專題四

三角函數與解三角形

第十一講

三角函數的綜合應用

一、選擇題

1．（2016年天津）已知函數，．若在區間內沒有零點，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

2．（2016全國II卷）函數的最大值為

A．4

B．5

C．6

D．7

3．（2015年陜西高考）如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數，據此函數可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為

A．5

B．6

C．8

D．10

4．（2015浙江）存在函數滿足，對任意都有

A．

B．

C．

D．

5．（2015新課標2）如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，∠BOP=．將動點P到A，B兩點距離之和表示為的函數，則的圖像大致為

A

B

C

D

6．（2014新課標1）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示為的函數，則=在[0,]上的圖像大致為

A．

B．

C．

D．

二、填空題

7．（2017浙江）我國古代數學家劉徽創立的“割圓術”可以估算圓周率，理論上能把的值計算到任意精度。祖沖之繼承并發展了“割圓術”，將的值精確到小數點后七位，其結果領先世界一千多年，“割圓術”的第一步是計算單位圓內接正六邊形的面積，=

．

8．（2017浙江）已知向量，滿足，則的最小值

是，最大值是

．

9．（2016年浙江）已知，則______．

10．（2014陜西）設，向量，若，則____．

三、解答題

11．（2018江蘇）某農場有一塊農田，如圖所示，它的邊界由圓的一段圓弧（為此圓弧的中點）和線段構成．已知圓的半徑為40米，點到的距離為50米．現規劃在此農田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形，大棚Ⅱ內的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上．設與所成的角為．

(1)用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；

(2)若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為．求當為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大．

12．（2017江蘇）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線，的長分別為14cm和62cm．

分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．

現有一根玻璃棒，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）

（1）將放在容器Ⅰ中，的一端置于點處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度；

（2）將放在容器Ⅱ中，的一端置于點處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度．

13．（2015山東）設．

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）在銳角△中，角，的對邊分別為，若，求△面積的最大值．

14．（2014湖北）某實驗室一天的溫度（單位：℃）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數關系：，.（Ⅰ）求實驗室這一天的最大溫差；

（Ⅱ）若要求實驗室溫度不高于，則在哪段時間實驗室需要降溫？

15．（2014陜西）的內角所對的邊分別為．

（I）若成等差數列，證明：；

（II）若成等比數列，求的最小值．

16．（2013福建）已知函數的周期為，圖像的一個對稱中心為，將函數圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），在將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數的圖像．

（1）求函數與的解析式；

（2）是否存在，使得按照某種順序成等差數列？若存在，請確定的個數；若不存在，說明理由；

（3）求實數與正整數，使得在內恰有2013個零點．

專題四

三角函數與解三角形

第十一講

三角函數的綜合應用

答案部分

1．D【解析】，當

時，時，無零點，排除A,B；當時，時，有零點，排除C．故選D．

2．B【解析】，因為，所以當

時，取得最大值為，故選B．

3．C【解析】由圖象知：，因為，所以，解得：，所以這段時間水深的最大值是，故選C．

4．D【解析】對于A，當或時，均為1，而與此時均有兩個值，故A、B錯誤；對于C，當或時，而由兩個值，故C錯誤，選D．

5．B【解析】由于，故排除選項C、D；當點在上時，．不難發現的圖象是非線性，排除A．

6．C【解析】由題意知，當時，；當時，故選C．

7．【解析】單位圓內接正六邊形是由6個邊長為1的正三角形組成，所以

．

8．4,【解析】設向量的夾角為，由余弦定理有：，則：，令，則，據此可得：，即的最小值是4，最大值是.9．；1【解析】，所以

10．【解析】∵，∴，∴，∵，∴．

11．【解析】(1)連結并延長交于，則⊥，所以=10．

過作⊥于，則∥，所以，故，則矩形的面積為，的面積為．

過作⊥，分別交圓弧和的延長線于和，則．

令，則，．

當時，才能作出滿足條件的矩形，所以的取值范圍是．

答：矩形的面積為平方米，的面積為，的取值范圍是．

(2)因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3，設甲的單位面積的年產值為，乙的單位面積的年產值為，則年總產值為，．

設，則．

令，得，當時，所以為增函數；

當時，所以為減函數，因此，當時，取到最大值．

答：當時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大．

12．【解析】（1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，．

記玻璃棒的另一端落在上點處．

因為，．

所以，從而．

記與水平的交點為，過作，為垂足，則平面，故，從而．

答：玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm.（如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結果為24cm)

（2）如圖，是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義，⊥平面，所以平面⊥平面，⊥.同理，平面⊥平面，⊥.記玻璃棒的另一端落在上點處.過作⊥，為垂足，則==32.因為=

14，=

62，所以=，從而.設則.因為，所以.在中，由正弦定理可得，解得.因為，所以.于是

.記與水面的交點為，過作，為垂足，則

⊥平面，故=12，從而

=.答:玻璃棒沒入水中部分的長度為20cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結果為20cm)

13．【解析】（Ⅰ）由題意

．

由，可得；

由，得；

所以的單調遞增區間是；

單調遞減區間是．

（Ⅱ），由題意是銳角，所以．

由余弦定理：，且當時成立．

．面積最大值為．

14．【解析】（Ⅰ）因為，又，所以，當時，；當時，；

于是在上取得最大值12，取得最小值8.故實驗室這一天最高溫度為，最低溫度為，最大溫差為

（Ⅱ）依題意，當時實驗室需要降溫.由（1）得，所以，即，又，因此，即，故在10時至18時實驗室需要降溫.15．【解析】：（1）成等差數列，由正弦定理得

（2）成等比數列，由余弦定理得

（當且僅當時等號成立）

（當且僅當時等號成立）

（當且僅當時等號成立）

即，所以的最小值為

16．【解析】（Ⅰ）由函數的周期為，得

又曲線的一個對稱中心為，故，得，所以

將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）后可得的圖象，再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數

（Ⅱ）當時，所以

問題轉化為方程在內是否有解

設，則

因為，所以，在內單調遞增

又，且函數的圖象連續不斷，故可知函數在內存在唯一零點，即存在唯一的滿足題意

（Ⅲ）依題意，令

當，即時，從而不是方程的解，所以方程等價于關于的方程，現研究時方程解的情況

令，則問題轉化為研究直線與曲線在的交點情況，令，得或

當變化時，和變化情況如下表

當且趨近于時，趨向于

當且趨近于時，趨向于

當且趨近于時，趨向于

當且趨近于時，趨向于

故當時，直線與曲線在內有無交點，在內有個交點；當時，直線與曲線在內有個交點，在內無交點；當時，直線與曲線在內有個交點，在內有個交點由函數的周期性，可知當時，直線與曲線在內總有偶數個交點，從而不存在正整數，使得直線與曲線在內恰有個交點；當時，直線與曲線在內有個交點，由周期性，所以

綜上，當，時，函數在內恰有個零點．