專題四

三角函數與解三角形

第十一講

三角函數的綜合應用

2019年

1.(2019江蘇18)如圖,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規劃在公路l上選兩個點P?Q,并修建兩段直線型道路PB?QA.規劃要求:線段PB?QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A?B到直線l的距離分別為AC和BD(C?D為垂足),測得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長;

(2)在規劃要求下,P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由;

(3)在規劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米).求當d最小時,P?Q兩點間的距離.2010-2018年

一?選擇題

1.(2018北京)在平面直角坐標系中,記為點到直線的距離,當,變化時,的最大值為

A.1

B.2

C.3

D.4

2.(2016年浙江)設函數,則的最小正周期

A.與b有關,且與c有關

B.與b有關,但與c無關

C.與b無關,且與c無關

D.與b無關,但與c有關

3.(2015陜西)如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數,據此函數可知,這段時間水深(單位:m)的最大值為

A.5

B.6

C.8

D.10

4(2015浙江)存在函數滿足,對任意都有

A.B.C.D.5.(2015新課標Ⅱ)如圖,長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點,點P沿著邊BC,CD與DA運動,∠BOP=x.將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的函數,則的圖像大致為

A

B

C

D

6.(2014新課標Ⅰ)如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點,角的始邊為射線,終邊為射線,過點作直線的垂線,垂足為,將點到直線的距離表示為的函數,則=在[0,]上的圖像大致為

A.B.C.D.7.(2015湖南)已知函數則函數的圖象的一條對稱軸是

A.B.C.D.二?填空題

8.(2016年浙江)已知,則=__,=__.9.(2016江蘇省)

定義在區間上的函數的圖象與的圖象的交點

個數是

.10.(2014陜西)設,向量,若,則_______.11.(2012湖南)函數的導函數的部分圖像如圖4所示,其中,P為圖像與y軸的交點,A,C為圖像與x軸的兩個交點,B為圖像的最低點.(1)若,點P的坐標為(0,),則

;

(2)若在曲線段與x軸所圍成的區域內隨機取一點,則該點在△ABC內的概率為

.三?解答題

12.(2018江蘇)某農場有一塊農田,如圖所示,它的邊界由圓的一段圓弧(為此圓弧的中點)和線段構成.已知圓的半徑為40米,點到的距離為50米.現規劃在此農田上修建兩個溫室大棚,大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形,大棚Ⅱ內的地塊形狀為,要求均在線段上,均在圓弧上.設與所成的角為.(1)用分別表示矩形和的面積,并確定的取值范圍;

(2)若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜,且甲?乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為.求當為何值時,能使甲?乙兩種蔬菜的年總產值最大.13.(2017江蘇)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線的長為10cm,容器Ⅱ的兩底面對角線,的長分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm.現有一根玻璃棒,其長度為40cm.(容器厚度?玻璃棒粗細均忽略不計)

(1)將放在容器Ⅰ中,的一端置于點處,另一端置于側棱上,求沒入水中部分的長度;

(2)將放在容器Ⅱ中,的一端置于點處,另一端置于側棱上,求沒入水中部分的長度.14.(2015山東)設.(Ⅰ)求的單調區間;

(Ⅱ)在銳角△中,角,的對邊分別為,若，求△面積的最大值.15.(2014湖北)某實驗室一天的溫度(單位:℃)隨時間(單位:)的變化近似滿足函數關系:,.(Ⅰ)求實驗室這一天的最大溫差;

(Ⅱ)若要求實驗室溫度不高于,則在哪段時間實驗室需要降溫?

16.(2014陜西)的內角所對的邊分別為.(I)若成等差數列,證明:;

(II)若成等比數列,求的最小值.17.(2013福建)已知函數的周期為,圖像的一個對稱中心為,將函數圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),在將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數的圖像.(1)求函數與的解析式;

(2)是否存在,使得按照某種順序成等差數列?若存在,請確定的個數;若不存在,說明理由.(3)求實數與正整數,使得在內恰有2013個零點.專題四

三角函數與解三角形

第十一講

三角函數的綜合應用

答案部分

2019年

1.解析

解法一:

(1)過A作,垂足為E.由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,.＇

因為PB⊥AB,所以.所以.因此道路PB的長為15(百米).(2)①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(除B,E)到點O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規劃要求.②若Q在D處,聯結AD,由(1)知,從而,所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此,Q選在D處也不滿足規劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規劃要求;

當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規劃要求.設為l上一點,且,由(1)知,B=15,此時;

當∠OBP>90°時,在中,.由上可知,d≥15.再討論點Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側,才能符合規劃要求.當QA=15時,.此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上,當PB⊥AB,點Q位于點C右側,且CQ=時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為17+(百米).解法二:(1)如圖,過O作OH⊥l,垂足為H.以O為坐標原點,直線OH為y軸,建立平面直角坐標系.因為BD=12,AC=6,所以OH=9,直線l的方程為y=9,點A,B的縱坐標分別為3,?3.因為AB為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A(4,3),B(?4,?3),直線AB的斜率為.因為PB⊥AB,所以直線PB的斜率為,直線PB的方程為.所以P(?13,9),.因此道路PB的長為15(百米).(2)①若P在D處,取線段BD上一點E(?4,0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿足規劃要求.②若Q在D處,聯結AD,由(1)知D(?4,9),又A(4,3),所以線段AD:.在線段AD上取點M(3,),因為,所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規劃要求;

當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規劃要求.設為l上一點,且,由(1)知,B=15,此時(?13,9);

當∠OBP>90°時,在中,.由上可知,d≥15.再討論點Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側,才能符合規劃要求.當QA=15時,設Q(a,9),由,得a=,所以Q(,9),此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上,當P(?13,9),Q(,9)時,d最小,此時P,Q兩點間的距離

.因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(百米)

2010-2018年

1.C【解析】由題意可得

(其中,),∵,∴，∴當時,取得最大值3,故選C.2.B【解析】由于.當時,的最小正周期為;

當時,的最小正周期;的變化會引起的圖象的上下平移,不會影響其最小正周期.故選B.注:在函數中,的最小正周期是和的最小正周期的公倍數.3.C【解析】由圖象知:,因為,所以,解得:,所以這段時間水深的最大值是,故選C.4.D【解析】對于A,當或時,均為1,而與此時均有兩個值,故A?B錯誤;對于C,當或時，而由兩個值,故C錯誤,選D.5.B【解析】由于,故排除選項C?D;當點在上時,.不難發現的圖象是非線性,排除A.6.C【解析】由題意知，當時,;當時，故選C.7.A【解析】由,得,所以,所以,由正弦函數的性質知與的圖象的對稱軸相同,令,則,所以函數的圖象的對稱軸為,當,得,選A.8.【解析】,所以

9.7【解析】畫出函數圖象草圖,共7個交點.10.【解析】∵,∴,∴,∵,∴.11.(1)3;(2)【解析】(1),當,點P的坐標為(0,)時;

(2)曲線的半周期為,由圖知，設的橫坐標分別為.設曲線段與x軸所圍成的區域的面積為則,由幾何概型知該點在△ABC內的概率為.12.【解析】(1)連結并延長交于,則⊥,所以=10.過作⊥于,則∥,所以,故，則矩形的面積為,的面積為.過作⊥,分別交圓弧和的延長線于和,則.令,則,.當時,才能作出滿足條件的矩形,所以的取值范圍是.答:矩形的面積為平方米,的面積為,的取值范圍是.(2)因為甲?乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3,設甲的單位面積的年產值為,乙的單位面積的年產值為,則年總產值為,.設，則.令,得,當時，所以為增函數;

當時，所以為減函數,因此,當時,取到最大值.答:當時,能使甲?乙兩種蔬菜的年總產值最大.13.【解析】(1)由正棱柱的定義,平面,所以平面平面,.記玻璃棒的另一端落在上點處.因為,.所以,從而.記與水平的交點為,過作,為垂足,則平面,故,從而.答:玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm.（如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結果為24cm)

(2)如圖，是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義,⊥平面,所以平面⊥平面,⊥.同理,平面⊥平面,⊥.記玻璃棒的另一端落在上點處.過作⊥,為垂足,則==32.因為=

14,=

62,所以=,從而.設則.因為,所以.在中,由正弦定理可得,解得.因為,所以.于是

.記與水面的交點為,過作,為垂足,則

⊥平面,故=12,從而

=.答:玻璃棒沒入水中部分的長度為20cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結果為20cm)

14.【解析】(Ⅰ)由題意

.由(),可得();

由(),得();

所以的單調遞增區間是();

單調遞減區間是().(Ⅱ)，由題意是銳角,所以

.由余弦定理:,可得,且當時成立..面積最大值為.15.【解析】(Ⅰ)因為,又,所以，當時,;當時,;

于是在上取得最大值12,取得最小值8.故實驗室這一天最高溫度為,最低溫度為,最大溫差為

(Ⅱ)依題意,當時實驗室需要降溫.由(Ⅰ)得,所以,即,又,因此,即,故在10時至18時實驗室需要降溫.16.【解析】(1)成等差數列,由正弦定理得

(2)成等比數列,由余弦定理得

(當且僅當時等號成立)

(當且僅當時等號成立)

(當且僅當時等號成立)

即,所以的最小值為

17.【解析】(Ⅰ)由函數的周期為，得

又曲線的一個對稱中心為,故,得,所以

將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)后可得的圖象,再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數

(Ⅱ)當時，,所以.問題轉化為方程在內是否有解

設,則

因為,所以,在內單調遞增

又,且函數的圖象連續不斷,故可知函數在內存在唯一零點,即存在唯一的滿足題意.(Ⅲ)依題意，令

當,即時，從而不是方程的解,所以方程等價于關于的方程,現研究時方程解的情況

令,則問題轉化為研究直線與曲線在的交點情況,令,得或.當變化時,和變化情況如下表

當且趨近于時,趨向于

當且趨近于時,趨向于

當且趨近于時,趨向于

當且趨近于時,趨向于

故當時,直線與曲線在內有無交點,在內有個交點;當時,直線與曲線在內有個交點,在內無交點;當時,直線與曲線在內有個交點,在內有個交點由函數的周期性,可知當時,直線與曲線在內總有偶數個交點,從而不存在正整數,使得直線與曲線在內恰有個交點;當時,直線與曲線在內有個交點,由周期性，所以

綜上,當,時,函數在內恰有個零點