第一篇：解析幾何直線方程教案(好)

直線方程

知識框架圖

?直線的傾斜角與斜率??點斜式????斜截式????直線的方程?兩點式??直線方程的綜合運用??截距式?????一般式????兩直線相交的判定及求???相交?兩直線所成的角及求法??????兩直線垂直的條件????直線?兩直線的位置關系?平行?兩直線平行的條件??重合?兩直線重合的條件???????????點在直線上的條件?點到直線的位置關系???點到直線距離的求法???平行直線系???直線系?垂直直線系???共點直線系???其交點

直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角：當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角?叫做直線l的傾斜角。

規定當直線和x軸平行或重合時，其傾斜角為0?，所以直線的傾斜角?的范圍是0????180??或0?????。

2、直線的斜率:傾斜角不是90?的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，即k?tan????90??。

（1）斜率的計算公式（2）每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率，這就決定了我們在研究直線的有關問題時，應考慮到斜率存在于不存在這兩種情況，否則會出現漏解。

（3）斜率是用來表示傾斜角不等于90?的直線對于x軸的傾斜程度的。

直線方程的幾種形式

1、點斜式：過已知點?x0,y0?，且切斜率為k的直線方程可以寫成點斜式：y?y0?k?x?x0?。

2、斜截式：若已知直線在y軸上的截距為b，斜率為k，則直線方程可以寫成斜截式：y?kx?b

3、兩點式：若已知直線經過?x1,y1?和?x2,y2?兩點，且x1?直線的方程可以寫成兩點式：

y?y1y2?y1?x?x1x2?x1x2,y1?y2，則

4、斜截式：若已知直線在想x軸、y軸上的截距分別是a、b?a?0,b?0?,則直線方程可以寫成斜截式：

xa?yb?1。

5、特殊位置的直線方程：y軸所在直線的方程為x?0；平行于y軸的直線方程為：x?a?a?0?；x軸所在直線的方程為y=0；平行于x軸的直線方程為y?b?b?0?

6、一般式：任何一條直線的方程均可寫成一般式Ax?By?C?0?A、B不同時為0?的形式。反之，任何一個二元一次方程都表示一條直線。兩直線的平行于垂直 設兩直線方程分別為

l1:y?k1x?b1或A1x?B1x?C1?0；l2:y?k2x?b2或A2x?B2y?C?0?A1,B1,C1,A2,B2,C2全部為零? 的，當

1、l1//l2?k1?k2且b1?b2或k1?k2且b1?b2或A1A2?B1B2?A1A2?B1B2?C1C2。特別

C1C2時兩直線重合。

2、l1?l2?k1?k2??1或A1A2?B1B2?0

兩直線的夾角

1、把兩相交直線中的直線l1以逆時針方向繞交點旋轉到與l2重合時所轉的角，叫做l1到l2的角，它是向角，其范圍是0????。

2、直線l1與l2的夾角，是指由l1與l2相交所成的四個角的最小角（或

????0,?l不大于直角的角），又稱為1和l2所成的角，它的取得范圍是?2?。

點到直線的距離公式

設點P?x0,y0?和直線l:Ax?By?C?0.1、若點d?2p不在直線2l上，則點?。

p到

l的距離為Ax0?By0?CA?B?點p在直線l上也滿足

2、兩平行線l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2直線系方程

?0的距離為d?C1?C2A?B22

具有某一個共同性質的一簇直線稱為直線系，它的方程稱為直線系方程，直線系方程通常只含有一個獨立參數，常見的直角系有如下兩類：

1、平行系

（1）斜率為k0（常數）的直線系：y?k0x?b?b為參數?（2）平行

于

已

知

直

線A0x?B0y?0?A0,B0是不全為零的常數?的直線系：A0x?B0y?C?0?C?0?。

2、垂直直線系（1）與斜率為k0?k0（2）垂直

?0?的直線垂直的直線系：y??1x?b(b為參數）k0 線

于已知直A0x?B0y?C?0?A0、B0是不全為零的常數?的直線系：B0x-A0y???0??為參數?

3、過已知點的直線系

（1）以斜率k作為參數的直線系：y?y0?k?x?x0?，直線過定點?x0,y0?;y?kx?b0,直線過定點?0,b0?。其中過定點且平行于y軸或與y軸重合的直線不在直線系內。過兩條直線l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交點的直線系：

2A1x?B1y?C1???A2x?B2y?C2??0??為參數?，其中直線l不在直線系內。

第二篇：直線方程教案

Ⅰ.課題導入

［師］同學們，我們前面幾節課，我們學習了直線方程的各種形式，以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點；反之這條直線上的點的坐標都是這個方程的解。這是這個方程叫做這條直線的方程；這條直線叫做這個方程的直線。現在大家回憶一下，我們都學習了直線方程的哪些特殊的形式。我們學習了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式等形式，對直線方程的表示形式有了一定的認識.現在，我們來回顧一下它們的基本形式.點斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）適用于斜率存在的直線.斜截式的基本形式：y＝kx＋b適用于斜率存在的直線；

兩點式的基本形式：直線；

截距式的基本形式：

y?y1x?x1（x1≠x2，y1≠y2）適用于斜率存在且不為0的?y2?y1x2?x1xy?＝1（a，b≠0）適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.ab在使用這些方程時要注意它們時要注意它們的限制條件。

那么大家觀察一下這些方程，都是x,y的幾次方程啊？［生］都是關于x，y的二元一次方程.那么我們原來在代數中學過二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板書）Ax＋By＋C＝0 我們現在來看一次這幾種學過的特殊形式，它們經過一些變形，比如說去分母、移項、合并，這樣一些變形步驟。能不能最后都化成這個統一的形式呢？比如說y＝kx＋b，?xayb＝1，這些我們最終都可以吧它們變成這種形式。剩下的兩種形式的變形留給同學們課下自己去完成。那么在學習這些直線的特殊形式的時候，應該說各有其特點，但是也有些不足。在使用的過程中有些局限性。比如說點斜式和斜截式它們的斜率都必須存在，兩點式適用于適用于斜率存在且不為0的直線，截距式適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.那么我們現在想一想有沒有另外一種形式，可以綜合他們各自的一些特點，也就是這些方程最后化成一個統一的形式。能不能代表平面直角坐標系中的直線。要解決這些問題呢，要分兩個方面進行討論。

1.直線和二元一次方程的關系

（1）在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關于x，y的二元一次方程.一個方面：是不是平面上的任意直線，表示它的方程都可以寫成Ax＋By＋C＝0的形式，剛才大家做了一些練習，當然這只是特殊形式，是不是所有的直線都可以寫成這種形式呢？直線按斜率來分類可以分幾類？斜率存在和斜率不存在。這兩類是不是都可以轉化成一元二次方程的形式。當傾斜角不等于90°是斜率存在，直線方程可以寫成y＝kx＋b的形式。可以轉化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比較發現什么？A=k B=-1 C=b。當傾斜角等于90°斜率不存在，直線方程可以寫成x=x0的形式。可以轉化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比較發現什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我們就把它分為這兩種情況，當斜率存在的時候我們一般把它設成一個簡單的斜截式，斜截式經過變形就可以化成一般的形式。而對于斜率不存在的時候，它的方程形式就是x=x0直線方程也可以轉化成這樣的一個形式。那么由此可以下這樣一個結論：平面上的任意的一條直線，表示它的方程最后都可以轉化成二元一次方程的形式。剛才我們從這個角度考慮，就是直線都可以轉化成二元一次方程，現在我們反過來看，是不是任意的一個二元一次方程最終在直角坐標系下都能夠表示直線。

（2）在平面直角坐標系中，任何關于x，y的二元一次方程都表示一條直線.因為x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同時為0，在B≠0和B＝0的兩種情況下，二元一次方程可分別化成直線的斜截式方程y＝－示與y軸平行或重合的直線方程x＝－

ACx?和表BBC.A也就是說Ax＋By＋C＝0（A，B不同時為零）大家想想如果AB都等于零這個直線方程就沒了。現在我們考慮一下，這個方程能不能經過一些適當的變形，變成我們熟悉的形式，而確定它就是一個在平面直角坐標系中就是一條直線呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y軸上的截距。二元一次方程通過變形在直角坐標系下都表示一條直線。那么我們從兩個方面在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關于x，y的二元一次方程.在平面直角坐標系中，二元一次方程都表示一條直線.根據上述結論，我們可以得到直線方程的一般式.我們就把代數中的二元一次方程定義為直線的一般式方程。

定義：我們把關于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同時為0）叫做直線的一般式方程。我們在學習前面直線的幾種特殊形式的方程，一眼就可以看出這條直線的某些特點，比如說點斜式就可以看出它的斜率還有過一個定點，還有兩點式可以看出它過兩個定點。那么我們怎么通過直線的一般式方程觀察直線的一些特點呢？比如說A=0表示什么樣一條直線？y=-平行于x軸的直線，也有可能與x軸重合。如果要平行于y軸這個系數要滿足什么樣的條件？如果旦旦是c等于零，通過原點的直線。假如AB都不等于零它的斜率我們怎么看出來？這些直線的特點我們要能掌握住。我們對直線的一般式方程有了一定的了解。直線的一般式方程和和那幾種特殊的形式之間有一個互相的轉化，那么我們來看一個例子，通過一些轉化來解決實際問題。

［例1］已知直線經過點A(6，－４），斜率為－

4，求直線的點斜式和一般式方程.3分析：本題中的直線方程的點斜式可直接代入點斜式得到，主要讓學生體會由點斜式向一般式的轉化，把握直線方程一般式的特點.解：經過點A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直線方程的點斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同學們在以后解題時，可能求直線方程的時候，求出不一定是一般式，可能是點斜式、兩點式等等，如題目沒有特殊要求我們都要把各種形式化成一般式。對于直線方程的一般式，一般作如下約定：x的系數為正，x，y的系數及常數項一般不出現分數，一般按含x項，含y項、常數項順序排列.

第三篇：11.1直線方程教案

11．1（２）直線方程（點法向式）

一、教學目標

在理解直線方程的意義，掌握直線的點方向式方程的基礎上，進一步探究點法向式方程；學會分類討論、數形結合等數學思想，形成探究能力。

二、教學重點及難點

本節的重點是直線的點法向式方程的推導及應用。在上一堂課的基礎上，通過向量垂直的充要條件（對應坐標的關系式）推導出直線的點法向式方程。

本節的難點是通過對直線與二元一次方程關系的分析，初步認識曲線與方程的關系并體會解析幾何的基本思想！從而培養學生用坐標法對平面直線（和以后的圓錐曲線）的研究能力。

三、教學過程 復習上一堂課的教學內容 講授新課

（一）點法向式方程

1、概念引入

從上一堂課的教學中，我們知道，在平面上過一已知點P，且與某一方向平行的直線l是惟一確定的．同樣在平面上過一已知點P，且與某一方向垂直的直線l也是惟一確定的。

2、概念形成 直線的點法向式方程

在平面上過一已知點P，且與某一方向垂直的直線l是惟一確定的。建立直角坐標平面，設P的坐標是(x0,y0)，方向用非零向量n?(a,b)表示。那么如何根據條件求出直線l的方程呢？ 直線的點法向式方程的推導

設直線l上任意一點Q的坐標為(x,y)，由直線垂直于非零向量n，故PQ?n.根據PQ?n的充要條件知PQ?n?0，即：a(x?x0)?b(y?y0)?0⑤；反之，若(x1,y1)為方程⑤的任意一解，即a(x1?x0)?b(y1?y0)?0，記(x1,y1)為坐標的點為Q1，可知PQ1?n，即Q1在直線l上。綜上，根據直線方程的定義知，方程⑤是直線l的方程，直線l是方程①的直線。

我們把方程a(x?x0)?b(y?y0)?0叫做直線l的點法向式方程，非零向量n叫做直線l的法向量。

3、例題解析

第四篇：11.1直線方程教案

11．1（1）直線方程（點方向式）

一、教學目標

理解直線方程的意義，掌握直線的點方向式方程；加強分類討論、數形結合等數學思想和探究能力的培養；體驗探究新事物的過程，樹立學好數學的信心。

二、教學重點及難點 重點

1.理解直線的方向向量概念

2.能根據已知條件求出直線的點方向式方程 3.理解直線方程的解與直線上點坐標之間的關系

4.通過建立直線的點方向式方程，體會使用向量可簡化推到過程且有明確的幾何意義 難點

理解直線方程的定義。通過推導直線的點方向式方程，從中體會向量知識的應用和坐標法的含義。通過對直線與二元一次方程關系的分析，初步認識曲線與方程的關系并體會解析幾何的基本思想。從而培養學生用坐標法對平面直線（和以后的圓錐曲線）的研究能力。

三、教學過程 回顧

在初中平面幾何里，我們定性的研究直線的平行，垂直或直線相交所成角是否相等。在函數教學中，直線是一次函數的圖像。在本章中，我們進一步用定量的方法來研究直線。講授新課

（一）直線方程

定義：對于坐標平面內的一條直線l，如果存在一個方程f(x,y)?0，滿足（1）直線l上的點的坐標(x,y)都滿足方程f(x,y)?0；（2）以方程f(x,y)?0的解(x,y)為坐標的點都在直線l上。那么我們把方程f(x,y)?0叫做直線l的方程。

從上述定義可見，滿足（1）、（2），直線l上的點的集合與方程f(x,y)?0的解的集合就建立了對應關系，點與其坐標之間的一一對應關系。

第五篇：直線與方程教案

平面解析幾何 第一講 直線方程 知識歸納：

一、直線的傾斜角與斜率

1、確定直線的幾何要素是：直線上兩不同的點或直線上一點和直線的方向兩個相對獨立的條件

注意：表示直線方向的有：直線的傾斜角（斜率）、直線的方向向量、直線的法向量

2、直線的傾斜角：當直線l 與x 軸相交時，我們取x 軸作為基準，x 軸正向與直線l 向上方向之間所成的角α叫做直線l 的傾斜角。

注意：①從用運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是由x 軸繞交點按逆時針方向轉到與直線重合時所成的角；

②規定：直線與x 軸平行或重合時，直線的傾斜角為00 ③直線傾斜角α的取值范圍是：00≤α<1800

④在同一直角坐標系下，任何一條直線都有傾斜角且唯一，傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。

3、直線的斜率：傾斜角不是900的直線，它的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，即k =tan α(α≠900)。它從另一個方面反映了直線的傾斜程度。注意：一條直線必有一個確定的傾斜角，但不一定有斜率，當α=00時，k =0；當00<α<1800時，k >0；當α=900時，k 不存在，當900<α<1800時，k <0。即：斜率的取值范圍為k ∈R 例

1、給出下列命題：①若直線傾斜角為α，則直線斜率為tan α；②若直線傾斜角為tan α，則直線的傾斜角為α； ③直線的傾斜角越大，它的斜率越大；④直線的斜率越大，其傾斜角越大；⑤直線的傾斜角的正切值叫做直線的斜率。其中正確命題的序號為 例

2、已知直線的傾斜角為α，且sin α=4，求直線的斜率k 5

4、直線斜率的坐標公式

經過兩點P 的直線的斜率公式：k =y 1-y 2 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)x 1-x 2 注意：①斜率公式與兩點的順序無關，即k =y 1-y 2=y 2-y 1(x ≠x)12 x 1-x 2 x 2-x 1 ②特別地：當y 1=y 2, x 1≠x 2時，k =0；此時直線平行于x 軸或與x 軸重合；當y 1≠y 2, x 1=x 2時，k 不存在，此時

直線的傾斜角為900，直線與y 軸平行或重合。

例

3、已知點P(2,1),Q(m ,-3)，求直線P , Q 的斜率并判斷傾斜角的范圍。

例

4、（三點共線問題）已知A(-3,-5), B(1,3), C(5,11)三點，證明這三點在同一條直線上 例

5、（最值問題）已知實數x , y，滿足2x +y =8，當2≤x ≤8時，求y 的最大值和最小值 x

5、直線的方向向量：已知P 是直線l 上的兩點，直線上的向量PP 及與它平行的向量都1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)12稱為直線的方向向量。直線PP 與x 軸不垂直時，x 1≠x 2，此時，向量12的坐標是

1也是直線PP 的方向向量，且它PP 1212 x 2-x 1 1，其中k 為直線PP 的斜率(x 2-x 1, y 2-y 1)，即（1，k）12x 2-x 1

6、直線的法向量：如果向量n 與直線l 垂直，則稱向量n 為直線l 的法向量。

二、直線的方程

1、定義：一般地，以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上點的坐標都是這個方程的解，這是，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線。

2、直線方程的幾種形式（1）點斜式：

問題：若直線l 經過點P，且斜率為k，求直線l 的方程。0(x 0, y 0)解析：設點P(x , y)是直線l 上不同于點P 的任意一點，根據經過兩點的直線的斜率公式，得k =y-y 0，可化為0 x-x 0、斜率為k 的直線l 的方程。y-y 0=k(x-x 0)，即為過點P 0 方程y-y 0=k(x-x 0)是由直線上一點及其斜率確定的，把這個方程叫做直線的點斜式的方程，簡稱點斜式。注意：①k =y-y 0與y-y 0=k(x-x 0)是不同的，前者表示直線上缺少一個點x ≠x 0，后者才是整條直線； x-x 0 ②當直線l 的傾斜角為00時，tan 00=0，即k =0，這時直線l 的方程為y =y 0 ③當直線的傾斜角為900時，直線l 斜率不存在，這時直線l 與y 軸平行或重合，它的方程不能用點斜式表示，它的方程是x =x 0。即：局限性是不能表示垂直于x 軸的直線。④經過點P 的直線有無數條，可分為兩類情況： 0(x 0, y 0)ⅰ、斜率為k 的直線，方程為y-y 0=k(x-x 0)ⅱ、斜率不存在的直線，方程為x-x 0=0或寫為x =x 0 例

6、根據條件寫出下列各題中的直線的方程

①經過點P，傾斜角α=450，②經過點P , 2)，斜率為2 ③經過點(4,2)，且與x 軸平行 1(-2,3)1(1④經過點(-2,-3)，且與x 軸垂直（2）斜截式：

問題：已知直線l 的斜率是k，與y 軸的交點是P(0,b)，代入直線方程的點斜式，得直線l 的方程y-b =k(x-0)，也就是y =kx +b，我們稱b 是直線l 在y 軸上的截距。

這個方程是由直線l 的斜率k 和它在y 軸上的截距確定的，所以叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式。注意：①b ∈R ②局限性：不表示垂直于x 軸的直線

③斜截式方程和一次函數的解析式相同，都是y =kx +b，但有區別：當斜率不為0時，y =kx +b 是一次函數，當k =0時，y =b 不是一次函數；一次函數y =kx +b（k =0）必是一條直線的斜截式方程。例7、求傾斜角是直線y =+1的傾斜角的1，且在y 軸上的截距為-5的直線的方程。4（3）兩點式：

問題：已知直線l 經過兩點P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)，求直線l 的方程 解析：因為直線l 經過兩點P ≠1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1

x 2，)所以它的斜率k =y 2-y 1，代入點斜式，得 x 2-x 1 y-y 1= y 2-y 1(x-x 1)，當y 2≠y 1時，方程可以寫成y-y 1=x-x 1 x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1 這個方程是由直線上兩點確定的，所以叫做直線的兩點式方程，簡稱兩點式。注意：①方程y-y =y 2-y 1(x-x)與方程y-y 1=x-x 1比較，后者比前者表示直線的范圍更小了，前者不能 11 x 2-x 1 y 2-y 1 x 2-x 1 表示斜率不存在的直線，后者除此外，還不能表示斜率為0的直線；局限性：不能表示垂直于坐標軸的直線。②兩點式方程與這兩個點的順序無關。例

8、已知點A(-5, 0)，B(3,-3)，求直線AB 的方程

例

9、一條光線從點A(3,2)出發，經x 軸反射，通過點B(-1, 6)，求入射光線和反射光線所在直線的方程（4）截距式：

問題：已知直線l 與x 軸的交點為(a , 0)，與y 軸的交點為(0,b)，其中a ≠0, b ≠0，求直線l 的方程。解析：因為直線l 經過A(a , 0)和B(0,b)兩點，將這兩點的坐標代入兩點式，得如果直線與x 軸的交點為(a , 0)，則稱a 為直線在x 軸上的截距。

以上直線方程是由直線在x 軸和y 軸上的截距確定的，所以叫做直線的截距式方程，簡稱截距式

注意：方程x +y =1中a ≠0, b ≠0，所以它不能表示與坐標軸平行（重合）的直線，還不能表示過原點的直 a b y-0x-a，即為x +y =1 = b-00-a a b 線。

例

10、過兩點A(-1,1)，B(3,9)的直線在x 軸上的截距為（5）一般式方程：

以上幾種形式的直線方程都是二元一次方程，即平面上任何一條直線都可以用一個關于x y 的二元一次方程表示； 而關于x y 的二元一次方程，它都表示一條直線。因此我們把x y 的二元一次方程 Ax +By +C =0(其中 A,B 不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式。

注意：①直線的一般式方程能表示所有直線的方程，這是其他形式的方程所不具備的。②直線的一般式方程成立的條件是A,B 不同時為0。

③雖然直線的一般式有三個系數，但是只需兩個獨立的條件即可求直線的方程，若A ≠0, 則方程可化為x +B y +C =0;若B ≠0，則方程可化為A x +y +C =0，即y =-A x-C;A A B B B B 若A =0，B ≠0時，方程化為y =-C , 它表示與x 軸平行或重合的直線； B 若A ≠0，B =0時，方程化為x =-C，它表示一條與y 軸平行或重合的直線； A 若ABC ≠0時，則方程可化為 x-A + 因此只需要兩個條件即可。y =1-B ④直線方程的其他形式都可以轉化為一般式，因此在解題時若沒有特殊說明，應把最后結果互為直線的一般式 例

11、設直線l 的方程為(m-2m-3)x +(2m +m-1)y =2m-6，根據下列條件分別確定m 的值（1）l 在x 軸上的截距為-3（2）l 的斜率是-1（6）點向式：

問題：設直線l 經過點P，v =(a , b)是它的一個方向向量，求直線l 的方程 0(x 0, y 0)解析:設P(x , y)是直線l 上的任意一點，則向量P 與v 共線，根據向量共線的充要條件，存在唯一實數t，0P x =x 0+at ①，使P，即(x-x 0, y-y 0)=t(a , b)，所以?方程組①稱為直線的參數式方程。0P =tv ? ?y =y 0+bt 2 2 如果直線l 與坐標軸不平行，則ab ≠0，于是可得 x-x 0y-y 0 =t , =t，消去參數t，得到直線l 的普通方程 a b x-x 0y-y 0 這個方程稱為直線l 的點向式方程，a , b 叫做直線l 的方向數。= a b 思考：若給出直線的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線的方向向量？（7）點法式：

問題：設直線l 有法向量n =(A , B)，且經過點P，求直線l 的方程 0(x 0, y 0)解析：設P(x , y)是直線l 上的任意一點，則有P，即P 0P ⊥n 0P ?n =0 因為PP 0=(x-x 0, y-y 0)，n =(A , B)，所以有A(x-x 0)+B(y-y 0)=0 這個方向是由直線l 上一點P 及直線l 的法向量n 確定的，稱為直線l 的點法式。0(x 0, y 0)思考：若給出直線的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線的法向量？

三、直線的位置關系（同一平面上的直線）

1、平行與垂直（1）兩條直線平行的判定

①當兩條直線的斜率存在時，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定

設兩條直線分別為，則l 1, l 2的傾斜角相等，即由α1=α2，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，可得tan α1=tan α2，也即k 1=k 2，此時b 1≠b 2；反之也成立。所以有l 1//l 2?k 1=k 2且b 1≠b 2 ②當兩條直線的斜率都不存在時，二者的傾斜角均為900，若不重合，則它們也是平行直線 注意：當不考慮斜率，即給出直線的一般式時，有如下結論： 設兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1不為0）或l 1//l 2?A（可用直線的方向向量或法向量解釋）1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0例

12、已知點A(2,2)和直線l ：3x +4y-20=0，求過點A 和直線l平行的直線。（引出平行直線系方程）（2）兩條直線垂直的判定

①當兩條直線的斜率存在且不為0時，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定 設兩條直線分別為，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 則得直線l 1的方向向量為：a =(1, k 1)l 2的方向向量為：b =(1, k 2)，所以有l 1⊥l 2?a ⊥b ?a ?b =0?1?1+k 1?k 2=0 即l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1 注意： 或用兩條直線的傾斜角推倒：即tan α2=tan(900+α1)=-=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1//l 2?A 1=B 1≠C 1（其中分母 A 2 B 2 C 2 1，得到k 1?k 2=-1 tan α1

②兩條直線中，一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零，則兩條直線垂直。由①②得，兩條直線垂直的判定就可敘述為：一般地，l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1或一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零。

注意：當不考慮斜率，即給出直線的一般式時，有如下結論： 設兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1 例

14、已知兩直線l 1：x +my +6=0，l 2：(m-2)x +3y +2m =0，當m 為何值時，直線l 1與l 2：①平行 ②重合 ③垂直

例

15、已知長方形ABCD 的三個頂點的坐標分別為A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四個頂點D 的坐標

例

16、求證：不論m 為取什么實數，直線(2m 2-1)x +(m 2-1)y =m 2-5總通過某一定點 =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1⊥l 2?A 1A 2+B 2B 1=0 例

13、求與直線3x +4y +1=0垂直且過點（1，2）的直線方程（引出垂直直線系方程）)例

17、已知直線ax-y +2a +1=0，（1）若x ∈(-1（2）若a ∈(-, 1, 1)時，y >0恒成立，求a 的取值范圍； 16 時，恒有y >0，求x 的取值范圍

四、到角、夾角（1）到角公式

定義：兩條直線l 1和l 2相交構成四個角，他們是兩對對頂角，為了區別這些角，我們把直線l 1繞交點按逆時針方向旋轉到與l 2重合時所轉的角，叫做l 1到l 2的角，如圖，直線l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2(θ1>0, θ2>0, θ1+θ2=π)

推倒：設已知直線方程分別是l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2.l 1到l 2的角是θ ① 若1+k 1?k 2=0，即k 1?k 2=-1，那么θ= π 2 ② 若1+k 1?k 2≠0，設l

1、l 2的傾斜角分別為α1, α2，則tan α1=k 1, tan α2=k 2 由圖1）的θ=α2-α1，所以tan θ=tan(α2-α1)由圖2）的θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，所以tan θ=tan*π+(α2-α1)+=

tan π+tan(α2-α1)0+tan(α2-α1)==tan(α2-α1)

1-tan πtan(α2-α1)1-0 于是tan θ=tan(α2-α1)= tan α2-tan α1k-k =21 1+tan α2tan α11+k 1k 2

即tan θ= k 2-k 1 就是l 1到l 2的角θ1+k 1k 2（2）夾角公式

定義：由（1）得，l 2到l 1的角是π-θ，所以當l 1與l 2相交但不垂直時，在θ和π-θ中有且只有一個角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線的夾角，記夾角為α，則tan α=當直線l 1⊥l 2時，直線l 1與l 2的夾角為 k 2-k 1，即為夾角公式 1+k 1k 2 π 2 例

18、等腰三角形一腰所在直線l 1的方程是x-2y-2=0，底邊所在直線l 2的方程是x +y-1=0，點(-2,0)在另一腰上，求這條腰所在直線l 3的方程

五、兩條直線的交點坐標：

1、設兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 則l 1與l 2是否有交點，只需看方程組

?A 1x +B 1y +C 1=0是否有唯一解 ? ?A 2x +B 2y +C 2=0 若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標； 若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行； 若方程組有無窮多解，則兩直線重合

例

19、求經過兩直線2x-3y-3=0和x +y +2=0的交點且與直線3x +y-1=0平行的直線方程。經過兩直線l 1:A 1x +B 1y +C 1=0與l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交點的直線系方程為其中λ是待定系數，在這個方程中，無論λ取什么實數，A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，都得到A 2x +B 2y +C 2=0，因此，它不能表示直線l 2。

2、對稱問題

（1）點關于點的對稱，點A(a，b)關于P , y 0)的對稱點B（m，n），則由中點坐標公式0(x 0 m =2x 0-a , n =2y 0-b，即B（2x 0-a , 2y 0-b）。

（2）點關于直線的對稱，點A(x 0, y 0)關于直線l :Ax +By +C =0（A、B 不同時為0）的對稱點

A '(x 1, y 1)，則有AA ’的中點在l 上且直線AA ’與已知直線l 垂直。

（3）直線關于直線的對稱，一般轉化為點關于直線的對稱解決，若已知直線l 1與對稱軸l 相交，則交點必在與l 1對稱的直線l 2上，然后再求出l 1上任意不同于交點的已知點P 1關于對稱軸對稱的點P 2，那么經過交點及點

P 2的直線就是l 2；若直線l 1與對稱軸l平行，則在l 1上任取兩不同點P

1、P 2，求其關于對稱軸l 的對稱

點P

1、P 2，過P

1、P 2的直線就是l 2。

例題20、已知直線l :x +y-1=0，試求①點P(4,5)關于l 的對稱坐標；②直線l 1:y =2x +3關于直線 ' ' ' ' l 的對稱的直線方程。例題21、求函數y =

六、兩點間的距離，點到直線間的距離 +的最小值。

P（1）兩點間的距離：已知P 1P 2=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)則

（2）點到直線的距離: l 已知點P，求點P 0(x 0, y 0)，直線l :Ax +By +C =0（A、B 不同時為0）0到直線的距離。解法一：如圖，作P 0Q ⊥l 于點Q，設Q(x 1, y 1)，若A,B ≠O, 則由k 1=-A B(, 得k P 0Q = B A k 1k P 0Q =-1)，?Ax +By +C =0 ?

B ?B y-y =(x-x)從而直線P 的方程為，解方程組Q y-y =(x-x 0)得0000?A ?A ?B 2x 0-ABy 0-AC x =??1A 2+B 2 ?2 ?y =A y 0-ABx 0-BC 1??A 2+B 2 ∴d =PQ ==0 Ax 0+By 0+C ==A 2+B 2 容易驗證當A=0或B=0時，上式仍然成立。

l 解法二：如圖，設A ≠0,B ≠0，則直線l 與x 軸和y 軸都相交，過點P 0分別作x 軸和y 軸的平行線，交直線

于R 和S，則直線P 0R 的方程為y =y 0，R 的坐標為（-By 0+C , y 0）； A x ,-直線P 0S 的方程為x =x 0，S 的坐標為（-0 Ax 0+C），B 于是有P 0R =-Ax 0+By 0+C By 0+C-x 0=, A A = Ax 0+By 0+C Ax 0+C P-y 0= , RS =0S =-B B 0+By 0+C。

=d，由三角形面積公式可得d ?RS =P 設PQ 00R ?P 0S.于是得d = 因此，點P 0(x 0, y 0)到直線l :Ax +By +C = 0的距離d =上式仍成立。注意: P 0R ?P 0S RS = 容易驗證，當A=0或B=0時，①若給出的方程不是一般式，則應先把方程化為一般式，再利用公式求距離； ②點到直線的距離是點到直線上的點的最短距離；

③若點在直線上，則點到直線的距離為0，但距離公式仍然成立，因為此時Ax 0+By 0+C =0。（3）兩平行線間的距離。

定義；兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長，即一條直線上的點到另一條直線的距離。

兩條平行直線l 1:Ax +By +C 1=0與l 2:Ax +By +C 2= 0的距離公式d = 推導過程：設P 則P 到l 2:Ax +By +C 2=0的距離

0(x 0, y 0)為直線l 1:Ax +By +C 1=0上任意一點，0為d =，又因為P 0在l 1:Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0，即Ax 0+By 0=-C 1, 所以d = 注意：應用此公式時，要把兩直線化為一般式，且x、y 的系數分別相等。

例題

22、求經過點A(-1,2)與B(-,0)的直線上一點C（5，n）到直線x +y =1的距離。例題

23、求經過點A（1，2）且到原點的距離等于1 的直線方程。例題

24、已知三角形ABC 中，點A（1，1），B（m）（1

例題

25、求過點P（1，2）且與A（2，3），B(4,-5)兩點距離相等的直線方程。作業：

1、設θ∈(52 π 2 , π)，則直線x cos θ+y sin θ+1=0的傾斜角α為（）(B)θ(C)θ+(A)θ-π 2 π 2(D)π-θ

2、設P（x，y）是曲線C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一點，則 y 的取值范圍是()x A ．[-3, 3] B ．(-∞,-3]?*, +∞)C ．[-3, ] D ．(-∞,-]?*, +∞)3333

3、已知M(2，－3)，N(－3，－2)，直線l 過點A(1，1)且與線段MN 相交，則直線l 的斜率k 的取值范圍是 3 或k ≤－4 4 3 B.－4≤k ≤ 4 33 C.≤k ≤4D.－≤k ≤4 44

4．過點P（6，－2）且在x 軸上的截距比在y 軸上的截距大1的直線的方程是 A ．2x +3y-6=0 C ．x-y +3=0 B ．2x +3y-6=0或3x +4y-12=0 D ．x +2y-2=0或2x +3y-6=0

5、若直線l 經過點(1,1),且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為2, 則直線l 的條數為(A)1(B)2(C)3(D)4

6、如圖所示，直線l 1：ax －y ＋b=0與l 2：bx －y ＋a=0(ab≠0,a ≠b)的圖象只可能是()

7、若三點A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一條直線上, 則有()(A)a=3,b=5(B)b=a+1(C)2a－b=3(D)a－2b=3

8、直線l 經過原點和點(－1, －1), 則它的傾斜角是 a A.π5ππ5ππ B.C.或 D.－ 44444 9.已知直線l 1：A 1x +B 1y +C 1＝0與直線l 2：A 2x +B 2y +C 2＝0相交，則方程λ1（A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋λ2（A 2x +B 2y +C 2）2 =0,(λ1≠0)表示（）+λ22

A.過l 1與l 2交點的一切直線 B.過l 1與l 2的交點，但不包括l 1可包括l 2的一切直線 C.過l 1與l 2的交點，但包括l 1不包括l 2的一切直線 D.過l 1與l 2的交點，但既不包括l 1又不包括l 2的一切直線 10.方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R)所表示的直線()A.恒過定點(－2,3)B.恒過定點(2，3)C.恒過點(－2,3)和點(2，3)D.都是平行

11、過點(-1，)且與直線3x-y +1=0的夾角為 π 的直線方程是（）6 A、x-3y +4=0 B、x +1=0或x +3y-2=0 C、x+1=0或x-y +4=0 D、y =或x +3y-2=0

12、直線x cos α+3y +2=0的傾斜角的取值范圍是_________。

13、直線l 的方向向量為（-1，2），直線l 的傾斜角為

14、已知直線L 過P（-2，3）且平行于向量d=（4，5），則直線L 的方程為。

15、已知點M(a , b)在直線3x +4y = 15上，則

16、△ABC 的三個頂點A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：

（1）BC 所在直線的方程;（2）BC 邊上中線AD 所在直線的方程;（3）BC 邊的垂直平分線DE 的方程.17、求到兩直線l 1： 3x +4y-5=0和 l 2：6x +8y-9=0距離相等的點P(x , y)滿足的方程