專題二

函數概念與基本初等函數Ⅰ

第五講

函數與方程

2019年

2019年

1.（2019全國Ⅲ文5）函數在[0，2π]的零點個數為

A．2

B．3

C．4

D．5

2.（2019天津文8）（8）已知函數若關于的方程恰有兩個互異的實數解，則的取值范圍為

（A）

（B）

（C）

（D）

3.（2019江蘇14）設是定義在R上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數.當時，，其中k>0.若在區間(0，9]上，關于x的方程有8個

不同的實數根，則k的取值范圍是

.2010-2018年

一、選擇題

1．（2017新課標Ⅲ）已知函數有唯一零點，則=

A．

B．

C．

D．1

2．（2017山東）設，若，則

A．2

B．4

C．6

D．8

3．（2015安徽）下列函數中，既是偶函數又存在零點的是

A．

B．

C．

D．

4．（2015天津）已知函數，函數，則函數的零點的個數為

A．2

B．3

C．4

D．5

5．（2015陜西）對二次函數（為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是

A．－1是的零點

B．1是的極值點

C．3是的極值

D．點在曲線上

6．(2014山東)已知函數，．若方程有兩個不相等的實根，則實數的取值范圍是

（A）

（B）

（C）

（D）

7．（2014北京）已知函數，在下列區間中，包含零點的區間是

（A）

（B）

（C）

（D）

8．（2014重慶）已知函數，且在內有且僅有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是

（A）

（B）

（C）

（D）

9．（2014湖北）已知是定義在上的奇函數，當時，．則函數的零點的集合為

（A）

（B）

（C）

（D）

10．（2013安徽）已知函數有兩個極值點，若，則關于的方程的不同實根個數為

（A）3

(B)

（C）5

（D）6

11．（2013重慶）若，則函數的兩個零點分別位于區間

（A）和內

（B）和內

（C）和內

（D）和內

12．（2013湖南）函數的圖像與函數的圖象的交點個數為

（A）3

（B）2

（C）1

（D）0

13．（2013天津）函數的零點個數為

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

14．（2012北京）函數的零點個數為

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

15．（2012湖北）函數在區間上的零點個數為

（A）4

（B）5

（C）6

（D）7

16．（2012遼寧）設函數滿足，且當時，．又函數，則函數在上的零點個數為

（A）5

（B）6

（C）7

（D）8

17．(2011天津)對實數與，定義新運算“”：，設函數

若函數的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數的取值范圍是

（A）

（B）

（C）

（D）

18．（2011福建）若關于的方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是

（A）（1,1）

（B）（2,2）

（C）（∞，2）∪（2，+∞）

（D）（∞，1）∪（1，+∞）

19．(2011全國新課標)函數的圖像與函數的圖像所有交點的橫坐標之和等于

（A）2

（B）4

（C）6

（D）8

20．(2011山東)已知是上最小正周期為2的周期函數，且當時，則函數的圖象在區間[0,6]上與軸的交點的個數為

（A）6

（B）7

（C）8

（D）9

21．（2010年福建）函數，的零點個數為

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

22．(2010天津)函數的零點所在的一個區間是

（A）（2，1）

（B）（1，0）

（C）（0，1）

（D）（1，2）

23．（2010廣東）“”是“一元二次方程有實數解”的（A）充分非必要條件

（B）充分必要條件

（C）必要非充分條件

（D）非充分非必要條件

24．（2010浙江）設函數，則在下列區間中函數不存在零點的是

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空題

25．(2018江蘇)若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為

．

26．(2018浙江)已知，函數，當時，不等式的解集是______．若函數恰有2個零點，則的取值范圍是____．

27．（2017江蘇）設是定義在且周期為1的函數，在區間上，其中集合，則方程的解的個數是

．

28．（2016山東）已知函數其中．若存在實數，使得關于的方程有三個不同的根，則的取值范圍是_______．

29．（2016年天津）已知函數在R上單調遞減，且關于的方程恰有兩個不相等的實數解，則的取值范圍是_______．

30．（2016年浙江）設函數．已知，且，∈R，則實數=_____，=______．

31．(2015福建)若是函數的兩個不同的零點，且，這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則的值等于

．

32．（2015湖北）函數的零點個數為

．

33．（2015湖南）若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是

．

34．（2014江蘇）已知是定義在R上且周期為3的函數，當時，．若函數在區間上有10個零點(互不相同)，則實數的取值范圍是

．

35．（2014福建）函數的零點個數是_________．

36．（2014天津）已知函數，．若方程恰有4個互異的實數根，則實數的取值范圍為__________．

37．（2012福建）對于實數和，定義運算“*”：設=，且關于的方程為（∈R）恰有三個互不相等的實數根，則的取值范圍是____________．

38．(2011北京)已知函數，若關于的方程=有兩個不同的實根，則數的取值范圍是_______．

39．(2011遼寧)已知函數有零點，則的取值范圍是______．

專題二

函數概念與基本初等函數Ⅰ

第五講

函數與方程

答案部分

2019年

1.解析

解法一：函數在的零點個數，即在區間的根個數，即，令和，作出兩函數在區間的圖像如圖所示，由圖可知，?

和在區間的圖像的交點個數為3個．故選B．

解法二：因為，令，得，即或，解得.所以在的零點個數為3個.故選B.2.解析

作出函數的圖像，以及直線的圖像，如圖所示.關于的方程恰有兩個互異的實數解，即和的圖像有兩個交點，平移直線，考慮直線經過點和時，有兩個交點，可得或.考慮直線與在相切，可得，由，解得（舍去）.綜上可得，的范圍是．

故選D．

3.解析

作出函數與的圖像如圖所示，由圖可知，函數與僅有2個實數根；

要使關于x的方程有8個不同的實數根，則，與，的圖象有2個不同交點，由到直線的距離為1，得，解得，因為兩點，連線的斜率，所以，即的取值范圍為.2010-2018年

1．C【解析】令，則方程有唯一解，設，則與有唯一交點，又，當且僅當時取得最小值2．

而，此時時取得最大值1，有唯一的交點，則．選C．

2．C【解析】由時是增函數可知，若，則,所以,由得，解得,則,故選C．

3．A【解析】是偶函數且有無數多個零點，為奇函數，既不是奇函數又不是偶函數，是偶函數但沒有零點．故選A．

4．A【解析】當時，此時方程的小于零的零點為；當時，方程

無零點；當時，方程大于2的零點有一個，故選A．

5．A【解析】由A知；由B知，；由C知，令可得，則，則；

由D知，假設A選項錯誤，則，得，滿足題意，故A結論錯誤，同理易知當B或C或D選項錯誤時不符合題意，故選A．

6．B【解析】如圖所示，方程有兩個不相等的實根等價于兩個函數的圖象有兩個不同的交點，結合圖象可知，當直線的斜率大于坐標原點與點的連續的斜率，且小于直線的斜率時符合題意，故選．

7．C【解析】

∵，，∴零點的區間是．

8．A【解析】在內有且僅有兩個不同的零點，就是函數的圖象與函數的圖象有兩個交點，在同一直角坐標系內作出函數，和函數的圖象，如圖，當與和都相交時；

當與有兩個交點時，由，消元得，即，化簡得，當，即時直線與相切，當直線過點時，所以，綜上，實數的取值范圍是．

9．D【解析】當時，函數的零點即方程得根，由，解得或3；當時，由是奇函數得，即，由得（正根舍去）．

10．A【解析】，是方程的兩根，由，則又兩個使得等式成立，，其函數圖象如下：

如圖則有3個交點，故選A.11．A【解析】由題意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.顯然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以該函數在(a，b)和(b，c)上均有零點，故選A．

12．B【解析】二次函數的圖像開口向上，在軸上方，對稱軸為=2，g(2)

=

1；

f(2)

=2ln2=ln4>1．所以g(2)

13．B【解析】令，可得，由圖象法可知有兩個零點．

14．B【解析】因為在內單調遞增，又，所以

在內存在唯一的零點。

15．C【解析】，則或，又，所以共有6個解.選C.16．B【解析】由知函數為偶函數，所以，所以函數為周期為2的周期函數，且，而為偶函數，且，在同一坐標系下作出兩函數在上的圖像，發現在內圖像共有6個公共點，則函數在上的零點個數為6，故選B.17．B【解析】由題意知，若，即時，；當，即或時，要使函數的圖像與軸恰有兩個公共點，只須方程有兩個不相等的實數根即可，即函數的圖像與直線有兩個不同的交點即可，畫出函數的圖像與直線，不難得出答案B．

18．C【解析】由一元二次方程有兩個不相等的實數根，可得判別式，即，解得或，故選C．

19．D【解析】圖像法求解．的對稱中心是（1,0）也是的中心，他們的圖像在x=1的左側有4個交點，則右側必有4個交點．不妨把他們的橫坐標由小到大設為，則，所以選D．

20．B【解析】因為當時，又因為是上最小正周期為2的周期函數，且，所以,又因為，所以,，故函數的圖象在區間[0,6]上與軸的交點的個數為7個，選B．

21．C【解析】當時，令解得；

當時，令解得，所以已知函數有兩個零點，選C．

22．B【解析】因為，所以選B．

23．A【解析】有實數解等價于，即．當時，成立，但時，不一定成立，故選A．

24．A【解析】，由于，所以，故函數在上存在零點；由于，故函數在上存在零點，在上也存在零點，令，則，而，所以函數在上存在零點，故選A．

25．【解析】()，當時在上恒成立，則在上單調遞增，又，所以此時在內無零點，不滿足題意．當時，由得，由得，則在上單調遞減，在上單調遞增，又在內有且只有一個零點，所以，得，所以，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，則，，則，所以在上的最大值與最小值的和為．

26．；【解析】若，則當時，令，得；當時，令，得．綜上可知，所以不等式的解集為．令，解得；令，解得或．因為函數恰有2個零點，結合函數的圖象（圖略）可知或．

27．8【解析】由于，則需考慮的情況，在此范圍內，且時，設，且互質，若，則由，可設，且互質，因此，則，此時左邊為整數，右邊為非整數，矛盾，因此，因此不可能與每個周期內對應的部分相等，只需考慮與每個周期的部分的交點，畫出函數圖象，圖中交點除外其他交點橫坐標均為無理數，屬于每個周期的部分，且處，則在附近僅有一個交點，因此方程的解的個數為8．

28．【解析】當時，其頂點為；當時，函數的圖象與直線的交點為．

①當，即時，函數的圖象如圖1所示，此時直線與函數的圖象有一個或兩個不同的交點，不符合題意；

②當，即時，函數的圖象如圖2所示，則存在實數滿足，使得直線與函數的圖象有三個不同的交點，符合題意．

綜上，的取值范圍為．

圖1

圖2

29．【解析】由在R上單調遞減得，又方程恰有兩個不相等的實數解，所以，因此的取值范圍是．

30．－2；1【解析】，所以，解得．

31．9【解析】由韋達定理得，則，當適當排序后成等比數列時，必為等比中項，故，．當適當排序后成等差數列時，必不是等差中項，當是等差中項時，解得，；當是等差中項時，解得，綜上所述，所以．

32．2

【解析】函數的零點個數等價于方程的根的個數，即函數與的圖像交點個數．于是，分別畫出其函數圖像如下圖所示，由圖可知，函數與的圖像有2個交點．

33．【解析】令，得，由題意可知函數與的圖象有兩個交點，畫圖可知（圖略）．

34．【解析】函數在區間上有互不相同的10個零點，即函數與的圖象有10個不同的交點，在坐標系中作出函數在一個周期內的圖象，可知．

35．2【解析】當時，令，得；當時，∵，∴在上單調遞增，因為，所以函數在有且只有一個零點，所以的零點個數為2．

36．或【解析】解法一

顯然．

（ⅰ）當與相切時，此時恰有3個互異的實數根．

（ⅱ）當直線與函數相切時，此時恰有2個互異的實數根.結合圖象可知或．

解法二：顯然，所以.令，則.因為，所以．

結合圖象可得或．

37．【解析】由定義運算“*”可知

=，如圖可知滿足題意的的范圍是，不妨設，當時，=，即

∴；∴，當時，由，得

∴，．

38．【解析】當時，說明函數在上單調遞增，函數的值域是，又函數在上單調遞減，函數的值域是，因此要使方程有兩個不同實根，則．

39．【解析】由原函數有零點，可將問題轉化為方程有解問題，即方程有解．令函數，則，令，得，所以在上是增函數，在上是減函數，所以的最大值為，所以．