓的標準方程

x2y2當焦點在X軸上時2?2?1(a?b?0)

aby2x2當焦點在Y軸上時2?2?1(a?b?0)

ab這里c2?a2?b2

3）求橢圓標準方程的方法：待定系數(shù)法

六、布置作業(yè)

1、推導(dǎo)焦點在Y軸上的橢圓的標準方程

2、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程

（1）焦點在X軸上，焦距為4，并且經(jīng)過點P(3,?26)

（2）a+c=10

a-c=4

七、思考題：

1.橢圓標準方程與圓心在原點的圓的標準方程有何聯(lián)系？結(jié)合圖形談?wù)勀愕目捶?2.在橢圓標準方程推導(dǎo)過程中，經(jīng)過兩次平方后才能將根號消去，這一過程是否有其他途徑可實現(xiàn)？

第五篇：橢圓及其標準方程說課教案

《橢圓及其標準方程》說課教案

我說課的題目是全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗修訂本.必修）《數(shù)學(xué)》第二冊、第八章《圓錐曲線》、第一節(jié)《橢圓及其標準方程》。

一、概說：

1、教材分析：

橢圓及其標準方程是圓錐曲線的基礎(chǔ)，它的學(xué)習方法對整個這一章具有導(dǎo)向和引領(lǐng)作用，直接影響其他圓錐曲線的學(xué)習。是后繼學(xué)習的基礎(chǔ)和范示。同時，也是求曲線方程的深化和鞏固。

2、教學(xué)分析：

橢圓及其標準方程是培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、概括、推理和探索能力的極好素材。本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)情景、動手操作、總結(jié)歸納，應(yīng)用提升等探究性活動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神和實踐能力，使學(xué)生掌握坐標法的規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)學(xué)科研究的基本過程與方法。

3、學(xué)生分析：

高中二年級學(xué)生正值身心發(fā)展的鼎盛時期，思維活躍，又有了相應(yīng)知識基礎(chǔ)，所以他們樂于探索、敢于探究。但高中生的邏輯思維能力尚屬經(jīng)驗型，運算能力不是很強，有待于訓(xùn)練。

基于上述分析，我采取的是教學(xué)方法是“問題誘導(dǎo)--啟發(fā)討論--探索結(jié)果”以及“直觀觀察--歸納抽象--總結(jié)規(guī)律”的一種研究性教學(xué)方法，注重“引、思、探、練”的結(jié)合。

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習方式發(fā)生轉(zhuǎn)變，采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學(xué)習，形成師生互動的教學(xué)氛圍。

我設(shè)定的教學(xué)重點是：橢圓定義的理解及標準方程的推導(dǎo)。教學(xué)難點是：標準方程的推導(dǎo)。

二、目標說明：

1、知識目標：掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程。

2、能力目標：通過對橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力。通過橢圓的標準方程的推導(dǎo)提高學(xué)生運用坐標法解決幾何問題的能力。

3、思想目標：通過本次課的學(xué)習滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習興趣和創(chuàng)新意識。

三、過程說明：

1、新課導(dǎo)入：以影音文件“海爾波譜彗星的運行軌道示意圖”導(dǎo)入，呈現(xiàn)方式具有新異性，激發(fā)學(xué)習興趣；畫板畫圖，增強動手操作意識，直觀形象從而引入橢圓定義，進而研究橢圓標準方程。

2、新課呈現(xiàn)：

學(xué)生通過觀看文件、動手操作，然后自己總結(jié)橢圓定義，符合從感性上升為理性的認知規(guī)律，而且提升了抽象概括的能力。然后，進行推導(dǎo)橢圓的標準方程，培養(yǎng)運算能力，進而探討標準方程的特點。教師作為熱烈討論的平等氛圍中的引導(dǎo)者，鼓勵學(xué)生大膽探究、勇于創(chuàng)新，積極談?wù)摵蛥⑴c體驗，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S，抽象概括的能力，滲透數(shù)學(xué)美學(xué)教育，掌握數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想，最后的幾個探究性問題鼓勵學(xué)生積極探索，敢于探究，轉(zhuǎn)變學(xué)習方式。

3、鞏固應(yīng)用

根據(jù)定義及其標準方程，設(shè)計三組九道練習題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系、思考、討論、反饋、矯正，增強運用能力。

4、繼續(xù)探究：

（1）觀察橢圓形狀，不同原因在哪里；

（2）改變繩長或變換焦點位置再畫橢圓，發(fā)現(xiàn)關(guān)系；（3）用幾何畫板交流畫圖，觀察形狀變化；（4）如何描述形狀變化？

引導(dǎo)學(xué)生探究欲望，開展研究性學(xué)習。

四、評價說明：

本節(jié)課的學(xué)生評價堅持形成性評價和階段性評價相結(jié)合的原則。

（一）形成性評價：從操作能力、概括能力、學(xué)習興趣、交流合作、情緒情感方面對學(xué)習效果進行過程評價。對出現(xiàn)問題的學(xué)生，教師指出其可取之處并耐心引導(dǎo)，這樣有助于培養(yǎng)他們勇于面對挫折，持之以恒地科學(xué)探索精神；當學(xué)生做的精彩有創(chuàng)新，教師給予學(xué)生充分的鼓勵，從而進一步激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造的潛能，提高他們的創(chuàng)新能力。

（二）階段性評價：從單元測試、期中測試等方面對學(xué)生的階段性學(xué)習成果進行測試。評價結(jié)果以每次測試成績和學(xué)生平時的綜合表現(xiàn)為依據(jù)。同時要進行學(xué)生的自我評價以及教師對行動的綜合性評價。

（三）教師自我反思評價：本課充分體現(xiàn)了“一個為本，四個調(diào)整”的新課程理念。

五、說課總結(jié)：

這節(jié)課使用計算機網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，展現(xiàn)知識的發(fā)生過程，是學(xué)生始終處于問題探索研究狀態(tài)之中，激情引趣。注重數(shù)學(xué)科學(xué)研究方法的掌握，是研究性教學(xué)的一次有益嘗試。有利于改變學(xué)生的學(xué)習方式，有利于學(xué)生自主探究，有利于學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)