第一篇：高中數(shù)學(xué)《圓參數(shù)方程的應(yīng)用》教案 新人教A版選修4

圓參數(shù)方程的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：利用圓的幾何性質(zhì)求最值（數(shù)形結(jié)合）過程與方法：能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求圓的參數(shù)方程

情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。教學(xué)重點(diǎn)：會用圓的參數(shù)方程求最值。教學(xué)難點(diǎn)：選擇圓的參數(shù)方程求最值問題.授課類型：復(fù)習(xí)課

教學(xué)模式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).教學(xué)過程：

一、最值問題

221.已知P（x,y）圓C：x+y－6x－4y+12=0上的點(diǎn)。

y（1）求 x 的最小值與最大值

（2）求x－y的最大值與最小值

222.圓x+y=1上的點(diǎn)到直線3x+4y-25=0的距離最小值是

；

/222.圓(x-1)+(y+2)=4上的點(diǎn)到直線2x-y+1=0的最短距離是_______；

223.過點(diǎn)(2,1)的直線中,被圓x+y-2x+4y=0截得的弦：

為最長的直線方程是_________；為最短的直線方程是__________；

224．若實(shí)數(shù)x,y滿足x+y-2x+4y=0，則x-2y的最大值為

；

二、參數(shù)法求軌跡

21)一動點(diǎn)在圓x＋y=1上移動,求它與定點(diǎn)(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程

2)已知點(diǎn)A(2,0),P是x+y=1上任一點(diǎn),?AOP的平分線交PA于Q點(diǎn),求Q點(diǎn)的軌

22跡.C.參數(shù)法

解題思想：將要求點(diǎn)的坐標(biāo)x,y分別用同一個參數(shù)來表示

22例題：1)點(diǎn)P(m,n)在圓x+y=1上運(yùn)動, 求點(diǎn)Q(m+n,2mn)的軌跡方程

22242)方程x+y-2(m+3)x+2(1-4m)y+16m+9=0.若該方

程表示一個圓,求m的取值范圍和圓心的軌跡方程。

三、小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容要求掌握 1．用圓的參數(shù)方程求最值；

2．用參數(shù)法求軌跡方程，消參。

四、作業(yè)：

第二篇：高中數(shù)學(xué)《1.2.1排列》教案4 新人教A版選修2-3

高中新課程數(shù)學(xué)（新課標(biāo)人教A版）選修2-3《1．2．1排列》

教案4

例5．（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？

解：問題可以看作：7個元素的全排列A77＝5040．

（2）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．

（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列——A66=720．

（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有A22種；

第二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有A55種，所以，共有A22?A55=240（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有A5種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有A5種方法，所以

25一共有A5A5＝240025

解法2：（排除法）若甲站在排頭有A6種方法；若乙站在排尾有A6種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有A5種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有A7－2A6＋A5=2400種．

說明：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對某些特殊元素可例6.從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定665765不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？

15解法一：（從特殊位置考慮）A9A9?136080；

56解法二：（從特殊元素考慮）若選：5?A9；若不選：A9，56則共有5?A9?A9?136080種；

65解法三：（間接法）A10?A9?136080

第三篇：高中數(shù)學(xué) 《圓與方程》教案

圓的一般方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握圓的一般方程的特點(diǎn)；能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

使學(xué)生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方程，培養(yǎng)學(xué)生用配方法和待定系數(shù)法解決實(shí)際問題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過對待定系數(shù)法的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)知識和基本方法打下牢固的基礎(chǔ)．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標(biāo)和半徑；(2)能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程．

(解決辦法：(1)要求學(xué)生不要死記配方結(jié)果，而要熟練掌握通過配方求圓心和半徑的方法；(2)加強(qiáng)這方面題型訓(xùn)練．)2．難點(diǎn)：圓的一般方程的特點(diǎn)．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生分析得出圓的一般方程的特點(diǎn)，并加以記憶．)3．疑點(diǎn)：圓的一般方程中要加限制條件D2+E2-4F＞0．(解決辦法：通過對方程配方分三種討論易得限制條件．)

三、活動設(shè)計(jì)

講授、提問、歸納、演板、小結(jié)、再講授、再演板．

四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)引入新課

前面，我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現(xiàn)將展開可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可見，任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0．請大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓？下面我們來深入研究這一方面的問題．復(fù)習(xí)引出課題為“圓的一般方程”．

(二)圓的一般方程的定義

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡 將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：

(1)(1)當(dāng)D2+E2-4F＞0時，方程(1)與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可以看出方程

半徑的圓；

(3)當(dāng)D2+E2-4F＜0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形． 這時，教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的軌跡分別是圓、法．

2．圓的一般方程的定義

當(dāng)D2+E2-4F＞0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程．

同時強(qiáng)調(diào)：由圓的一般方程求圓心坐標(biāo)和半徑，一般用配方法，這要熟練掌握． 例2 求過三點(diǎn)O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圓的方程． 解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圓上，則有

解得：D=-8，E=6，F(xiàn)=0，故所求圓的方程為x2+y2-8x+6=0． 例2小結(jié)：

1．用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：

(1)根據(jù)題意設(shè)所求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或一般式；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所設(shè)方程，就得要求的方程． 2．關(guān)于何時設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，何時設(shè)圓的一般方程：一般說來，如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系，往往設(shè)圓的一般方程．再看下例： 例3 求圓心在直線 l：x+y=0上，且過兩圓C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程．

(0，2)．

設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，因?yàn)閮牲c(diǎn)在所求圓上，且圓心在直線l上所以得方程組為

故所求圓的方程為：(x+3)2+(y-3)2=10． 這時，教師指出：

(1)由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)此題也可以用圓系方程來解： 設(shè)所求圓的方程為：

x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：

由圓心在直線l上得λ=-2．

將λ=-2代入所假設(shè)的方程便可得所求圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圓與圓的位置關(guān)系中再介紹，此處為學(xué)生留下懸念． 的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線． 此例請兩位學(xué)生演板，教師巡視，并提示學(xué)生：

(1)由于曲線表示的圖形未知，所以只能用軌跡法求曲線方程，設(shè)曲線上任一點(diǎn)M(x，y)，由求曲線方程的一般步驟可求得；

(2)應(yīng)將圓的一般方程配方成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)、半徑，畫出圖形．(五)小結(jié)

1．圓的一般方程的定義及特點(diǎn)； 2．用配方法求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑；

第四篇：高中數(shù)學(xué) 第2章《參數(shù)方程》教案 新人教版選修4-4

參數(shù)方程

考點(diǎn)要求 了解參數(shù)方程的定義。分析直線，圓，圓錐曲線的幾何性質(zhì)。會選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫出他們的參數(shù)方程。并理解直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù)的意義。3掌握曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化。

考點(diǎn)與導(dǎo)學(xué)

1參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中。如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個變量t的函數(shù)?x?f(t)(t?T)

（1）?y?g(t)?這里T是f(t),g(t)的公共定義域。并且對于t的每一個允許值。由方程（1）所確定的點(diǎn)

M(x,y)。都在這條曲線上；那么（1）叫做這條曲線的參數(shù)方程，輔助變數(shù)t叫做參數(shù)。

2過點(diǎn)p0(x0,y0),傾斜角為?的直線l的參數(shù)方程 ?x?x0?tcos?（錯誤！未找到引用源。）??y?y0?tsin?（t為參數(shù)）

（錯誤！未找到引用源。）通常稱（錯誤！未找到引用源。）為直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。其中t表示p0(x0,y0),到l上一點(diǎn)p(x,y)的有向線段p0p的數(shù)量。

t>0時，p在p0上方或右方；t<0時，p在p0下方或左方，t=0時，p與p0重合。?x?x0?at（錯誤！未找到引用源。）直線的參數(shù)方程的一般形式是：?（t為參數(shù)）

y?y?bt0?這里直線l的傾斜角?的正切tan??ab（??0或??90時例外）。當(dāng)且僅當(dāng)a?b?10022且b>0時.（1）中的t才具有（錯誤！未找到引用源。）中的t所具有的幾何意義。2 圓的參數(shù)方程。

?x?x0?rcos?圓心在點(diǎn)o(x0,y0),半徑為r的圓的參數(shù)方程是?（?為參數(shù)）

y?y?rsin?0?'3 橢圓xa22?yb22?x?acos??1的參數(shù)方程。?（?為參數(shù)）

y?bsin??4 雙曲線xa22?yb22?x?asec??1的參數(shù)方程：?（?為參數(shù)）

?y?btan?5 拋物線y2?x?2pt2?2px的參數(shù)方程。?（t為參數(shù)）

y?2pt?用心

愛心

專心

?x?1?2t例1 已知某曲線C的參數(shù)方程為?（其中t是參數(shù)，a?R）,點(diǎn)M（5，4）在該曲2y?at?線上。（1）求常數(shù)a；（2）求曲線C的普通方程。

例2 圓M的參數(shù)方程為x2?y2?4Rxcos??4Rysin??3R2?0（R>0）.(1)求該圓的圓心的坐標(biāo)以及圓M的半徑。（2）當(dāng)R固定，?變化時。求圓心M的軌跡。并證明此時不論?取什么值，所有的圓M都外切于一個定圓。例3已知A，B分別是橢圓

x236?y29?1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動，求?ABC的重心的軌跡的普通方程。

例4求經(jīng)過點(diǎn)（1，1）。傾斜角為135的直線截橢圓〔解題能力測試〕

1?x?(a???21 已知某條曲線的參數(shù)方程為：??y?1(a??2?1a1a)0x24?y2?1所得的弦長。

其中a是參數(shù)。則該曲線是（）)A 線段

B 圓

C 雙曲線的一部分

D 圓的一部分

2??x?3t?22 已知某條曲線的參數(shù)方程為?(0?t?5)則該曲線是（）

2??y?t?1A 線段

B 圓弧

C 雙曲線的一支

D 射線 3實(shí)數(shù)x,y滿足x216?y29?1，則z?x?y的最大值為：

；最小值為。

4已知直線l的斜率為k??1.經(jīng)過點(diǎn)M0(2,?1)。點(diǎn)M在直線上，以????的數(shù)量t為MM0參數(shù).則直線l的參數(shù)方程為：。

?x?1?tsin??5 已知直線l的參數(shù)方程是?（t為參數(shù)）其中實(shí)數(shù)?的范圍是(,?)。

2?y??2?tcos?則直線l的傾斜角是：。

〔潛能強(qiáng)化訓(xùn)練〕

?x?sin?1 在方程?（?為參數(shù)）所表示的曲線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

y?cos2??A(2,?7)

B(,)

C(,)

D(1,0)

3322212112下列參數(shù)方程（t為參數(shù)）與普通方程x?y?0表示同一曲線的方程是（）

用心

愛心

專心

?x?cost?x?tA ?

B ?

C 2?y?cost?y?t?x?tant?1?cos2t

D ??y?1?cos2t??x?tant?1?cos2t ??y?1?cos2t??x?2cos?3 直線3x?4y?9?0與圓?（?為參數(shù)）的位置關(guān)系是（）

y?2sin??A 相切

B 相離

C 直線過圓心

D 相交但直線不過圓心。4 設(shè)直線??x?1?tcos??y?2?tsin?（t為參數(shù)）。如果?為銳角，那么直線l1到直線l2:x?1?0 的角是（）A ?2??

B ?2??

C ?

D ???

x25 過點(diǎn)（1，1），傾斜角為135的直線截橢圓

o4?y2?1所得的弦長為（）

A 22B ?x?425

C

2D

325 雙曲線?3tan?（?為參數(shù)），那么它的兩條漸近線所成的銳角是：。

?y?sec??x?sin2?7 參數(shù)方程?（?為參數(shù)）表示的曲線的普通方程是：。

y?sin??cos??28 已知點(diǎn)M（2，1）和雙曲線x?y22求以M為中點(diǎn)的雙曲線右支的弦AB所在直線l的?1，方程。已知橢圓的中心在原點(diǎn)。焦點(diǎn)在y軸上且長軸長為4，短軸長為2。直線l的參數(shù)方程為

?x?t??y?m?2t（t為參數(shù)）。當(dāng)m為何值時，直線l被橢圓截得的弦長為6？

１0、求橢圓x216?y212?1上的點(diǎn)到直線?:x?2y?12?0的最大距離和最小距離。

〔知識要點(diǎn)歸納〕

1． 參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的一種表示形式，而且有的參數(shù)還有幾何意義或物理意義。

2． 面臨一個軌跡問題，如何選擇參數(shù)？如何用參數(shù)？是主要問題，必須在學(xué)習(xí)過程中深刻去

用心

愛心

專心

領(lǐng)會。

3． 在參數(shù)方程與普通方程互化過程中，要注意等價性。

?1?2t?5?t?2解：（1）由題意可知有?2故 ? ∴a?1

a?1??at?4?x?1?2tx?1（2）由已知及（1）可得，曲線C的方程為?由第一個方程得代入第二個t?22?y?t方程得：y?(x?12)。即(x?1)22?4y為所求。

〔點(diǎn)評〕 參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，并且要保證等價性。若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過x?f(t),y?g(t)。根據(jù)t的取值范圍導(dǎo)出x,y的取值范圍。解：（1）依題意得 圓M的方程為(x?2Rcos?)2?(y?2Rsin?)2?R2 故圓心的坐標(biāo)為M（2Rcos?,2Rsin?).半徑為R。

?x?2Rcos?（2）當(dāng)?變化時，圓心M的軌跡方程為?（其中?為參數(shù)）兩式平方相加得

y?2Rsin??x?y22?4R。所以所有的圓M的軌跡是圓心在原點(diǎn)。半徑為2R的圓

222由于(2Rcos?)?(2Rsin?)(2Rcos?)?(2Rsin?)222?2R?3R?R?2R?R?R所以所有的圓M都和定圓x2?y2?R2外22切，和定圓x?y?9R內(nèi)切。

〔點(diǎn)評〕本題中所給的方程中含有多個參數(shù)，像這樣的問題有時容易分不清哪個是真正的參數(shù)，究竟在具體的題目中哪個是真正的參數(shù)應(yīng)視題目給定的條件，分清參數(shù)。解：由動點(diǎn)C在橢圓上運(yùn)動，可設(shè)C的坐標(biāo)為（6cos?,3sin?）,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x,y).依題意可知：A（6，0），B（0，3）由重心坐標(biāo)公式可知

6?0?6cos??x??2?2cos??x?2??cos?(1)??322 由此得：(1)?(2)得 ??2?y?1?sin?(2)?y?0?3?3sin??1?sin???3?(x?2)422?(y?1)?1即為所求。

〔點(diǎn)評〕錯誤！未找到引用源。本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對于解決相關(guān)問題的優(yōu)越性。運(yùn)用參數(shù)方程顯得很簡單。運(yùn)算更簡便。常用于解決有關(guān)最值問題。錯誤！未找到引用

用心

愛心

專心

源。“平方法”是消參的常用方法。

?2t?x?1??2解：由條件可知直線的參數(shù)方程是：?（t為參數(shù)）代入橢圓方程可得：

2?y?1?t?2?2242(1?t)?(1?22t)?1 即252t?32t?1?0設(shè)方程的兩實(shí)根分別為t1,t2。

2?62?t1?t2???5則?則直線截橢圓的弦長是 t1?t2??tt?212?5?(t1?t2)?4t1t2?2625

〔點(diǎn)評〕利用直線參數(shù)方程的幾何意義求弦長的常用方法。但必須注意：直線的參數(shù)方程必?x?x0?at須是標(biāo)準(zhǔn)形式。即 ?（t為參數(shù)）當(dāng)a2?b2?1且b>0時才是標(biāo)準(zhǔn)形式。若不滿?y?y0?btb2足a2?b2?1且b>0兩個條件。則弦長為 d=1?()t1?t2

a

四、參數(shù)方程

〔解題能力測試〕

?2x?2?t?3??2?? 1．C

2、A 3、5，-5

4、? 5、22?y??1?t??2〔潛能強(qiáng)化訓(xùn)練〕

1、C

2、D

3、C

4、B

5、B 6、60

7、y?x?1(?1?x?1)455455028、4x?y?9?0

9、m??

10、dmax?45dmin?

用心

愛心

專心

第五篇：21《參數(shù)方程的概念--曲線的參數(shù)方程》教案(新人教選修4-4)(精)[定稿]

曲線的參數(shù)方程

教學(xué)目標(biāo)

1．通過圓及彈道曲線的參數(shù)方程的建立，使學(xué)生理解參數(shù)方程的概念，初步掌握求曲線的參數(shù)方程的思路． 2．通過彈道曲線的參數(shù)方程的建立及選取不同參數(shù)建立圓的參數(shù)方程，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)能力以及解決實(shí)際問題的能力．

3．從彈道曲線的方程的建立,對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的返璞歸真教育,使學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐的真諦,幫助學(xué)生樹立空間和時間是運(yùn)動物體的形式這一辯證唯物主義觀點(diǎn)． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

曲線參數(shù)方程的探求及其有關(guān)概念是本節(jié)課的重點(diǎn);難點(diǎn)是彈道曲線參數(shù)方程的建立． 教學(xué)過程

師:滿足什么條件時,一個方程才能稱作曲線的方程,而這條曲線才能夠稱作方程的曲線? 生:1.必須同時滿足兩個條件：（１）曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解；（２）同時以這個方程的第一組解作為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．那么，這個方程就稱作曲線的方程，而這條曲線就稱作這個方程的曲線． 師：請寫出圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓Ｏ的方程，并說明求解方法．

(師板書——⊙O:)師：求圓的方程事實(shí)上是探求圓上任一點(diǎn)Ｍ（x,y）的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式.能用別的方法來探x、y之間的關(guān)系嗎？ 生：……

師：（誘導(dǎo)一下）不用剛才的方法給我們直接求x、y的關(guān)系帶來了困難，能否考慮用間接的方法來求？即在x、y之間是否能建立一座橋梁，使之聯(lián)系起來？（計(jì)算機(jī)演示動畫，如圖３－１）

師：驅(qū)使Ｍ運(yùn)動的因素是什么？ 生：旋轉(zhuǎn)角θ.師：當(dāng)我們把x軸作為θ角始邊，并使ＯＭ繞Ｏ點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，請考慮θ在什么范圍內(nèi)取值就可以形成整個圓了？

生：

師：至此x、y之間的關(guān)系已通過θ聯(lián)系起來了，誰能具體地說說它們之間的關(guān)系？

生3：

（c∈[0,2π],θ為變量，r為常數(shù)）

（生３敘述，師板書）師：①式是⊙Ｏ的方程嗎？ 生４：①式是⊙Ｏ的方程.師：請說明理由.生４：（生４敘述，師板書）（１）任取⊙Ｏ上一點(diǎn)，顯然滿足方程①；，總存在，由三角函數(shù)定義知

（２）任取, 由①得即M（）． 所以

所以

Ｍ在⊙Ｏ上.由（１）、（２）知①是⊙Ｏ的方程.．

師：既然①是⊙Ｏ的方程，那么它應(yīng)該和生：能，消去θ即可．

是一致的，兩者能統(tǒng)一起來嗎？

師：這里，我們從另一個角度重新審視了圓，通過第三個變量θ把圓上任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)x、y聯(lián)系了起來，獲得了圓的方程的另一種形式.通過間接的方法把某兩個變量聯(lián)系起來的例子不僅幾何中有，在生產(chǎn)實(shí)踐、軍事技術(shù)、工程建設(shè)中也有.特別在兩個變量之間的直接關(guān)系不易建立時，常用間接的方法將它們聯(lián)系起來.請同學(xué)們再看一個例子.炮兵在射擊目標(biāo)時，需要考慮炮彈的飛行軌跡、射程等等.現(xiàn)在，我們假設(shè)一個炮兵射擊目標(biāo)，炮彈的發(fā)射角為α，發(fā)射的初速度為ν０.請同學(xué)們幫他求出彈道曲線的方程。（不計(jì)空氣阻力）

師：同學(xué)們是否知道炮彈飛行軌跡的形狀？請同學(xué)們大概地畫一下.（師從同學(xué)們畫出的圖形中，選出一種畫在黑板上，如圖３－２.）

師：一般同學(xué)們都知道是軌物線的一段.現(xiàn)在的問題就是怎樣求彈道曲線的方程（即點(diǎn)的軌跡方程），請思考求點(diǎn)的軌跡方程的首要工作是什么？ 生：建系.師：怎樣建系？（請同學(xué)們自行建系）

（師將同學(xué)們４種不同的建系方式依樣畫在黑板上或用投影儀直接打出。如圖３－３－（１）、（２）、（３）、（４））

師：怎樣建系由我們自己決定，然而我們總希望建立的坐標(biāo)系較合乎常理，且使問題的求解方便一些，方程簡單一些.現(xiàn)在請同學(xué)們從上述４種建系方式中選擇較恰當(dāng)?shù)囊环N.生：（較一致地否定了（１）、（２），對（３）、（４）眾說紛紜.）

師：（引導(dǎo)學(xué)生作常規(guī)分析）炮彈飛行與時間t有關(guān)，當(dāng)t=0時，炮彈還在炮口位置，它是炮彈飛行的初始位置（起始點(diǎn)），這個起始點(diǎn)放在坐標(biāo)系的什么位置才較好地合乎常理呢？

生：放在原點(diǎn)位置，即取炮口為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，建立直角坐標(biāo)系，因此選圖３－３（４）.師：坐標(biāo)系建立起來了，接著該做什么了呢？ 生：設(shè)標(biāo)，設(shè)炮彈發(fā)射后的位置為Ｍ（x，y）.師：下面該進(jìn)行哪一步了？ 生：列式.師：怎么列？x與y之間的直接關(guān)系明顯嗎？ 生：不明顯.師：那么怎樣把x、y之間的關(guān)系聯(lián)系起來呢？

生５：像剛才用第三變量θ表示圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系一樣，通過間接的辦法把x、y聯(lián)系起來.師：很好！那么這里的第三變量是什么呢？它又能怎樣把x、y聯(lián)系起來呢？

生５：剛才圓上點(diǎn)Ｍ是依賴于角θ的運(yùn)動而運(yùn)動的，第三變量就選擇了θ，我想這里要把x、y之間的關(guān)系建立起來，也要分析一下炮彈的運(yùn)動方式，看看炮彈的位置是依賴于哪個量的變化而變化的.師：非常好！讓我們一起來分析炮彈的運(yùn)動方式.這里，炮彈的運(yùn)動實(shí)際上是物理學(xué)中的斜拋運(yùn)動.炮彈在水平方向作勻速直線運(yùn)動，在豎直方向上作豎直上拋運(yùn)動（由于受重力作用，炮彈作初速度不為零的勻速直線運(yùn)動）.顯然在x、y分別是炮彈飛行過程中的水平位移和豎直位移（豎直高度），因此“怎樣列式”事實(shí)上是解決如何刻畫水平位移和豎直位移的問題.故應(yīng)考慮運(yùn)動物體的位移與哪些量有關(guān).生：和速度、時間有關(guān).師：這里既有水平位移，又有豎直位移，那么在水平方向的初速度和豎直方向的初速度分別是多少？ 生６：（如圖３－４）在水平方向的初速度是ν0cosα,在豎直方向的初速度是ν0cosα.（生６口述，師標(biāo)在圖３－４上）

師：時間有嗎？ 生：沒有.師：怎么辦？ 生：設(shè)出來，設(shè)為t.師：現(xiàn)在能分別求x和y了嗎？

生６：能！師：能對豎直方向上的位移作一解釋嗎？

．

生７：在豎直方向上，炮彈作豎直上拋運(yùn)動，即炮彈受重力的作用作初速度不為零的勻減速直線運(yùn)動.所以

．

師：這里我們把水平位移和豎直位移都用時間t表示出來了，即把x、y都表示成了t的函數(shù)，t是否應(yīng)該有一個確定的范圍？ 生：有，令y=0，故0≤t≤．

師：當(dāng)生：剛落地.時，炮彈運(yùn)動到什么位置了？

師：不錯！是炮彈的落地時刻，為書寫方便，我們記, 則：(0≤t≤T)

②

師：（挑戰(zhàn)性的）這個方程組表示的是彈道曲線的方程嗎？ 生：是.師：誰能簡要地作一下說明？

生８：顯然，任給軌跡上一點(diǎn),由方程組的建立過程知其坐標(biāo)x0、y０適合方程組；反之當(dāng)t在內(nèi)任取某一個值時，由方程組②就可確定當(dāng)時炮彈所在位置（即表示炮彈的點(diǎn)在曲線上）.故②就是炮彈飛行的軌跡方程.師：很好！前面我們舉了兩個例子，這兩個方程組有一個共同的特點(diǎn)，就是曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不是直接的，而是通過第三個變量間接地聯(lián)系起來的.例1中旋轉(zhuǎn)角θ參與了方程組的建立，且x、y都是θ的函數(shù)；例2中時間t參與了方程組的建立，且x、y都是t的函數(shù).這些特點(diǎn)是以前建立的直接反映x、y關(guān)系的方程所不具備的，它和我們以前所熟悉的曲線的方程表達(dá)形式是不一樣的，誰能給這樣的曲線方程起個名字嗎？

生：參數(shù)方程.（師隨即寫出課題——參數(shù)方程，指出聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).）

師：例１中我們看到圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y，都是參數(shù)θ的函數(shù)，且對于內(nèi)的任意一個θ值，由①所確定的點(diǎn)Ｍ（x、y）都在圓上；例２中，我們看到炮彈的任意一個位置，即軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是t的函數(shù)，且對于任一個t的允許值，由②確定的點(diǎn)Ｍ（x、y）都在軌跡上.這樣的方程我們剛才稱它為參數(shù)方程，誰能通過剛才的例子，歸納出一般曲線的參數(shù)方程的定義？

生９：（定義）在給定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)③且對于t的每一個允許值，由③所確定的點(diǎn)Ｍ（x、y）都在這條曲線上，則③就叫做這條曲線的參數(shù)方程，t稱作參變數(shù)，簡稱參數(shù).（生９途述，師板書）

師：相對于參數(shù)方程來說，以前的方程是有所不同的（顯得那樣的普通）.為了區(qū)別起見，我們把以前學(xué)過的方程稱作曲線的普遍方程.師：從上面兩個例子看出，參數(shù)可以有明確的幾何意義（例子中的旋轉(zhuǎn)角θ——，主何的也可以有顯的物理意義（例２中的時間t——物理的.）事實(shí)上，除此之外，還可以是沒有明顯意義的變數(shù)，即使是同一條曲線，也可以用不同的變數(shù)作參數(shù).請同學(xué)們考慮，在例１中還可以用什么變數(shù)作參數(shù)？ 生１０：設(shè)弧長l為參數(shù)，由于l=rθ，故θ=lr，所以(l是參數(shù)，0≤l≤2πr)．（生１０敘述，師板書）

師：還可以用別的變數(shù)作參數(shù)嗎？ 生：……

師：（點(diǎn)撥一下）前面我們用旋轉(zhuǎn)角θ作為參數(shù)，θ可以用什么表示？

生１１：明白了，可設(shè)Ｍ的角速度為ω，運(yùn)動所用時間為t，旋轉(zhuǎn)角為θ，則θ=ωt.所以(t為參數(shù)，０≤t≤.（生１１敘述，師板書）

師：曲線參數(shù)方程的建立，不但能使曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)較容易通過參數(shù)聯(lián)系起來，同時某些情況下還可較好地反映變數(shù)的實(shí)際意義，如例２中，x 表示炮彈飛行的水平位移，y表示炮彈飛行的豎直高度.能求出炮彈的最大水平射程和相應(yīng)的最大豎直高度嗎？ 生：能！

師：請一位同學(xué)具體說說.生１２：上面曾求得炮彈落地時刻t=2ν0sinα g, 當(dāng)t=2ν0sinα g時，x=v0cosα·g 2v0sinα g=v0sin2α g, 當(dāng)２α=π 2,即α=π ４時，x最大=ν

202 g.此時，即當(dāng)α=π 4,t=ν0sinα g時，y最大=ν0sinα·ν0sinα g-12gv0sinα g= v0sinα 2g=v0(2 2)2g=v0 4g.（生１２敘述，師板書）師：今天這節(jié)課上，通過兩個具體問題的研究，我們自行給出了參數(shù)方程的定義（口述），并且明確了參數(shù)的意義（結(jié)合例題口述），初步掌握了求曲線參數(shù)方程的思路.通過彈道曲線參數(shù)方程的探求，使我們體會到了數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐的真諦，培養(yǎng)了我們善于思考，勇于探索的精神.今天的作業(yè)——第１２０頁第１題.設(shè)計(jì)說明

１．未來社會對人才素質(zhì)的要求越來越高.高素質(zhì)人才的培養(yǎng)對學(xué)校教育提出了更高的要求.由于人的素質(zhì)是多方面的，因此課堂教學(xué)的目的不但要向?qū)W生傳授科學(xué)知識，而且還要努力發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的能力，培養(yǎng)學(xué)生的個性品質(zhì).顯然這種多元化的教學(xué)目標(biāo)對于全面提高學(xué)生的素質(zhì)有著重要的作用.本節(jié)課的3個教學(xué)目標(biāo)正是據(jù)于這樣的思考而制定的.２．這節(jié)課按如下６個步驟逐漸展開：（１）圓的參數(shù)方程；（２）彈道曲線的參數(shù)方程； ①請學(xué)生幫助炮兵求彈道曲線的方程； ②讓學(xué)生由熟悉的感知事實(shí)得抽象的幾何圖形； ③選擇原點(diǎn)，恰當(dāng)建系；

2④分析炮彈運(yùn)動方式，恰當(dāng)選擇參數(shù)； ⑤建立方程，檢驗(yàn)二性（純粹性，完備性）；（3）參數(shù)方程的一般定義；

（４）兩個例子的進(jìn)一步研究（兼作例題）；（５）課堂小結(jié)；（６）布置作業(yè).主要據(jù)于如下理由：

相對于彈道曲線來說，學(xué)生對圓感到既熟悉，又簡單.從簡單而又熟悉的圓開始研究，符合循序漸進(jìn)的原則，縮短了學(xué)生思維的“跨度/加快了學(xué)生思維的步伐，為學(xué)生利用類比的方法，進(jìn)一步研究彈道曲線的方程（參數(shù)方程），提供了可參照的“樣本”.這對于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力都是十分有益的.在探求彈道曲線的參數(shù)方程中，如果按教材中直接取炮口為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，建立直角坐標(biāo)系，并直接由物理學(xué)中的勻速直線運(yùn)動和豎直上拋運(yùn)動的位移公式得參數(shù)方程

（t為參數(shù)），那么，２（２）中的①、②、③、④步均可省略.這種直接地把知識和盤托出的教法（其實(shí)是“奉送”）確能使課堂上節(jié)約不少時間，然而對于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意義，發(fā)揮學(xué)生的主體參與，揭示知識的形成過程，誘發(fā)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)新知識都起不到任何作用.這里插入步驟①、②、③、④，則充分調(diào)動了主體的積極性，各類學(xué)生都情不自禁地加入到探索、求知的行列.整個知識的形成過程，猶如“歷史在戲劇中的重演”，而學(xué)生正是這一“歷史劇”中的演員，教師則是導(dǎo)演.同時，學(xué)生還能從中品味發(fā)現(xiàn)新知識的樂趣，體會知識的應(yīng)用價值.常此以往，堅(jiān)持不懈，學(xué)生的素質(zhì)必將得到極大的提高.通過圓及彈道曲線的參數(shù)方程的特點(diǎn)分析，讓學(xué)生自行給分類方程命名，這種把命名權(quán)交給學(xué)生的做法極大地尊重了學(xué)生的主體地位，強(qiáng)化了學(xué)生的主體意識.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生給出曲線參數(shù)方程的一般定義.旨在培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象的推理能力.第（４）步中，將兩個例子作了進(jìn)一步研究.通過對圓的參數(shù)方程的不同表述，使學(xué)生體會到對同一個問題，可以選取不同的變數(shù)作參數(shù).既培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散思維的能力，又培養(yǎng)了學(xué)生優(yōu)化選擇的意識.而對炮彈最大水平射程和相應(yīng)的最大豎直高度的求解，一方面可使學(xué)生明了本題中通過參數(shù)t聯(lián)系起來的x、y的最大值，有著鮮明的實(shí)際意義（幾何的），另一方面又與前面提出的炮彈射擊目標(biāo)的例子中需要考慮的射程問題前后呼應(yīng)，使學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐的真諦.