第一篇：2.1.1 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案(教師版)

高二數(shù)學(xué)選修1-1學(xué)案

2.1.1

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（3）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）理解并熟練應(yīng)用橢圓的定義；

（2）使學(xué)生理解軌跡與軌跡方程的區(qū)別與聯(lián)系；

（3）掌握軌跡問題的一般求法：定義法、直接法、相關(guān)點法.學(xué)習(xí)重點：利用橢圓的定義求與橢圓相關(guān)的軌跡問題.學(xué)習(xí)難點：軌跡問題的一般解法.學(xué)習(xí)過程：

一、課前準(zhǔn)備：

閱讀教材P34~P36的內(nèi)容，找出疑惑之處，并思考以下問題：

2yx??1；距離之和等于6的1.到定點(?3,0)和(3,0)距離之和等于8的點的軌跡是1672點的軌跡是y?0(?3?x?3).2yx1??1上的每一個點的縱坐標(biāo)都縮短為原來的，橫坐標(biāo)都縮短為原來的2.把橢圓1625521，則所得的曲線的方程是x2?y2?1.4二、新課導(dǎo)學(xué)：

【例1】已知點A(?2,0)，B(2,0)，直線l1過點A，直線l2過點B，若l1、l2的斜 率之積為?3，求l1、l2的交點P的軌跡方程.4【解析】設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y)，依題意，得l1、l2的斜率分別為 k1?yyyy3???，k2?，（x??2），于是x?2x?2x?24x?222yx??1（x??2）.化簡得43【例2】已知兩圓A：(x?1)?y?1，B：(x?1)?y?25，動圓M與圓A外切，與圓B內(nèi)切，2222yQMPBA求動圓M的圓心M的軌跡方程.【解析】設(shè)動圓M的半徑為R，連AM，則

|AM|?R?1，①

x

設(shè)動圓M與圓B相切與點Q，連BQ，則BQ經(jīng)過M，|BM|?5?R

② ①?②得 |AM|?|BM|?6，由橢圓的定義知，動點M的軌跡是橢圓，焦點是A、B，定長為6，yx設(shè)橢圓方程為2?2?1，ab則a?3，c?1，所以b2?8，2yx??1.所以動圓M的圓心M的軌跡方程98222yQPBoA動動手：已知圓A：(x?3)2?y2?64，圓A內(nèi)一定點B(?3,0)，動圓P過B點且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程.【解析】設(shè)動圓P的半徑為R，圓P與圓A相切與點Q，連AQ，則|AQ|?8，|AP|?8?R

① 又 |BP|?R

②

①?②得 |AP|?|BP|?8，x由橢圓的定義知，動點P的軌跡是橢圓，焦點是A、B，定長為8，yx設(shè)橢圓方程為2?2?1，ab則a?4，c?3，所以b2?7，2yx??1.所以動圓P的圓心P的軌跡方程1672yx??1上移動，求線段OP的中點M的軌跡方程.【例3】動點P在橢圓1682222【解析】設(shè)M(x,y)，則P(2x,2y)，因為P在橢圓上，所以

2(2x)(2y)yx??1，即??1為所求的軌跡方程.16842222動動手：已知x軸上的一定點A(1,?2)，M為橢圓跡方程.【解析】設(shè)P(x,y)，M(x?,y?)，則有

?2x?x??1?x??2x?1 ?，所以?，??2y?y?2y?2y?2??x24?y2?1上的動點，求AM中點P的軌因為M為橢圓P的軌跡方程.x24?y2(2x?1)2?(2y?2)?1即為所求的動點?1上的動點，所以

42三、總結(jié)提升：

例1是直接法求軌跡方程，使用這種方法時，要把動點坐標(biāo)設(shè)為(x,y)，然后利用題設(shè)條件列出關(guān)于x、y的關(guān)系式，化簡解得軌跡方程.例2是利用橢圓的定義求軌跡方程，注意平面幾何知識的應(yīng)用，尋找符合橢圓定義的條件，得出軌跡方程.例3是相關(guān)點法求軌跡方程，特點是將動點的坐標(biāo)(x,y)轉(zhuǎn)移到其它點上，在利用其它 點的條件，得出動點的軌跡方程.這三種方法是求軌跡方程的常用方法，要認真體會這些方法的運用.四、反饋練習(xí)：

1.到兩坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡方程是（D）A.y?x B.y??x C.y??x D.y??x 2.到兩點A(1,1)、B(?3,1)距離相等的點的軌跡方程是（B）A.y?1?0 B.y??1 C.x??1 D.x?1?0

2yx??1運動，則點B3.坐標(biāo)系中O、A、B三點共線，|OA|?2|AB|，點A在橢圓322yx??1.的軌跡方程是271822*4.?ABC的三條邊a、b、c成等差數(shù)列，且滿足a?b?c，A(?1,0)，C(1,0)，求頂點2yx??1B的軌跡方程 432(?2?x?0.)

yB5.已知點A(?2,0)，點B是圓F：(x?2)2?y2?36上的動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，求動點P的軌跡方程.【解析】因為點P在線段AB的垂直平分線上，所以|PA|?|PB|，又|BF|?|PF|?|PB|?6，PAoFx所以|PF|?|PA|?6，根據(jù)橢圓的定義，點P的軌跡是橢圓，焦點是A、F，2a?6，所以a?3，c?2，求得b2?5，2yx??1.所以點P的軌跡方程為952

五、學(xué)后反思：

第二篇：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)教學(xué)設(shè)計

類比的思想學(xué)：新舊知識的類比。

引入：自然界處處存在著橢圓，我們?nèi)绾斡米约旱碾p手精確的畫出橢圓呢？

回憶圓的畫法：一個釘子，一根繩子，釘子固定，繩子的一端系于釘子上，抓住繩子的另一端，固定繩子的長度，繞釘子旋轉(zhuǎn)一圈就得到圓。

下面我們介紹橢圓的畫法：找兩個釘子和一根繩子，把兩個釘子固定，兩個釘子的距離小于繩子的長度，把繩子的兩端分別系在兩個釘子上，繃緊繩子旋轉(zhuǎn)一周就得到橢圓。（以上是畫法上的對比）

回憶圓的定義：平面上到頂點的距離等于定長的點的集合。

（根據(jù)剛才橢圓的畫法及類比圓的定義，歸納得出橢圓的定義。）橢圓的定義：平面上到兩個定點F1,F2的距離之和為定值（大于F1F2）的點的集合。

（以上是定義上的對比）

怎樣推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？（類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟）求動點方程的一般步驟：坐標(biāo)法

（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件P(M)；（3）用坐標(biāo)表示P(M)，列數(shù)方程；（4）化方程為最簡形式。

y?探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案yyyF1OOO設(shè)P(x, y)是橢圓上任意一點，yF2Ｐ(x , y)xF10F2yMMOF2橢圓的焦距|F1F2|=2c(c>0)，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(?c,0)、(c,0).xF1xxxOP與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a>2c)由橢圓的定義得，限制條件：|PF1|?|PF2|?2a由于得方程|PF1|?(x?c)2?y2,|PF2|?(x?c)2?y2x方案一方案二原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)(對稱、“簡潔”)(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a（問題：下面怎樣化簡？）移項，再平方(x?c)2?y2?4a2?4a(x?c)2?y2?(x?c)2?y2a2?cx?a兩邊再平方，得剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程，如何推導(dǎo)焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？由橢圓的定義得，限制條件：|PF1|?|PF2|?2a由于得方程|PF1|?x2?(y?c)2,|PF2|?x2?(y?c)2(x?c)2?y2a4?2a2cx?c2x2?a2x2?2a2cx?a2c2?a2y2整理得(a2?c2)x2?a2y2?a2(a2?c2)由橢圓定義可知2a?2c,即a?c,所以x2?(y?c)2?x2?(y?c)2?2aa2?c2?0,設(shè)a2?c2?b2(b?0),（問題：下面怎樣化簡？）b2x2?a2y2?a2b2兩邊除以a2b2得x2y2??1(a?b?0).a2b2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2??1(a?b?0).a2b2焦點在x軸(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a?再認識！?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點：YMMF1(-c,0)OF2(c,0)XOF1(0,-c)XYF2(0 , c)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2+=1 ?a>b>0?a2b2yPx2y2+=1 ?a>b>0?b2a2yF2Pxx2y2??1(a?b?0)a2b2y2x2??1(a?b?0)a2b2不同點圖形F1OF2xOF1焦點坐標(biāo)F1?-c , 0?，F(xiàn)2?c , 0?F1?0?,?-c?，F(xiàn)2?0?,?c?（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。相同點定義a、b、c 的關(guān)系焦點位置的判斷平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡a2=b2+c2分母哪個大，焦點就在哪個軸上

第三篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

教學(xué)目標(biāo):

(一)知識目標(biāo)：掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會由標(biāo)準(zhǔn)方程求出橢圓的交點和焦距；

(二)能力目標(biāo)：通過對橢圓概念的引入和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析、探索的能力，增強學(xué)生運用代數(shù)法解決幾何問題的能力；

(三)情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提高學(xué)生的審美情趣、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,敢于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點:橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。教學(xué)難點:橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

教學(xué)方法:探究式教學(xué)法（教師通過問題誘導(dǎo)→啟發(fā)討論→探索結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察→歸納抽象→總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生在獲得知識的同時,能夠掌握方法、提升能力。）

教具準(zhǔn)備:自制教具(圓柱體、細繩)。

教學(xué)過程:(一)啟發(fā)誘導(dǎo)，推陳出新

1、復(fù)習(xí)舊知識：拉直一根細線，一端固定，作一個圓，由此回憶圓的定義（到一點的距離等于定長的點的軌跡），圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2、提出新問題：到兩點的距離等于定長的點是什么軌跡呢？ 嘗試作圖；

3、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題：“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”。(二)小組合作，形成概念

下面請同學(xué)們思考下面的問題：

1、在作圖時,視筆尖為動點，線的兩個固定的端點為定點，動點到兩定點距離之和符合什么條件？其軌跡如何？

2、改變兩端點之間的距離,使其與繩長相等,畫出的圖形還是橢圓嗎？

3、當(dāng)繩長小于兩圖釘之間的距離時,還能畫出圖形嗎？

學(xué)生經(jīng)過動手操作→獨立思考→小組討論→共同交流的探究過程，得出這樣三個結(jié)論：橢圓、線段、不存在。

歸納出橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于定長(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。

(三)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

1、建立適當(dāng)坐標(biāo)系（讓學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗來確定）

原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；主要應(yīng)使曲線對于坐標(biāo)軸具有較多的對稱性。

2、標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程如下：

①建立直角坐標(biāo)系：以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建

立如圖所示的坐標(biāo)系；

②確定點的坐標(biāo)：設(shè)F1F2?2c，則F1??c，0?，F(xiàn)2?c，0?，設(shè)P?x，y?是橢圓上的任意一點；

③設(shè)定長為2a，由條件PF1?PF2?2a得

?x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a；

x2y2④化簡：得到橢圓方程為2?2?1。

ab（通過學(xué)生自己動手推導(dǎo)方程是學(xué)生構(gòu)建知識的一個過程。）

3、歸納方程特點，鞏固上述知識。

4、延伸：①焦點在y軸上：F1?0，?c?，F(xiàn)2?0，c?

y2x2②方程：2?2?1

ab③a，b，c的關(guān)系：b2?a2?c2，a?b?0，a?c?0

(四)例題講解

例1：平面內(nèi)兩個定點的距離是8，寫出到這兩個定點距離的和是10的動點的軌跡方程。

解：這個軌跡是橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示。

取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸。?2a?10，2c?8

?a?5，c?4，b2?a2?c2?52?42?9，即b?3

x2y2x2y2?這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2?2?1，即??1

25953（例1是鞏固橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程）

x2y2x2y2??1與橢圓c2:??1的焦點。

例2：分別求橢圓c1:433解：?4?3

?橢圓c1的焦點在x軸上，橢圓c2的焦點在y 軸上

a2?4，b2?3，c?a2?b2?1

??1，?橢圓c1的兩個焦點分別是0?和?1，0? ?0，是?1?和?0，1?。

橢圓c2的兩個焦點分別（例2會由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出橢圓的焦點坐標(biāo)和焦距）

(五)課堂練習(xí)

課本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)課堂小結(jié)

1、橢圓定義

2、焦點分別在x軸和y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（結(jié)合圖形，表述焦點坐標(biāo)，焦距，系數(shù)的關(guān)系等）

3、考慮一下將橢圓平移到坐標(biāo)軸任意位置時的坐標(biāo)，留給同學(xué)們課后思考

4、布置作業(yè)：課本P61 A 1(1)(4)2(1)(2)

第四篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

湖北鄖陽中學(xué)

梁學(xué)文

教學(xué)目標(biāo):

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程

培養(yǎng)學(xué)生運用坐標(biāo)解決集合問題的能力

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋求規(guī)律、認識規(guī)律和用規(guī)律解決問題的能力 教學(xué)重點：

橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 教學(xué)難點：

橢圓定義的理解 教學(xué)方法;探索法 教具準(zhǔn)備：

細繩一根 教學(xué)過程：

課前引入部分：

一、明確教學(xué)目標(biāo)：告訴大家開始新的章節(jié)：圓錐曲線，思考：為什么這三類曲線叫做圓錐曲線？

二、教具演示：在黑板用細繩演示到定點距離和等于定長的點的軌跡，請同學(xué)幫忙。分三類：繩長小于兩點距；等于；大于。

三、探索總結(jié)：師生共同歸納得到：繩長等于點距，得到線段；繩長大于點距，得到橢圓；繩長小于點距，不能得到圖形。

定義及方程推導(dǎo)：

一、定義引導(dǎo)：

平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距．

學(xué)生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調(diào)：

(1)將穿有粉筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．即兩定點的距離。

二、方程推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點；(2)點的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設(shè)點

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認識到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p>

以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程

(4)化簡方程 化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標(biāo)軸上．

(三)例題與練習(xí)

例題

平面內(nèi)兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習(xí)1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

練習(xí)2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié) 1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

課后習(xí)題

第五篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教案.doc

學(xué)習(xí)資 料

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程；

2．能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3．通過對橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力；

4．通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力；

5．通過讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識．

教學(xué)建議 教材分析 1． 知識結(jié)構(gòu)

2．重點難點分析

重點是橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式．難點是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)．關(guān)鍵是掌握建立坐標(biāo)系與根式化簡的方法．

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內(nèi)容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學(xué)中鞏固和應(yīng)用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學(xué)好橢圓對于學(xué)生學(xué)好圓錐曲線是非常重要的．

（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質(zhì)，可以對比圓的定義來理解．

另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當(dāng)常數(shù)等于

．這樣規(guī)定是為了避免出

時無軌

時軌跡是一條線段；當(dāng)常數(shù)小于

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跡”．這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)．但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準(zhǔn)確性．

（2）根據(jù)橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意下面幾點：

①曲線的方程依賴于坐標(biāo)系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，是求曲線方程首先應(yīng)該注意的地方．應(yīng)讓學(xué)生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標(biāo)系的兩軸，不但可以使方程的推導(dǎo)過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔．

②設(shè)橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導(dǎo)過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學(xué)生認真領(lǐng)會．

③在方程的推導(dǎo)過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學(xué)生的難點．要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側(cè)，把其他項移至另一側(cè)；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側(cè)，并使其中一側(cè)只有一項．

④教科書上對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，實際上只給出了“橢圓上點的坐標(biāo)都適合方程

“而沒有證明，”方程 的解為坐標(biāo)的點都在橢圓上”．這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學(xué)們不作要求．

（3）兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓異同點

中心在原點、焦點分別在 軸上，軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，．它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有，．不同點是：兩種橢圓相對于坐標(biāo)系的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不同．

橢圓的焦點在 軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中 項的分母較大；

橢圓的焦點在 軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中 項的分母較大．

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另外，形如 中，只要，同號，就是橢圓方程，它可以化為

．

（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個作用：第一是教給學(xué)生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向?qū)W生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學(xué)生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓． 教法建議

（1）使學(xué)生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學(xué)生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學(xué)生尋找身邊與圓錐曲線有關(guān)的例子。

例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上．如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行．人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理．相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道．因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關(guān)，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的．

（2）安排學(xué)生課下切割圓錐形的事物，使學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷

為了讓學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學(xué)時應(yīng)安排讓學(xué)生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識．

（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學(xué)生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學(xué)生先對橢圓有一個直觀的了解。

教師可事先準(zhǔn)備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學(xué)生按教師的要求在以上資料均從網(wǎng)絡(luò)收集而來

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黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學(xué)生按同樣的要求作圖。學(xué)生通過觀察兩次作圖的過程，總結(jié)出經(jīng)驗和教訓(xùn)，教師因勢利導(dǎo)，讓學(xué)生自己得出橢圓的嚴(yán)格的定義。這樣，學(xué)生對這一定義就會有深刻的了解。

（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質(zhì)

在教學(xué)時，可以設(shè)置幾個問題，讓學(xué)生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學(xué)生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學(xué)過程中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學(xué)生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內(nèi)涵，這樣就使得學(xué)生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

（5）注意橢圓的定義與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系

在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學(xué)生注意橢圓的圖形特征，一般學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標(biāo)系時，學(xué)生就比較容易選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系了，即使焦點在坐標(biāo)軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質(zhì)）．雖然這時學(xué)生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標(biāo)系，但在有了一定感性認識的基礎(chǔ)上再講解選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的一般原則，學(xué)生就較為容易接受，也向?qū)W生逐步滲透了坐標(biāo)法．

（6）推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法．

推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學(xué)時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學(xué)生對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程的整體認識．通過具體的例子使學(xué)生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項．（為了避免二次平方運算）

（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，教師要啟發(fā)學(xué)生自己研究焦點在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后鼓勵學(xué)生探索橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點，加深對橢圓的認識．

（8）在學(xué)習(xí)新知識的基礎(chǔ)上要鞏固舊知識

橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念．對于教材上在推出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向?qū)W生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒

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有給出證明過程，但學(xué)生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學(xué)生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析．

（9）要突出教師的主導(dǎo)作用，又要強調(diào)學(xué)生的主體作用，課上盡量讓全體學(xué)生參與討論，由基礎(chǔ)較差的學(xué)生提出猜想，由基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助證明，培養(yǎng)學(xué)生的團結(jié)協(xié)作的團隊精神。

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