第一篇：2018年中考數(shù)學精品資料17.5反證法教案

17.5反證法

數(shù)學組 劉榮格

【教學目標】

1.使學生初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本方法.2.培養(yǎng)學生用反證法簡單推理的技能，從而發(fā)展學生的思維能力.【教學重點】：反證法證題的步驟.【教學難點】理解反證法的推理依據(jù)及方法.【教學方法】講練結(jié)合教學.【教學過程】 提問：

師：通過預習我們知道反證法，什么叫做反證法？

生：從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.師：本節(jié)將進一步研究反證法證題的方法，反證法證題的步驟是什么？ 生：共分三步：

（1）假設命題的結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立；（2）從假設出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾；

（3）由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.師：反證法是一種間接證明命題的基本方法。在證明一個數(shù)學命題時，如果運用直接證明法比較困難或難以證明時，可運用反證法進行證明。

例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三邊有何關(guān)系？為什么？ 解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根據(jù)勾股定理可知

a2 +b2 ＝c2

二、探究 問題：

若將上面的條件改為“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，請問結(jié)論a2 +b2 ≠ c2 成立嗎？請說明理由。探究：

假設a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，這與已知條件∠C≠90°矛盾。假設不成立，從而說明原結(jié)論a2 +b2 ≠ c2 成立。

這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設結(jié)論的反面成立，然后經(jīng)過正確的；邏輯推理得出與已知、定理、公理矛盾的結(jié)論，從而得到原結(jié)論的正確。象這樣的證明方法叫做反證法。

三、應用新知

例１：在△ABC中，AB≠AC,求證：∠B ≠ ∠ C 證明：假設，∠B ＝ ∠C，則AB＝AC這與已知AB≠AC矛盾．假設不成立．∴∠B ≠ ∠ C 小結(jié)： 反證法的步驟：假設結(jié)論的反面不成立→邏輯推理得出矛盾→肯定原結(jié)論正確

例2 已知：如圖有a、b、c三條直線，且a//c,b//c.求證：a//b 證明：假設a與b不平行，則可設它們相交于點A。那么過點A 就有兩條直線a、b與直線c平行，這與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行矛盾,假設不成立。∴a//b.小結(jié)：根據(jù)假設推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學過的定理、公理矛盾 例3 求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°。已知：△ABC , 求證：△ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60° 證明： 假設△ABC中沒有一個內(nèi)角小于或等于60°

則∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形的內(nèi)角和為180度矛盾．假設不成立． ∴△ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°

例4．試證明：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行.（學生完成，教師引導）

已知： ； 求證： ；

證明：假設，則可設它們相交于點A。那么過點A 就有 條直線與直線c平行，這與“過直線外一點 ”。矛盾,則假設不成立。

∴。

三、課堂練習：課本

四、課時小結(jié)

本節(jié)重點研究了反證法證題的一般步驟及反證法證明命題的應用。對于反證法的熟練掌握還需在今后隨著學習的深入，逐步加強和提高。

五、課后作業(yè)：課本

六、板書設計

§29.2 反證法

1.反證法證明命題的步驟。2.反證法應用：例題。小結(jié)：

七、教學反思：

“反證法”是初中數(shù)學學習中一種特殊的證明方法，對于一些證明體它有著獨特，簡便，實用的方法。故反證法的學習非常重要，在反思本節(jié)內(nèi)容的教學中得出以下幾點體會： 1.分清所證命題的條件和結(jié)論

如證明命題“一個三角形中不可能有兩個角是指教”其中條件是“一個三角形”（）結(jié)論是“不能有兩個角是直角”（）熟記步驟

第一步:假設即假設命題的結(jié)論的反面為正確的.如引用上述命題即“假設能有兩個叫是直角不妨設 ” 第二步：推理后發(fā)現(xiàn)矛盾。一般利用假設進行推理如繼上可知 發(fā)現(xiàn)這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，所以假設不成立，故一個三角形中不能有兩個角是直角，即為第三步：推翻假設，證明原命題成立。抓住重點，突破難點

反證法的重點是能寫出結(jié)論的反面，同時也是難點。如： 的反面是，易錯寫成 ；又如“寫出線段AB,CD互相平分的反面”，線段AB,CD互相平分具體指：“AB平分CD且CD平分AB”.他的反面應包括以下三種情況：（1）AB平分CD但CD不平分AB；（2）CD平分AB但AB不平分CD；（3）AB不平分CD且CD不平分AB.統(tǒng)稱為“AB，CD不互相平分”，而學生往往只考慮第（3）種情況，即AB，CD互相不平分。注重規(guī)范

在用反證法證明的命題中 經(jīng)常會出現(xiàn)文字命題。如證明命題“梯形的對角線不能互相平分”時切記一定要先用數(shù)學語言寫出“已知”和“求證”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是對角線；求證：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步驟證明。

反證法不僅能提高學生的演繹推理能力，而且在后繼的學習中有著不可忽視的作用，雖然在初中教材中所占篇幅很少，但本人認為不應輕視，應讓學生掌握其精髓，合理的去運用。2013、12、18

第二篇：九年級數(shù)學反證法專題講座(教案)

九年級數(shù)學反證法專題講座

教者：蔣昌軍

1.7.3反證法

一、復習回顧：

1、四種命題的關(guān)系原命題若p則q互逆逆命題若q則p互互否為為逆逆否否互否互否命題若?p則?q互逆逆否命題若?q則?p2、四種命題之間的真假關(guān)系（1）原命題為真，（2）逆命題不一定為真，（3）否命題也不一定為真，（4）逆否命題一定為真。主講：羅軍

一、什么叫反證法？

反證法是一種通過證明結(jié)論的反面錯誤，從而得到其正面（即結(jié)論）正確的一種幾何證明方法。通常分為：

①歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)②窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。

二、用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為： 1）.先假設結(jié)論的反面是正確的;2）.然后以假設為條件進行推理，直至找出一個與所學過的公理、定理或已知的條件相矛盾的結(jié)論;3）.否定假設,得出題目原結(jié)論正確.【經(jīng)典例題】

例1.求證:在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60° 已知:△ABC 求證: △ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°。證明：假設△ABC中沒有一個內(nèi)角小于或等于60°，則∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°, ∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，與定理“三角形內(nèi)角和等于180°”矛盾 ∴△ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°。

例3.如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,∠A＝90°,⊙O 經(jīng)過點A、B、D.求證:點C不在⊙O上.證明：假設點C在⊙O上，連接BD，∵∠A＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°,又AD//BC, ∴∠B＝90°

∴四邊形ABCD是矩形,這與已知“四邊形是梯形ABCD”矛盾 ∴點C不在⊙O上.例4.如圖，已知⊙O中，非直徑的弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點P。求證：AB和CD不互相平分

證明：假設AB和CD互相平分，連接OP，則由垂徑定理，有：

OP⊥AB,且OP⊥CD，因此過點P有兩條直線AB和CD都與OP垂直 這與垂直公理“過已知直線外的一個已知點有并且只有一條直線和已 知直線垂直”矛盾，∴AB和CD不互相平分

例5.如圖，在平面內(nèi)，AB是L的斜線，CD是L的垂線。求證：AB與CD必定相交。

證明：假設：AB與CD不定相交則AB∥CD。

而CD⊥L,∴AB⊥L,這與已知條件“AB是L的斜線”矛盾。∴ AB與CD必定相交。

例8.如圖，在正方形ABCD中，做∠EAF=45°，AP⊥EF。求證：AP=AB.證明：假設AP≠AB,則則就兩種可能：AP＞AB或AP＜AB ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝45°，∠1＋∠4＝45°（1）假設AP＞AB，∵cos∠1＝

ABAP, cos∠2＝,而AP＞AB，AFAF∴∠2＜∠1，同理∠3＜∠4，∴∠2＋∠3＜∠1＋∠4 又∠1＋∠4＝45°

∠2＋∠3＜45°，即∠EAF＜45°，這與已知“∠EAF＝45°”矛盾，∴假設不成立，即“假設AP＞AB”不成立；（2）假設AP＜AB，∵cos∠4＝ADAP, cos∠3＝,而 AP＞AB＝AD，AEAE∴∠3＞∠4，同理∠2＞∠1 ∴∠3＋∠2＞∠4＋∠1而∠1＋∠4＝45°

∴∠3＋∠2＞45°即即∠EAF＞45°，這與已知“∠EAF＝45°”矛盾，∴假設不成立，即“假設AP＜AB”不成立；

綜上，AP＞AB和AP＜AB均不成立，∴AP＝AB。

第三篇：中考數(shù)學知識點總結(jié)歸納資料

博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納

初中數(shù)學中考知識點歸納與總結(jié)

整理者：龔老師

●第一部分 基本知識歸納

●第二部分 基本定理歸納

●第三部分 常用公式歸納

●第四部分 基本方法歸納

●第五部分 輔助線作法歸納

整理時間：2010年11月13日

地址：宜賓市翠屏區(qū)文重街30號

聯(lián)系人：林老師

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博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納

初中數(shù)學中考知識點歸納與總結(jié)

整理者：龔老師

第一部分 基本知識歸納

㈠、數(shù)與代數(shù)

A、數(shù)與式：

1、有理數(shù)

有理數(shù)：①整數(shù)→正整數(shù)/0/負整數(shù)；

②分數(shù)→正分數(shù)/負分數(shù)

數(shù)

軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（原點），選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向為正方向，就得到數(shù)軸。②任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。③如果兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另外一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的兩側(cè)，并且與原點距離相等。④數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)。

絕對值：①在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值。②正數(shù)的絕對值是他的本身、負數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)、0的絕對值是0。兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。

有理數(shù)的運算：

加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。②異號相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。③一個數(shù)與0相加不變。

減法：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

乘法：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。②任何數(shù)與0相乘得0。③乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。

除法：①除以一個數(shù)等于乘以一個數(shù)的倒數(shù)。②0不能作除數(shù)。

乘方：求N個相同因數(shù)A的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫冪，A叫底數(shù)，N叫次數(shù)。混合運算順序：先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括號里的。

2、實數(shù)

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)

平方根：①如果一個正數(shù)X的平方等于A，那么這個正數(shù)X就叫做A的算術(shù)平方根。②如果一個數(shù)X的平方等于A，那么這個數(shù)X就叫做A的平方根。③一個正數(shù)有2個平方根/0的平方根為0/負數(shù)沒有平方根。④求一個數(shù)A的平方根運算，叫做開平方，其中A叫做被開方數(shù)。

立方根：①如果一個數(shù)X的立方等于A，那么這個數(shù)X就叫做A的立方根。②正數(shù)的立方根是正數(shù)、0的立方根是0、負數(shù)的立方根是負數(shù)。③求一個數(shù)A的立方根的運算叫開立方，其中A叫做被開方數(shù)。

實數(shù)：①實數(shù)分有理數(shù)和無理數(shù)。②在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義完全一樣。③每一個實數(shù)都可以在數(shù)軸上的一個點來表示。

3、代數(shù)式

代數(shù)式：單獨一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式。

合并同類項：①所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項，叫做同類項。②把同類項合并成地址：宜賓市翠屏區(qū)文重街30號

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納 一項就叫做合并同類項。③在合并同類項時，我們把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。

4、整式與分式

整式：①數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項式，幾個單項式的和叫多項式，單項式和多項式統(tǒng)稱整式。②一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)。③一個多項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)。

整式運算：加減運算時，如果遇到括號先去括號，再合并同類項。冪的運算：

整式的乘法：①單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式。②單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。③多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

公式兩條：平方差公式；完全平方公式

整式的除法：①單項式相除，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式。②多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。

分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。方法：提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法。

分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么這個就是分式，對于任何一個分式，分母不為0。②分式的分子與分母同乘以或除以同一個不等于0的整式，分式的值不變。

分式的運算：

乘法：把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。除法：除以一個分式等于乘以這個分式的倒數(shù)。

加減法：①同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。②異分母的分式先通分，化為同分母的分式，再加減。

分式方程：①分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程。②使方程的分母為0的解稱為原方程的增根。B、方程與不等式

1、方程與方程組

一元一次方程：①在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程。②等式兩邊同時加上或減去或乘以或除以（不為0）一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。

解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數(shù)系數(shù)化為1。

二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。二元一次方程組：兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程的解。解二元一次方程組的方法：代入消元法/加減消元法。

一元二次方程：只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的最高系數(shù)為2的方程 1）一元二次方程的二次函數(shù)的關(guān)系

大家已經(jīng)學過二次函數(shù)（即拋物線）了，對他也有很深的了解，好像解法，在圖象中表示等等，其實一元二次方程也可以用二次函數(shù)來表示，其實一元二次方程也是二次函數(shù)的一個特殊情地址：宜賓市翠屏區(qū)文重街30號

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納 況，就是當Y的0的時候就構(gòu)成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐標系中表示出來，一元二次方程就是二次函數(shù)中，圖象與X軸的交點。也就是該方程的解了

2）一元二次方程的解法

大家知道，二次函數(shù)有頂點式（-b/2a,4ac-b2/4a），這大家要記住，很重要，因為在上面已經(jīng)說過了，一元二次方程也是二次函數(shù)的一部分，所以他也有自己的一個解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解

(1）配方法

利用配方，使方程變?yōu)橥耆椒焦剑谟弥苯娱_平方法去求出解(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的時候也一樣，利用這點，把方程化為幾個乘積的形式去解

(3)公式法

這方法也可以是在解一元二次方程的萬能方法了。3）解一元二次方程的步驟：（1）配方法的步驟：

先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1，再同時加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式

(2)分解因式法的步驟：

把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式

(3)公式法

就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項的系數(shù)為a，一次項的系數(shù)為b，常數(shù)項的系數(shù)為c 4）韋達定理

利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之積=c/a 也可以表示為x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韋達定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用

5）一元一次方程根的情況

利用根的判別式去了解，根的判別式可在書面上可以寫為“△”，讀作“diao ta”，而△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：

I當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根； II當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根；

III當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根（在這里，學到高中就會知道，這里有2個虛數(shù)根）

2、不等式與不等式組

不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納 一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：①關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號方向：

在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，他是隨著你加或乘的運算改變。

在不等式中，如果加上同一個數(shù)（或加上一個正數(shù)），不等式符號不改向；例如：A>B,A+C>B+C 在不等式中，如果減去同一個數(shù)（或加上一個負數(shù)），不等式符號不改向；例如：A>B，A-C>B-C 在不等式中，如果乘以同一個正數(shù)，不等號不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）在不等式中，如果乘以同一個負數(shù)，不等號改向；例如：A>B，A*C

所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0，否則不等式不成立；

3、函數(shù)

變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸上的點自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。

一次函數(shù)：①若兩個變量X，Y間的關(guān)系式可以表示成Y=KX+B（B為常數(shù)，K不等于0）的形式，則稱Y是X的一次函數(shù)。②當B=0時，稱Y是X的正比例函數(shù)。

一次函數(shù)的圖象：①把一個函數(shù)的自變量X與對應的因變量Y的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內(nèi)描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)Y=KX的圖象是經(jīng)過原點的一條直線。③在一次函數(shù)中，當K〈0，B〈O，則經(jīng)234象限；當K〈0，B〉0時，則經(jīng)124象限；當K〉0，B〈0時，則經(jīng)134象限；當K〉0，B〉0時，則經(jīng)123象限。④當K〉0時，Y的值隨X值的增大而增大，當X〈0時，Y的值隨X值的增大而減少。

㈡空間與圖形

A、圖形的認識

1、點，線，面

點，線，面：①圖形是由點，線，面構(gòu)成的。②面與面相交得線，線與線相交得點。③點動成線，線動成面，面動成體。

展開與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做棱，側(cè)棱是相鄰兩個側(cè)面的交線，棱柱的所有側(cè)棱長相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是長方體。②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱。

截一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面。視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。

弧、扇形：①由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個扇形。

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2、角

線：①線段有兩個端點。②將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線只有一個端點。③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點。④經(jīng)過兩點有且只有一條直線。

比較長短：①兩點之間的所有連線中，線段最短。②兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點旋轉(zhuǎn)而成的。②一條射線繞著他的端點旋轉(zhuǎn)，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。始邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當他又和始邊重合時，所成的角叫做周角。③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

平行：①同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。②經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。③平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

垂直平分線：垂直和平分一條線段的直線叫垂直平分線。

垂直平分線垂直平分的一定是線段，不能是射線或直線，這根據(jù)射線和直線可以無限延長有關(guān)，再看后面的，垂直平分線是一條直線，所以在畫垂直平分線的時候，確定了2點后（關(guān)于畫法，后面會講）一定要把線段穿出2點。

垂直平分線定理：

性質(zhì)定理：在垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等； 判定定理：到線段2端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上 角平分線：把一個角平分的射線叫該角的角平分線。

定義中有幾個要點要注意一下的，就是角的角平分線是一條射線，不是線段也不是直線，很多時，在題目中會出現(xiàn)直線，這是角平分線的對稱軸才會用直線的，這也涉及到軌跡的問題，一個角個角平分線就是到角兩邊距離相等的點

性質(zhì)定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離相等 判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上 正方形：一組鄰邊相等的矩形是正方形

性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì)

判定：

1、對角線相等的菱形

2、鄰邊相等的矩形

3、相交線與平行線

角：①如果兩個角的和是直角,那么稱和兩個角互為余角；如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角。②同角或等角的余角/補角相等。③對頂角相等。④同位角相等/內(nèi)錯角相等/同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，反之亦然。

4、三角形

三角形：①由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。②三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。③三角形三個內(nèi)角的和等于180度。④三角形分銳角三角形/直角三角形/鈍角三角形。⑤直角三角形的兩個銳角互余。⑥三角形中一地址：宜賓市翠屏區(qū)文重街30號

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納 個內(nèi)角的角平分線與他的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。⑦三角形中，連接一個頂點與他對邊中點的線段叫做這個三角形的中線。⑧三角形的三條角平分線交于一點，三條中線交于一點。⑨從三角形的一個頂點向他的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。⑩三角形的三條高所在的直線交于一點。

圖形的全等：全等圖形的形狀和大小都相同。兩個能夠重合的圖形叫全等圖形。全等三角形：①全等三角形的對應邊/角相等。②條件：SSS、AAS、ASA、SAS、HL。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，反之亦然。

5、四邊形

平行四邊形的性質(zhì)：①兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。②平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫他的對角線。③平行四邊形的對邊/對角相等。④平行四邊形的對角線互相平分。

平行四邊形的判定條件：兩條對角線互相平分的四邊形、一組對邊平行且相等的四邊形、兩組對邊分別相等的四邊形/定義。

菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②領(lǐng)心的四條邊相等，兩條對角線互相垂直平分，每一組對角線平分一組對角。③判定條件：定義/對角線互相垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形。

矩形與正方形：①有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形。②矩形的對角線相等，四個角都是直角。③對角線相等的平行四邊形是矩形。④正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質(zhì)。⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形。

梯形：①一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形。②兩條腰相等的梯形叫等腰梯形。③一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等，對角線星等，反之亦然。

多邊形：①N邊形的內(nèi)角和等于（N-2）180度。②多邊心內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角，在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，他們的和叫做這個多邊形的內(nèi)角和（都等于360度）

平面圖形的密鋪：三角形，四邊形和正六邊形可以密鋪。

中心對稱圖形：①在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。

B、圖形與變換：

1、圖形的軸對稱

軸對稱：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

軸對稱圖形：①角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。②線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。③等腰三角形的“三線合一”。

軸對稱的性質(zhì)：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段/對應角相等。

2、圖形的平移和旋轉(zhuǎn)

平移：①在平面內(nèi)，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移。地址：宜賓市翠屏區(qū)文重街30號

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納 ②經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。

旋轉(zhuǎn)：①在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)。②經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形商店每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

3、圖形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。=M/N，那么A+C+…+M/B+D+…N=A/B。

黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC與BC，如果AC/AB=BC/AC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比（根號5-1/2）。

相似：①各角對應相等，各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。②相似多邊形對應邊的比叫做相似比。

相似三角形：①三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形。②條件：AAA、SSS、SAS。

相似多邊形的性質(zhì)：①相似三角形對應高，對應角平分線，對應中線的比都等于相似比。②相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

圖形的放大與縮小：①如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。②位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。

C、圖形的坐標

平面直角坐標系：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成平面直角坐標系。水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做Y軸或縱軸，X軸與Y軸統(tǒng)稱坐標軸，他們的公共原點O稱為直角坐標系的原點。他們分4個象限。XA，YB記作（A，B）。

D、證明

定義與命題：①對名稱與術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出他們的定義。②對事情進行判斷的句子叫做命題（分真命題與假命題）。③每個命題是由條件和結(jié)論兩部分組成。④要說明一個命題是假命題，通常舉出一個離子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子叫做反例。

公理：①公認的真命題叫做公理。②其他真命題的正確性都通過推理的方法證實，經(jīng)過證明的真命題稱為定理。③同位角相等，兩直線平行，反之亦然；SAS、ASA、SSS，反之亦然；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，反之亦然；內(nèi)錯角相等，兩直線平行，反之亦然；三角形三個內(nèi)角的和等于180度；三角形的一個外交等于和他不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角心的一個外角大于任何一個和他不相鄰的內(nèi)角。④由一個公理或定理直接推出的定理，叫做這個公理或定理的推論。

㈢統(tǒng)計與概率

1、統(tǒng)計

科學記數(shù)法：一個大于10的數(shù)可以表示成A*10N的形式，其中1小于等于A小于10，N是正整數(shù)。

扇形統(tǒng)計圖：①用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。②扇形統(tǒng)計圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數(shù)與360度的比。

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納 各類統(tǒng)計圖的優(yōu)劣：條形統(tǒng)計圖：能清楚表示出每個項目的具體數(shù)目；折線統(tǒng)計圖：能清楚反映事物的變化情況；扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。

近似數(shù)字和有效數(shù)字：①測量的結(jié)果都是近似的。②利用四舍五入法取一個數(shù)的近似數(shù)時，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。③對于一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

平均數(shù)：對于N個數(shù)X1，X2…XN，我們把（X1+X2+…+XN）/N叫做這個N個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記為X（上邊一橫）。

加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時往往給每個數(shù)據(jù)加一個權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。

中位數(shù)與眾數(shù)：①N個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。②一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個數(shù)據(jù)叫做這個組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。③優(yōu)劣：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參加運算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計算簡單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)：各個數(shù)據(jù)如果重復次數(shù)大致相等時，眾數(shù)往往沒有特別的意義。

調(diào)查：①為了一定的目的而對考察對象進行的全面調(diào)查，稱為普查，其中所要考察對象的全體稱為總體，而組成總體的每一個考察對象稱為個體。②從總體中抽取部分個體進行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查，其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。③抽樣調(diào)查只考察總體中的一小部分個體，因此他的優(yōu)點是調(diào)查范圍小，節(jié)省時間，人力，物力和財力，但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準確。為了獲得較為準確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時要主要樣本的代表性和廣泛性。

頻數(shù)與頻率：①每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。②當收集的數(shù)據(jù)連續(xù)取值時，我們通常先將數(shù)據(jù)適當分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖。

2、概率

可能性：①有些事情我們能確定他一定會發(fā)生，這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②有很多事情我們無法肯定他會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件。③一般來說，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。

概率：①人們通常用1（或100%）來表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來表示不可能事件發(fā)生的可能性。②游戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發(fā)生的概率為1，記作P（必然事件）=1；不可能事件發(fā)生的概率為0，記作P（不可能事件）=0；如果A為不確定事件，那么0〈P（A）〈1。

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第二部分 基本定理歸納

1、過兩點有且只有一條直線

2、兩點之間線段最短

3、同角或等角的補角相等

4、同角或等角的余角相等

5、過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6、直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7、平行公理

經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8、如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9、同位角相等，兩直線平行

10、內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

12、兩直線平行，同位角相等

13、兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

15、定理

三角形兩邊的和大于第三邊

16、推論

三角形兩邊的差小于第三邊

17、三角形內(nèi)角和定理

三角形三個內(nèi)角的和等于180°

18、推論1 直角三角形的兩個銳角互余

19、推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和 20、推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21、全等三角形的對應邊、對應角相等

22、邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23、角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

24、推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

25、邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

26、斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

27、定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28、定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29、角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30、等腰三角形的性質(zhì)定理

等腰三角形的兩個底角相等

(即等邊對等角）

31、推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33、推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）

35、推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形

36、推論 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

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37、在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39、定理

線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40、逆定理

和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42、定理1 關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43、定理2 如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44、定理3 兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45、逆定理

如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱

46、勾股定理

直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2

47、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形

48、定理

四邊形的內(nèi)角和等于360°

49、四邊形的外角和等于360°

50、多邊形內(nèi)角和定理

n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180°

51、推論

任意多邊的外角和等于360°

52、平行四邊形性質(zhì)定理1 平行四邊形的對角相等

53、平行四邊形性質(zhì)定理2 平行四邊形的對邊相等

54、推論

夾在兩條平行線間的平行線段相等

55、平行四邊形性質(zhì)定理3 平行四邊形的對角線互相平分

56、平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57、平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊

形是平行四邊形

58、平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59、平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形 60、矩形性質(zhì)定理1 矩形的四個角都是直角 61、矩形性質(zhì)定理2 矩形的對角線相等

62、矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形 63、矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形 64、菱形性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等

65、菱形性質(zhì)定理2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角 66、菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2 67、菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形 68、菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 69、正方形性質(zhì)定理1 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70、正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

71、定理1 關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納 72、定理2 關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分 73、逆定理

如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱

74、等腰梯形性質(zhì)定理

等腰梯形在同一底上的兩個角相等 75、等腰梯形的兩條對角線相等

76、等腰梯形判定定理

在同一底上的兩個角相等的梯

形是等腰梯形 77、對角線相等的梯形是等腰梯形

78、平行線等分線段定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79、推論1 經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80、推論2

經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊 81、三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82、梯形中位線定理

梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半

L=（a+b）÷2

S=L×h 83、(1)比例的基本性質(zhì)：如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果

ad=bc ,那么a:b=c:d 84、(2)合比性質(zhì)：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85、(3)等比性質(zhì)：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0), 那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86、平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

87、推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例

88、定理

如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

89、平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例

90、定理

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

91、相似三角形判定定理1

兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）92、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似 93、判定定理2

兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）94、判定定理3

三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）

95、定理

如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似

96、性質(zhì)定理1

相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

97、性質(zhì)定理2 相似三角形周長的比等于相似比 98、性質(zhì)定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方

99、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值 100、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納 101、圓是定點的距離等于定長的點的集合

102、圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合 103、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合 104、同圓或等圓的半徑相等

105、到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓 106、和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線 107、到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108、到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線 109、定理

不在同一直線上的三點確定一個圓。

110、垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111、推論1：①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112、推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 113、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114、定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115、推論

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等

116、定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117、推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118、推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑 119、推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形 120、定理

圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角 121、①直線L和⊙O相交

d﹤r[；②直線L和⊙O相切

d=r ③直線L和⊙O相離

d﹥r 122、切線的判定定理

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 123、切線的性質(zhì)定理

圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 124、推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點 125、推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126、切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

127、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128、弦切角定理

弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129、推論

如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等 130、相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131、推論

如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項 132、切割線定理

從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線地址：宜賓市翠屏區(qū)文重街30號

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納 段長的比例中項

133、推論

從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條

割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134、如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上 135、①兩圓外離

d﹥R+r；②兩圓外切

d=R+r ③兩圓相交

R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)；④兩圓內(nèi)切

d=R-r(R﹥r)⑤兩圓內(nèi)含

d﹤R-r(R﹥r)136、定理

相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦 137、定理

把圓分成n(n≥3): ⑴依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形 138、定理

任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓 139、正n邊形的每個內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n 140、定理

正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形 141、正n邊形的面積Sn=pnrn／2

p表示正n邊形的周長 142、正三角形面積√3a／4

a表示邊長

143、如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4 144、弧長計算公式：L=n兀R／180 145、扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 146、內(nèi)公切線長= d-(R-r)

外公切線長= d-(R+r)

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第三部分 常用公式歸納

公式分類

公式表達式 乘法與因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式

|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解

-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a 根與系數(shù)的關(guān)系

X1+X2=-b/a X1*X2=c/a

注：韋達定理 判別式

b2-4ac=0

注：方程有兩個相等的實根 b2-4ac>0

注：方程有兩個不等的實根 b2-4ac<0

注：方程沒有實根，有共軛復數(shù)根 某些數(shù)列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14++n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。注：其中

R 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理b2=a2+c2-2accosB；

注：角B是邊a和邊c的夾角

…

n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+

…

…

+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+

…

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第四部分 基本方法歸納

1、配方法：所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

2、因式分解法：因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學的一個有力工具、一種數(shù)學方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。

3、換元法：換元法是數(shù)學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數(shù)學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)等簡單應用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

5、待定系數(shù)法：在解數(shù)學問題時，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學數(shù)學中常用的方法之一。

6、構(gòu)造法：在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學方法，我們稱為構(gòu)造法。運用構(gòu)造地址：宜賓市翠屏區(qū)文重街30號

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納 法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學知識互相滲透，有利于問題的解決。

7、反證法：反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結(jié)論。

反設是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等于；大(小)于、不大(小)于；都是、不都是；至少有一個、一個也沒有；至少有n個、至多有(n一1)個；至多有一個、至少有兩個；唯

一、至少有兩個。

歸謬是反證法的關(guān)鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。

8、面積法：平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關(guān)系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。

用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運算達到求證的結(jié)果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

9、幾何變換法：在數(shù)學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數(shù)學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數(shù)學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結(jié)合起來，有利于對圖形本質(zhì)的認識。

幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）對稱。

10、客觀性題的解題方法：選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎(chǔ)知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。

填空題是標準化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識復蓋面廣，評卷準確迅速，有利于考查學生的分析判斷能力和計算能力等優(yōu)點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。

要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。

（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接推演法。

（2）驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當遇到定量命題時，常用此法。

（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數(shù)或圖形）代入題設條件或結(jié)論中去，從而獲得地址：宜賓市翠屏區(qū)文重街30號

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納 解答。這種方法叫特殊元素法。

（4）排除、篩選法：對于正確答案有且只有一個的選擇題，根據(jù)數(shù)學知識或推理、演算，把不正確的結(jié)論排除，余下的結(jié)論再經(jīng)篩選，從而作出正確的結(jié)論的解法叫排除、篩選法。

（5）圖解法：借助于符合題設條件的圖形或圖象的性質(zhì)、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。

（6）分析法：直接通過對選擇題的條件和結(jié)論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結(jié)果，稱為分析法。

第五部分 輔助線作法歸納

人說幾何很困難，難點就在輔助線。

輔助線，如何添？

把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

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-博雅教育 一對一精英輔導 中考數(shù)學知識點歸納

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。

要作等角添個圓，明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。

解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。

分析綜合方法選，難再多也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。

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第四篇：2012屆中考數(shù)學總復習專題教案5

課時?．分式?【課前熱身】?

x?1x2?x?．當???????時，分式有意義；當???????時，分式的值

x?1x為?．??．填寫出未知的分子或分母：????3x()y?11???????2?22x?yx?yy?2y?1()xy????????????x?yy?xxx1b1，，2，中，分式的個數(shù)是???x?133x?y?．計算：?．代數(shù)式?．??．??．??．??(ab)2??計算2的結(jié)果為???ab?．b?．a(chǎn)??．1?．?【知識整理】?

A的形式，如果除式?中含BAA有?????????，那么稱為分式．若?????????，則有意義；若

BBAA?????????，則無意義；若????????????????，則????BB1b??分式：整式?除以整式?，可以表示成?．分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以?或除以?同一個不等于零的整式，分式的????????????????．用式子表示為?????????????????????????????????????????????????????約分：把一個分式的分子和分母的????????約去，這種變形稱為分式的約分．?

?．通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把異分母的分式化為???????????的分式，這一過程稱為分式的通分???．分式的運算：?用字母表示??⑴加減法法則：①同分母的分式相加減：????????????????????????????????????②異分母的分式相加減：????????????????????????????????????⑵乘法法則：??????????????????????????乘方法則：?????????????????????????⑶除法法則：????????????????????????????．易錯知識辨析：在討論分式問題，使分式有意義是前提，忽視這個前提，就容易出現(xiàn)各種各樣的錯誤?特別是求使得分式值為零的問題，最容易忽視分母不為零這個前提??【例題講解】?例????當????????????時，分式式3無意義；?1?x3有意義；當????????????時，分1?x2x???當?????????????時，分式?9的值為零??x?3例?（?）已知x??3，則x2?1x1????????????????x2112x?14xy?2y???已知??3，則代數(shù)式的值為???????????????xyx?2xy?y???若????，則11?的值為???????a?1b?1m2?6m?93?m?5?例?化簡：???m?2???m?32m?4?m?2?例?先化簡，再求值：?

?????112???，其中??????222x?2xx?4x?4x?2x??x?x?1?1??????，其中x?3?1???22?x?1x?1?x?2x?1【中考演練】?5abx2?4x?4?．化簡分式：?????????，???????????????20a2bx?2?．???3a()a?21??≠??，???2????5xy10axya?4()x?11?????????????x?22?x?．計算：?．分式

111，的最簡公分母是?????????．?

2x3x2y24xy3?．把分式x??≠?，?≠??中的分子、分母的x、y同時擴大?倍，x?y那么分式的值?????擴大?倍??縮小??縮小??不變??．把分式xy??≠?，?≠??中的分子、分母的x、y同時擴大?倍，x?y1214那么分式的值?????擴大?倍??縮小??縮小??不變??．如果??，則xy4x?yx????．?．???．??．

3yy?

1214??下列各式，正確的是???yy2x?y?x?y11?0???2???0???????x?y?x?yxx?x?yx?y??下列名式中，最簡分式是???34(x?y)y2?x2x2?y2x2?y2??????2???2285(x?y)x?yxy?xy(x?y)

???下列式??????

b?aa?b|b?a|x?y1???1；；???；????22c?aa?ca?bx?yx?y?x?yx?y中正確的有?????x?yx?y???個???個???個???個????已知兩個分式：??三個結(jié)論：?①???；②?、?互為倒數(shù)；③?、?互為相反數(shù)．?請問哪個正確?為什么???x2?2x?11?1??????先化簡?2，再取一個你認為合理的x值，代入求x?1xx?1??411?，??，其中?≠±?．下面有2x?22?xx?4原式的值?????已知?????????，?????????，?????????，且?????，求acb1???bcabac11?的值???abc

第五篇：數(shù)學選修2-2教案：2.2.1綜合法和分析法、2.2.2反證法

綜合法和分析法

教學要求：結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

1a

1?1a

2，試請此結(jié)論推廣猜想.?4”

1a1

?1a2

?....?

1an

2? n）

（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則2.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：

1a?1b?1c?9.先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點？

二、講授新課： 1.教學例題：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：運用什么知識來解決？（基本不等式）→板演證明過程（注意等號的處理）→ 討論：證明形式的特點

② 提出綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論成立.框圖表示：

要點：順推證法；由因?qū)Ч?b?c?a

a

?

a?c?b

b

?

a?b?c

c

?3.③ 練習：已知a，b，c是全不相等的正實數(shù)，求證

④ 出示例2：在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結(jié)論？ 如何轉(zhuǎn)化三角形中邊角關(guān)系？→ 板演證明過程→ 討論：證明過程的特點.→ 小結(jié)：文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言；邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；挖掘題中的隱含條件（內(nèi)角和）2.練習：

?

① A,B為銳角，且tanA?tanB?AtanB?求證：（提示：算tan(A?B)）A?B?60.② 已知a?b?c, 求證：

1a?b

?

1b?c

?

4a?c

.3.小結(jié)：綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論Q1,Q2,???，直到最后的結(jié)論是Q.運用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題.三、鞏固練習：

1.求證：對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.（教材P52 練習1題）（兩人板演 → 訂正 → 小結(jié)：運用三角公式進行三角變換、思維過程）2.?ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：3.作業(yè)：教材P54A組 1題.1a?b

?

1b?c

?

3a?b?c

.第二課時2.2.1綜合法和分析法

（二）教學要求：結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.教學難點：根據(jù)問題的特點，選擇適當?shù)淖C明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b

2?(a?0,b?0).（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）

二、講授新課：

1.教學例題：

① 出示例

1??

討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件？

→ 板演證明過程（注意格式）

→ 再討論：能用綜合法證明嗎？→ 比較：兩種證法

② 提出分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：

22要點：逆推證法；執(zhí)果索因.1331③ 練習：設x > 0，y > 0，證明不等式：(x?y)2?(x?y)3.先討論方法 → 分別運用分析法、綜合法證明.④ 出示例4：見教材P48.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論出發(fā)，逐步反推）⑤ 出示例5：見教材P49.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論與已知出發(fā)，逐步探求）

2.練習：證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：設截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為

形邊長為l4ll2?，截面積為?(l22)>().2?4ll2?)，周長為l的正方2，截面積為()2，問題只需證：?（43.小結(jié)：分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.（框圖示意）

三、鞏固練習：

2221.設a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c?a?b?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，即證：2?cosC?

CC?cosC?2，即證：sin(C?

2.作業(yè)：教材P52 練習2、3題.?6)?1（成立）.第三課時2.2.2反證法

教學要求：結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點.教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.教學難點：根據(jù)問題的特點，選擇適當?shù)淖C明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）

2.提出問題：平面幾何中，我們知道這樣一個命題：“過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個命題？

3.給出證法：先假設可以作一個⊙O過A、B、C三點，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點。

但 ∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾)

∴ 過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓.二、講授新課：

1.教學反證法概念及步驟： A① 練習：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么a?b

② 提出反證法：一般地，假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設原命題的結(jié)論不成立 → 從假設出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設不成立，從而原命題的結(jié)論成立

應用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.方法實質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.注：結(jié)合準備題分析以上知識.2.教學例題：

① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結(jié)論？ → 如何從假設出發(fā)進行推理？ → 得到怎樣的矛盾？

與教材不同的證法：反設AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結(jié)OP，則由垂徑定理：OP?AB，OP?CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例

2.（同上分析 → 板演證明，提示：有理數(shù)可表示為m/n）

?m/n（m,n為互質(zhì)正整數(shù)），從而：(m/n)2?3，m2?3n2，可見m是3的倍數(shù).設m=3p（p是正整數(shù)），則 3n2?m2?9p2，可見n 也是3的倍數(shù).這樣，m, n就不是互質(zhì)的正整數(shù)（矛盾）.m/n.③ 練習：如果a?1為無理數(shù)，求證a是無理數(shù).提示：假設a為有理數(shù)，則a可表示為p/q（p,q為整數(shù)），即a?p/q.由a?1?(p?q)/q，則a?1也是有理數(shù)，這與已知矛盾.∴ a是無理數(shù).3.小結(jié)：反證法是從否定結(jié)論入手，經(jīng)過一系列的邏輯推理，導出矛盾，從而說明原結(jié)論正確.注意證明步驟和適應范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題）

三、鞏固練習： 1.練習：教材P541、2題2.作業(yè)：教材P54A組3題.