第一篇：橢圓及其標準方程公開課教案-新人教

教 案

●教學目標

1．掌握橢圓的定義、方程及標準方程的推導； 2．掌握焦點、焦點位置與方程關系、焦距； 3．了解建立坐標系的選擇原則.●教學重點

橢圓的標準方程及定義 ●教學難點

橢圓標準方程的推導 ●教學過程

Ⅰ.復習回顧：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？ Ⅱ.講授新課：

1．橢圓定義：

我們把平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（大于∣F1F2∣）的點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距.思考1：這里的常數有什么限制嗎？

提示：若常數=|F1F2|，即“2a=2c”時，則是線段F1F2；若常數＜|F1F2|即有“2a〈2c”時，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數大于|F1F2|” 即有“2a>2c” 2．橢圓的標準方程：

x2y2形式一：2?2?1(a?b?0)

ab說明：此方程表示的橢圓焦點在x軸上，焦點是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2－b2.y2x2形式二：2?2?1(a?b?0)

ab說明：此方程表示的橢圓焦點在y軸上，焦點是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2－b2.推導:課本92頁（略）

思考2：兩種橢圓的標準方程形式中的a、b、c始終滿足什么樣的條件？橢圓焦點在哪條軸上？ 提示：①兩種形式中，總有a>b>0；并且始終滿足c2=a2－b2；

②兩種形式中，橢圓焦點始終在所對的分母大的那條軸上

3．例題講解：

例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）兩個焦點的坐標分別是（－4，0），（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10；

（2）兩個焦點的坐標分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經過點(?,).說明：例1（1）（2）要求熟練應用c2=a2－b2關系式求解橢圓標準方程.思考3：求橢圓標準方程最關鍵的兩步驟是什么？ 提示： ①定位：確定焦點所在的坐標軸；

3522②定量：求a, b的值.Ⅲ.課堂練習：

1、求適合下列條件的橢圓的標準方程：

(1)a= 10 ,b=1,焦點在x軸上；(2)焦點為F1(0,－3),F2(0,3),且a=5(3)兩個焦點分別是F1(－2,0)、F2(2,0),且過P(2,3)點(4)經過點P(－2,0)和Q(0,－3)；(5)a+b=10,c=25

2、下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

3、課本P95練習2，是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長．

●課堂小結

(1)橢圓標準方程的兩種形式；a、b、c始終滿足c2=a2－b2；

(2)橢圓標準方程焦點位置的判斷方法：焦點在分母大的那個軸上

(3)求橢圓標準方程的方法主要是利用待定系數法：先判斷出焦點所在的位置，再求a和b.（4）F1、F2是橢圓的“定位”條件，決定了橢圓的類型，知道了焦點位置，橢圓的標準方程就確定了。若不知道了焦點的位置，橢圓的標準方程有兩種形式。a，b確定了橢圓的形狀和大小，是“定形”條件。

●課后作業：目標測試及第二教材

第二篇：橢圓及其標準方程 教案.doc

學習資 料

教學目標

1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

2．能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數法求橢圓的標準方程；

3．通過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力；

4．通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

5．通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發學生學習數學的積極性，培養學生的學習興趣和創新意識．

教學建議 教材分析 1． 知識結構

2．重點難點分析

重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式．難點是橢圓標準方程的建立和推導．關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法．

橢圓及其標準方程這一節教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程．橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的．

（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解．

另外要注意到定義中對“常數”的限定即常數要大于 現兩種特殊情況，即：“當常數等于

．這樣規定是為了避免出

時無軌

時軌跡是一條線段；當常數小于

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學習資 料

跡”．這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質．但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性．

（2）根據橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當的坐標系，是求曲線方程首先應該注意的地方．應讓學生觀察橢圓的圖形或根據橢圓的定義進行推理，發現橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔．

②設橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會．

③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經常遇到的問題，又是學生的難點．要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項．

④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程

“而沒有證明，”方程 的解為坐標的點都在橢圓上”．這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求．

（3）兩種標準方程的橢圓異同點

中心在原點、焦點分別在 軸上，軸上的橢圓標準方程分別為：，．它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有，．不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同．

橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大；

橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大．

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學習資 料

另外，形如 中，只要，同號，就是橢圓方程，它可以化為

．

（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓． 教法建議

（1）使學生了解圓錐曲線在生產和科學技術中的應用，激發學生的學習興趣．

為激發學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數，如書中所給的例子，還可以啟發學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

例如，我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上．如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行．人類發射人造地球衛星或人造行星就要遵循這個原理．相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道．因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的．

（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識．

（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

教師可從太陽、地球、人造地球衛星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在以上資料均從網絡收集而來

學習資 料

黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現橢圓的定義的實質

在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯系

在講解橢圓的定義時，就要啟發學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發現橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當的坐標系了，即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）．雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了坐標法．

（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法．

推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數高、項數多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識．通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項．（為了避免二次平方運算）

（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識．

（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識

橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念．對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒

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學習資 料

有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析．

（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養學生的團結協作的團隊精神。

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第三篇：橢圓及其標準方程教案

橢圓及其標準方程教案

教學目標:

(一)知識目標：掌握橢圓的定義及其標準方程，能正確推導橢圓的標準方程，會由標準方程求出橢圓的交點和焦距；

(二)能力目標：通過對橢圓概念的引入和標準方程的推導，培養學生分析、探索的能力，增強學生運用代數法解決幾何問題的能力；

(三)情感目標：激發學生學習數學的興趣、提高學生的審美情趣、培養學生勇于探索,敢于創新的精神。

教學重點:橢圓的定義和橢圓的標準方程的推導。教學難點:橢圓標準方程的推導。

教學方法:探究式教學法（教師通過問題誘導→啟發討論→探索結果，引導學生直觀觀察→歸納抽象→總結規律，使學生在獲得知識的同時,能夠掌握方法、提升能力。）

教具準備:自制教具(圓柱體、細繩)。

教學過程:(一)啟發誘導，推陳出新

1、復習舊知識：拉直一根細線，一端固定，作一個圓，由此回憶圓的定義（到一點的距離等于定長的點的軌跡），圓的標準方程；

2、提出新問題：到兩點的距離等于定長的點是什么軌跡呢？ 嘗試作圖；

3、創設情境，引出課題：“橢圓及其標準方程”。(二)小組合作，形成概念

下面請同學們思考下面的問題：

1、在作圖時,視筆尖為動點，線的兩個固定的端點為定點，動點到兩定點距離之和符合什么條件？其軌跡如何？

2、改變兩端點之間的距離,使其與繩長相等,畫出的圖形還是橢圓嗎？

3、當繩長小于兩圖釘之間的距離時,還能畫出圖形嗎？

學生經過動手操作→獨立思考→小組討論→共同交流的探究過程，得出這樣三個結論：橢圓、線段、不存在。

歸納出橢圓的定義：平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于定長(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。

(三)橢圓標準方程的推導

1、建立適當坐標系（讓學生根據自己的經驗來確定）

原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；主要應使曲線對于坐標軸具有較多的對稱性。

2、標準方程推導過程如下：

①建立直角坐標系：以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建

立如圖所示的坐標系；

②確定點的坐標：設F1F2?2c，則F1??c，0?，F2?c，0?，設P?x，y?是橢圓上的任意一點；

③設定長為2a，由條件PF1?PF2?2a得

?x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a；

x2y2④化簡：得到橢圓方程為2?2?1。

ab（通過學生自己動手推導方程是學生構建知識的一個過程。）

3、歸納方程特點，鞏固上述知識。

4、延伸：①焦點在y軸上：F1?0，?c?，F2?0，c?

y2x2②方程：2?2?1

ab③a，b，c的關系：b2?a2?c2，a?b?0，a?c?0

(四)例題講解

例1：平面內兩個定點的距離是8，寫出到這兩個定點距離的和是10的動點的軌跡方程。

解：這個軌跡是橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示。

取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸。?2a?10，2c?8

?a?5，c?4，b2?a2?c2?52?42?9，即b?3

x2y2x2y2?這個橢圓的標準方程是2?2?1，即??1

25953（例1是鞏固橢圓的定義及標準方程）

x2y2x2y2??1與橢圓c2:??1的焦點。

例2：分別求橢圓c1:433解：?4?3

?橢圓c1的焦點在x軸上，橢圓c2的焦點在y 軸上

a2?4，b2?3，c?a2?b2?1

??1，?橢圓c1的兩個焦點分別是0?和?1，0? ?0，是?1?和?0，1?。

橢圓c2的兩個焦點分別（例2會由橢圓的標準方程求出橢圓的焦點坐標和焦距）

(五)課堂練習

課本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)課堂小結

1、橢圓定義

2、焦點分別在x軸和y軸上的橢圓的標準方程（結合圖形，表述焦點坐標，焦距，系數的關系等）

3、考慮一下將橢圓平移到坐標軸任意位置時的坐標，留給同學們課后思考

4、布置作業：課本P61 A 1(1)(4)2(1)(2)

第四篇：橢圓及其標準方程教案

橢圓及其標準方程教案

湖北鄖陽中學

梁學文

教學目標:

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程及標準方程的推導過程

培養學生運用坐標解決集合問題的能力

培養學生發現規律、尋求規律、認識規律和用規律解決問題的能力 教學重點：

橢圓的定義及標準方程的推導 教學難點：

橢圓定義的理解 教學方法;探索法 教具準備：

細繩一根 教學過程：

課前引入部分：

一、明確教學目標：告訴大家開始新的章節：圓錐曲線，思考：為什么這三類曲線叫做圓錐曲線？

二、教具演示：在黑板用細繩演示到定點距離和等于定長的點的軌跡，請同學幫忙。分三類：繩長小于兩點距；等于；大于。

三、探索總結：師生共同歸納得到：繩長等于點距，得到線段；繩長大于點距，得到橢圓；繩長小于點距，不能得到圖形。

定義及方程推導：

一、定義引導：

平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距．

學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數、教師在演示中要從兩個方面加以強調：

(1)將穿有粉筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內”．

(2)這里的常數有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數大于|F1F2|”．即兩定點的距離。

二、方程推導 1．標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合；(3)代數方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當的．

以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數方程

(4)化簡方程 化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節課還要

(a＞b＞0)．

關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．

(三)例題與練習

例題

平面內兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

由學生口答，答案為D．(四)小結 1．定義：橢圓是平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作業

課后習題

第五篇：橢圓及其標準方程(905)（范文模版）

橢圓及其標準方程

★教學目標

1、知識目標：掌握橢圓的定義、橢圓的標準方程及其推導，進一步熟悉求曲線方程的方法。

2、能力目標：通過橢圓的定義和橢圓方程的推導，培養學生實際動手、合作學習能力，抽象概括能力和邏輯思維能力。

3、情感目標：培養學生科學探索精神、審美觀和理論聯系實際的辯證唯物主義思想。

★教學重點難點

教學重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程。

教學難點：橢圓標準方程的推導。★教學方法：探究式與講授式 ★教學過程：

一、新課引入

同學們，我們來共同欣賞一段動畫：[神舟六號] 2005年10月12日至17日，神舟六號載人航天飛行圓滿成功，實現了幾代航天人飛天的夢想，中華兒女為此感到無比的驕傲和自豪。

同學們，你知道神舟六號運行的軌道是什么嗎？

它有什么特性呢？在直角坐標系中方程如何求？

這些就是我們這節課要研究的內容——橢圓及其標準方程（板書課題）。［用神舟六號的精彩動畫激起同學們的學習興趣，從而導入本節課的主題］

二、講授新課

（一）實踐操作

大家知道“平面內到一個定點的距離等于常數的點的軌跡是圓”，那么，平面內到兩個定點的距離的和等于常數的點的軌跡又是什么？ 我們先做一個實驗： ［實踐操作］

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在作業本上的F1和F2兩點，當繩長大于 F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在作業上慢慢移動，就可以畫出一條曲線。

鉛筆尖形成的曲線是什么？--------是橢圓。

我們再用多媒體演示一下畫橢圓的過程，請同學們仔細觀察：在動點運動的過程中，什么是不變的？ [演示動畫] 演示結束后，請同學回答上面提出的問題： 同學回答：第一，兩個定點不變，第二，動點與兩定點距離的和不變，始終等于繩長。

同學們能不能給橢圓下一個定義？[讓學生思考1分鐘] 同學的回答是：“與兩定點F1、F2的距離之和等于常數的點的軌跡”。這位同學回答的對嗎？

在剛才的實驗中，有繩長大于兩定點F1和F2的距離這一條件，當繩長等于兩定點F1和F2的距離時，滿足條件的動點軌跡是什么？ ［動畫演示］

動點的軌跡是這兩個定點F1和F2所確定的線段。

當繩長小于兩定點F1和F2 距離時，動點的軌跡又是什么？ 很明顯滿足條件的點不存在。

請同學們重新給橢圓下一個定義，然后與課本對照，看哪一個更準確？

（二）橢圓的定義

平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓。其中兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距。

強調：

1、平面內——這是大前提

2、動點M到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數

3、常數要大于焦距

以上是橢圓的定義及有關概念，下面來求一下橢圓的方程。

（三）橢圓的標準方程

1、橢圓標準方程的推導。如何求曲線的方程呢？

一般求曲線方程的方法與步驟如下：[幻燈片] 建系設點——寫出點集——列出方程——化簡方程——檢驗 下面我們按照這五個基本步驟來推導橢圓的方程：（1）建系設點

建立坐標系是求曲線方程重要而關鍵的一步，一般應符合簡單和諧化原則，注意充分利用圖形的對稱性。請學生討論建系的方案。（稍停）

以兩定點F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，設，F2（c，0）。F1F2?2c(c?0)，M（x，y）為橢圓上任意一點，則有F1（-c，0）又設M到F1、F2距離的和等于2a。

（2）寫出點集

由定義不難得出橢圓集合為：

P??MMF1?MF2?2a?（3）代數方程

?MF1??x?c?2?y2,MF2???x?c?2?y2，?2a 得方程?x?c?2?y2?x?c?2?y2［到此為止完成了由形到數的轉換］

這一方程直接反映了橢圓的本質屬性，但需要盡量化簡方程形式，使數量關系更加清晰。

（4）化簡方程

[教師指導，學生自己完成] 如何化簡呢？請同學們討論一下。

化簡此式的關鍵是去掉根號，而去根號就要兩邊平方，是直接平方呢？還是移項后再平方呢？（1）原方程要移項后平方，否則化簡相當復雜：

?x?c?2?y2?2a??x?c?2?y2

?x?c?2?y2平方后整理，得a2?cx?a再平方化簡得，(a2?c2)x2?a2y2?a2?a2?c2?

（2）為使方程簡單、對稱、和諧，引入b，由a2?c2?0令a2?c2?b2，其中b＞0則

b2x2?a2y2?a2b2

兩邊同除以a2b2得，x2y2??1（a＞b＞0）a2b2（5）證明，因教材不要求，可從略

這一簡化的方程稱為橢圓的標準方程。它表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1（-c,0）、F2（c,0）.這里c2=a2-b2.注意若坐標系的選取不同，可得到橢圓的不同方程。

若橢圓的焦點在y軸上，a、b的意義同上時，橢圓方程如下：

y2x2?2?1(a?b?0)2ab這也是橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在y軸上，焦點坐標是F1（0,－c）、F2(0,c)，（課下由學生自己推導）

2、兩種標準方程的比較（引導學生歸納）

x2y2y2x2?2?1（a?b?0）2?2?1（a?b?0）2abab思考一：橢圓的標準方程中三個參數a、b、c的關系如何？

a?b?0,a2?b2?c2。

思考二：如何由橢圓的標準方程判定焦點的位置？

x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。

三、例題講解

例1 判斷下列各橢圓的焦點位置，并說出焦點坐標、焦距。

x2y2x2y2??1（2）??

1（1）3442

答案：（1）y軸（0,1）（0，-1）（2）x軸（2，0）（-2, 0）

例2 求適合下列條件的橢圓的標準方程 已知兩個焦點的坐標分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10。

x2y2??1 答案是：259點評：求標準方程時，先確定焦點的位置，設出標準方程（若不能確定焦點的位置，應分類討論），再用待定系數法確定a、b的值。

四、隨堂練習：

x2y2??1上一點P到焦點F1的距離等于6，1、如果橢圓則點P到另一個焦點10036F2的距離是。

2、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）a=4,b=1,焦點在x軸上；

（2）a=4,c=15.五、嘗試回憶

1）橢圓的定義：MF1?MF2?2a?2c。2）橢圓的標準方程

x2y2當焦點在X軸上時2?2?1(a?b?0)

aby2x2當焦點在Y軸上時2?2?1(a?b?0)

ab這里c2?a2?b2

3）求橢圓標準方程的方法：待定系數法

六、布置作業

1、推導焦點在Y軸上的橢圓的標準方程

2、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程

（1）焦點在X軸上，焦距為4，并且經過點P(3,?26)

（2）a+c=10

a-c=4

七、思考題：

1.橢圓標準方程與圓心在原點的圓的標準方程有何聯系？結合圖形談談你的看法.2.在橢圓標準方程推導過程中，經過兩次平方后才能將根號消去，這一過程是否有其他途徑可實現？