專題二

函數概念與基本初等函數Ⅰ

第六講

函數的綜合及其應用

一?選擇題

1.(2017天津)已知函數設,若關于的不等式在R上恒成立,則a的取值范圍是

A.B.C.D.2.(2015北京)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲?乙?丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是

A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油

D.某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油

3.(2014北京)加工爆米花時,爆開且不糊的粒數的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率與加工時間(單位:分鐘)滿足函數關系(??是常數),下圖記錄了三次實驗的數據,根據上述函數模型和實驗數據,可以得到最佳加工時間為（）

A.分鐘

B.分鐘

C.分鐘

D.分鐘

4.(2014湖南)某市生產總值連續兩年持續增加,第一年的增長率為,第二年的增長率為,則該市這兩年生產總值的年平均增長率為

A.B.C.D.二?填空題

5.(2017山東)若函數(e=2.71828,是自然對數的底數)在的定義域上單調遞增,則稱函數具有性質,下列函數中具有性質的是

.①

②

③

④

6.(2017江蘇)設是定義在且周期為1的函數,在區間上,其中集合,則方程的解的個數是

.7.(2017新課標Ⅰ)如圖,圓形紙片的圓心為,半徑為5

cm,該紙片上的等邊三角形的中心為.??為圓上的點，,分別是以，為底邊的等腰三角形?沿虛線剪開后,分別以，為折痕折起，,使得??重合,得到三棱錐?當的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:)的最大值為_______.8.(2016年北京)

設函數.①若,則的最大值為____________________;

②若無最大值,則實數的取值范圍是_________________.9.(2015四川)某食品的保鮮時間(單位:小時)與儲存溫度(單位:)滿足函數關系(為自然對數的底數,為常數).若該食品在0的保鮮時間設計192小時,在22的保鮮時間是48小時,則該食品在33的保鮮時間是

小時.10.(2014山東)已知函數,對函數,定義關于的“對稱函數”為函數,滿足:對任意,兩個點

關于點對稱,若是關于的“對稱函數”,且恒成立,則實數的取值范圍是____.11.(2014福建)要制作一個容器為4,高為的無蓋長方形容器,已知該容器的底面造價是每平方米20元,側面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是_______(單位:元)

12.(2014四川)以表示值域為的函數組成的集合,表示具有如下性質的函數組成的集合:對于函數,存在一個正數,使得函數的值域包含于區間

.例如,當,時，.現有如下命題:

①設函數的定義域為,則“”的充要條件是“，”;

②函數的充要條件是有最大值和最小值;

③若函數,的定義域相同,且，則;

④若函數(,)有最大值,則.其中的真命題有

.(寫出所有真命題的序號)

三?解答題

13.(2018上海)某群體的人均通勤時間,是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時,某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤,分析顯示:當中的成員自駕時,自駕群體的人均通勤時間為

(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時間不受影響,恒為40分鐘,試根據上述分析結果回答下列問題:

(1)當在什么范圍內時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間?

(2)求該地上班族的人均通勤時間的表達式;討論的單調性,并說明其實際意義.14.(2018江蘇)某農場有一塊農田,如圖所示,它的邊界由圓的一段圓弧(為此圓弧的中點)和線段構成.已知圓的半徑為40米,點到的距離為50米.現規劃在此農田上修建兩個溫室大棚,大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形,大棚Ⅱ內的地塊形狀為,要求均在線段上,均在圓弧上.設與所成的角為.(1)用分別表示矩形和的面積,并確定的取值范圍;

(2)若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜,且甲?乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為.求當為何值時,能使甲?乙兩種蔬菜的年總產值最大.15.(2016年上海高考)已知,函數.(1)當時,解不等式;

(2)若關于的方程的解集中恰好有一個元素,求的取值范圍;

(3)設,若對任意,函數在區間上的最大值與最小值的差不超過1,求的取值范圍.16.(2015江蘇)某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區的交通現狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為,山區邊界曲線為,計劃修建的公路為,如圖所示，為的兩個端點,測得點到的距離分別為5千米和40千米,點到的距離分別為20千米和2.5千米,以所在的直線分別為軸,建立平面直角坐標系,假設曲線符合函數(其中為常數)模型.(I)求的值;

(II)設公路與曲線相切于點,的橫坐標為.①請寫出公路長度的函數解析式,并寫出其定義域;

②當為何值時,公路的長度最短?求出最短長度.17.(2013重慶)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設該蓄水池的底面半徑為米,高為米,體積為立方米.假設建造成本僅與表面積有關,側面積的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12000元(為圓周率).(Ⅰ)將表示成的函數,并求該函數的定義域;

(Ⅱ)討論函數的單調性,并確定和為何值時該蓄水池的體積最大.18.(2012陜西)設函數

(1)設，證明:在區間內存在唯一的零點;

(2)設n為偶數，,求的最小值和最大值;

(3)設,若對任意,有,求的取值范圍;

19.(2011江蘇)請你設計一個包裝盒,如圖所示,是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得四個點重合于圖中的點,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,?在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設cm

(1)某廣告商要求包裝盒側面積(cm)最大,試問應取何值?

(2)某廣告商要求包裝盒容積(cm)最大,試問應取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.答案部分

1.A【解析】解法一

根據題意,作出的大致圖象,如圖所示

當時,若要恒成立,結合圖象,只需,即,故對于方程，解得;當時,若要恒成立,結合圖象,只需,即,又,當且僅當,即時等號成立,所以,綜上,的取值范圍是.選A.解法二

由題意的最小值為,此時.不等式在R上恒成立等價于在R上恒成立.當時,令，不符合,排除C?D;

當時,令，不符合,排除B.選A.2.D【解析】

“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,A中乙車消耗1升汽油,最多行駛的路程為乙車圖象最高點的縱坐標值,A錯誤;B中以相同速度行駛相同路程,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B錯誤,C中甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,甲車每消耗1升汽油行駛的里程10km,行駛80km,消耗8升汽油,C錯誤,D中某城市機動車最高限速80千米/小時.由于丙比乙的燃油效率高,相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油,選D.3.B【解析】由題意可知過點(3,0.7),(4,0.8)(5,0.5),代入

中可解得,∴,∴當分鐘時,可食用率最大.4.D【解析】設年平均增長率為,原生產總值為,則,解得,故選D.5.①④【解析】①在上單調遞增,故具有性質;

②在上單調遞減,故不具有性質;

③,令,則,當時，當時，在上單調遞減,在上單調遞增,故不具有性質;

④,令,則,在上單調遞增,故具有性質.6.8【解析】由于,則需考慮的情況,在此范圍內,且時,設,且互質,若,則由,可設,且互質,因此,則,此時左邊為整數,右邊為非整數,矛盾,因此,因此不可能與每個周期內對應的部分相等,只需考慮與每個周期的部分的交點,畫出函數圖象,圖中交點除外其他交點橫坐標均為無理數,屬于每個周期的部分,且處,則在附近僅有一個交點,因此方程的解的個數為8.7.【解析】如圖連接交于,由題意,設等邊三角形的邊長為(),則,.由題意可知三棱錐的高

底面,三棱錐的體積為,設,則(),令,解得,當時，單調遞增;

當時，單調遞減,所以是取得最大值

所以.8.,.【解析】①若,則,當時,;

當時，所以函數在上單調遞

增,在上單調遞減,所以函數在上的最大值為.綜上函數的最大值為2.②函數與的大致圖象如圖所示

若無最大值,由圖象可知,即.9.24【解析】由題意得,即,所以該食品在℃的保鮮時間是

.10.【解析】函數的定義域為,根據已知得,所以,恒成立,即,令，則只要直線在半圓上方即可,由,解得(舍去負值),故實數的取值范圍是.11.160【解析】設該容器的總造價為元,長方體的底面矩形的長,因為無蓋長方體的容積為,高為,所以長方體的底面矩形的寬為,依題意,得

12.①③④【解析】對于①,根據題中定義,函數,的值域為,由函數值域的概念知,函數,的值域為,所以①正確;對于②,例如函數的值域包含于區間,所以,但有最大值l,沒有最小值,所以②錯誤;對于③,若,則存在一個正數,使得函數的值域包含于區間,所以,由知,存在一個正數,使得函數的值域包含于區間,所以,亦有,兩式相加得≤≤,于是,與已知“.”矛盾,故,即③正確;對于④,如果,那么,如果,那么,所以有最大值,必須,此時在區間上,有,所以,即④正確,故填①③④.13.【解析】(1)當時,恒成立,公交群體的人均通勤時間不可能少于自駕群體的人均通勤時間;

當時,若,即,解得(舍)或;

∴當時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間;

(2)設該地上班族總人數為,則自駕人數為,乘公交人數為.因此人均通勤時間,整理得:,則當,即時,單調遞減;

當時,單調遞增.實際意義:當有的上班族采用自駕方式時,上班族整體的人均通勤時間最短.適當的增加自駕比例,可以充分的利用道路交通,實現整體效率提升;但自駕人數過多,則容易導致交通擁堵,使得整體效率下降.14.【解析】(1)連結并延長交于,則⊥,所以=10.過作⊥于,則∥,所以,故，則矩形的面積為,的面積為.過作⊥,分別交圓弧和的延長線于和,則.令,則,.當時,才能作出滿足條件的矩形,所以的取值范圍是.答:矩形的面積為平方米,的面積為,的取值范圍是.(2)因為甲?乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3,設甲的單位面積的年產值為,乙的單位面積的年產值為,則年總產值為,.設，則.令,得,當時，所以為增函數;

當時，所以為減函數,因此,當時,取到最大值.答:當時,能使甲?乙兩種蔬菜的年總產值最大.15.【解析】(1)由,得,解得.(2)，當時，經檢驗,滿足題意.當時，經檢驗,滿足題意.當且時，,.是原方程的解當且僅當,即;

是原方程的解當且僅當,即.于是滿足題意的.綜上,的取值范圍為.(3)當時，,所以在上單調遞減.函數在區間上的最大值與最小值分別為,.即,對任意成立.因為,所以函數在區間上單調遞增,時,有最小值,由,得.故的取值范圍為.16.【解析】(1)由題意知,點,的坐標分別為,.將其分別代入,得,解得.(2)①由(1)知,(),則點的坐標為,設在點處的切線交,軸分別于,點，則的方程為,由此得,.故,.②設,則.令,解得.當時，是減函數;

當時，是增函數.從而,當時,函數有極小值,也是最小值,所以,此時.答:當時,公路的長度最短,最短長度為千米.17.【解析】(Ⅰ)因為蓄水池側面積的總成本為元,底面的總成本為元,所以蓄水池的總成本為()元.又題意據,所以,從而.因,又由可得,故函數的定義域為.(Ⅱ)因,故.令,解得(因不在定義域內,舍去).當時，故在上為增函數;

當時，故在上為減函數.由此可知,在處取得最大值,此時.即當,時,該蓄水池的體積最大.18.【解析】(1)當時,.∵,∴在內存在零點.又當時，∴在上是單調遞增的,∴在區間內存在唯一的零點;

(2)解法一

由題意知即由圖像知,在點取得最小值,在點取得最大值.解法二

由題意知,即.…①,即.…②

①+②得

當時,;當時,所以的最小值,最大值.解法三

由題意知,解得

.又∵,∴

當時,;當時,所以的最小值,最大值.(3)當時,.對任意都有有等價于在[-1,1]上的最大值與最小值之差.據此分類討論如下:

(ⅰ)當,即時，與題設矛盾.(ⅱ)當,即時,恒成立.(ⅲ)

當,即時,恒成立.綜上可知,.19.【解析】設包裝盒的高為(cm),底面邊長為(cm),由已知得

(1)

所以當時,取得最大值.(2)

由(舍)或=20.當時,.所以當=20時,V取得極大值,也是最小值.此時裝盒的高與底面邊長的比值為.