專(zhuān)題三

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第八講

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

2019年

1.（2019全國(guó)Ⅲ文20）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)0

（Ⅰ）求曲線(xiàn)的斜率為1的切線(xiàn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值．

3.（2019江蘇19）設(shè)函數(shù)、為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；

（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．

4.（2019全國(guó)Ⅰ文20）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．

（1）證明：f

′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；

（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

5.（2019全國(guó)Ⅰ文20）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．

（1）證明：f

′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；

（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

6.（2019全國(guó)Ⅱ文21）已知函數(shù).證明：

（1）存在唯一的極值點(diǎn)；

（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).7.（2019天津文20）設(shè)函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，（i）證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)

（ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.8.（2019浙江22）已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對(duì)任意均有

求的取值范圍.注：e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).2010-2018年

一、選擇題

1．（2017新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)，則

A．在單調(diào)遞增

B．在單調(diào)遞減

C．的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

D．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

2．（2017浙江）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是

A．

B．

C．

D．

3．（2016年全國(guó)I卷）若函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

4．（2016年四川）已知為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則

A．4

B．2

C．4

D．2

5．（2014新課標(biāo)2）若函數(shù)在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

6．（2014新課標(biāo)2）設(shè)函數(shù)．若存在的極值點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

7．（2014遼寧）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

8．（2014湖南）若，則

A．

B．

C．

D．

9．（2014江西）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖像不可能的是

10．（2013新課標(biāo)2）已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

A．

B．函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形

C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間單調(diào)遞減

D．若是的極值點(diǎn)，則

11．（2013四川）設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若存在使成立，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

12．（2013福建）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，是的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是

A．

B．是的極小值點(diǎn)

C．是的極小值點(diǎn)

D．是的極小值點(diǎn)

13．（2012遼寧）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

A．(－1,1]

B．(0,1]

C．

[1,+)

D．(0,+)

14．（2012陜西）設(shè)函數(shù)，則

A．為的極大值點(diǎn)

B．為的極小值點(diǎn)

C．為的極大值點(diǎn)

D．為的極小值點(diǎn)

15．（2011福建）若，且函數(shù)在處有極值，則的最大值等于

A．2

B．3

C．6

D．9

16．（2011浙江）設(shè)函數(shù)，若為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為的圖象是

A

B

C

D

17．（2011湖南）設(shè)直線(xiàn)

與函數(shù)，的圖像分別交于點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為

A．1

B．

C．

D．

二、填空題

18．（2016年天津）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為_(kāi)___.19．（2015四川）已知函數(shù)，(其中)．對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)，設(shè)＝，＝．現(xiàn)有如下命題：

①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)，都有；

②對(duì)于任意的及任意不相等的實(shí)數(shù)，都有；

③對(duì)于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)，使得；

④對(duì)于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)，使得．

其中真命題有___________(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))．

20．（2011廣東）函數(shù)在=______處取得極小值．

三、解答題

21．（2018全國(guó)卷Ⅰ）已知函數(shù)．

(1)設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，．

22．（2018浙江）已知函數(shù)．

(1)若在，()處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；

(2)若，證明：對(duì)于任意，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)．

23．（2018全國(guó)卷Ⅱ）已知函數(shù)．

(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．

24．（2018北京）設(shè)函數(shù)．

(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為0，求；

(2)若在處取得極小值，求的取值范圍．

25．（2018全國(guó)卷Ⅲ）已知函數(shù)．

(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，．

26．（2018江蘇）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿(mǎn)足且，則稱(chēng)為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”．

(1)證明：函數(shù)與不存在“點(diǎn)”；

(2)若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)已知函數(shù)，．對(duì)任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”，并說(shuō)明理由．

27．（2018天津）設(shè)函數(shù)，其中，且是公差為的等差數(shù)列．

(1)若

求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

(2)若，求的極值；

(3)若曲線(xiàn)與直線(xiàn)有三個(gè)互異的公共點(diǎn)，求d的取值范圍．

28．（2017新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)．

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若，求的取值范圍．

29．（2017新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)函數(shù)．

(1)討論的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．

30．（2017新課標(biāo)Ⅲ）已知函數(shù)．

(1)討論的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，證明．

31．（2017天津）設(shè)，．已知函數(shù)，．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)，（i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0；

（ii）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．

32．（2017浙江）已知函數(shù)．

（Ⅰ）求的導(dǎo)函數(shù)；

（Ⅱ）求在區(qū)間上的取值范圍．

33．（2017江蘇）已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)．（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；

（2）證明：；

34．（2016年全國(guó)I卷）已知函數(shù).(I)討論的單調(diào)性；

(II)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.35．（2016年全國(guó)II卷）已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；

(Ⅱ)若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.36．（2016年全國(guó)III卷）設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明當(dāng)時(shí)，；

（III）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，．

37．（2015新課標(biāo)2）已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求的取值范圍．

38．（2015新課標(biāo)1）設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)．

39．（2014新課標(biāo)2）已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)（0，2）處的切線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)與直線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)．

40．(2014山東）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．

41．（2014新課標(biāo)1）設(shè)函數(shù)，曲線(xiàn)處的切線(xiàn)斜率為0

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在使得，求的取值范圍．

42．（2014山東）設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．

（Ⅰ）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性．

43．(2014廣東)

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試討論是否存在，使得．

44．(2014江蘇)已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）證明：是R上的偶函數(shù)；

（Ⅱ）若關(guān)于的不等式≤在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）已知正數(shù)滿(mǎn)足：存在，使得成立．試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．

45．（2013新課標(biāo)1）已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）討論的單調(diào)性，并求的極大值．

46．（2013新課標(biāo)2）已知函數(shù)．

（Ⅰ）求的極小值和極大值；

（Ⅱ）當(dāng)曲線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求在軸上截距的取值范圍．

47．（2013福建）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于軸，求的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的極值；

（Ⅲ）當(dāng)?shù)闹禃r(shí)，若直線(xiàn)與曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，求的最大值．

48．(2013天津)已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）

證明：對(duì)任意的，存在唯一的，使．

（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中所確定的關(guān)于的函數(shù)為，證明：當(dāng)時(shí)，有．

49．（2013江蘇）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．

（Ⅰ）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；

（Ⅱ）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

50．（2012新課標(biāo)）設(shè)函數(shù)f(x)=－ax－2

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間

（Ⅱ）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求的最大值

51．（2012安徽）設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）求在內(nèi)的最小值；

（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為；求的值。

52．（2012山東）已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）設(shè)，其中是的導(dǎo)數(shù)．

證明：對(duì)任意的，．

53．（2011新課標(biāo)）已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）證明：當(dāng)，且時(shí)，．

54．（2011浙江）設(shè)函數(shù)，（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求所有實(shí)數(shù)，使對(duì)恒成立．

注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

55．（2011福建）已知，為常數(shù)，且，函數(shù)，（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和()，使得對(duì)每一個(gè)∈，直線(xiàn)與曲線(xiàn)（∈[，e]）都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)和最大的實(shí)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

56．（2010新課標(biāo)）設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）若=，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若當(dāng)≥0時(shí)≥0，求的取值范圍．

專(zhuān)題三

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第八講

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

答案部分

2019年

1.解析（1）．

令，得x=0或.若a>0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

若a=0，在單調(diào)遞增；

若a<0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在[0,1]的最小值為，最大值為或.于是，所以

當(dāng)時(shí)，可知單調(diào)遞減，所以的取值范圍是.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的取值范圍是.綜上，的取值范圍是.2.解析（Ⅰ）由得．

令，即，得或．

又，所以曲線(xiàn)的斜率為1的切線(xiàn)方程是與，即與．

（Ⅱ）要證，即證，令．

由得．

令得或．

在區(qū)間上的情況如下：

所以的最小值為，最大值為．

故，即．

（Ⅲ），由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

綜上，當(dāng)最小時(shí)，．

3.解析（1）因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)椋裕獾茫?/p>

（2）因?yàn)椋裕瑥亩睿没颍?/p>

因?yàn)槎荚诩现校遥裕?/p>

此時(shí)，．

令，得或．列表如下：

+

0

–

0

+

極大值

極小值

所以的極小值為．

（3）因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)椋裕瑒t有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為．

由，得．

列表如下：

+

0

–

0

+

極大值

極小值

所以的極大值．

解法一：

．因此．

解法二：因?yàn)椋裕?/p>

當(dāng)時(shí)，．

令，則．

令，得．列表如下：

+

0

–

極大值

所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故．

所以當(dāng)時(shí)，因此．

4.解析

（1）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，故在存在唯一零點(diǎn).所以在存在唯一零點(diǎn).（2）由題設(shè)知，可得a≤0.由（1）知，在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，所以，當(dāng)時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，ax≤0，故.因此，a的取值范圍是.5.解析

（1）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，故在存在唯一零點(diǎn).所以在存在唯一零點(diǎn).（2）由題設(shè)知，可得a≤0.由（1）知，在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，所以，當(dāng)時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，ax≤0，故.因此，a的取值范圍是.6.解析（1）的定義域?yàn)椋?，+）..因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，又，故存在唯一，使得.又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因此，存在唯一的極值點(diǎn).（2）由（1）知，又，所以在內(nèi)存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根.綜上，有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).7.解析（Ⅰ）由已知，的定義域?yàn)椋遥虼水?dāng)時(shí)，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知.令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且

.故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則.當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點(diǎn).令，則當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，所以.從而，又因?yàn)椋栽趦?nèi)有唯一零點(diǎn).又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).（ii）由題意，即，從而，即.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，又，故，兩邊取對(duì)數(shù)，得，于是，整理得.8.解析（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，3），單調(diào)遞增區(qū)間為（3，+）．

（Ⅱ）由，得．

當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．

令，則．

設(shè)，則

．

（i）當(dāng)

時(shí)，則

．

記，則

.故

0

+

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

所以，．

因此，．

（ii）當(dāng)時(shí)，．

令，則，故在上單調(diào)遞增，所以．

由（i）得．

所以，．

因此．

由（i）（ii）得對(duì)任意，即對(duì)任意，均有．

綜上所述，所求a的取值范圍是．

2010-2018年

1．C【解析】由，知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，排除A、B；又，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，C正確．

2．D【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，的單調(diào)性是減增減增，排除

A、C；由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，的極值點(diǎn)一負(fù)兩正，所以D符合，選D．

3．C【解析】函數(shù)在單調(diào)遞增，等價(jià)于

在恒成立．

設(shè)，則在恒成立，所以，解得．故選C．

4．D【解析】因?yàn)椋睿?dāng)

時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以．故選D．

5．D【解析】∵，∴，∵在（1，+）單調(diào)遞增，所以當(dāng)

時(shí)，恒成立，即在（1，+）上恒成立，∵，∴，所以，故選D．

6．C【解析】由正弦型函數(shù)的圖象可知：的極值點(diǎn)滿(mǎn)足，則，從而得．所以不等式，即為，變形得，其中．由題意，存在整數(shù)使得不等式成立．當(dāng)且時(shí)，必有，此時(shí)不等式顯然不能成立，故或，此時(shí)，不等式即為，解得或．

7．C【解析】當(dāng)時(shí)，得，令，則，令，則，顯然在上，單調(diào)遞減，所以，因此；同理，當(dāng)時(shí)，得．由以上兩種情況得．顯然當(dāng)時(shí)也成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．

8．C【解析】設(shè)，則，故在上有一個(gè)極值點(diǎn)，即在上不是單調(diào)函數(shù)，無(wú)法判斷與的大小，故A、B錯(cuò)；構(gòu)造函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，所以，選C．

9．B【解析】當(dāng)，可得圖象D；記，取，令，得，易知的極小值為，又，所以，所以圖象A有可能；同理取，可得圖象C有可能；利用排除法可知選B．

10．C【解析】若則有，所以A正確。由得，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)中心為（0,0），所以的對(duì)稱(chēng)中心為,所以B正確。由三次函數(shù)的圖象可知，若是的極小值點(diǎn)，則極大值點(diǎn)在的左側(cè)，所以函數(shù)在區(qū)間（∞,）單調(diào)遞減是錯(cuò)誤的，D正確。選C.11．A【解析】若在上恒成立，則，則在上無(wú)解；

同理若在上恒成立，則。

所以在上有解等價(jià)于在上有解，即，令，所以，所以．

12．D【解析】A．，錯(cuò)誤．是的極大值點(diǎn)，并不是最大值點(diǎn)；B．是的極小值點(diǎn)．錯(cuò)誤．相當(dāng)于關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖像，故應(yīng)是的極大值點(diǎn)；C．是的極小值點(diǎn)．錯(cuò)誤．相當(dāng)于關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圖像，故應(yīng)是的極小值點(diǎn)．跟沒(méi)有關(guān)系；D．是的極小值點(diǎn)．正確．相當(dāng)于先關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)，再關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圖像．故D正確．

13．B【解析】∵,∴,由，解得，又，∴故選B．

14．D【解析】，恒成立，令，則

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增，則為的極小值點(diǎn)，故選D．

15．D【解析】，由，即，得．

由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．選D．

16．D【解析】若為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則易知，∵選項(xiàng)A，B的函數(shù)為，∴，∴為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)滿(mǎn)足條件；選項(xiàng)C中，對(duì)稱(chēng)軸，且開(kāi)口向下，∵，∴，也滿(mǎn)足條件；選項(xiàng)D中，對(duì)稱(chēng)軸，且開(kāi)口向上，∴，∴，與題圖矛盾，故選D．

17．D【解析】由題不妨令，則，令解得，因時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小．即．

18．3【解析】．

19．①④【解析】因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增的，所以對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)，恒成立，①正確；因?yàn)椋?/p>

=，正負(fù)不定，②錯(cuò)誤；由，整理得．

令函數(shù)，則，令，則，又，從而存在，使得，于是有極小值，所以存

在，使得，此時(shí)在上單調(diào)遞增，故不存在不相等的實(shí)數(shù)，使得，不滿(mǎn)足題意，③錯(cuò)誤；由得，即，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增的，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以對(duì)于任意的，與的圖象一定有交點(diǎn)，④正確．

20．2【解析】由題意，令得或．

因或時(shí)，時(shí)，．

∴時(shí)取得極小值．

21．【解析】(1)的定義域?yàn)椋?/p>

由題設(shè)知，所以．

從而，．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

(2)當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以是的最小值點(diǎn)．

故當(dāng)時(shí)，．

因此，當(dāng)時(shí)，．

22．【解析】(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由得，因?yàn)椋裕?/p>

由基本不等式得．

因?yàn)椋裕?/p>

由題意得．

設(shè)，則，所以

0

+

所以在上單調(diào)遞增，故，即．

(2)令，則，所以，存在使，所以，對(duì)于任意的及，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)．

由得．

設(shè)，則，其中．

由(1)可知，又，故，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此方程至多1個(gè)實(shí)根．

綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)．

23．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，．

令解得或．

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

(2)由于，所以等價(jià)于．

設(shè)，則，僅當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增．

故至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)．

又，故有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，只有一個(gè)零點(diǎn)．

24．【解析】(1)因?yàn)椋裕深}設(shè)知，即，解得．

(2)方法一：由(1)得．

若，則當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

所以在處取得極小值．

若，則當(dāng)時(shí)，所以．

所以1不是的極小值點(diǎn)．

綜上可知，的取值范圍是．

方法二：．

(ⅰ)當(dāng)時(shí)，令得．

隨的變化情況如下表：

+

0

?

↗

極大值

↘

∴在處取得極大值，不合題意．

(ⅱ)當(dāng)時(shí)，令得．

①當(dāng)，即時(shí)，∴在上單調(diào)遞增，∴無(wú)極值，不合題意．

②當(dāng)，即時(shí)，隨的變化情況如下表：

+

0

?

0

+

↗

極大值

↘

極小值

↗

∴在處取得極大值，不合題意．

③當(dāng)，即時(shí)，隨的變化情況如下表：

+

0

?

0

+

↗

極大值

↘

極小值

↗

∴在處取得極小值，即滿(mǎn)足題意．

(ⅲ)當(dāng)時(shí)，令得．

隨的變化情況如下表：

?

0

+

0

?

↘

極小值

↗

極大值

↘

∴在處取得極大值，不合題意．

綜上所述，的取值范圍為．

25．【解析】(1)，．

因此曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是．

(2)當(dāng)時(shí)，．

令，則．

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

所以．因此．

26．【解析】(1)函數(shù)，則，．

由且，得，此方程組無(wú)解，因此，與不存在“點(diǎn)”．

(2)函數(shù)，則．

設(shè)為與的“點(diǎn)”，由且，得，即，（*）

得，即，則．

當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足方程組（*），即為與的“點(diǎn)”．

因此，的值為．

(3)對(duì)任意，設(shè)．

因?yàn)椋业膱D象是不間斷的，所以存在，使得．令，則．

函數(shù)，則．

由且，得，即，（**）

此時(shí)，滿(mǎn)足方程組（**），即是函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)“點(diǎn)”．

因此，對(duì)任意，存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”．

27．【解析】(1)由已知，可得，故，因此，=?1，又因?yàn)榍€(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，故所求切線(xiàn)方程為．

(2)由已知可得

．

故．令=0，解得，或．

當(dāng)變化時(shí)，的變化如下表：

(?∞，)

(，)

(，+∞)

+

0

?

0

+

↗

極大值

↘

極小值

↗

所以函數(shù)的極大值為；函數(shù)小值為．

(3)曲線(xiàn)與直線(xiàn)有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于的方程有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，令，可得．

設(shè)函數(shù)，則曲線(xiàn)與直線(xiàn)有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．

．

當(dāng)時(shí)，這時(shí)在R上單調(diào)遞增，不合題意．

當(dāng)時(shí)，=0，解得，．

易得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值=>0．的極小值=?．

若，由的單調(diào)性可知函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意．

若即，也就是，此時(shí)，且，從而由的單調(diào)性，可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意．

所以的取值范圍是

28．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋偃簦瑒t，在單調(diào)遞增．

②若，則由得．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

③若，則由得．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）①若，則，所以．

②若，則由（1）得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為

．從而當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，．

③若，則由（1）得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為

．

從而當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)．

綜上，的取值范圍為．

29．【解析】（1）

令得，．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）．

當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，因此在單調(diào)遞減，而，故，所以

．

當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，而，故．

當(dāng)時(shí)，，取，則，故．

當(dāng)時(shí),取,則,．

綜上，的取值范圍是．

30．【解析】（1）的定義域?yàn)椋?/p>

若，則當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞增.若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在取得最大值，最大值為

．

所以等價(jià)于，即．

設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．所以當(dāng)時(shí)，．從而當(dāng)時(shí)，即．

31．【解析】（I）由，可得，令，解得，或．由，得．

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（II）（i）因?yàn)椋深}意知，所以，解得．

所以，在處的導(dǎo)數(shù)等于0．

（ii）因?yàn)椋桑傻茫?/p>

又因?yàn)椋蕿榈臉O大值點(diǎn)，由（I）知．

另一方面，由于，故，由（I）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，在上恒成立，從而在上恒成立．

由，得，．

令，所以，令，解得（舍去），或．

因?yàn)椋实闹涤驗(yàn)椋?/p>

所以，的取值范圍是．

32．【解析】（Ⅰ）因?yàn)椋?/p>

（Ⅱ）由

解得或．

因?yàn)?/p>

x

（，1）

（1，）

（，）

0

+

0

↘

0

↗

↘

又，所以在區(qū)間上的取值范圍是．

33．【解析】(1)由,得.當(dāng)時(shí)，有極小值.因?yàn)榈臉O值點(diǎn)是的零點(diǎn).所以，又，故.因?yàn)橛袠O值，故有實(shí)根，從而，即.時(shí)，故在R上是增函數(shù)，沒(méi)有極值；

時(shí)，有兩個(gè)相異的實(shí)根，.列表如下

+

0

–

0

+

極大值

極小值

故的極值點(diǎn)是.從而，因此，定義域?yàn)?（2）由（1）知，．

設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增．

因?yàn)椋裕剩矗?/p>

因此．

（3）由（1）知,的極值點(diǎn)是，且，.從而

記，所有極值之和為，因?yàn)榈臉O值為，所以，.因?yàn)椋谑窃谏蠁握{(diào)遞減.因?yàn)椋谑牵?因此的取值范圍為.34．【解析】

(Ⅰ)

(i)設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.(ii)設(shè)，由得或．

①若，則，所以在單調(diào)遞增.②若，則,故當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.③若，則，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.(Ⅱ)(i)設(shè)，則由(I)知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又，取b滿(mǎn)足b<0且，則，所以有兩個(gè)零點(diǎn).(ii)設(shè)a=0，則，所以有一個(gè)零點(diǎn).(iii)設(shè)a<0，若，則由(Ⅰ)知，在單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，<0，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；若，則由(Ⅰ)知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)<0，故不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.35．【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于

令，則，（i）當(dāng)，時(shí)，故在上單調(diào)遞增，因此；

（ii）當(dāng)時(shí)，令得，由和得，故當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，因此.綜上，的取值范圍是

36．【解析】（Ⅰ）由題設(shè)，的定義域?yàn)椋睿獾茫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為.所以當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，，即.（Ⅲ）由題設(shè)，設(shè)，則，令，解得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.由（Ⅱ）知，故，又，故當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，.37【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?/p>

若，則，所以在單調(diào)遞增．

若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，在上無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，在取得最大值，最大值為．

因此等價(jià)于．

令，則在單調(diào)遞增，．

于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此的取值范圍是．

38．【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí),，沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又，當(dāng)滿(mǎn)足且時(shí)，故當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn)．

（Ⅱ）由（Ⅰ），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．

由于，所以．

故當(dāng)時(shí)，．

39．【解析】（Ⅰ）=，.曲線(xiàn)在點(diǎn)（0,2）處的切線(xiàn)方程為．

由題設(shè)得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)，由題設(shè)知．

當(dāng)≤0時(shí)，單調(diào)遞增，所以=0在有唯一實(shí)根．

當(dāng)時(shí)，令，則．，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以在沒(méi)有實(shí)根.綜上，=0在R有唯一實(shí)根，即曲線(xiàn)與直線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)．

40．【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

由可得

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，故在內(nèi)不存在極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，因此．

當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增

故在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，0

函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)

當(dāng)且僅當(dāng)，解得

綜上函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．

41．【解析】（Ⅰ），由題設(shè)知，解得．

（Ⅱ）的定義域?yàn)椋桑á瘢┲á。┤簦瑒t，故當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，存在，使得的充要條件為，即，解得．

（ii）若，則，故當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以，存在，使得的充要條件為，而，所以不合題意．

（iii）若，則．

綜上，的取值范圍是．

42．【解析】（Ⅰ）由題意知時(shí)，此時(shí)，可得，又，所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為．

（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，由于，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，③當(dāng)時(shí)，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則，由，所以時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

43．【解析】（Ⅰ）

（Ⅱ）

44．【解析】（Ⅰ），∴是上的偶函數(shù)

（Ⅱ）由題意，即

∵，∴，即對(duì)恒成立

令，則對(duì)任意恒成立

∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

∴

（Ⅲ），當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)增

令，∵，∴，即在上單調(diào)減

∵存在，使得，∴，即

∵

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)增；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)減

因此至多有兩個(gè)零點(diǎn)，而

∴當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

45．【解析】．由已知得，故，從而；

（Ⅱ）

由（I）知，令得，或．

從而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為．

46．【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?/p>

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

故當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為；當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為．

（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為，則的方程為

所以在軸上的截距為

由已知和①得．

令，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．

所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．

綜上，在軸上截距的取值范圍．

47．【解析】（Ⅰ）由，得．

又曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于軸，得，即，解得．

（Ⅱ），①當(dāng)時(shí)，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無(wú)極值．

②當(dāng)時(shí)，令，得，．，；，．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且極小值為，無(wú)極大值．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極小值；

當(dāng)，在處取得極小值，無(wú)極大值．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，則直線(xiàn)：與曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

假設(shè)，此時(shí)，又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾，故．

又時(shí)，知方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

所以的最大值為．

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，．

直線(xiàn)：與曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程：

（*）

在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

①當(dāng)時(shí)，方程（*）可化為，在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

②當(dāng)時(shí)，方程（*）化為．

令，則有．

令，得，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

當(dāng)時(shí)，同時(shí)當(dāng)趨于時(shí)，趨于，從而的取值范圍為．

所以當(dāng)時(shí)，方程（*）無(wú)實(shí)數(shù)解，解得的取值范圍是．

綜上，得的最大值為．

48．【解析】（Ⅰ）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．

f′(x)＝2xln

x＋x＝x(2ln

x＋1)，令f′(x)＝0，得.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x

f′(x)

－

0

＋

f(x)



極小值

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（Ⅱ）證明：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f(x)≤0.設(shè)t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．

由(1)知，h(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．

h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln

et－t＝t(e2t－1)＞0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．

（Ⅲ）證明：因?yàn)閟＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，從而，其中u＝ln

s.要使成立，只需.當(dāng)t＞e2時(shí)，若s＝g(t)≤e，則由f(s)的單調(diào)性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．

所以s＞e，即u＞1，從而ln

u＞0成立．

另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.當(dāng)1＜u＜2時(shí)，F(xiàn)′(u)＞0；當(dāng)u＞2時(shí)，F(xiàn)′(u)＜0.故對(duì)u＞1，F(xiàn)(u)≤F(2)＜0.因此成立．

綜上，當(dāng)t＞e2時(shí)，有.49．【解析】：（Ⅰ）由題在上恒成立，在上恒成立，；

若，則在上恒成立，在上遞增，在上沒(méi)有最小值，當(dāng)時(shí)，由于在遞增，時(shí)，遞增，時(shí)，遞減，從而為的可疑極小點(diǎn)，由題，綜上的取值范圍為．

（Ⅱ）由題在上恒成立，在上恒成立，由得，令，則，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，時(shí)，最大值為，又時(shí)，時(shí)，據(jù)此作出的大致圖象，由圖知：

當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)有1個(gè),當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)有2個(gè),50．【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?/p>

若，則，所以在單調(diào)遞增．

若，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)，所以

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（Ⅱ）

由于，所以(x－k)

f′(x)+x+1=．

故當(dāng)時(shí)，(x－k)

f′(x)+x+1>0等價(jià)于

（）

①

令，則

由（Ⅰ）知，函數(shù)在單調(diào)遞增．而，所以在存在唯一的零點(diǎn)，故在存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在的最小值為，又由，可得，所以

故①等價(jià)于，故整數(shù)的最大值為2．

51．【解析】（Ⅰ）設(shè)；則

①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)

得：當(dāng)時(shí)，的最小值為

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為

（Ⅱ）

由題意得：

52．【解析】（Ⅰ）由

=

可得，而，即，解得；

（Ⅱ），令可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù)．

（Ⅲ）

=

因此對(duì)任意的，等價(jià)于

設(shè)

所以，因此時(shí)，時(shí)，所以，故．

設(shè)，則，∵，∴，∴，即

∴，對(duì)任意的，．

53．【解析】（Ⅰ）

由于直線(xiàn)的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，故

即,解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

考慮函數(shù)，則

所以當(dāng)時(shí)，故

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)

54．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?/p>

所以

由于，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為

（Ⅱ）【證明】：由題意得，由（Ⅰ）知內(nèi)單調(diào)遞增，要使恒成立，只要，解得

55．【解析】（Ⅰ）由

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得從而，故：

（1）當(dāng)；

（2）當(dāng)

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為。

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可得，當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，的變化情況如下表：

－

0

+

單調(diào)遞減

極小值1

單調(diào)遞增

又的值域?yàn)閇1，2]．

由題意可得，若，則對(duì)每一個(gè)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)

都有公共點(diǎn)．并且對(duì)每一個(gè)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)都沒(méi)有公共點(diǎn)．

綜上，當(dāng)時(shí)，存在最小的實(shí)數(shù)=1，最大的實(shí)數(shù)=2，使得對(duì)每一個(gè)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)都有公共點(diǎn)．

56．【解析】（Ⅰ）時(shí)。當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)。故在，單調(diào)增加，在（1，0）單調(diào)減少．

（Ⅱ）。令，則。若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)x≥0時(shí)≥0，即≥0．

若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)時(shí)＜0，即＜0．

綜合得的取值范圍為．