專題七

不等式

第二十一講

不等式綜合應用

2019年

1.（2019天津文13）設，，則的最小值為__________.2010-2018年

一、選擇題

1．(2018北京)設集合則

A．對任意實數，B．對任意實數，C．當且僅當時，D．當且僅當時，2．(2018浙江)已知，，成等比數列，且．若，則

A．，B．，C．，D．，3．（2017天津）已知函數設，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

4．（2015福建）若直線過點，則的最小值等于

A．2

B．3

C．4

D．5

5．（2015湖南）若實數滿足，則的最小值為

A．

B．2

C．2

D．4

6．（2014重慶）若的最小值是

A．

B．

C．

D．

7．（2013福建）若，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

8．（2013山東）設正實數滿足．則當取得最大值時，的最大值為

A．0

B．1

C．

D．3

9．（2013山東）設正實數滿足，則當取得最大值時，的最大值為

A．0

B．

C．2

D．

10．（2012浙江）若正數滿足，則的最小值是

A．

B．

C．5

D．6

11．（2012陜西）小王從甲地到乙地的時速分別為和（），其全程的平均時速為，則

A．

B．=

C．<<

D．=

12．（2012湖南）已知兩條直線:

和:()，與函數的圖像從左至右相交于點，與函數的圖像從左至右相交于．記線段和在軸上的投影長度分別為，當

變化時，的最小值為

A．

B.C.D.13．（2011陜西）設，則下列不等式中正確的是

A．

B．

C．

D．

14．（2011上海）若，且，則下列不等式中，恒成立的是

A．

B．

C．

D．

二、填空題

15．(2018天津)已知，且，則的最小值為

．

16．(2018天津)已知，函數若對任意，恒成立，則的取值范圍是____．

17．（2017天津）若a，，則的最小值為

．

18．（2017山東）若直線過點，則的最小值為

．

19．（2017江蘇）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元，要使一年的總運費與總存儲費之和最小，則的值是

．

20．（2017北京）能夠說明“設，是任意實數．若，則”是假命題的一組整數，的值依次為____________________．

21．（2017浙江）已知，函數在區間[1，4]上的最大值是5，則的取值范圍是

．

22．（2017江蘇）在平面直角坐標系中，，點在圓：上，若，則點的橫坐標的取值范圍是

．

23．（2015重慶）設，則的最大值為________．

24．(2015山東)定義運算“”：（，）．當，時，的最小值為

．

25．（2014浙江）已知實數滿足，則的最大值是__；

26．（2014遼寧）對于，當非零實數a，b滿足，且使最大時，的最小值為

．

27．（2014遼寧）對于，當非零實數，滿足，且使

最大時，的最小值為

．

28．（2014湖北）某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時間內經過測量點的車輛數，單位：輛/小時）與車流速度v（假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長l（單位：米）的值有關，其公式為．

（Ⅰ）如果不限定車型，則最大車流量為

輛/小時；

（Ⅱ）如果限定車型，則最大車流量比（Ⅰ）中的最大車流量增加

輛/小時．

29．（2013天津）設a

+

b

=

2，b>0，則當a

=

時，取得最小值.30．（2013四川）已知函數在時取得最小值，則__．

31．（2011浙江）若實數滿足，則的最大值是____．

32．（2011湖南）設，則的最小值為

．

33．（2010安徽）若，則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是

(寫出所有正確命題的編號)．

①；

②；

③；

④；

⑤．

專題七

不等式

第二十一講

不等式綜合應用

答案部分

2019年

1.解析，，而.由基本不等式有，所以（當且僅當時，即，時，等號成立）.所以，所以的最小值為.2010-2018年

1．D【解析】解法一

點在直線上，表示過定點，斜率為的直線，當時，表示過定點，斜率為的直線，不等式表示的區域包含原點，不等式表示的區域不包含原點．直線與直線互相垂直，顯然當直線的斜率時，不等式表示的區域不包含點，故排除A；點與點連線的斜率為，當，即時，表示的區域包含點，此時表示的區域也包含點，故排除B；當直線的斜率，即時，表示的區域不包含點，故排除C，故選D．

解法二

若，則，解得，所以當且僅當時，．故選D．

2．B【解析】解法一

因為()，所以，所以，又，所以等比數列的公比．

若，則，而，所以，與矛盾，所以，所以，所以，故選B．

解法二

因為，所以，則，又，所以等比數列的公比．

若，則，而，所以

與矛盾，所以，所以，所以，故選B．

3．A【解析】解法一

函數的圖象如圖所示，當的圖象經過點時，可知．當的圖象與的圖象相切時，由，得，由，并結合圖象可得，要使恒成立，當時，需滿足，即，當時，需滿足，所以．

解法二

由題意時，的最小值2，所以不等式等價于

在上恒成立．

當時，令，得，不符合題意，排除C、D；

當時，令，得，不符合題意，排除B；

選A．

4．C【解析】解法一

∵過點，所以，所以(當且僅當時去等號)，所以．

又(當且僅當時去等號)，所以(當且僅當時去等號)．

解法二∵過點，所以，所以(當且僅當時去等號)．

5．C【解析】解法一

由已知，且，∴，∴．

解法二

由題意知，∴，即．

6．D【解析】由已知得，且，可知，所以

()，．

當且僅當時取等號．

7．D【解析】本題考查的是均值不等式．因為，即，所以，當且僅當，即時取等號．

8．B【解析】由，得．

所以，當且僅當，即時取等號此時，.，故選B.9．C【解析】由x2－3xy＋4y2－z＝0得x2＋4y2－3xy＝z，當且僅當x2＝4y2即x＝2y時，有最小值1，將x＝2y代入原式得z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y，當y＝1時有最大值2.故選C.10．C【解析】，.11．A【解析】設從甲地到乙地所走路程為，則

∵,∴,∴.選A.12．B【解析】在同一坐標系中作出，()，圖像如下圖，由=

m，得，=，得.依照題意得.，.13．B【解】（方法一）已知和，比較與，因為，所以，同理由

得；作差法：，所以，綜上可得；故選B．

（方法二）取，則，所以．

14．D【解析】對于A取，此時，因此A不正確；對于B取，此時，因此B不正確；對于C取，此時，因此C不正確；對于D，∵，∴，∴，D正確．

15．【解析】由，得，所以，當且僅當，即時等號成立．

16．【解析】當時，恒成立等價于恒成立，即恒成立，所以；

當時恒成立等價于恒成立，即恒成立，所以．

綜上，的取值范圍是．

17．4【解析】，當且僅當，且，即，時取等號.18．8【解析】由題意有，所以．

當且僅當，即，時等號成立．

19．30【解析】總費用為，當且僅當，即時等號成立．

20．1，2，3（答案不唯一）

【解析】因為“設，是任意實數．若，則”是假命題，則它的否定“設，是任意實數．若，則”是真命題，由于，所以，又，所以，因此，依次取整數1，2，3，滿足．

相矛盾，所以驗證是假命題．

21．【解析】∵，∴

①當時，所以的最大值，即（舍去）

②當時，此時命題成立．

③當時，則

或，解得或，綜上可得，實數的取值范圍是．

22．【解析】設，由，得，如圖由可知，在上，由，解得，所以點橫坐標的取值范圍為．

23．【解析】

．所以，當且僅當且，即時等號成立．

24．【解析】

由新定義運算知，因為，所以，當且僅當時，的最小值是．

25．【解析】由得，則，又，所以，解得，故的最大值為．

26．－1【解析】設最大，則必須同號，因為，故有，當且僅當時取等號，此時，所以=．

27．－2【解析】設，則，因為，所以將代入整理可得①，由解得，當取得最大值時，代入①式得，再由得，所以．

當且僅當時等號成立．

28．1900

100【解析】（Ⅰ），當且僅當

時等號成立．

（Ⅱ），當且僅當時等號成立．

．

29．－2【解析】∵=

當且僅當，即時取等號

故取得最小值時，．

30．【解析】因為，當且僅當，即，解得．

31．【解析】∵，∴，即，∴，．

32．9【解析】由柯西不等式可知．

33．①③⑤【解析】令，排除②④；由，命題①正確；，命題③正確；，命題⑤正確．