極坐標與參數方程

一．選擇題（共16小題）

1．化極坐標方程ρ2cosθ﹣ρ=0為直角坐標方程為（）

A．x2+y2=0或y=1

B．x=1

C．x2+y2=0或x=1

D．y=1

2．在極坐標方程中，曲線C的方程是ρ=4sinθ，過點（4，）作曲線C的切線，則切線長為（）

A．4

B．

C．2

D．2

3．已知點M的極坐標為，那么將點M的極坐標化成直角坐標為（）

A．

B．

C．

D．

4．點M的直角坐標是，則點M的極坐標為（）

A．

B．

C．

D．

5．極坐標方程分別是ρ=cosθ和ρ=sinθ的兩個圓的圓心距是（）

A．2

B．

C．1

D．

6．曲線的極坐標方程ρ=4sinθ化為直角坐標為（）

A．x2+（y+2）2=4

B．x2+（y﹣2）2=4

C．（x﹣2）2+y2=4

D．（x+2）2+y2=4

7．在極坐標系中，圓ρ=﹣2sinθ的圓心的極坐標是（）

A．

B．

C．（1，0）

D．（1，π）

8．過點（2，）且平行于極軸的直線的坐標方程為（）

A．ρsinθ=

B．ρcosθ=

C．ρsinθ=2

D．ρcosθ=2

9．在極坐標系中，圓ρ=2cosθ的半徑為（）

A．

B．1

C．2

D．4

10．與參數方程為（t為參數）等價的普通方程為（）

A．x2+=1

B．x2+=1（0≤x≤1）

C．x2+=1（0≤y≤2）

D．x2+=1（0≤x≤1，0≤y≤2）

11．若直線，（t為參數）與圓，（θ為參數）相切，則b=（）

A．﹣4或6

B．﹣6或4

C．﹣1或9

D．﹣9或1

12．已知直線l的參數方程為（t為參數），則其直角坐標方程為（）

A．x+y+2﹣=0

B．x﹣y+2﹣=0

C．x﹣y+2﹣=0

D．x+y+2﹣=0

13．若直線y=x﹣b與曲線（θ∈[0，2π））有兩個不同的公共點，則實數b的取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．

14．參數方程（θ為參數）化為普通方程是（）

A．2x﹣y+4=0

B．2x+y﹣4=0

C．2x﹣y+4=0，x∈[2，3]

D．2x+y﹣4=0，x∈[2，3]

15．直線y=2x+1的參數方程是（）

A．（t為參數）

B．（t為參數）

C．（t為參數）

D．（θ為參數）

16．把方程xy=1化為以t參數的參數方程是（）

A．

B．

C．

D．

二．解答題（共12小題）

17．已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ=2，．

（1）把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）求經過兩圓交點的直線的極坐標方程．

18．在直角坐標系xOy中，直線C1：x=﹣2，圓C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．

（Ⅰ）求C1，C2的極坐標方程；

（Ⅱ）若直線C3的極坐標方程為θ=（ρ∈R），設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積．

19．在極坐標系中，已知圓C的圓心C（，），半徑r=．

（Ⅰ）求圓C的極坐標方程；

（Ⅱ）若α∈[0，），直線l的參數方程為（t為參數），直線l交圓C于A、B兩點，求弦長|AB|的取值范圍．

20．已知直線l的參數方程是（t為參數），圓C的極坐標方程為ρ=2cos（θ+）．

（Ⅰ）求圓心C的直角坐標；

（Ⅱ）由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值．

21．在直角坐標系xOy中以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系．圓C1，直線C2的極坐標方程分別為ρ=4sinθ，ρcos（）=2．

（Ⅰ）求C1與C2交點的極坐標；

（Ⅱ）設P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點，已知直線PQ的參數方程為（t∈R為參數），求a，b的值．

22．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcos（）=1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點．

（1）寫出C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標；

（2）設MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程．

23．已知P為半圓C：（θ為參數，0≤θ≤π）上的點，點A的坐標為（1，0），O為坐標原點，點M在射線OP上，線段OM與C的弧的長度均為．

（1）以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求點M的極坐標；

（2）求直線AM的參數方程．

24．已知直線l：（t為參數）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的坐標方程為ρ=2cosθ．

（1）將曲線C的極坐標方程化為直坐標方程；

（2）設點M的直角坐標為（5，），直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|?|MB|的值．

25．極坐標系的極點為直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，已知曲線C的極坐標方程為ρ=2（cosθ+sinθ）．

（1）求C的直角坐標方程；

（2）直線l：為參數）與曲線C交于A，B兩點，與y軸交于E，求|EA|+|EB|的值．

26．在平面直角坐標系中，曲線C1的參數方程為（?為參數），以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2是圓心在極軸上且經過極點的圓，射線與曲線C2交于點．

（1）求曲線C1，C2的普通方程；

（2）是曲線C1上的兩點，求的值．

27．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（為參數），曲線C的參數方程為（t為參數）．試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點的坐標．

參考答案與解析

一．選擇題

解：∵ρ2cosθ﹣ρ=0，∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0，∵，∴x2+y2=0或x=1，故選C．

2．解：ρ=4sinθ化為普通方程為x2+（y﹣2）2=4，點（4，）的直角坐標是A（2，2），圓心到定點的距離及半徑構成直角三角形．

由勾股定理：切線長為．

故選C．

3．解：由點M的極坐標為，∴xM=5=﹣，=，∴M．

故選：D．

4．解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=，結合點在第二象限得：θ=，則點M的極坐標為．

故選C．

5．解：由ρ=cosθ，化為直角坐標方程為x2+y2﹣x=0，其圓心是A（，0），由ρ=sinθ，化為直角坐標方程為x2+y2﹣y=0，其圓心是B（0，），由兩點間的距離公式，得AB=，故選D．

6．解：曲線的極坐標方程ρ=4sinθ

即

ρ2=4ρsinθ，即

x2+y2=4y，化簡為x2+（y﹣2）2=4，故選：B．

7．解：將方程ρ=﹣2sinθ兩邊都乘以p得：

ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐標方程為

x2+y2+2y=0．圓心的坐標（0，﹣1）．

∴圓心的極坐標

故選B．

8．解：由點（2，）可得直角坐標為，即．

設P（ρ，θ）為所求直線上的任意一點，則，即．

故選：A．

9．解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，化為直角坐標方程得x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1．

∴圓ρ=2cosθ的半徑為1．

故選：B．

10．解：由參數方程為，∴，解得0≤t≤1，從而得0≤x≤1，0≤y≤2；

將參數方程中參數消去得x2+=1．

因此與參數方程為等價的普通方程為．

故選D．

11．解：把直線，（t為參數）與圓，（θ為參數）的參數方程分別化為普通方程得：

直線：4x+3y﹣3=0，圓：x2+（y﹣b）2=9，∵此直線與該圓相切，∴，解得b=﹣4，或6．

故選A．

12．解：因為直線l的參數方程為（t為參數），消去參數t，得直線l的直角坐標方程為y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+2﹣=0．

故選：B．

13．解：化為普通方程（x﹣2）2+y2=1，表示圓，因為直線與圓有兩個不同的交點，所以解得

法2：利用數形結合進行分析得，∴

同理分析，可知．

故選D．

14．解：由條件可得

cos2θ=y+1=1﹣2sin2θ=1﹣2（x﹣2），化簡可得2x+y﹣4=0，x∈[2，3]，故選D．

15．解：∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1），令x+1=t，則y+1=2t，可得，即為直線y=2x+1的參數方程．

故選：B．

16．解：xy=1，x可取一切非零實數，而A中的x的范圍是x≥0，不滿足條件；

B中的x的范圍是﹣1≤x≤1，不滿足條件；

C中的x的范圍是1≤x≤1，不滿足條件；

故選D

二．解答題

17．解：（1）ρ=2?ρ2=4，所以x2+y2=4；因為，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（5分）

（2）將兩圓的直角坐標方程相減，得經過兩圓交點的直線方程為x+y=1．

化為極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ=1，即．（10分）

18．解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2的極坐標方程為

ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的極坐標方程為：

（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化簡可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．

（Ⅱ）把直線C3的極坐標方程θ=（ρ∈R）代入

圓C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圓C2的半徑為1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面積為?C2M?C2N=?1?1=．

19．解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐標為（1，1），∴圓C的直角坐標方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．

化為極坐標方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0

…（5分）

（Ⅱ）將代入圓C的直角坐標方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．

∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1?t2=﹣1．

∴|AB|=|t1﹣t2|==2．

∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．

即弦長|AB|的取值范圍是[2，2）…（10分）

20．解：（I）∵，∴，∴圓C的直角坐標方程為，即，∴圓心直角坐標為．（5分）

（II）∵直線l的普通方程為，圓心C到直線l距離是，∴直線l上的點向圓C引的切線長的最小值是（10分）

21．解：（I）圓C1，直線C2的直角坐標方程分別為

x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1與C2交點的極坐標為（4，）．（2，）．

（II）由（I）得，P與Q點的坐標分別為（0，2），（1，3），故直線PQ的直角坐標方程為x﹣y+2=0，由參數方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．

22．解：（Ⅰ）由

從而C的直角坐標方程為

即

θ=0時，ρ=2，所以M（2，0）

（Ⅱ）M點的直角坐標為（2，0）

N點的直角坐標為

所以P點的直角坐標為，則P點的極坐標為，所以直線OP的極坐標方程為，ρ∈（﹣∞，+∞）

23．解：（Ⅰ）由已知，M點的極角為，且M點的極徑等于，故點M的極坐標為（，）．（5分）

（Ⅱ）M點的直角坐標為（），A（1，0），故直線AM的參數方程為（t為參數）（10分）

24．解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐標方程為（x﹣1）2+y2=1；

（2）直線l：（t為參數），普通方程為，（5，）在直線l上，過點M作圓的切線，切點為T，則|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割線定理，可得|MT|2=|MA|?|MB|=18．

25．解：（1）∵曲線C的極坐標方程為ρ=2（cosθ+sinθ）

∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ

∴x2+y2=2x+2y

即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

（2）將l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

26．解：（1）曲線C1的參數方程為（?為參數），普通方程為．

曲線C2是圓心在極軸上且經過極點的圓，射線與曲線C2交于點，曲線C2的普通方程為（x﹣2）2+y2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（2）曲線C1的極坐標方程為，所以=+=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

27．解：直線l的參數方程為（為參數），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直線l的普通方程：2x﹣y﹣2=0．

曲線C的參數方程為（t為參數），化為y2=2x，聯立，解得，于是交點為（2，2），．

28．解：（Ⅰ）由得直線l的普通方程為x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分

又由得

ρ2=2ρsinθ，化為直角坐標方程為x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分

（Ⅱ）把直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0

設t1，t2是上述方程的兩實數根，所以t1+t2=3

又直線l過點P，A、B兩點對應的參數分別為t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．