第一篇：2017拋物線的定義及其標準方程教案.doc

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圓錐曲線教案 拋物線的定義及其標準方程教案

教學目標

1．使學生理解拋物線的定義、標準方程及其推導過程，并能初步利用它們解決有關問題．

2．通過教學，培養學生觀察、聯想、類比、猜測、歸納等合情推理的方法，提高學生抽象、概括、分析、綜合的能力，既教猜想，又教證明．

3．培養學生運用數形結合的數學思想理解有關問題． 教學重點與難點

拋物線標準方程的推導及有關應用既是教學重點，又是難點． 教學過程

師：請同學們回憶橢圓和雙曲線的第二定義．

生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌道，當e＜1時，是橢圓，當e＞1時，是雙曲線．

(計算機演示動畫——圖2-45)

(1)不妨設定點F到定直線l的距離為p．

(2)通過提問，讓學生思考隨著e的變化曲線的形狀的變化規律．同時演示動畫，讓學生充分體會這種變化規律，為學生猜測e=1時曲線形狀奠定基礎．

師：那么，當e=1時，軌跡的位置和形狀是怎樣的？大膽地猜一猜！

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(可請學生直接畫出自己想象中曲線的形狀，并利用投影展示．)師：同學的猜測對不對呢？請同學看屏幕．(圖2-46)

我們利用電腦精確地計算展示到定點F的距離和它到定直線距離的比為1的點的軌跡．

師：你見過這種曲線嗎？(拋物線)這就是我們這節課主要的研究對象．

(師板書課題——拋物線的定義及其標準方程)師：能否給拋物線下個定義？

生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是1的點的軌跡叫拋物線． 師：換句話說，就是與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．

(投影)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．

師：它的方程是什么樣子呢？我們可以預先做一個估計．

如圖2-47(1)，橢圓的圖形是關于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：

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如圖2-47(2)，雙曲線的圖形是關于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：

在方程中都僅有x、y的二次項．

當e=1時，圖形變成了開口的一支，從而喪失了關于y軸和原點的對稱性，那么方程將會發生怎樣的變化？

生：在方程中，一定會失去x2項，而且會出現x的一次項，(否則方程變成y2=b2，它表示直線．)所以方程應為Ay2+Bx+C=0的形式．

師：同學的猜測對不對呢？可否從理論上給予說明？ 生：建立直角坐標系． 師：如何建立？

學生甲：取經過定點F且垂直于定直線l的直線為x軸，設x軸與l相交于點K，以線段KF的垂直平分線為y軸，設所求軌跡上一點坐標為M(x，y)．

師：點M滿足什么條件？

生：到定點F的距離和到定直線l的距離的比是1． 師：這些條件能否轉化成點M的坐標所滿足的條件？

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請同學化簡上式，并通過投影展示演算過程，得：y2=2px．(1)師：顯然符合預想的形式．這個方程就叫作拋物線的標準方程． 在你以往的學習過程中，是否見到過類似這種形式的方程？ 生：二次函數的表達式．

師：若將x與y換個位置，它就是缺少一次項和常數項的二次函數，而曲線的形狀也與拋物線完全一致．

師：由于拋物線開口方向的不同，共有4種不同情況．(計算機演示——圖2-48)

師：請同學們寫出其它3種情況下的標準方程、焦點坐標及準線方程，并說明理由．

觀察圖形，分辨這些圖有何相同點和不同點．

生：共同點有：①原點在拋物線上．②對稱軸為坐標軸．③準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱于原點，它們與原點的距離都等于一次項系數的絕對值的四分之一．

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不同點：①拋物線的焦點在x軸上時，方程左端是y2，右端是2px；當拋物線的焦點在y軸上時，方程左端是x2，右端是2py．②開口方向與x軸(y軸)正半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的正半軸上，方程右端取正號．

開口方向與x軸(y軸)負半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的負半軸上，方程右端取負號．

師：作為應用，請同學們看下面的例題．(展示投影)例1(1)已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，-2)，求它的標準方程．

(2)分析

要求拋物線的標準方程，需①確定焦點在y軸的負半軸上，②求出p值．

例2 經過拋物線的焦點F，作一條直線垂直于x軸，和拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2．求y1·y2的值．(計算機演示圖形——圖2-49)

師：首先弄清題意——條件有哪些？求什么？如何求？

(師板書)

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故y1·y2=-p2．

師：還有其他辦法嗎？可否根據拋物線的定義？

生：如圖2-50，根據拋物線的定義，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．

引申1：上例中若缺少“垂直于x軸”的條件，結果怎樣？(計算機演示動畫——圖2-51)

師：由于缺少垂直的條件，上例中的方法均不適用了． 怎樣求交點坐標？

生：只需求直線方程與拋物線方程的公共解． 師：如何建立直線方程？ 生：利用點斜式．

(請同學自行寫出解題過程，并利用投影儀展示解題過程．)

與拋物線方程聯立，消去x可得：

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引申2：以AB為直徑的圓和準線具有怎樣的位置關系？(計算機演示動畫——圖2-52)

學生乙：以AB為直徑的圓和準線相切．

師：能否給予證明？這作為思考題，請同學們課下完成． 師：請同學小結這節課的內容．

(拋物線的定義；p的幾何意義；標準方程的4種形式．)作業：

課本第98頁習題八：1，2． 設計說明 1．關于教學過程

(1)由于拋物線的定義是本章的主要內容之一，因而將它作為教學目標之一．(2)MM教學方式在課堂教學中十分重視的一個方面就是合情推理方法的運用，邏輯思維能力的提高以及良好個性品質的培養．這對于提高學生的一般科學素養，形成和發展他們的數學品質，必將起著十分重要的作用，因而制定了目標2．

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(3)按照大綱的要求，在教學中培養學生運用數學思想方法解決有關問題，據此制定了目標3．

2．關于教學重點

為實現教學目標，把充分展現拋物線的定義及標準方程的探索、發現、推理的思維過程和知識形成的過程作為本節課的重點．

3．關于教學方法

按照MM教學方式“學習、教學、研究同步協調原則”和“二主方針”，運用問題性，給學生創造一種思維情境，一種動腦、動手、動口的機會，提高能力、增長才干，采用啟發式．

4．關于教學手段

利用計算機輔助教學，演示圖形的動態變化過程，彌補傳統教學手段(如投影片、模型等)的不足之處．

(1)在新課引入部分，通過動畫演示，使學生充分理解并且掌握3種圓錐曲線的統一定義，以及曲線形狀變化與常數e的大小之間的關系．

(2)在拋物線定義的引入部分，利用電腦精確測算“兩個距離”，以及動點M的任意選取，充分展示了滿足條件的點的軌跡，避免了傳統教學中此處的生硬與牽強．

(3)在例2及引申中也采用動畫演示，彌補了投影片無法實現的動態效果． 5．關于教學過程

(1)復習內容的確定，旨在通過聯想，為運用類比方法探索拋物線的定義奠定基礎．

(2)通過引導學生觀察橢圓、雙曲線圖形的變化規律，類比、聯想、進而猜想出e=1時軌跡形狀是拋物線，然后進行推理證明．即通過既教猜想、又教證明這一MM可控變量的操作，旨在揭示科學實驗的規律，從而暴露知識的形成過程，體現科學發現的本質，培養學生合理推理能力、邏輯推理能力、科學的思維方式、實事求是的科學態度及勇于探索的精神等個性品質．

(3)學以致用是教學的主要目標之一，在例題求解過程中，運用波利亞一般解題方法，培養學生合理的思考問題，清楚地表達思想和有條不紊的工作習慣．(4)讓學生小結，充分發揮學生的主觀能動性，提高學生分析、概括、綜合、抽象能力．

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第二篇：圓錐曲線教案 拋物線的定義及其標準方程教案

圓錐曲線教案 拋物線的定義及其標準方程教案

教學目標

1．使學生理解拋物線的定義、標準方程及其推導過程，并能初步利用它們解決有關問題．

2．通過教學，培養學生觀察、聯想、類比、猜測、歸納等合情推理的方法，提高學生抽象、概括、分析、綜合的能力，既教猜想，又教證明．

3．培養學生運用數形結合的數學思想理解有關問題． 教學重點與難點

拋物線標準方程的推導及有關應用既是教學重點，又是難點． 教學過程

師：請同學們回憶橢圓和雙曲線的第二定義．

生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌道，當e＜1時，是橢圓，當e＞1時，是雙曲線．

(計算機演示動畫——圖2-45)

(1)不妨設定點F到定直線l的距離為p．

(2)通過提問，讓學生思考隨著e的變化曲線的形狀的變化規律．同時演示動畫，讓學生充分體會這種變化規律，為學生猜測e=1時曲線形狀奠定基礎．

師：那么，當e=1時，軌跡的位置和形狀是怎樣的？大膽地猜一猜！(可請學生直接畫出自己想象中曲線的形狀，并利用投影展示．)師：同學的猜測對不對呢？請同學看屏幕．(圖2-46)

我們利用電腦精確地計算展示到定點F的距離和它到定直線距離的比為1的點的軌跡．

師：你見過這種曲線嗎？(拋物線)這就是我們這節課主要的研究對象．(師板書課題——拋物線的定義及其標準方程)師：能否給拋物線下個定義？

生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是1的點的軌跡叫拋物線． 師：換句話說，就是與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．

(投影)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．

師：它的方程是什么樣子呢？我們可以預先做一個估計．

如圖2-47(1)，橢圓的圖形是關于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：

如圖2-47(2)，雙曲線的圖形是關于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：

在方程中都僅有x、y的二次項．

當e=1時，圖形變成了開口的一支，從而喪失了關于y軸和原點的對稱性，那么方程將會發生怎樣的變化？

生：在方程中，一定會失去x2項，而且會出現x的一次項，(否則方程變成y2=b2，它表示直線．)所以方程應為Ay2+Bx+C=0的形式．

師：同學的猜測對不對呢？可否從理論上給予說明？ 生：建立直角坐標系． 師：如何建立？

學生甲：取經過定點F且垂直于定直線l的直線為x軸，設x軸與l相交于點K，以線段KF的垂直平分線為y軸，設所求軌跡上一點坐標為M(x，y)．

師：點M滿足什么條件？

生：到定點F的距離和到定直線l的距離的比是1． 師：這些條件能否轉化成點M的坐標所滿足的條件？

請同學化簡上式，并通過投影展示演算過程，得：y2=2px．(1)師：顯然符合預想的形式．這個方程就叫作拋物線的標準方程． 在你以往的學習過程中，是否見到過類似這種形式的方程？ 生：二次函數的表達式．

師：若將x與y換個位置，它就是缺少一次項和常數項的二次函數，而曲線的形狀也與拋物線完全一致．

師：由于拋物線開口方向的不同，共有4種不同情況．(計算機演示——圖2-48)

師：請同學們寫出其它3種情況下的標準方程、焦點坐標及準線方程，并說明理由．

觀察圖形，分辨這些圖有何相同點和不同點．

生：共同點有：①原點在拋物線上．②對稱軸為坐標軸．③準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱于原點，它們與原點的距離都等于一次項系數的絕對值的四分之一． 不同點：①拋物線的焦點在x軸上時，方程左端是y2，右端是2px；當拋物線的焦點在y軸上時，方程左端是x2，右端是2py．②開口方向與x軸(y軸)正半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的正半軸上，方程右端取正號．

開口方向與x軸(y軸)負半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的負半軸上，方程右端取負號．

師：作為應用，請同學們看下面的例題．(展示投影)例1(1)已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，-2)，求它的標準方程．

(2)分析 要求拋物線的標準方程，需①確定焦點在y軸的負半軸上，②求出p值．

例2 經過拋物線的焦點F，作一條直線垂直于x軸，和拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2．求y1·y2的值．(計算機演示圖形——圖2-49)

師：首先弄清題意——條件有哪些？求什么？如何求？

(師板書)

故y1·y2=-p2．

師：還有其他辦法嗎？可否根據拋物線的定義？

生：如圖2-50，根據拋物線的定義，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．

引申1：上例中若缺少“垂直于x軸”的條件，結果怎樣？(計算機演示動畫——圖2-51)

師：由于缺少垂直的條件，上例中的方法均不適用了． 怎樣求交點坐標？

生：只需求直線方程與拋物線方程的公共解． 師：如何建立直線方程？ 生：利用點斜式．

(請同學自行寫出解題過程，并利用投影儀展示解題過程．)

與拋物線方程聯立，消去x可得：

引申2：以AB為直徑的圓和準線具有怎樣的位置關系？(計算機演示動畫——圖2-52)

學生乙：以AB為直徑的圓和準線相切．

師：能否給予證明？這作為思考題，請同學們課下完成． 師：請同學小結這節課的內容．

(拋物線的定義；p的幾何意義；標準方程的4種形式．)作業：

課本第98頁習題八：1，2． 設計說明 1．關于教學過程

(1)由于拋物線的定義是本章的主要內容之一，因而將它作為教學目標之一．(2)MM教學方式在課堂教學中十分重視的一個方面就是合情推理方法的運用，邏輯思維能力的提高以及良好個性品質的培養．這對于提高學生的一般科學素養，形成和發展他們的數學品質，必將起著十分重要的作用，因而制定了目標2．(3)按照大綱的要求，在教學中培養學生運用數學思想方法解決有關問題，據此制定了目標3．

2．關于教學重點

為實現教學目標，把充分展現拋物線的定義及標準方程的探索、發現、推理的思維過程和知識形成的過程作為本節課的重點．

3．關于教學方法

按照MM教學方式“學習、教學、研究同步協調原則”和“二主方針”，運用問題性，給學生創造一種思維情境，一種動腦、動手、動口的機會，提高能力、增長才干，采用啟發式．

4．關于教學手段

利用計算機輔助教學，演示圖形的動態變化過程，彌補傳統教學手段(如投影片、模型等)的不足之處．

(1)在新課引入部分，通過動畫演示，使學生充分理解并且掌握3種圓錐曲線的統一定義，以及曲線形狀變化與常數e的大小之間的關系．

(2)在拋物線定義的引入部分，利用電腦精確測算“兩個距離”，以及動點M的任意選取，充分展示了滿足條件的點的軌跡，避免了傳統教學中此處的生硬與牽強．

(3)在例2及引申中也采用動畫演示，彌補了投影片無法實現的動態效果． 5．關于教學過程

(1)復習內容的確定，旨在通過聯想，為運用類比方法探索拋物線的定義奠定基礎．

(2)通過引導學生觀察橢圓、雙曲線圖形的變化規律，類比、聯想、進而猜想出e=1時軌跡形狀是拋物線，然后進行推理證明．即通過既教猜想、又教證明這一MM可控變量的操作，旨在揭示科學實驗的規律，從而暴露知識的形成過程，體現科學發現的本質，培養學生合理推理能力、邏輯推理能力、科學的思維方式、實事求是的科學態度及勇于探索的精神等個性品質．

(3)學以致用是教學的主要目標之一，在例題求解過程中，運用波利亞一般解題方法，培養學生合理的思考問題，清楚地表達思想和有條不紊的工作習慣．(4)讓學生小結，充分發揮學生的主觀能動性，提高學生分析、概括、綜合、抽象能力．

第三篇：拋物線的定義、性質及標準方程

高三數學第一輪復習：拋物線的定義、性質及標準方程

【本講主要內容】

拋物線的定義及相關概念、拋物線的標準方程、拋物線的幾何性質

【知識掌握】 【知識點精析】 1.拋物線定義：平面內與一個定點和一條直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點

叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線，定點不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當e＝1時為拋物線，當01時為雙曲線。

2.拋物線的標準方程有四種形式，參數式方程的幾何性質（如下表）： 的幾何意義，是焦點到準線的距離，掌握不同形

其中為拋物線上任一點。

3.對于拋物線上的點的坐標可設為，以簡化運算。的焦點的直線與拋物線交于，則有4.拋物線的焦點弦：設過拋物線，直線

與的斜率分別為，直線的傾斜角為。，，，說明：

1.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數法；若由已知條件可知曲線的動點的規律一般用軌跡法。

2.凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復雜運算。

3.解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應用，而且還應注意焦點弦的幾何性質?！窘忸}方法指導】

例1.已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，且與圓于，求此拋物線的方程。解析：設所求拋物線的方程為設交點則∴點在，∴

上，（y1>0），代入

在得上

或

相交的公共弦長等∴或，∴或

。，經過的直線交拋物線于

兩點，點故所求拋物線方程為例2.設拋物線在拋物線的準線上，且的焦點為

∥軸，證明直線經過原點。

解析：證法一：由題意知拋物線的焦點

故可設過焦點的直線的方程為

由，消去得 設，則

∵∥軸，且在準線上

∴點坐標為

于是直線的方程為

要證明注意到經過原點，只需證明，即證

經過原點。

知上式成立，故直線證法二：同上得。又∵∥軸，且在準線上，∴點坐標為。于是過原點。

證法三：如圖，知三點共線，從而直線經

設軸與拋物線準線交于點則∥∥，連結，過交

作于點，則

是垂足

又根據拋物線的幾何性質，∴因此點是的中點，即

與原點

重合，∴直線

經過原點。

評述：本題考查拋物線的概念和性質，直線的方程和性質，運算能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數法，證法三為幾何法，充分運用了拋物線的幾何性質，數形結合，更為巧妙。

【考點突破】 【考點指要】

拋物線部分是每年高考必考內容，考點中要求掌握拋物線的定義、標準方程以及幾何性質，多出現在選擇題和填空題中，主要考查基礎知識、基礎技能、基本方法，分值大約是５分。考查通常分為四個層次：

層次一：考查拋物線定義的應用； 層次二：考查拋物線標準方程的求法； 層次三：考查拋物線的幾何性質的應用；

層次四：考查拋物線與平面向量等知識的綜合問題。

解決問題的基本方法和途徑：待定系數法、軌跡方程法、數形結合法、分類討論法、等價轉化法。

【典型例題分析】 例3.（2006江西）設，則點A.C.答案：Ｂ

解析：解法一：設點坐標為，則，解得或（舍），代入拋物線可得點的坐標為。

為坐標原點，的坐標為（）B.D.為拋物線的焦點，為拋物線上一點，若解法二：由題意設，則，即，求得，∴點的坐標為。

評述：本題考查了拋物線的動點與向量運算問題。例4.（2006安徽）若拋物線為（）

A.－2 B.2 C.－4 Ｄ.4 答案：D 的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值解析：橢圓的右焦點為，所以拋物線的焦點為，則。

評述：本題考查拋物線與橢圓的標準方程中的基本量的關系?！具_標測試】 一.選擇題： 1.拋物線的準線方程為，則實數的值是（）

A.B.C.D.軸上，又拋物線上的點，與焦點的距離2.設拋物線的頂點在原點，其焦點在為4，則等于（）

A.4 B.4或－4 C.－2 D.－2或2 3.焦點在直線A.C.B.D.或或

上的拋物線的標準方程為（）

4.圓心在拋物線上，并且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程為（）

A.B.C.D.5.正方體上的動點，且點的軌跡是（）的棱長為１，點到直線的距離與點

在棱到點

上，且，點是平面的距離的平方差為１，則點

A.拋物線 B.雙曲線 C.直線 D.以上都不對 6.已知點是拋物線的距離為

上一點，設點，則

到此拋物線準線的距離為，到直線的最小值是（）

A.5 B.4 C.7.已知點D.是拋物線

上的動點，點

在軸上的射影是，點的坐標是，則的最小值是（）

A.B.4 C.D.5 的焦點的直線交拋物線于

兩點，為坐標原點，則的值8.過拋物線是（）

A.12 B.－12 C.3 D.－3 二.填空題： 9.已知圓10.已知物線的焦點分別是拋物線，則直線

和拋物線的準線相切，則的值是＿＿＿＿＿。的垂心恰好是此拋

上兩點，為坐標原點，若的方程為＿＿＿＿＿。

11.過點（0，1）的直線與＿＿＿。12.已知直線＿＿＿。三.解答題： 與拋物線

交于兩點，若的中點的橫坐標為，則

交于兩點，那么線段的中點坐標是＿＿13.已知拋物線頂點在原點，對稱軸為拋物線的方程。14.過點（4，1）作拋物線

軸，拋物線上一點到焦點的距離是5，求的弦點在，恰被所平分，求所在直線方程。

。15.設點F（1，0），M點在軸上，⑴當點⑵設在軸上運動時，求

軸上，且

點的軌跡是曲線的方程； 上的三點，且的坐標。

成等差數列，當的垂直平分線與軸交于E（3，0）時，求點【綜合測試】 一.選擇題：

1.（2005上海）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（）A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無窮多條 D.不存在 2.（2005江蘇）拋物線

上的一點

到焦點的距離為1，則點的縱坐標是（）

A.B.C.D.0，若它的一條準線與拋物線3.（2005遼寧）已知雙曲線的中心在原點，離心率為的準線重合，則該雙曲線與拋物線A.B.C.D.21 的交點與原點的距離是（）

4.（2005全國Ⅰ）已知雙曲線合，則該雙曲線的離心率為（）的一條準線與拋物線的準線重A.B.C.D.的準線與軸交于點，若過點的直線與拋物線有5.（2004全國）設拋物線公共點，則直線的斜率的取值范圍是（）

A.B.C.D.6.（2006山東）動點取得最小值，則

是拋物線的最小值為（）

上的點，為原點，當時A.B.C.D.7.（2004北京）在一只杯子的軸截面中，杯子內壁的曲線滿足拋物線方程，在杯內放一個小球，要使球觸及杯子的底部，則該球的表面積取值范圍是（）A.B.C.D.的準線為，直線

與該拋物線相交于的8.（2005北京）設拋物線點，則點及點

兩到準線的距離之和為（）

A.8 B.7 C.10 D.12 二.填空題： 9.（2004全國Ⅳ）設到

是曲線

上的一個動點，則點

到點的距離與點軸的距離之和的最小值是＿＿＿＿＿。

10.（2005北京）過拋物線為，則圓的焦點

且垂直于軸的弦為，以

為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是＿＿＿＿＿，圓的面積是＿＿＿＿＿。的一條弦，所在11.（2005遼寧）已知拋物線直線與軸交點坐標為（0，2），則＿＿＿＿＿。的焦點在直線

移到點

上，現將拋物線沿處，則平移后所12.（2004黃岡）已知拋物線向量進行平移，且使得拋物線的焦點沿直線得拋物線被軸截得的弦長

＿＿＿＿＿。三.解答題：

13.（2004山東）已知拋物線C：與拋物線交于⑴若以弦兩點。，求的值； 的軌跡方程。的焦點為，直線過定點

且為直徑的圓恒過原點⑵在⑴的條件下，若，求動點

14.（2005四川）如圖，點，是拋物線的焦點，點

為拋物線內一定點，點

為拋物線上一動的最小值為8。

⑴求拋物線方程； ⑵若為坐標原點，問是否存在點，若存在，求動點，使過點的動直線與拋物線交于

兩點，且的坐標；若不存在，請說明理由。

15.（2005河南）已知拋物線拋物線交于⑴求⑵求滿足 ； 的點的軌跡方程。，為頂點，使得

為焦點，動直線。

與兩點。若總存在一個實數

第四篇：拋物線及其標準方程教案

2.3.1拋物線的定義和標準方程 教學目標：

根據課程標準的要求，本節教材的特點及所教學生的認知情況，把教學目標擬定如下： 知識目標：理解拋物線的定義；明確焦點、準線的概念；了解用拋物線的定義推導開口向右的拋物線的標準方程的推導過程進一步得出開口向左、向上、向下的拋物線的標準方程，并熟練掌握拋物線的四種標準方程及其所對應的開口方向、焦點坐標、準線方程之間的關系；

2、能力目標：讓學生感知數學知識與實際生活的普遍聯系，培養學生類比、數形結合的數學思想方法，提高學生的學習能力，同時培養學生運動、變化的辨證唯物主義觀點；

3情感目標：培養學生不怕困難、勇于探索的優良作風，增強學生審美體驗，提高學生的數學思維的情趣，給學生以成功的體驗，形成學習數學知識的積極態度。教學重點和難點：

重點：拋物線的定義；根據具體條件求出拋物線的標準方程；根據拋物線的標準方程求出焦點坐標、準線方程。

難點：拋物線的標準方程的推導。

關鍵：創設具體的拋物線的直觀情景，結合建立坐標系的一般原則，從“對稱美”和“簡潔美”出發作必要的點撥。教學方法 啟發、探索 教學手段

運用多媒體和實物輔助教學 教學過程：

一、新課引入：

1、實例引入：觀察生活中的幾個實例（1）截面圖；（2）衛星接收天線（觀察其軸截面）；（3）太陽灶（觀察其軸截面）；（4）探照燈（觀察其軸截面）；（5）投球時球的運行軌跡（播放動畫演示其軌跡）

2、復習引入：在平面內到一定點的距離和到一條定直線距離的比是常數e 的點的軌跡，當0〈e < 1時是什么圖形？（橢圓）當e > 1時是什么圖形？（雙曲線）

當e = 1時它又是什么圖形呢？（讓學生大膽猜想，猜想后用幾何畫板演示動畫，讓學生認真觀察動點所滿足的條件，讓學生對拋物線由感性認識上升到理性認識）教師指出：畫出的曲線叫拋物線。（類比：使學生看到曲線上任一點到定點和到定直線的距離之比等于常數是圓錐曲線的一個共同的本質屬性，明確拋物線與橢圓、雙曲線之間的聯系）

二、新課講授：

（一）定義：（提問學生，由學生歸納出拋物線定義）

平面內到一定點和到一條不過此點的定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。概念理解：

平面內有——(1)一定點F——焦點

(2)一條不過此點（給出的定點）的定直線l ——準線

探究：若定點F在定直線l 上，那么動點的軌跡是什么圖形？

（是過F點與直線l 垂直的一條直線——直線MF，不是拋物線）

(3)動點到定點的距離 |MF|

(4)動點到定直線的距離 d

(5)| MF| = d

滿足以上條件的動點M的軌跡——拋物線

（二）推導拋物線的標準方程（開口向右）（重點）：

１、要把拋物線上的點Ｍ的集合P={M| |MF|=d}表示為集合Ｑ＝{(x,y)|f(x,y)=0}。首先要建立坐標系，為了使推導出的方程盡量簡化，應如何選擇坐標系？ ［教師引導］建立適當的直角坐標系應遵循的兩點原則： ①若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標軸； ②曲線上的特殊點，可選作坐標系的原點。］

過焦點F作準線l 的垂線交l 于點K，啟發學生思考回答問題：（1）如何確定x軸（或y軸）？

（以對稱軸為坐標軸）

由拋物線的幾何特征知KF是拋物線的對稱軸。（2）如何確定坐標原點？

（曲線上的特殊點，可作為坐標系的原點）

因為線段KF的中點適合條件——到點F的距離等于到直線l 的距離，所以它又在拋物線上——以線段KF的中點為坐標原點。

（3）怎樣建立坐標系才使方程的推導簡化？

［教師引導］通過不同位置的二次函數解析式的對比，聯想拋物線如何建系。讓學生大膽發言，談談自己的觀點（教師要積極鼓勵學生引導學生）

取經過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l 相交于點K，以線段ＫＦ的垂直平分線為y 軸，建立直角坐標系。

２、開口向右的拋物線標準方程的推導：（教師引導得出結論）步驟:（投影展示）

過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與直線l 相交于點K，以線段ＫＦ的垂直平分線為y 軸，建立直角坐標系。

設焦點到準線的距離｜ＫＦ｜= p（p>0）那么，焦點Ｆ的坐標為（p / 2,0）,準線l的方程為x =p/2 頂 點：坐標原點（０，０）開口方向：向右

4、讓同學們類比寫出不同位置的拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程

5、讓學生對這拋物線和它們的標準方程進行對比分析，辨認異同： 相同點：

１、原點在拋物線上； ２、對稱軸為坐標軸； ３、p值的意義：（重點）

（１）表示焦點到準線的距離；（２）p>0為常數;（３）p值等于一次項系數絕對值的一半；

４、準線與對稱軸垂直，垂足與焦點關于原點對稱，它們與原點的距離等于一次項系數的絕對值的１／４，即2p/4=p/2.不同點： 方程

對稱軸

開口方向

焦點位置

X2=2py(p>0)x軸

向右

X軸正半軸上

X2=-2py(p>0)

x軸

向左

X軸負半軸上

Y2=2px(p>0)y軸

向上

Y軸正半軸上

Y2=-2px(p>0)y軸

向下

Y軸負半軸上

三、例題講解：

例1.(1)已知拋物線的標準方程是y2 =6x,求它的焦點坐標和準線方程；(2)已知拋物線的焦點是F(0,-2),求它的標準方程

（解題過程教師要板書，注意版面條理，簡潔，做好起到示范作用）解：（1）p＝3，所以拋物線的焦點坐標是（3/2，0），準線方程是 x＝－3/2．（2）因為拋物線的焦點在軸的負半軸上,且，所以拋物線的標準方程是

例2．求分別滿足下列條件的拋物線的標準方程：（1）焦點坐標是F（－5，0）（2）經過點A（2，－3）解：（1）焦點在x軸負半軸上，＝5，所以所求拋物線 的標準議程是．

（2）經過點A（2，－3）的拋物線可能有兩種標準形式： 點A（2，－3）坐標代入，即9＝4p，得2p＝

點A（2，－3）坐標代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝ ∴所求拋物線的標準方程是y2＝x或x2＝－y。

四、課堂練習：

1、根據下列條件，寫出拋物線的標準方程：（投影展示）（1）焦點是F（3，0）；（2）準線方程是x = ；

（3）焦點到準線的距離是2。

2、根據下列拋物線的焦點坐標和標準方程、準線方程：（投影展示）（1）y 2=20x

(2)x 2=1/2y

(3)2y 2+5x=0

(4)x 2+8y=0 向學生指出，本題是求拋物線的標準方程，所求拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸 總結：要確定拋物線的標準方程，關鍵在于確定p 值及拋物線開口方向；反之亦然。

五、課堂小結：（提學生歸納總結）

1．橢圓、雙曲線與拋物線的定義的聯系及其區別；

2．會運用拋物線的定義、標準方程求它的焦點坐標、準線方程； 3．注重類比及數形結合的思想。

六、作業布置： 課本

P69 1、2 結束時采用拋物線形拱橋為背景，對學生再一次進行數學美育教育，在輕松優美的背景中玩成教學任務?？傊?，拋物線及其標準方程這一節的教學設計，引導學生從感性認識進一步上升到理性認識，對比橢圓、雙曲線、拋物線的區別與聯系，最重要的是引導學生類比開口向右、向左、向上、向下四種拋物線的標準方程、圖形焦點坐標，準線方程，引導學生運用類比和數形結合的思想解決數學問題，對學生進行辯證唯物主義教育和數學美育教育。

第五篇：拋物線及其標準方程

公開課教案

課題：2.4.1拋物線及其標準方程

授課班級：高二18班（實驗樓四樓）授課時間：10.11早上第二節 執教：魏金寶 教學目標：

1.學生理解并掌握拋物線的定義，掌握拋物線的標準方程及其推導。

2.明確拋物線標準方程中P的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標準方程的問題。教學難點：拋物線概念的形成

教學重點：拋物線的標準方程的理解和運用 教學環節：

環節一，回顧橢圓、雙曲線的定義，回顧橢圓和雙曲線的第二定義，引入拋物線。環節二，觀察和分析拋物線的形成過程，得出拋物線的定義并建系求解拋物線的標準方程。

環節三：講解例題，學生課堂練習。環節四：介紹圓錐曲線名稱的來歷。環節五：小結，布置作業。附：教學設計PPT