專題七

不等式

第二十一講

不等式的綜合應用

2019年

1.(2019天津理13)設,則的最小值為

.2010-2018年

一?選擇題

1.(2018北京)設集合則

A.對任意實數,B.對任意實數,C.當且僅當時,D.當且僅當時,2.(2017天津)已知函數設,若關于的不等式在上恒成立,則的取值范圍是

A.B.C.D.3.(2015北京)設是等差數列.下列結論中正確的是

A.若,則

B.若,則

C.若,則

D.若,則

4.(2015陜西)設，若，,則下列關系式中正確的是

A.B.C.D.5.(2014重慶)若的最小值是

A.B.C.D.6.(2013福建)若,則的取值范圍是

A.B.C.D.7.(2013山東)設正實數滿足.則當取得最大值時,的最大值為

A.0

B.1

C.D.3

8.(2013山東)設正實數滿足,則當取得最大值時,的最大值為

A.0

B.C.2

D.9.(2012浙江)若正數滿足,則的最小值是

A.B.C.5

D.6

10.(2012浙江)若正數滿足,則的最小值是

A.B.C.5

D.6

11.(2012陜西)小王從甲地到乙地的時速分別為和(),其全程的平均時速為,則

A.B.=

C.<<

D.=

12.(2012湖南)已知兩條直線:

和:(),與函數的圖像從左至右相交于點,與函數的圖像從左至右相交于.記線段和在軸上的投影長度分別為,當

變化時,的最小值為

A.B.C.D.13.(2011陜西)設,則下列不等式中正確的是

A.B.C.D.14.(2011上海)若,且,則下列不等式中,恒成立的是

A.B.C.D.二?填空題

15.(2018天津)已知,且,則的最小值為

.16.(2018浙江)已知,函數,當時,不等式的解集是___________.若函數恰有2個零點,則的取值范圍是___________.17.(2017北京)已知，且,則的取值范圍是_______.18.(2017天津)若，則的最小值為___________.19.(2017江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲費之和最小,則的值是

.20.(2017浙江)已知,函數在區間[1,4]上的最大值是5,則的取值范圍是

.21.(2014浙江)已知實數滿足，則的最大值是__;

22.(2014遼寧)對于,當非零實數a,b滿足,且使最大時,的最小值為

.23.(2014遼寧)對于,當非零實數,滿足,且使最大時,的最小值為

.24.(2014湖北)某項研究表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內經過測量點的車輛數,單位:輛/小時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)?平均車長l(單位:米)的值有關,其公式為.(Ⅰ)如果不限定車型，則最大車流量為

輛/小時;

(Ⅱ)如果限定車型，則最大車流量比(Ⅰ)中的最大車流量增加

輛/小時.25.(2013天津)設a

+

b

=

2,b>0,則當a

=

時,取得最小值.26.(2013四川)已知函數在時取得最小值,則__.27.(2011浙江)若實數滿足,則的最大值是____.28.(2011湖南)設,則的最小值為

.29.(2010安徽)若,則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是

(寫出所有正確命題的編號).①;

②;

③;

④;

⑤

專題七

不等式

第二十一講

不等式的綜合應用

答案部分

2019年

1.解析，,則;

由基本不等式,(當且僅當時,即,且時,即或時,等號成立).故的最小值為.2010-2018年

1.D【解析】點在直線上,表示過定點,斜率為的直線,當時,表示過定點,斜率為的直線,不等式表示的區域包含原點,不等式表示的區域不包含原點.直線與直線互相垂直,顯然當直線的斜率時,不等式表示的區域不包含點,故排除A;點與點連線的斜率為,當,即時,表示的區域包含點,此時表示的區域也包含點,故排除B;當直線的斜率,即時,表示的區域不包含點,故排除C,故選D.解法二

若,則,解得,所以當且僅當時,.故選D.2.A【解析】解法一

函數的圖象如圖所示,當的圖象經過點時,可知.當的圖象與的圖象相切時,由,得,由,并結合圖象可得,要使恒成立,當時,需滿足,即,當時,需滿足,所以.解法二

由題意時,的最小值2,所以不等式等價于

在上恒成立.當時,令,得,不符合題意,排除C?D;

當時,令,得,不符合題意,排除B;

選A.3.C

【解析】若是遞減的等差數列,則選項都不一定正確.若為公差為0的等差數列,則選項D不正確.對于C選項,由條件可知為公差不為0的正確數列,由等差中項的性質得,由基本不等式得,所以C正確.4.B【解析】∵,∴,又在上單調遞增,故,即,∵,∴.5.D【解析】由已知得,且,可知,所以(),.當且僅當時取等號.6.D【解析】本題考查的是均值不等式.因為,即,所以,當且僅當,即時取等號.7.B【解析】由,得.所以,當且僅當,即時取等號此時,.,故選B.8.C【解析】由得，當且僅當即時,有最小值1,將代入原式得,所以,當時有最大值2.故選C.9.C【解析】，.10.C【解析】，.11.A【解析】設從甲地到乙地所走路程為,則.∵,∴,∴.選A.12.B【解析】在同一坐標系中作出,(),圖像

如下圖,由=

m,得,=,得.依題意得.,.13.B【解】(方法一)已知和,比較與,因為,所以,同理由

得;作差法:,所以,綜上可得;故選B.(方法二)取，則，所以.14.D【解析】對于A取,此時,因此A不正確;對于B取,此時,因此B不正確;對于C取,此時,因此C不正確;對于D,∵,∴,∴,D正確.15.【解析】由,得,所以,當且僅當,即時等號成立.16.;【解析】若,則當時,令,得;當時,令,得.綜上可知,所以不等式的解集為.令,解得;令,解得或.因為函數恰有2個零點,結合函數的圖象(圖略)可知或.17.【解析】由題意，且,又時，時，當時，所以取值范圍為.18.4【解析】,當且僅當,且,即時取等號.19.30【解析】總費用為,當且僅當,即時等號成立.20.【解析】∵,∴

①當時，所以的最大值,即(舍去)

②當時，此時命題成立.③當時，則

或,解得或,綜上可得,實數的取值范圍是.21.【解析】由得，則,又,所以,解得,故的最大值為.22.-1【解析】設最大,則必須同號,因為,故有，當且僅當時取等號,此時,所以=.23.-2

【解析】

設,則,因為,所以將代入整理可得①,由解得,當取得最大值時，代入①式得,再由得,所以.當且僅當時等號成立.24.1900

100【解析】(Ⅰ),當且僅當時等號成立.(Ⅱ),當且僅當時等號成立..25.-2【解析】∵=

當且僅當,即時取等號

故取得最小值時,.26.【解析】因為，當且僅當,即,解得.27.【解析】∵,∴,即,∴,.28.9【解析】由柯西不等式可知.29.①③⑤【解析】令,排除②④;由,命題①正確;,命題③正確;,命題⑤正確.