專題二

函數概念與基本初等函數Ⅰ

第六講

函數綜合及其應用

一、選擇題

1．（2017天津）已知函數設，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

2．（2016全國II卷）已知函數（x∈R）滿足，若函數與y=f(x)圖像的交點為，…，則

A．0

B．m

C．2m

D．4m

3．（2016浙江）已知函數滿足：且.A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

4．（2015北京）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．

注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程．

在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為

A．6升

B．8升

C．10升

D．12升

5．(2015浙江)有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積（單位：）分別為，，且，三種顏色涂料的粉刷費用（單位：元/）分別為，，且．在不同的方案中，最低的總費用（單位：元）是

A．

B．

C．

D．

6．（2014北京）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率與加工時間（單位：分鐘）滿足函數關系（、、是常數），下圖記錄了三次實驗的數據，根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為（）

A．分鐘

B．分鐘

C．分鐘

D．分鐘

7．（2014湖南）某市生產總值連續兩年持續增加，第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為

A．

B．

C．

D．

8．（2014陜西）如圖，修建一條公路需要一段環湖彎曲路段與兩條直道平滑連續（相切），已知環湖彎曲路段為某三次函數圖像的一部分，則該函數的解析式為

A．

B．

C．

D．

9．（2014陜西）如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點的水平距離10千米處下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數圖像的一部分，則函數的解析式為

A．

B．

C．

D．

二、填空題

10．(2018天津)已知，函數若對任意，恒成立，則的取值范圍是____．

11．（2017新課標Ⅰ）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑．若平面⊥平面，，三棱錐的體積為9，則球的表面積為________．

12．（2017北京）已知，且，則的取值范圍是______．

13．（2015江蘇）現有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為

．

14．（2014山東）已知函數，對函數，定義關于的“對稱函數”為函數，滿足：對任意，兩個點關于點對稱，若是關于的“對稱函數”，且恒成立，則實數的取值范圍是___．

15．（2014福建）要制作一個容器為4，高為的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______（單位：元）

16．（2014四川）以表示值域為的函數組成的集合，表示具有如下性質的函數組成的集合：對于函數，存在一個正數，使得函數的值域包含于區間．例如，當，時，．現有如下命題：

①設函數的定義域為，則“”的充要條件是“，”；

②函數的充要條件是有最大值和最小值；

③若函數，的定義域相同，且，則；

④若函數（，）有最大值，則．

其中的真命題有

．（寫出所有真命題的序號）

三、解答題

17．（2018上海）某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時，某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當中的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為

（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受影響，恒為40分鐘，試根據上述分析結果回答下列問題：

(1)當在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

(2)求該地上班族的人均通勤時間的表達式；討論的單調性，并說明其實際意義．

18．（2015江蘇）某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區邊界曲線為，計劃修建的公路為，如圖所示，為的兩個端點，測得點到的距離分別為5千米和40千米，點到的距離分別為20千米和2.5千米，以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標系，假設曲線符合函數（其中為常數）模型．

（I）求的值；

（II）設公路與曲線相切于點，的橫坐標為.①請寫出公路長度的函數解析式，并寫出其定義域；

②當為何值時，公路的長度最短？求出最短長度．

19．（2013重慶）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設該蓄水池的底面半徑為米，高為米，體積為立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000元（為圓周率）．

（Ⅰ）將表示成的函數，并求該函數的定義域；

（Ⅱ）討論函數的單調性，并確定和為何值時該蓄水池的體積最大．

20．（2012陜西）設函數

（1）設，證明：在區間內存在唯一的零點；

（2）設n為偶數，，求的最小值和最大值；

（3）設，若對任意，有，求的取值范圍．

21．（2011江蘇）請你設計一個包裝盒，如圖所示，是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=cm

（1）某廣告商要求包裝盒側面積S（cm）最大，試問應取何值？

（2）某廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．

專題二

函數概念與基本初等函數Ⅰ

第六講

函數綜合及其應用

答案部分

1．A【解析】解法一

函數的圖象如圖所示，當的圖象經過點時，可知．當的圖象與的圖象相切時，由，得，由，并結合圖象可得，要使恒成立，當時，需滿足，即，當時，需滿足，所以．

解法二

由題意時，的最小值2，所以不等式等價于

在上恒成立．

當時，令，得，不符合題意，排除C、D；

當時，令，得，不符合題意，排除B；

選A．

2．B【解析】由知的圖像關于直線對稱，又函數的圖像也關于直線對稱，所以這兩個函數圖像的交點也關于直線對稱，不妨設，則，即，同理，……，由，所以，所以，故選B．

3．B【解析】由已知可設，則，因為為偶函數，所以只考慮的情況即可．若，則，所以．故選B．

4．B【解析】因為第一次郵箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時間內的耗油量，故耗油量升．而這段時間內行駛的里程數千米．所以這段時間內，該車每100千米平均耗油量為升，故選B．

5．B

【解析】采用特殊值法，若，則，，由此可知最低的總費用是．

6．B【解析】由題意可知過點（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入中可解得，∴

∴當分鐘時，可食用率最大．

7．D【解析】設年平均增長率為，原生產總值為，則，解得，故選D．

8．A【解析】解法一

由題意可知，該三次函數滿足以下條件：過點(0，0)，(2，0)，在(0，0)處的切線方程為y=

-x，在(2，0)處的切線方程為y=

3x-6，以此對選項進行檢驗．A選項，顯然過兩個定點，又，則，故條件都滿足，由選擇題的特點知應選A．

解法二

設該三次函數為，則

由題設有，解得．

故該函數的解析式為，選A．

9．A【解析】設所求函數解析式為，由題意知，且，代入驗證易得符合題意，故選A．

10．【解析】當時，恒成立等價于恒成立，即恒成立，所以；

當時恒成立等價于恒成立，即恒成立，所以．

綜上，的取值范圍是．

11．【解析】取的中點，連接，因為，所以．

因為平面平面，所以平面．

設，所以，所以球的表面積為．

12．【解析】由題意，且，又時，時，當時，所以取值范圍為．

13．【解析】由體積相等得：．

14．【解析】函數的定義域為，根據已知得，所以，恒成立，即，令，則只要直線在半圓上方即可，由，解得（舍去負值），故實數的取值范圍是．

15．160【解析】設該容器的總造價為元，長方體的底面矩形的長，因為無蓋長方體的容積為，高為，所以長方體的底面矩形的寬為，依題意，得．

16．①③④【解析】對于①，根據題中定義，函數，的值域為，由函數值域的概念知，函數，的值域為，所以①正確；對于②，例如函數的值域包含于區間，所以，但有最大值l，沒有最小值，所以②錯誤；對于③，若，則存在一個正數，使得函數的值域包含于區間，所以，由知，存在一個正數，使得函數的值域包含于區間，所以，亦有，兩式相加得≤≤，于是，與已知“.”矛盾，故，即③正確；對于④，如果，那么，如果，那么，所以有最大值，必須，此時在區間上，有，所以，即④正確，故填①③④．

17．【解析】(1)當時，恒成立，公交群體的人均通勤時間不可能少于自駕群體的人均通勤時間；

當時，若，即，解得（舍）或；

∴當時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間；

(2)設該地上班族總人數為，則自駕人數為，乘公交人數為．

因此人均通勤時間，整理得：，則當，即時，單調遞減；

當時，單調遞增．

實際意義：當有的上班族采用自駕方式時，上班族整體的人均通勤時間最短．

適當的增加自駕比例，可以充分的利用道路交通，實現整體效率提升；但自駕人數過多，則容易導致交通擁堵，使得整體效率下降．

18．【解析】（1）由題意知，點，的坐標分別為，．

將其分別代入，得，解得．

（2）①由（1）知，（），則點的坐標為，設在點處的切線交，軸分別于，點，則的方程為，由此得，．

故，．

②設，則．令，解得．

當時，是減函數；

當時，是增函數．

從而，當時，函數有極小值，也是最小值，所以，此時．

答：當時，公路的長度最短，最短長度為千米．

19．【解析】（Ⅰ）因為蓄水池側面積的總成本為元，底面的總成本為元，所以蓄水池的總成本為（）元.又題意據，所以，從而．因，又由可得，故函數的定義域為.（Ⅱ）因，故．令，解得（因不在定義域內，舍去）.當時，故在上為增函數；

當時，故在上為減函數.由此可知，在處取得最大值，此時．

即當，時，該蓄水池的體積最大.20．【解析】（1）當時，．

∵，∴在內存在零點．

又當時，∴在上是單調遞增的，∴在區間內存在唯一的零點；

（2）解法一

由題意知即由圖像知，在點取得最小值，在點取得最大值．

解法二

由題意知，即．…①，即．…②

①+②得，當時，；當時，．

所以的最小值，最大值．

解法三

由題意知，解得，．

又∵，∴．

當時，；當時，．

所以的最小值，最大值．

(3)當時,．

對任意都有有等價于在[-1,1]上的最大值與最小值之差．據此分類討論如下:

(ⅰ)當,即時，與題設矛盾．

(ⅱ)當,即時,恒成立．

(ⅲ)

當,即時,恒成立．

綜上可知,．

21．【解析】設包裝盒的高為（cm），底面邊長為（cm），由已知得

（1）

所以當時，取得最大值．

（2）

由（舍）或=20．

當時，；．

所以當=20時，V取得極大值，也是最小值．

此時，即裝盒的高與底面邊長的比值為．