第一篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)反證法專題講座(教案)

九年級(jí)數(shù)學(xué)反證法專題講座

教者：蔣昌軍

1.7.3反證法

一、復(fù)習(xí)回顧：

1、四種命題的關(guān)系原命題若p則q互逆逆命題若q則p互互否為為逆逆否否互否互否命題若?p則?q互逆逆否命題若?q則?p2、四種命題之間的真假關(guān)系（1）原命題為真，（2）逆命題不一定為真，（3）否命題也不一定為真，（4）逆否命題一定為真。主講：羅軍

一、什么叫反證法？

反證法是一種通過證明結(jié)論的反面錯(cuò)誤，從而得到其正面（即結(jié)論）正確的一種幾何證明方法。通常分為：

①歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)②窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。

二、用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為： 1）.先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的;2）.然后以假設(shè)為條件進(jìn)行推理，直至找出一個(gè)與所學(xué)過的公理、定理或已知的條件相矛盾的結(jié)論;3）.否定假設(shè),得出題目原結(jié)論正確.【經(jīng)典例題】

例1.求證:在一個(gè)三角形中,至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60° 已知:△ABC 求證: △ABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°。證明：假設(shè)△ABC中沒有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°，則∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°, ∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，與定理“三角形內(nèi)角和等于180°”矛盾 ∴△ABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°。

例3.如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,∠A＝90°,⊙O 經(jīng)過點(diǎn)A、B、D.求證:點(diǎn)C不在⊙O上.證明：假設(shè)點(diǎn)C在⊙O上，連接BD，∵∠A＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°,又AD//BC, ∴∠B＝90°

∴四邊形ABCD是矩形,這與已知“四邊形是梯形ABCD”矛盾 ∴點(diǎn)C不在⊙O上.例4.如圖，已知⊙O中，非直徑的弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P。求證：AB和CD不互相平分

證明：假設(shè)AB和CD互相平分，連接OP，則由垂徑定理，有：

OP⊥AB,且OP⊥CD，因此過點(diǎn)P有兩條直線AB和CD都與OP垂直 這與垂直公理“過已知直線外的一個(gè)已知點(diǎn)有并且只有一條直線和已 知直線垂直”矛盾，∴AB和CD不互相平分

例5.如圖，在平面內(nèi)，AB是L的斜線，CD是L的垂線。求證：AB與CD必定相交。

證明：假設(shè)：AB與CD不定相交則AB∥CD。

而CD⊥L,∴AB⊥L,這與已知條件“AB是L的斜線”矛盾。∴ AB與CD必定相交。

例8.如圖，在正方形ABCD中，做∠EAF=45°，AP⊥EF。求證：AP=AB.證明：假設(shè)AP≠AB,則則就兩種可能：AP＞AB或AP＜AB ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝45°，∠1＋∠4＝45°（1）假設(shè)AP＞AB，∵cos∠1＝

ABAP, cos∠2＝,而AP＞AB，AFAF∴∠2＜∠1，同理∠3＜∠4，∴∠2＋∠3＜∠1＋∠4 又∠1＋∠4＝45°

∠2＋∠3＜45°，即∠EAF＜45°，這與已知“∠EAF＝45°”矛盾，∴假設(shè)不成立，即“假設(shè)AP＞AB”不成立；（2）假設(shè)AP＜AB，∵cos∠4＝ADAP, cos∠3＝,而 AP＞AB＝AD，AEAE∴∠3＞∠4，同理∠2＞∠1 ∴∠3＋∠2＞∠4＋∠1而∠1＋∠4＝45°

∴∠3＋∠2＞45°即即∠EAF＞45°，這與已知“∠EAF＝45°”矛盾，∴假設(shè)不成立，即“假設(shè)AP＜AB”不成立；

綜上，AP＞AB和AP＜AB均不成立，∴AP＝AB。

第二篇：2018年中考數(shù)學(xué)精品資料17.5反證法教案

17.5反證法

數(shù)學(xué)組 劉榮格

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本方法.2.培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡單推理的技能，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力.【教學(xué)重點(diǎn)】：反證法證題的步驟.【教學(xué)難點(diǎn)】理解反證法的推理依據(jù)及方法.【教學(xué)方法】講練結(jié)合教學(xué).【教學(xué)過程】 提問：

師：通過預(yù)習(xí)我們知道反證法，什么叫做反證法？

生：從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.師：本節(jié)將進(jìn)一步研究反證法證題的方法，反證法證題的步驟是什么？ 生：共分三步：

（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾；

（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.師：反證法是一種間接證明命題的基本方法。在證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題時(shí)，如果運(yùn)用直接證明法比較困難或難以證明時(shí)，可運(yùn)用反證法進(jìn)行證明。

例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三邊有何關(guān)系？為什么？ 解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根據(jù)勾股定理可知

a2 +b2 ＝c2

二、探究 問題：

若將上面的條件改為“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，請(qǐng)問結(jié)論a2 +b2 ≠ c2 成立嗎？請(qǐng)說明理由。探究：

假設(shè)a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，這與已知條件∠C≠90°矛盾。假設(shè)不成立，從而說明原結(jié)論a2 +b2 ≠ c2 成立。

這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后經(jīng)過正確的；邏輯推理得出與已知、定理、公理矛盾的結(jié)論，從而得到原結(jié)論的正確。象這樣的證明方法叫做反證法。

三、應(yīng)用新知

例１：在△ABC中，AB≠AC,求證：∠B ≠ ∠ C 證明：假設(shè)，∠B ＝ ∠C，則AB＝AC這與已知AB≠AC矛盾．假設(shè)不成立．∴∠B ≠ ∠ C 小結(jié)： 反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面不成立→邏輯推理得出矛盾→肯定原結(jié)論正確

例2 已知：如圖有a、b、c三條直線，且a//c,b//c.求證：a//b 證明：假設(shè)a與b不平行，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A。那么過點(diǎn)A 就有兩條直線a、b與直線c平行，這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行矛盾,假設(shè)不成立。∴a//b.小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的定理、公理矛盾 例3 求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°。已知：△ABC , 求證：△ABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60° 證明： 假設(shè)△ABC中沒有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°

則∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形的內(nèi)角和為180度矛盾．假設(shè)不成立． ∴△ABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°

例4．試證明：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行.（學(xué)生完成，教師引導(dǎo)）

已知： ； 求證： ；

證明：假設(shè)，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A。那么過點(diǎn)A 就有 條直線與直線c平行，這與“過直線外一點(diǎn) ”。矛盾,則假設(shè)不成立。

∴。

三、課堂練習(xí)：課本

四、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)重點(diǎn)研究了反證法證題的一般步驟及反證法證明命題的應(yīng)用。對(duì)于反證法的熟練掌握還需在今后隨著學(xué)習(xí)的深入，逐步加強(qiáng)和提高。

五、課后作業(yè)：課本

六、板書設(shè)計(jì)

§29.2 反證法

1.反證法證明命題的步驟。2.反證法應(yīng)用：例題。小結(jié)：

七、教學(xué)反思：

“反證法”是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種特殊的證明方法，對(duì)于一些證明體它有著獨(dú)特，簡便，實(shí)用的方法。故反證法的學(xué)習(xí)非常重要，在反思本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)中得出以下幾點(diǎn)體會(huì)： 1.分清所證命題的條件和結(jié)論

如證明命題“一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)角是指教”其中條件是“一個(gè)三角形”（）結(jié)論是“不能有兩個(gè)角是直角”（）熟記步驟

第一步:假設(shè)即假設(shè)命題的結(jié)論的反面為正確的.如引用上述命題即“假設(shè)能有兩個(gè)叫是直角不妨設(shè) ” 第二步：推理后發(fā)現(xiàn)矛盾。一般利用假設(shè)進(jìn)行推理如繼上可知 發(fā)現(xiàn)這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，所以假設(shè)不成立，故一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角，即為第三步：推翻假設(shè)，證明原命題成立。抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)

反證法的重點(diǎn)是能寫出結(jié)論的反面，同時(shí)也是難點(diǎn)。如： 的反面是，易錯(cuò)寫成 ；又如“寫出線段AB,CD互相平分的反面”，線段AB,CD互相平分具體指：“AB平分CD且CD平分AB”.他的反面應(yīng)包括以下三種情況：（1）AB平分CD但CD不平分AB；（2）CD平分AB但AB不平分CD；（3）AB不平分CD且CD不平分AB.統(tǒng)稱為“AB，CD不互相平分”，而學(xué)生往往只考慮第（3）種情況，即AB，CD互相不平分。注重規(guī)范

在用反證法證明的命題中 經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)文字命題。如證明命題“梯形的對(duì)角線不能互相平分”時(shí)切記一定要先用數(shù)學(xué)語言寫出“已知”和“求證”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線；求證：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步驟證明。

反證法不僅能提高學(xué)生的演繹推理能力，而且在后繼的學(xué)習(xí)中有著不可忽視的作用，雖然在初中教材中所占篇幅很少，但本人認(rèn)為不應(yīng)輕視，應(yīng)讓學(xué)生掌握其精髓，合理的去運(yùn)用。2013、12、18

第三篇：數(shù)學(xué)選修2-2教案：2.2.1綜合法和分析法、2.2.2反證法

綜合法和分析法

教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

1a

1?1a

2，試請(qǐng)此結(jié)論推廣猜想.?4”

1a1

?1a2

?....?

1an

2? n）

（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則2.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：

1a?1b?1c?9.先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點(diǎn)？

二、講授新課： 1.教學(xué)例題：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：運(yùn)用什么知識(shí)來解決？（基本不等式）→板演證明過程（注意等號(hào)的處理）→ 討論：證明形式的特點(diǎn)

② 提出綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.框圖表示：

要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч?b?c?a

a

?

a?c?b

b

?

a?b?c

c

?3.③ 練習(xí)：已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證

④ 出示例2：在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結(jié)論？ 如何轉(zhuǎn)化三角形中邊角關(guān)系？→ 板演證明過程→ 討論：證明過程的特點(diǎn).→ 小結(jié)：文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言；邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；挖掘題中的隱含條件（內(nèi)角和）2.練習(xí)：

?

① A,B為銳角，且tanA?tanB?AtanB?求證：（提示：算tan(A?B)）A?B?60.② 已知a?b?c, 求證：

1a?b

?

1b?c

?

4a?c

.3.小結(jié)：綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論Q1,Q2,???，直到最后的結(jié)論是Q.運(yùn)用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題.三、鞏固練習(xí)：

1.求證：對(duì)于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.（教材P52 練習(xí)1題）（兩人板演 → 訂正 → 小結(jié)：運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換、思維過程）2.?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：3.作業(yè)：教材P54A組 1題.1a?b

?

1b?c

?

3a?b?c

.第二課時(shí)2.2.1綜合法和分析法

（二）教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b

2?(a?0,b?0).（討論 → 板演 → 分析思維特點(diǎn)：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）

二、講授新課：

1.教學(xué)例題：

① 出示例

1??

討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件？

→ 板演證明過程（注意格式）

→ 再討論：能用綜合法證明嗎？→ 比較：兩種證法

② 提出分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：

22要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因.1331③ 練習(xí)：設(shè)x > 0，y > 0，證明不等式：(x?y)2?(x?y)3.先討論方法 → 分別運(yùn)用分析法、綜合法證明.④ 出示例4：見教材P48.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論出發(fā)，逐步反推）⑤ 出示例5：見教材P49.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論與已知出發(fā)，逐步探求）

2.練習(xí)：證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：設(shè)截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為

形邊長為l4ll2?，截面積為?(l22)>().2?4ll2?)，周長為l的正方2，截面積為()2，問題只需證：?（43.小結(jié)：分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.（框圖示意）

三、鞏固練習(xí)：

2221.設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c?a?b?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，即證：2?cosC?

CC?cosC?2，即證：sin(C?

2.作業(yè)：教材P52 練習(xí)2、3題.?6)?1（成立）.第三課時(shí)2.2.2反證法

教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）

2.提出問題：平面幾何中，我們知道這樣一個(gè)命題：“過在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個(gè)命題？

3.給出證法：先假設(shè)可以作一個(gè)⊙O過A、B、C三點(diǎn)，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點(diǎn)。

但 ∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾)

∴ 過在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓.二、講授新課：

1.教學(xué)反證法概念及步驟： A① 練習(xí)：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么a?b

② 提出反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立 → 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立

應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等）.方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價(jià)性來進(jìn)行證明的，即由一個(gè)命題與其逆否命題同真假，通過證明一個(gè)命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實(shí).注：結(jié)合準(zhǔn)備題分析以上知識(shí).2.教學(xué)例題：

① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結(jié)論？ → 如何從假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理？ → 得到怎樣的矛盾？

與教材不同的證法：反設(shè)AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結(jié)OP，則由垂徑定理：OP?AB，OP?CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例

2.（同上分析 → 板演證明，提示：有理數(shù)可表示為m/n）

?m/n（m,n為互質(zhì)正整數(shù)），從而：(m/n)2?3，m2?3n2，可見m是3的倍數(shù).設(shè)m=3p（p是正整數(shù)），則 3n2?m2?9p2，可見n 也是3的倍數(shù).這樣，m, n就不是互質(zhì)的正整數(shù)（矛盾）.m/n.③ 練習(xí)：如果a?1為無理數(shù)，求證a是無理數(shù).提示：假設(shè)a為有理數(shù)，則a可表示為p/q（p,q為整數(shù)），即a?p/q.由a?1?(p?q)/q，則a?1也是有理數(shù)，這與已知矛盾.∴ a是無理數(shù).3.小結(jié)：反證法是從否定結(jié)論入手，經(jīng)過一系列的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而說明原結(jié)論正確.注意證明步驟和適應(yīng)范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題）

三、鞏固練習(xí)： 1.練習(xí)：教材P541、2題2.作業(yè)：教材P54A組3題.

第四篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)《中心對(duì)稱》教案

《中心對(duì)稱》教案

情境感知

兩人輪流往一個(gè)圓形桌子上擺放硬幣，規(guī)則是每人每次擺一個(gè)，硬幣不能互相重疊，也不能有一部分在桌面邊緣之外，擺好之后不許移動(dòng)．這樣經(jīng)過多次擺放，直到誰最先擺不下硬幣就認(rèn)輸．假如兩個(gè)都不是內(nèi)行，是先放著獲勝，還是后放者獲勝？假如是你和別人一起做這個(gè)游戲，你打算怎樣放才能穩(wěn)操勝券？

基礎(chǔ)準(zhǔn)備

一、中心對(duì)稱

1．把一個(gè)圖形_______________________________________________，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于該點(diǎn)對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成_____________，這個(gè)點(diǎn)叫做____________，____________叫做對(duì)稱點(diǎn)．

2．關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)________________都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所______________．關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是___________圖形．

問題1．四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，如果OA?OC，BO?DO，那么與△AOB成中心對(duì)稱的是（）

（A）△BOC．（B）△COD．（C）△DOA．（D）△ABC．

二、中心對(duì)稱圖形

3．把一個(gè)圖形_______________________________________________，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．

問題2．下列圖形中，哪些是軸對(duì)稱圖形？哪些是中心對(duì)稱圖形？是中心對(duì)稱圖形，請(qǐng)指出對(duì)稱中心．

（1）角．（2）正三角形．（3）平行四邊形．（4）等腰梯形．（5）矩形．（6）菱形．（7）正方形．（8）圓．

三、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

4．兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的_______________相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P'（__________，__________）．

問題3．與M（10，?6）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

（A）（10，6）．（B）（?10，6）．（C）（10，?6）．（D）（?10，?6）．

要點(diǎn)探究

探究1．識(shí)別軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形

例1．下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形而是中心對(duì)稱圖形的是（）（A）等邊三角形．（B）平行四邊形．（C）矩形．（D）正方形．

解析：A不是中心稱圖形，不符合要求．C、D既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，也不符合要求．

答案：B．

智慧背囊：軸對(duì)稱圖形是沿某條直線翻折180?后兩部分圖形完全重合，而中心對(duì)稱圖形是繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180?后與原圖形完全重合．解題時(shí)注意兩者的區(qū)別．

活學(xué)活用：下列各組圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）（A）正方形、長方形、平行四邊形．（B）等邊三角形、正方形、長方形．（C）正方形、長方形、圓．（D）平行四邊形、正方形、等腰三角形．

探究2．利用中心對(duì)稱探究數(shù)學(xué)問題

例2．如圖，在△ABC中，已知AD是BC邊上的中線．若AB?5，AC?3，求AD的取值范圍．

解析：畫出與已知圖形成中心對(duì)稱的圖形，利用中心對(duì)稱的特征解決問題．

答案：延長AD到點(diǎn)E，使AD?DE，連BE．∵AD?ED，DC?DB，∠ADC?∠EDB，∴△ADC≌△EDB，∴BE?AC?3，而AB?5，∴2?2AD?8，∴1?AD?4．

智慧背囊：利用中線倍長構(gòu)造中心對(duì)稱圖形是解決中線問題常用方法之一．

活學(xué)活用：在數(shù)軸上表示1和?1的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么?4?x??2的區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)域是什么？在數(shù)軸上表示出來．

探究3．中心對(duì)稱的創(chuàng)新應(yīng)用

例3．請(qǐng)你在下圖中沿虛線用四種不同的方法，把4?4正方形方格圖形分割成兩個(gè)完全一樣的圖形．

解析：正方形是軸對(duì)稱圖形，共有對(duì)稱軸共四條，有兩條是沿著虛線的．正方形又是中心對(duì)稱圖形，通過對(duì)稱中心沿著虛線畫一條關(guān)于這一點(diǎn)中心對(duì)稱的折線即可．

答案：提供下面答案供參考，聰明的同學(xué)們，你還有其它分割方法嗎？

智慧背囊：本題利用軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性質(zhì)分割圖形為全等形．實(shí)質(zhì)上，都是通過正方形的對(duì)稱中心沿虛線格作出對(duì)稱分割．

活學(xué)活用：一個(gè)每邊長均為4m的荷花池如圖所示，O是荷花池的中心，O到各頂點(diǎn)的距離相等．現(xiàn)計(jì)劃在池中安裝13盞燈，使其夜景變得更加漂亮．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)安裝方案（要求相鄰兩盞燈間的距離d的取值范圍為1m?d?2m，同時(shí)設(shè)計(jì)的圖案要美觀）．

隨堂嘗試

A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1．選擇題

（1）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

（A）角．（B）等邊三角形．（C）矩形．（D）平行四邊形．

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，?3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)是（）

（A）（2，3）．（B）（?2，3）．（C）（?2，?3）．（D）（?3，2）．

（3）如圖①，小明將四張牌放在桌上，然后蒙上眼睛，請(qǐng)一位同學(xué)上前，將某一張旋轉(zhuǎn)180o．小明解開蒙具，看到四張牌如圖②所示，他很快就確定被旋轉(zhuǎn)過的牌是（）

（A）方塊4．（B）黑桃5．（C）梅花6．（D）紅桃7．

圖①

圖②

（4）如圖，可由某個(gè)圖案繞該圖的中心旋轉(zhuǎn)180而成的是（）

o

（A）

（B）

（C）

（D）（5）如圖，在等邊△ABC中，AB?9，點(diǎn)O在AB上，且AO?3，點(diǎn)P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60?得到線段OD．要使點(diǎn)D恰好落在BC上，則AP的長是（）

（A）4．（B）5．（C）6．（D）8． 2．填空題

（1）△ABC中，AB?7，AC?9，則中線AD的取值范圍是_______________．（2）在下面的四個(gè)圖形中，圖形①與圖形____________成軸對(duì)稱，圖①與圖形_____________成中心對(duì)稱（填寫符合要求的圖形所對(duì)應(yīng)的序號(hào)）．

圖①

圖②

圖③

圖④

（3）如圖，三個(gè)大小不等的圓的圓心相互重合，且最大圓的半徑為5cm，那么，圖中陰影部分的面積為____________cm2（結(jié)果中保留?）．

（第（3）題）

（第（4）題）

（第（5）題）

（4）如圖是兩張全等的圖案，它們完全重合地疊放在一起，按住下面的圖案不動(dòng)，將上面圖案繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，至少旋轉(zhuǎn)____________度角后，兩張圖案構(gòu)成的圖形是中心對(duì)稱圖形．

（5）如圖，Rt△ACB中，∠C?90?，AE?3，BE?5，正方形CDEF的頂點(diǎn)都在△ABC的邊上，△AED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?后與△GEF重合，那么陰影部分的面積為_________．

3．在方格圖中畫出△ABC關(guān)于O的對(duì)稱圖形．

（第3題）

（第4題）

4．如圖，有一長方形土地，地內(nèi)有一口井，現(xiàn)將這塊地平分給甲、乙兩個(gè)承包戶種植蔬菜，要求兩家合用這口井澆地．請(qǐng)問應(yīng)如何分？在圖中畫出分界線．

B能力升級(jí)

5．有5?5的小正方形組成的圖形如圖所示，去掉中心的一個(gè)方格，余下24格，要求把它分成大小相等，形狀相同的四塊，請(qǐng)你在下面的三個(gè)圖形中分別設(shè)計(jì)三個(gè)不同分法．

6．由4個(gè)全等的正方形組成的“L”形圖案如圖所示，請(qǐng)按要求在網(wǎng)格中畫圖．（1）在圖①中添加1個(gè)正方形，使它成為軸對(duì)稱圖形；（2）在圖②中添加1個(gè)正方形，使它成為中心對(duì)稱圖形；

（3）在圖③中改變1個(gè)正方形的位置，使它既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．

C感受中考

7．在如圖的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，△ABC與△ABC構(gòu)成的圖形是中心對(duì)稱圖形．

（1）畫出此中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心O；

（2）畫出將△A'B'C'，沿直線DE方向向上平移5格得到的△ABC；

（3）要使△ABC與△A1B1C1重合，則△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，至少要旋轉(zhuǎn)多少度？（直接寫出答案）

8．下列交通標(biāo)志中既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

課后實(shí)踐

乾隆和紀(jì)曉嵐楹聯(lián)中的對(duì)稱

傳說乾隆下江南時(shí)，曾光顧了一個(gè)小酒店．當(dāng)時(shí)，大雪飄飄，顧客寥寥，乾隆有興而發(fā)，出了一個(gè)上聯(lián)——“水冷酒一滴二滴三滴”，要隨從紀(jì)曉嵐對(duì)下聯(lián)，紀(jì)曉嵐是乾隆的寵臣，文學(xué)功底厚實(shí)．紀(jì)曉嵐看后，覺得這副對(duì)聯(lián)很難對(duì)上，因?yàn)樗渚迫齻€(gè)字很特殊，它們的偏旁正好是一滴二滴三滴，要找到這樣的三個(gè)字，即要有意義，又要與數(shù)字有聯(lián)系，還要保證對(duì)稱，確實(shí)不容易．不過紀(jì)曉嵐畢竟是紀(jì)曉嵐，也稍加思索，寫出了下聯(lián)——“丁香花百頭千頭萬頭”．這真是太妙了！丁香花三個(gè)字出很特殊，丁字的頭與百字頭一樣，香字的頭是千，花字的頭與萬字頭一樣．水冷酒使人聯(lián)想到寒冬臘月，而丁香花使人聯(lián)想到春意融融．這副對(duì)聯(lián)內(nèi)在對(duì)稱，不禁叫人拍案叫絕．

第五篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)滲透法制教育教案

九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科滲透法制教育教案

教師：張志恒

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課為22.3實(shí)際問題與一元二次方程（1），主要學(xué)習(xí)建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型解決傳播問題。

教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)技能

1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型．

2.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理． 數(shù)學(xué)思考

經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為代數(shù)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用一元二次方程對(duì)之進(jìn)行描述。

解決問題

通過解決傳播問題，學(xué)會(huì)將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐應(yīng)用意識(shí)．

情感態(tài)度

通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的價(jià)值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)對(duì)促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用．了解《中華人民共和國傳染病防治法》。

重難點(diǎn)、關(guān)鍵

重點(diǎn)：列一元二次方程解有關(guān)傳播問題的應(yīng)用題 難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)傳播問題中的等量關(guān)系，滲透法制知識(shí) 關(guān)鍵：建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型解傳播問題 教學(xué)準(zhǔn)備

教師準(zhǔn)備：制作課件，精選習(xí)題

學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)有關(guān)知識(shí)，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入 【問題】

下表是某一周甲、乙兩種股票每天每股的收盤價(jià)（收盤價(jià)：股票每天交易結(jié)果時(shí)的價(jià)格）：

星期 一 二 三 四 五

甲 12元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元

乙 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 13.75元

某人在這周內(nèi)持有若干甲、乙兩種股票，若按照兩種股票每天的收盤價(jià)計(jì)算（不計(jì)手續(xù)費(fèi)、稅費(fèi)等），則在他帳戶上，星期二比星期一增加200元，?星期三比星期二增加1300元，這人持有的甲、乙股票各多少股？

老師點(diǎn)評(píng)分析：一般用直接設(shè)元，即問什么就設(shè)什么，即設(shè)這人持有的甲、乙股票各x、y張，由于從表中知道每天每股的收盤價(jià)，因此，兩種股票當(dāng)天的帳戶總數(shù)就是x或y乘以相應(yīng)的每天每股的收盤價(jià)，再根據(jù)已知的等量關(guān)系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．

解：設(shè)這人持有的甲、乙股票各x、y張．

則 解得 答：（略）【思考】

列方程解應(yīng)用題的基本步驟有哪些？應(yīng)注意什么？ 【活動(dòng)方略】

教師演示課件，給出題目． 學(xué)生口答，老師點(diǎn)評(píng)。【設(shè)計(jì)意圖】

復(fù)習(xí)列方程一次方程解應(yīng)用題，為繼續(xù)學(xué)習(xí)建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型解實(shí)際問題作好鋪墊．

二、探索新知 【問題情境】

有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

【分析】

（1）本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？（2）如何理解“兩輪傳染”？

（3）如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？（4）能否把方程列得更簡單，怎樣理解？

（5）解方程并得出結(jié)論，對(duì)比幾種方法各有什么特點(diǎn)？ 【解答】

設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則依題意第一輪傳染后有x+1人患了流感，第二輪傳染后有x(1+x)人患了流感。于是可列方程：

1+x+x(1+x)=121 解方程得 x1=10，x2=-12(不合題意舍去)因此每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人． 【思考】

如果按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少人患了流感？ 【活動(dòng)方略】 教師提出問題

學(xué)生分組，分別按問題（3）中所列的方程來解答，選代表展示解答過程，并講解解題過程和應(yīng)注意問題．

【設(shè)計(jì)意圖】

使學(xué)生通過多種方法解傳播問題，驗(yàn)證多種方法的正確性；通過解題過程的對(duì)比，體會(huì)對(duì)已知數(shù)量關(guān)系的適當(dāng)變形對(duì)解題的影響，豐富解題經(jīng)驗(yàn)．

三、反饋練習(xí)

1．生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送一件，全組共互贈(zèng)了182件，如果全組有x名同學(xué)，那么根據(jù)題意列出的方程是（）

A．x（x+1）=182 B．x（x-1）=182 C．2x（x+1）=182 D．x（1-x）=182×2 2．一個(gè)小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個(gè)小組共（）．

A．12人 B．18人 C．9人 D．10人

【活動(dòng)方略】

學(xué)生獨(dú)立思考、獨(dú)立解題．

教師巡視、指導(dǎo)，并選取兩名學(xué)生上臺(tái)書寫解答過程（或用投影儀展示學(xué)生的解答過程）

【設(shè)計(jì)意圖】

檢查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況.四、應(yīng)用拓展 滲透法制教育

《中華人民共和國傳染病防治法》

第一條 為了預(yù)防、控制和消除傳染病的發(fā)生與流行，保障人體健康和公共衛(wèi)生，制定本法。

第二條 國家對(duì)傳染病防治實(shí)行預(yù)防為主的方針，防治結(jié)合、分類管理、依靠科學(xué)、依靠群眾。

第十九條 國家建立傳染病預(yù)警制度。

國務(wù)院衛(wèi)生行政部門和省、自治區(qū)、直轄市人民政府根據(jù)傳染病發(fā)生、流行趨勢的預(yù)測，及時(shí)發(fā)出傳染病預(yù)警，根據(jù)情況予以公布。

第三十一條 任何單位和個(gè)人發(fā)現(xiàn)傳染病病人或者疑似傳染病病人時(shí)，應(yīng)當(dāng)及時(shí)向附近的疾病預(yù)防控制機(jī)構(gòu)或者醫(yī)療機(jī)構(gòu)報(bào)告。

五、小結(jié)作業(yè) 1．問題：

通過本課的學(xué)習(xí)，大家有什么新的收獲和體會(huì)？（1）數(shù)學(xué)知識(shí)（2）法制知識(shí)

2．作業(yè)：教材P53，習(xí)題22.3第1、2、6題，P58，復(fù)習(xí)題22第6題．