第一篇：第三章 參數方程、極坐標教案 直線和圓的極坐標方程 教案

第三章 參數方程、極坐標教案 直線和圓的極坐標方程教案

教學目標

1．理解建立直線和圓的極坐標方程的關鍵是將已知條件表示成ρ與θ之間的關系式．2．初步掌握求曲線的極坐標方程的應用方法和步驟．

3．了解在極坐標系內，一個方程只能與一條曲線對應，但一條曲線即可與多個方程對應． 教學重點與難點

建立直線和圓的極坐標方程． 教學過程

師：前面我們學習了極坐標系的有關概念，了解到極坐標系是不同于直角坐標系的另一種坐標系，那么在極坐標系下可以解決點的軌跡問題嗎？

問題：求過定圓內一定點，且與定圓相切的圓的圓心的軌跡方程．

師：探求軌跡方程的前提是在坐標系下，請你據題設先合理地建立一個坐標系．(巡視后，選定兩個做示意圖，(如圖3-8，圖3-9)，畫在黑板上．)

解 設定圓半徑為R，A(m，0)，軌跡上任一點P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐標系下：|ρA|=R-|Oρ|，(兩邊再平方，學生都感到等式的右邊太繁了．)師：在直角坐標系下，求點P的軌跡方程的化簡過程很麻煩．我們看在極坐標系下會如何呢？(2)在極坐標系下：在△AOP中

|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ，即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ． 化簡整理，得

2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，師：對比兩種解法可知，有些軌跡問題在極坐標系下解起來反而簡

坐標方程有什么不同呢？這就是今天這節課的討論內容．

一、曲線的極坐標方程的概念

師：在直角坐標系中，曲線用含有變量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在極坐標系中，曲線用含有變量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0來表示，也就是說方程f(ρ，θ)=0應稱為極坐標方程，如上面問題中的：ρ=

(投影)定義：一般地，在直角坐標系中，如果曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)=0的實數解建立了如下的關系：

1．曲線上的點的坐標都是這個方程的解；

2．以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．

那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．

師：前面的學習知道，坐標(ρ，θ)只與一個點M對應，但反過來，點M的極坐標都不止一個．推而廣之，曲線上的點的極坐標有無窮多個．這無窮多個極坐標都能適合方程f(ρ，θ)=嗎？如曲線ρ=θ上有一點(π，π)，它的另一種形式(-π，0)就不適合ρ=θ方程，這就是說點(π，π)適合方程，但點(π，π)的另一種表示方法(-π，0)就不適合．而(-π，0)不適合方程，它表示的點卻在曲線ρ=θ上．因而在定義曲線的極坐標方程時，會與曲線的直角坐標方程有所不同．

(先讓學生參照曲線的直角坐標方程的定義敘述曲線的極坐標方程的定義，再修正，最后打出投影：曲線的極坐標方程的定義)曲線的極坐標方程定義：

如果極坐標系中的曲線C和方程f(ρ，0)=0之間建立了如下關系：

1．曲線C上任一點的無窮多個極坐標中至少有一個適合方程f(ρ，θ)=0；

2．坐標滿足f(ρ，θ)=0的點都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲線C的極坐標方程． 師：下面我們學習最簡單的曲線：直線和圓的極坐標方程．

求直線和圓的極坐標方程的方法和步驟應與求直線和圓的直角坐標方程的方法和步驟類似，關鍵是將已知條件表示成ρ和θ之間的關系式．

解 設M(ρ，θ)為射線上任意一點，因為∠xOM=θ，師：過極點的射線的極坐標方程的形式你能歸納一下嗎？

生：是．

師：一條曲線可與多個方程對應．這是極坐標方程的一個特點．你能猜想一下過極點的直線的極坐標方程是什么形式嗎？

學生討論后，得出：θ=θ0(θ0是傾斜角，ρ∈R)是過極點的直線的極坐標方程．師：把你認為在極坐標系下，有特殊位置的直線都畫出來．

例2 求適合下列條件的極坐標方程：(1)過點A(3，π)并和極軸垂直的直線；

解(1)設M(ρ，θ)是直線上一點(如圖3-15)，即ρcosθ=-3為所示．

解(2)設M(ρ，θ)是直線上一點，過M作MN⊥Ox于N，則|MN|是點B到Ox的距離，師：不過極點也不垂直極軸、不平行極軸的直線的極坐標方程如何確立呢？

例3 求極坐標平面內任意位置上的一條直線l的極坐標方程(如圖3-17，圖3-18)．

讓學生根據以上兩個圖形討論確定l的元素是什么？

結論直線l的傾斜角α，極點到直線l的距離|ON|可確定直線l的位置．

解設直線l與極軸的夾角為α，極點O到直線l的距離為p(極點O到直線l的距離是唯一的定值，故α、p都是常數)．

直線l上任一點M(ρ，θ)，則在Rt△MNO中|OM|·sin∠OMN=|ON|，即ρsin(α-θ)=p為直線l的極坐標方程．(如圖3-19，圖3-20)

師：直線的極坐標方程的一般式：ρsin(α-θ)=p，其中α是直線的傾斜角，p是極點到l的距離，當α、p取什么值時，直線的位置是特殊情形呢？

當α=π時，ρsinθ=p，直線平行極軸； 當p=0時，θ=α，是過極點的直線．

師：以上我們研究了極坐標系內的直線的極坐標方程．在極坐標系中的圓的方程如何確立呢？如圖3-21：

圓上任一點M(r，θ)，即指θ∈R時圓上任一點到極點的距離總是r，于是ρ=r是以極點為圓心r為半徑的一個圓的極坐標方程．

師：和在直角坐標系中，把x=a和y=b看作是二元方程一樣，θ=θ0及ρ=r也應看作是二元方程．在方程θ=θ0中，ρ不出現，說明ρ可取任何非負實數值；同樣，在方程ρ=r中，θ不出現，說明θ可取任何實數值．

例4 求圓心是A(a，0)，半徑是a的圓的極坐標方程．(讓學生畫圖，教師巡視參與意見)解設⊙A交極軸于B，則|OB|=2a，圓上任意一點M(ρ，θ)，則據直徑上的圓周角是直角可知：OM⊥MB，于是在Rt△OBM中，|OM|=|OB|cosθ，即ρ=2acosθ就是所求圓的極坐標方程．如圖3-22．

師：在極坐標系下，目前我們理解下面幾種情形下的圓的極坐標方程即可． 讓學生自己得出極坐標方程．

圖3-23：ρ=2rcosθ； 圖3-24：ρ=-2rcosθ； 圖3-25：ρ=2rsinθ； 圖3-26：ρ=-2rsinθ．

師：建立直線和圓的極坐標方程的步驟與建立直線和圓的直角坐標方程的步驟一樣，你能小結一下嗎？(投影)分4個步驟：

(1)用(ρ，θ)表示曲線上任意一點M的坐標；(2)寫出適合條件ρ的點M的集合P=｛M|p(M)｝；(3)用坐標表示條件ρ(M)，列出方程f(ρ，θ)=0；(4)化方程f(ρ，θ)=0為最簡形式．

練習：分別作出下列極坐標方程表示的曲線

(2)ρcosθ=sin2θ(cosθ=0或ρ=2sinθ)；

設計說明

直線和圓的極坐標方程一節的教學重點是如何根據條件列出等式．至于在極坐標系中由于點的極坐標的多值性，而帶來的曲線的極坐標方程與直角坐標系中的方程有不同的性質，這一點只需學生了解即可．另外，由于刪除了3種圓錐曲線的統一的極坐標方程，實際上就降低了對極坐標一節學習的難度．所以用一課時來學習曲線的極坐標方程只能是在前面學習曲線的直角坐標方程的基礎上初步掌握建立極坐標方程的方法．為此本節課圍繞著這一主題進行了充分的課堂活動，達到了教學目的．

第二篇：極坐標與參數方程題型和方法歸納

極坐標與參數方程題型和方法歸納

題型一：極坐標（方程）與直角坐標（方程）的相互轉化，參數方程與普通方程相互轉化，極坐標方程與參數方程相互轉化。方法如下：

1、已知直線的參數方程為

（為參數）以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的方程為.（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）寫出直線與曲線交點的一個極坐標.題型二：三個常用的參數方程及其應用

（1）圓的參數方程是：

（2）橢圓的參數方程是：

（3）過定點傾斜角為的直線的標準參數方程為：

對（3）注意：

點所對應的參數為，記直線上任意兩點所對應的參數分別為，則①,②，③

2、在直角坐標系中，曲線的參數方程為

（為參數，）以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為.（Ⅰ）設是曲線上的一個動點，當時，求點到直線的距離的最小值；

（Ⅱ）若曲線上的所有點均在直線的右下方，求的取值范圍.3、已知曲線：（參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點的極坐標為．

（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并求出點的直角坐標；

（2）設為曲線上的點，求中點到曲線上的點的距離的最小值．

4、已知直線：（為參數），曲線：（為參數）.（1）設與相交于兩點，求；

（2）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.5、在平面直角坐標系中，已知曲線（為參數），在以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為．

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）過點且與直線平行的直線交于兩點，求弦的長．

6、面直角坐標系中，曲線C的參數方程為（α為參數）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ＋)=．l與C交于A、B兩點.（Ⅰ）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標方程；

（Ⅱ）設點P(0,－2),求：①

|PA|＋|PB|，②,③,④

題型三：過極點射線極坐標方程的應用

出現形如：（1）射線：（）；（1）直線：（）

7、在直角坐標系中，圓的方程為，以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．

（1）求圓的極坐標方程；

（2）直線：（）與圓交于點、，求線段的長．

8、在直角坐標系中，圓的參數方程為為參數),以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓的極坐標方程；

（2）直線的極坐標方程為，其中滿足與交于兩點，求的值.9、在直角坐標系中，直線經過點，其傾斜角為，以原點為極點，以軸非負半軸為極軸，與直角坐標系取相同的長度單位，建立極坐標系，設曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）若直線與曲線有公共點，求的取值范圍；

（Ⅱ）設為曲線上任意一點，求的取值范圍．

10、在直角坐標系中中，已知曲線經過點，其參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）若直線交于點，且，求證：為定值，并求出這個定值．

11、在平面直角坐標系中，曲線和的參數方程分別是（是參數）和（為參數）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的普通方程和曲線的極坐標方程；

（2）射線與曲線的交點為，與曲線的交點為，求的最大值.

第三篇：直線的參數方程教案[推薦]

直線的參數方程

（一）三動式學案 黃建偉

教學目標：

1.聯系向量等知識，推導出直線的參數方程，并進行簡單應用，體會直線參數方程在解決問題中的作用．

2.通過直線參數方程的推導與應用，培養綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力，進一步體會運動與變化、數形結合、轉化、從特殊到一般的推理等數學思想．

3.通過建立直線參數方程的過程，激發求知欲，培養積極探索、勇于鉆研 的科學精神、嚴謹的科學態度、合作學習的習慣． 教學重點：聯系向量等知識，寫出直線的參數方程．

教學難點：通過向量法，建立參數t與點在直角坐標系中的坐標x,y之間的聯系．

教學方式：啟發、探究、交流與討論.教學手段：多媒體課件． 教學過程：

一、課前任務驅動

1.已知直線l:y?3x?1的傾斜角為?，則tan??______ sin??______;cos??_______ 2．已知直線經過點 M0(x0,y0)，斜率為k，則直線的方程為__________

??????3.已知向量a?(2,3)，則a=______向量a的單位向量e=________,設a?te，則t=_______.?????????4已知點M0(x0,y0)，M(x,y)，單位向量e?(cos?,sin?)，向量M0M?te，則 x?_______________

y?___________

5.已知直線l:x?y?1?0與拋物線y?x2交于A,B兩點，求線段AB的長度和點M(?1,2)到A,B兩點的距離之積．

二、課堂師生互動

一、探究直線參數方程

問題一：經過點 M0(x0,y0)，傾斜角為????????2??的直線l的普通方程是？請寫出來。問題二：已知直線l上一點M0(x0,y0)，直線l的傾斜角為?，直線上的的動點?M(x,y)，設e為直線l的單位方向向量（單位長度與坐標軸的單位長度相同），?那么我們能利用?表示出直線l單位方向向量e嗎？請表示出來。

問題三：根據向量的共線定理，則存在實數t使得????????你能根據這個式子將有關x,y的等式表M0M?te，示出來嗎？請寫出來。

思考以下問題：

直線的參數方程中哪些是變量？哪些是常量？

???x?2?tcos10練習1：直線?（t為參數）的傾斜角是（）???y?1?tsin10A.80 B.170 C.10 D.100

???x?3?tsin20練習2：直線?（t為參數）的傾斜角是（）???y?1?tcos20????A.20 B.70 C.110 D.160

練習3：直線l:x?y?1?0的一個參數方程（過點M(?1,2)）是___________ ????

二、探究直線參數方程參數的幾何意義

?????????x?x0?tcos?問題一：由M0M?te，你能得到直線l的參數方程?（t為參數）

?y?y0?tsin?中參數t的幾何意義嗎？t的取值范圍是多少？

三、探究直線參數方程參數的運用

（一）探究過程

直線l:x?y?1?0的一個參數方程（過點M(?1,2)）是___________(1)當y?0時，對應的參數t1=_______;對應的點A為_________.(2)當x??2時，對應的參數t2=______;對應的點B為________.(3)AB=___________;t2?t1=____________(4)MAMB=_________;t2t1=__________ 結論1：

結論2：

?x?x0?tcos?探究：直線 ?（t為參數）與曲線y?f(x)交于M1,M2兩點，y?y?tsin?0? 對應的參數分別為t1,t2，設點M(x0,y0)。（1）曲線的弦M1M2的長是多少？（2）MM1MM2是多少？

（二）例題講練

例1.已知直線l:x?y?1?0與拋物線y?x2交于A,B兩點，求線段AB的長度和點M(?1,2)到A,B兩點的距離之積．

課堂練習：

41、已知過點P(2,0)，斜率為的直線和拋物線y2?2x相交于A,B兩點，求

3PAPB的值。

課堂小結：

1、知識小結

2．思想方法小結

三、課后培育自動

1.經過點M(1，5)且傾斜角為參數方程是()1111????x?1?tx?1?tx?1?tx?1?t????????2222A.? B.?C.? D.?

3333?y?5??y?5??y?5??y?5?tttt????2222?????x??2?2t?t為參數?上與點P??2，2、直線?3?距離等于2的點的坐標是.?y?3?2t?的直線，以定點M到動 點P的位移t為參數的3?x?tcos??x?4?2cos?

3、直線?與圓?相切，則??______ ?y?tsin??y?2sin??

4、經過點P(?1，2)，傾斜角為 4 的直線 l與圓 x2 +y2 = 9相交于A，B兩點，求PA?PBPA +PB和PAPB的值。

第四篇：極坐標參數方程與幾何證明題型方法歸納(精)

222 cos sin x y x y ρρ

ρθ

?=+?=??=? 極軸

一、極坐標與參數方程選講

1、極坐標與直角坐標的公式轉換:

2、點的極坐標含義(, M ρθ: 練習:

(1 在直角坐標系中曲線 C 的極坐標方程為 2cos 4sin ρθθ=-，寫出曲線 C 的直角坐標 方程.04222=+-+y x y x(2 在平面直角坐標系 xOy 中, 點 P 的直角坐標為(1,.若以原點 O 為極點, x 軸正半 軸為極軸建立極坐標系,則點 P 的極坐標可以是.(2,2(3 k k Z π π-∈

(3在極坐標系中,已知兩點 A、B 的極坐標分別為 3, 3π?? ???, 4, 6π?? ??? ,則△ AOB(其 中 O 為極點的面積為.提示:1 sin 2 S ab C = =3

(4在極坐標系(ρ, θ(0 ≤ θ<2π中,曲線 ρ=2sin θ 與 cos 1p θ=-的交點 的極坐標為 ______.3 4 π

提示:這兩條曲線的普通方程分別為 222, 1x y y x +==-.解得 1, 1.x y =-??=?

(5 已 知 直 線 l 的 參 數 方

程 為 :2, 14x t y t =??

=+?(t 為 參 數 , 圓 C 的 極 坐 標 方 程 為

ρθ=,則直線 l 與圓 C 的位置關系為 相交(6已知直線的極坐標方程為(4R π θρ=

∈,它與曲線 12cos 22sin x y α α

=+??=+?(α為參數相 交于兩點 A 和 B ,則(7若直線 12, 23.{x t y t =-=+(t 為參數與直線 41x ky +=垂直,則常數 k =________.6-=k(8設直線 1l 的參數方程為 113x t y t =+??

=+?(t 為參數 ,直線 2l 的方程為 y=3x+4則 1l 與 2l 的 距離為 _______ 【考點定位】本小題考查參數方程化為普通方程、兩條平行線間的距離,基礎題。解析:由題直線 1l 的普通方程為 023=--y x ,故它與與 2l 的距離為 3|24|=

+。

(9 在極坐標系中, 直線 l 的方程為 ρsin θ=3, 則點(2, π/6到直線 l 的距離為.【解析】法 1:畫出極坐標系易得答案 2;法 2:化成直角方程 3y = 及直角坐標 可得答 案 2.(10在平面直角坐標系 xOy 中,直線 l 的參數方程為(33 R t t y t x ∈?

??-=+=參數 ,圓 C 的參數 方程為 [] 20(2 sin 2cos 2πθθθ , 參數 ∈??

?+==y x ,則圓 C 的圓心坐標為.(0, 2 ,圓心 到直線 l 的距離為 22.(11在極坐標系中, P Q , 是曲線 C :4sin ρθ=上任意兩點,則線段 PQ 長度的最大值 為.4【解析】最長線段 PQ 即圓 22(2 4x y +-=的直徑.(12曲線 C 的參數方程是 ??? ????

-=+= 1(3 1(2t t y t t x(t 為參數 ,則曲線 C 的普通方程 是.136 162 2=-y x 提示:1213 x t t y t t ?=+????=-??,平方后相減消去參數 t(13 已知曲線 132 14x t y t ?

=-+???=+?(t 為參數與曲線 2cos 2sin x y θθ=??=?(θ為參數的交點為 A , B , ,則 AB =

(14 若直線 :l y kx =與曲線 { 2cos :sin x C y θθ=+=(參 數 ∈θR 有唯一的公共點,則實數 k =

.二、幾何證明選講

1、與切線有關 構造直角三角形

如圖, AB 是 ⊙ O 的直徑, P 是 AB 延長線上的一點, 過 P 作 ⊙ O 的 切 線 , 切 點 為 C , 2=PC , 若

?=∠30CAP ,則 ⊙ O 的直徑 =AB 4.切割線定理

如圖 1所示, 過 O 外一點 P 作一條直線與 O 交于 A , B 兩點, 已知 PA =2, 點 P 到 O 的切線長 PT =4,則弦 AB 的長為 ________.6 弦切角定理 弦切角 ABD=角 C 如圖,直角三角形 ABC 中, ?=∠90B , 4=AB ,以 BC 為直徑的圓交 AC 邊于點 D , 2=AD ,則 C ∠的大小為

提示 連接 BD ,在直角三角形 ABD 中可求得 角 ABD=30°,弦切角 ABD=角 C

2、相交弦定理、垂徑定理

如圖 AB , CD 是半徑為 a 的圓 O 的兩條弦,它們相交于 AB 的中點 P , PD=23 a ,∠OAP=30°, 則 CP =______.【解析】因為點 P 是 AB 的中點,由 垂徑定理 知, OP AB ⊥.在 Rt OPA ? 中, cos30BP AP a ===

.由 相交弦定理 知, BP AP CP DP ?=? 2 3 CP a =?,所以 98CP a =.圖 1 A B C 圖 3

N

3、射影定理

2, CD AD DB =? 2BC BD AB =?, 2AC AD AB =? 如 圖 , AB 是 半圓 O 的 直 徑 , C 是 半 圓 O 上 異于 A B , 的 點 , C D A B ⊥, 垂 足 為 D , 已

知 2AD =, CB =, 則 CD =

.提示 222(2 6, 12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =??=+?==?=

4、相似比

如圖,在 ABC ?中, DE //BC , EF //CD , 若 3, 2, 1BC DE DF ===,則 AB 的長為 __9 2 _________.5、圓的內接四邊形對角互補 如圖 3,四邊形 ABCD 內接于⊙ O , BC 是直徑, MN 與⊙ O 相切 , 切點為 A , MAB ∠35?=, 則 D ∠=.125?

6、圓心角 =2倍圓周角

如圖,點 A B C、、是圓 O 上的點,且 4AB =, o 30ACB ∠=, 則圓 O 的面積等于 _________.解:連結 OA , OB ,則∠ AOB=2∠ ACB=60O ,所以△ AOB 為正三角形,圓 O 的半徑 r=4AB =,于是,圓 O 的面積等于 πππ1642 2 =?=r 如圖 , 已知△ ABC 內接于⊙ O ,點 D 在 OC 的 延長線上, AD 切⊙ O 于 A ,若 o 30ABC ∠=, 2=AC , 則 AD 的長為

.提示 連接 OA ,圓心角 AOD=2B=60°, AOC 是等邊三角 形。所以 OA=AC=2,在直角三角形 OAD 中求 AD。

A

第五篇：圓錐曲線統一的極坐標方程及應用

圓錐曲線統一的極坐標方程及應用

以圓錐曲線的焦點（橢圓的左焦點、雙曲線的右焦點、拋物線的焦點）為極點，過極點引相應準線的垂線的反向延長線為極軸，則圓錐曲線的統一極坐標方程為??ep，其中e為離心率，p是焦點到相應準線的距離。1?ecos?

例

1、過雙曲線x2?y2?4的右焦點F作傾斜角為105?的直線交雙曲線于P,Q兩點，則|FP|?|FQ|的值為例

2、拋物線y2?4x的焦點為F，準線為l，經過F且斜率為3的直線與拋物線在x軸上

方的部分交于點A，AK?l，垂足為K，則?AKF的面積是（）

A.4B.3C.43D.8

例

3、中心在原點O的橢圓右焦點為F（3,0），右準線l的方程為x?12.（1）求橢圓的方程；

（2）在橢圓上任取三個不同的點P1、P2、P3，使?P1FP2??P2FP3??P3FP1,證明：

111為定值，并求出此定值。??|FP1||FP2||FP3|