專題六

數列

第十五講

等差數列

2019年

1.（2019全國Ⅰ文18）記Sn為等差數列的前n項和，已知．

（1）若，求的通項公式；

（2）若，求使得的n的取值范圍．

2.（2019全國Ⅲ文14）記Sn為等差數列{an}的前n項和，若，則___________.3.（2019天津文18）設是等差數列，是等比數列，公比大于，已知，.（Ⅰ）求和的通項公式；

（Ⅱ）設數列滿足求.4.（2019江蘇8）已知數列是等差數列，是其前n項和.若，則的值是

.2010-2018年

一、選擇題

1．（2017浙江）已知等差數列的公差為，前項和為，則“”

是“”的A．

充分不必要條件

B．

必要不充分條件

C．

充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

2．（2015新課標2）設是數列的前項和，若，則

A．5

B．7

C．9

D．1

3．（2015新課標1）已知是公差為1的等差數列，為的前項和，若，則

A．

B．

C．

D．

4．（2014遼寧）設等差數列的公差為，若數列為遞減數列，則

A．

B．

C．

D．

5．（2014福建）等差數列的前項和，若，則

A．8

B．10

C．12

D．14

6．（2014重慶）在等差數列中，則

A．

B．

C．

D．

7．（2013新課標1）設等差數列的前n項和為，＝－2，＝0，＝3，則＝

A．3

B．4

C．5

D．6

8．（2013遼寧）下面是關于公差的等差數列的四個命題：

其中的真命題為

A．

B．

C．

D．

9．（2012福建）等差數列中，,，則數列的公差為

A．1

B．2

C．3

D．4

10．（2012遼寧）在等差數列中，已知，則該數列前11項和

A．58

B．88

C．143

D．176

11．（2011江西）設為等差數列，公差,為其前n項和，若，則

A．18

B．20

C．22

D．24

12．（2011安徽）若數列的通項公式是

A．15

B．12

C．

D．

13．（2011天津）已知為等差數列，其公差為2，且是與的等比中項，為的前項和，則的值為

A．－110

B．－90

C．90

D．110

14．（2010安徽）設數列的前項和，則的值為

A．15

B．16

C．49

D．64

二、填空題

15．（2015陜西）中位數為1010的一組數構成等差數列，其末項為2015，則該數列的首項為_____．

16．（2014北京）若等差數列滿足，則當____時，的前項和最大．

17．（2014江西）在等差數列中，公差為，前項和為，當且僅當時取最大值，則的取值范圍_________．

18．（2013新課標2）等差數列的前項和為，已知，則的最小值為____．

19．（2013廣東）在等差數列中,已知,則_____．

20．（2012北京）已知為等差數列，為其前項和．若，則

；=

．

21．（2012江西）設數列都是等差數列，若，則____．

22．（2012廣東）已知遞增的等差數列滿足，則=____．

23．（2011廣東）等差數列前9項的和等于前4項的和．若，則=_________．

三、解答題

24．（2018全國卷Ⅱ）記為等差數列的前項和，已知，．

(1)求的通項公式；

(2)求，并求的最小值．

25．（2018北京）設是等差數列，且．

(1)求的通項公式；

(2)求．

26．（2017天津）已知為等差數列，前n項和為，是首項為2的等比數列，且公比大于0，，．

（Ⅰ）求和的通項公式；

（Ⅱ）求數列的前n項和．

27．（2017江蘇）對于給定的正整數，若數列滿足

對任意正整數總成立，則稱數列是“數列”．

（1）證明：等差數列是“數列”；

（2）若數列既是“數列”，又是“數列”，證明：是等差數列．

28．（2016年北京）已知是等差數列，是等差數列，且，，．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設，求數列的前項和．

29．（2016年山東）已知數列的前n項和，是等差數列，且.（I）求數列的通項公式；

（II）令.求數列的前n項和．

30．（2015福建）等差數列中，．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，求的值．

31．（2015山東）已知數列是首項為正數的等差數列，數列的前項和為．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，求數列的前項和．

32．（2015北京）已知等差數列滿足，．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設等比數列滿足，．問：與數列的第幾項相等？

33．（2014新課標1）已知是遞增的等差數列，是方程的根．

(Ⅰ)求的通項公式；

（Ⅱ）求數列的前項和．

34．(2014新課標1)已知數列{}的前項和為，=1，，其中為常數．

(Ⅰ)證明：；

（Ⅱ）是否存在，使得{}為等差數列？并說明理由．

35．（2014浙江）已知等差數列的公差，設的前n項和為，（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）求（）的值，使得．

36．（2013新課標1）已知等差數列的前項和滿足，．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）求數列的前項和．

37．（2013福建）已知等差數列的公差，前項和為．

（Ⅰ）若成等比數列，求；

（Ⅱ）若，求的取值范圍．

38．（2013新課標2）已知等差數列的公差不為零，且成等比數列．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）求．

39．（2013山東）設等差數列的前項和為，且，（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列的前項和,且（λ為常數），令（）．求數列的前項和．

40．（2011福建）已知等差數列中，=1，．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若數列的前項和，求的值．

41．（2010浙江）設，為實數，首項為，公差為的等差數列的前項和為，滿足+15=0．

（Ⅰ）若=5，求及；

（Ⅱ）求的取值范圍．

專題六

數列

第十五講

等差數列

答案部分

1.解析（1）設的公差為d．

由得．

由a3=4得．

于是．

因此的通項公式為．

（2）由（1）得，故.由知，故等價于，解得．

所以n的取值范圍是．

2.解析

在等差數列中，由，得，所以，則．

3.解析（Ⅰ）設等差數列的公差為，等比數列的公比為依題意，得，解得，故，.所以，的通項公式為，的通項公式

為.（Ⅱ）

.①，②

②-①得，故.所以，.4.解析

設等差數列的首項為，公差為，則，解得．

所以.2010-2018年

1．C【解析】∵，當，可得；

當，可得．所以“”是“”

充分必要條件，選C．

2．A【解析】，．故選A．

3．B【解析】設等差數列的首項為，公差為，由題設知，所以，解得，所以．

4．C【解析】∵數列為遞減數列，等式右邊為關于的一次函數，∴．

5．C【解析】

設等差數列的公差為，則，所以，解得，所以．

6．B【解析】由等差數列的性質得，因為，所以，選B．

7．C【解析】有題意知==0，∴=－=－（-）=－2，=

-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故選C．

8．D【解析】設，所以正確；如果則滿足已知，但并非遞增所以錯；如果若，則滿足已知，但，是遞減數列，所以錯；，所以是遞增數列，正確．

9．B【解析】由題意有，又∵，∴，∴．

10．B【解析】，而，故選B.11．B【解析】由，得，．

12．A【解析】

．

13．D【解析】因為是與的等比中項，所以，又數列的公差為-2，所以，解得，故，所以．

14．A【解析】．

15．5【解析】設該數列的首項為，由等差數列的性質知，所以．

16．8【解析】∵數列是等差數列，且，．又，∴．當=8時，其前項和最大．

17．【解析】由題意可知，當且僅當時取最大值，可得，解得．

18．－49【解析】設的首項為，公差，由，得，解得，∴，設，當時，當，由，當時，當時，∴時，取得最小值．

19．20【解析】

依題意，所以．

或：

20．1，【解析】設公差為d,則,把代入得，∴，=

21．35【解析】（解法一）因為數列都是等差數列，所以數列也是等差數列．故由等差中項的性質，得，即，解得．

（解法二）設數列的公差分別為,因為

所以.所以.22．【解析】

．

23．10【解析】設的公差為，由及，得，所以．又，所以，即．

24．【解析】(1)設的公差為，由題意得．

由得．

所以的通項公式為．

(2)由(1)得．

所以當時，取得最小值，最小值為?16．

25．【解析】(1)設等差數列的公差為，∵，∴，又，∴．

∴．

(2)由(1)知，∵，∴是以2為首項，2為公比的等比數列．

∴

．

∴．

26．【解析】（Ⅰ）設等差數列的公差為，等比數列的公比為．

由已知，得，而，所以．

又因為，解得．所以，．

由，可得．由，可得，聯立①②，解得，由此可得．

所以，的通項公式為，的通項公式為．

（Ⅱ）解：設數列的前項和為，由，有，上述兩式相減，得

．

得．

所以，數列的前項和為．

27．【解析】證明:（1）因為是等差數列，設其公差為，則，從而，當時，所以，因此等差數列是“數列”.（2）數列既是“數列”，又是“數列”，因此，當時，①

當時，.②

由①知，③，④

將③④代入②，得，其中，所以是等差數列，設其公差為.在①中，取，則，所以，在①中，取，則，所以，所以數列是等差數列.28．【解析】（I）等比數列的公比，所以，．

設等差數列的公差為．

因為，所以，即．

所以（，，）．

（II）由（I）知，．

因此．從而數列的前項和

．

29．【解析】（Ⅰ）由題意當時，當時，；所以；設數列的公差為，由，即，解之得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，即，所以，以上兩式兩邊相減得

．

所以．

30．【解析】（Ⅰ）設等差數列的公差為．

由已知得，解得．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以

（1+2+3+……+10）

．

31．【解析】（Ⅰ）設數列的公差為，令，得，所以．

令，得，所以．

解得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以

所以

兩式相減，得

所以

32．【解析】（Ⅰ）設等差數列的公差為．因為，所以．

又因為，所以，故．

所以．

（Ⅱ）設等比數列的公比為．因為，所以，．所以．

由128=得．所以與數列的第63項相等．

33．【解析】(Ⅰ)方程的兩根為2,3，由題意得

設數列的公差為，則故從而

所以的通項公式為．

（Ⅱ）設的前n項和為，由（I）知則

兩式相減得

所以．

34．【解析】(Ⅰ)由題設，兩式相減得

由于，所以

（Ⅱ）由題設，，可得

由(Ⅰ)知，令，解得

故，由此可得

是首項為1，公差為4的等差數列，；

是首項為3，公差為4的等差數列，.所以，.因此存在，使得數列為等差數列．

35．【解析】（Ⅰ）由題意，將代入上式得或，因為，所以，從而，（）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，由知，所以，所以.36．【解析】（Ⅰ）設的公差為，則=。

由已知可得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

從而數列.37．【解析】（Ⅰ）因為數列的公差，且成等比數列，所以，即，解得或．

（Ⅱ）因為數列的公差，且，所以；

即，解得

38．【解析】（Ⅰ）設的公差為，由題意，即

于是

所以（舍去），故

（Ⅱ）令．

由（Ⅰ）知，所以是首項為25，公差為-6的等差數列，從而

．

39．【解析】（Ⅰ）設等差數列的首項為，公差為，由，得，解得，因此

（Ⅱ）由題意知：

所以時，故，所以，則

兩式相減得

整理得

所以數列的前項和

40．【解析】（Ⅰ）設等差數列的公差為，則

由

解得=－2．

從而，（Ⅱ）由（I）可知，所以

進而由

即，解得

又為所求．

41．【解析】(Ⅰ)由題意知==－3,=－8．

所以解得=7，所以=－3，=7，（Ⅱ）解：因為+15=0，所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，即2a12+9da1+10d2+1=0．

故(4a1+9d)2=d2－8．所以d2≥8．

故d的取值范圍為d≤－2或d≥2．