專題九

解析幾何

第二十五講

橢圓

2019年

1.（2019全國1文12）已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，則C的方程為

A．

B．

C．

D．

2.（2019全國II文9）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=

A．2

B．3

C．4

D．8

3.（2019北京文19）已知橢圓的右焦點為，且經過點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經過定點．

4.（2019江蘇16）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B，連結BF2交橢圓C于點E，連結DF1．已知DF1=．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求點E的坐標．

5.（2019浙江15）已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.6.（2019全國II文20）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點．

（1）若為等邊三角形，求C的離心率；

（2）如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.7.（2019天津文19）設橢圓的左焦點為，左頂點為，頂點為B.已知（為原點）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設經過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.8.(2019全國III文15）設為橢圓C:的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標為___________.9.（2019北京文19）已知橢圓的右焦點為，且經過點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經過定點．

2010-2019年

一、選擇題

1．(2018全國卷Ⅰ)已知橢圓：的一個焦點為，則的離心率為

A．

B．

C．

D．

2．(2018全國卷Ⅱ)已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為

A．

B．

C．

D．

3．(2018上海)設是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點的距離之和為

A．

B．

C．

D．

4．（2017浙江）橢圓的離心率是

A．

B．

C．

D．

5．（2017新課標Ⅲ）已知橢圓：的左、右頂點分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為

A．

B．

C．

D．

6．（2017新課標Ⅰ）設、是橢圓：長軸的兩個端點，若上存在點滿足

=120°，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

7．（2016年全國I卷）直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為

A．

B．

C．

D．

8．（2016年全國III卷）已知O為坐標原點，F是橢圓C：的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且軸.過點A的直線l與線段交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為

A．

B．

C．

D．

9．（2015新課標1）已知橢圓的中心為坐標原點，離心率為，的右焦點與拋物線：的焦點重合，是的準線與的兩個交點，則

A．

B．

C．

D．

10．（2015廣東）已知橢圓（）的左焦點為，則

A．

B．

C．

D．

11．（2015福建）已知橢圓的右焦點為．短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

12．(2014福建)設分別為和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是

A．

B．

C．

D．

13．（2013新課標1）已知橢圓的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為

A．＋＝1

B．＋＝1

C．＋＝1

D．＋＝1

14．（2013廣東）已知中心在原點的橢圓C的右焦點為，離心率等于，則C的方程是

A．

B．

C．

D．

15．(2012新課標)設、是橢圓：的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為

A、B、C、D、二、填空題

16．(2018浙江)已知點，橢圓()上兩點，滿足，則當=___時，點橫坐標的絕對值最大．

17．（2015浙江）橢圓（）的右焦點關于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的離心率是

．

18．（2014江西）過點作斜率為的直線與橢圓：相交于兩點，若是線段的中點，則橢圓的離心率等于

．

19．（2014遼寧）已知橢圓：，點與的焦點不重合，若關于的焦點的對稱點分別為，線段的中點在上，則

．

20．（2014江西）設橢圓的左右焦點為，作作軸的垂線與交于兩點，與軸相交于點，若，則橢圓的離心率等于________．

21．（2014安徽）設分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，若軸，則橢圓的方程為____．

22．（2013福建）橢圓的左、右焦點分別為，焦距為．若直線與橢圓的一個交點滿足，則該橢圓的離心率等于

．

23．（2012江西）橢圓的左、右頂點分別是，左、右焦點分別是．若成等比數列，則此橢圓的離心率為_________．

24．（2011浙江）設分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，若；則點的坐標是

．

三、解答題

25．（2018江蘇）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓過點，焦點，圓的直徑為．

(1)求橢圓及圓的方程；

(2)設直線與圓相切于第一象限內的點．

①若直線與橢圓有且只有一個公共點，求點的坐標；

②直線與橢圓交于兩點．若的面積為，求直線的方程．

26．（2018全國卷Ⅲ）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點．線段的中點為．

(1)證明：；

(2)設為的右焦點，為上一點，且．證明：

．

27．（2018北京）已知橢圓的離心率為，焦距為．斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點，．

(1)求橢圓的方程；

(2)若，求的最大值；

(3)設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為．若，和點

共線，求．

28．（2018天津）設橢圓的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為，．

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線與橢圓交于兩點，與直線交于點M，且點，均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求的值．

29．（2017新課標Ⅱ）設為坐標原點，動點在橢圓：上，過做軸的垂線，垂足為，點滿足．

（1）求點的軌跡方程；

（2）設點在直線上，且．證明：過點且垂直于的直線過的左焦點．

30．（2017天津）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設點在線段上，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為．

（i）求直線的斜率；

（ii）求橢圓的方程．

31．（2017山東）在平面直角坐標系中，已知橢圓C:的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)動直線：交橢圓于，兩點，交軸于點．點是關于的對稱點，的半徑為．

設為的中點，與分別相切于點，求的最小值．

32．（2017北京）已知橢圓的兩個頂點分別為，焦點在軸上，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點為軸上一點，過作軸的垂線交橢圓于不同的兩點，過作的垂線交于點．求證：與的面積之比為4:5．

33．（2017江蘇）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓：的左、右焦點分別為，離心率為，兩準線之間的距離為8．點在橢圓上，且位于第一象限，過點作直線的垂線，過點作直線的垂線．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線，的交點在橢圓上，求點的坐標．

34．（2016年北京）已知橢圓：過，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）設為第三象限內一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值．

35．（2016年全國II卷）已知是橢圓：的左頂點，斜率為的直線交

與，兩點，點在上，.（Ⅰ）當時，求的面積；

（Ⅱ）當時，證明：.36．（2016年山東）已知橢圓C：的長軸長為4，焦距為2．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過動點M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點．過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B．

(i)設直線PM、QM的斜率分別為k、k＇，證明為定值；

(ii)求直線AB的斜率的最小值．

37．（2016年天津）設橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率.38．（2015新課標2）已知橢圓：的離心率為，點

在上．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為．證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值．

39．（2015天津）已知橢圓的上頂點為，左焦點為，離心率為．

（Ⅰ）求直線的斜率；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于點（異于點），故點且垂直于的直線與橢圓交于點（異于點）直線與軸交于點，．

（i）求的值；

（ii）若，求橢圓的方程．

40．（2015陜西）如圖，橢圓：（>>0）經過點，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點（均異于點），證明：直線與的斜率之和為2．

41．(2015重慶)如圖，橢圓（>>0）的左、右焦點分別為,，且過的直線交橢圓于兩點，且．

（Ⅰ）若|，|，求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若|，且，試確定橢圓離心率的取值范圍．

42．(2014新課標1)

已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．

（Ⅰ)求的方程；

（Ⅱ）設過點的動直線與相交于兩點，當的面積最大時，求的方程．

43．(2014浙江)如圖，設橢圓動直線與橢圓只有一個公共點，且點在第一象限．

（Ⅰ）已知直線的斜率為，用表示點的坐標；

（Ⅱ）若過原點的直線與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為．

44．（2014新課標2）設，分別是橢圓：的左，右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為．

（Ⅰ）若直線的斜率為，求的離心率；

（Ⅱ）若直線在軸上的截距為2，且，求．

45．（2014安徽）設,分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，（Ⅰ）若的周長為16，求；

（Ⅱ）若，求橢圓的離心率．

46．（2014山東）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為．

（Ｉ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是橢圓C的頂點）．點D在橢圓C上，且，直線BD與軸、軸分別交于M，N兩點．

(ⅰ)設直線BD，AM的斜率分別為，證明存在常數使得，并求出的值；

(ⅱ)求面積的最大值．

47．（2014湖南）如圖5，為坐標原點，雙曲線和橢圓均過點，且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形．

（Ｉ）求的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得與交于兩點，與只有一個公共點，且？證明你的結論．

48．（2014四川）已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）設F為橢圓C的左焦點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；

（ii）當最小時，求點T的坐標．

49．（2013安徽）已知橢圓的焦距為4，且過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為．取點,連接，過點作的垂線交軸于點．點是點關于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.50．（2013湖北）如圖，已知橢圓與的中心在坐標原點，長軸均為且在軸上，短軸長分別為，過原點且不與軸重合的直線與，的四個交點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D．記，△和△的面積分別為和．

（Ⅰ）當直線與軸重合時，若，求的值；

（Ⅱ）當變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使得？并說明理由．

51．(2013天津)設橢圓的左焦點為F，離心率為，過點F且與x

軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．

(Ⅰ)

求橢圓的方程；

(Ⅱ)

設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若，求k的值．

52．（2013山東）橢圓的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為l．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接．設的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點．設直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值．

53．（2012北京）已知橢圓:的一個頂點為，離心率為.直線與橢圓交于不同的兩點M,N.（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當△AMN得面積為時，求的值.54．（2013安徽）如圖，分別是橢圓：+=1（）的左、右焦點，是橢圓的頂點，是直線與橢圓的另一個交點，=60°．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）已知△的面積為40，求a,b的值．

55．（2012廣東）在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點到的距離的最大值為3．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在橢圓上，是否存在點使得直線：與圓：

相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標及相對應的的面積；若不存在，請說明理由．

56．（2011陜西）設橢圓:

過點(0，4)，離心率為．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）求過點(3，0)且斜率為的直線被所截線段的中點坐標．

57．（2011山東）在平面直角坐標系中，已知橢圓．如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若?，（i）求證：直線過定點；

（ii）試問點，能否關于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由．

58．（2010新課標）設,分別是橢圓E：+=1（0﹤﹤1）的左、右焦點，過的直線與E相交于、兩點，且，成等差數列．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若直線的斜率為1，求的值．

59．（2010遼寧）設橢圓：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓相交于A，B兩點，直線的傾斜角為60o，．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）如果=，求橢圓的方程．

專題九

解析幾何

第二十五講

橢圓

答案部分

2019年

1.如圖所示，設，則，所以.由橢圓定義，即.又，所以.因此點A為橢圓的上頂點，設其坐標為.由可得點B的坐標為.因為點B在橢圓上，所以.解得.又，所以.所以橢圓方程為.故選B.2.解析：由題意可得：，解得．故選D．

3.解析（I）由題意得，b2=1，c=1．

所以a2=b2+c2=2．

所以橢圓C的方程為．

（Ⅱ）設P（x1，y1），Q（x2，y2），則直線AP的方程為．

令y=0，得點M的橫坐標．

又，從而．

同理，．

由得．

則，．

所以

．

又，所以．

解得t=0，所以直線為，所以直線恒過定點（0，0）．

4.解析

（1）設橢圓C的焦距為2c.因為F1(-1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，橢圓C的標準方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1)

2+y2=16，解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖所示，聯結EF1.因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而∠BF1E=∠B.因為F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.因為F1(-1，0)，由，得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.因此.5.解析：設橢圓的右焦點為，連接，線段PF的中點A在以原點O為圓心，2為半徑的圓，連接AO，可得，設P的坐標為（m,n），可得，可得，由，可得直線PF的斜率為．

6.解：（1）連結，由為等邊三角形可知在中，，于是，故的離心率是.（2）由題意可知，滿足條件的點存在當且僅當，，即，①，②，③

由②③及得，又由①知，故.由②③得，所以，從而故.當，時，存在滿足條件的點P.所以，的取值范圍為.7.解析（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得.所以，橢圓的離心率為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故橢圓方程為.由題意，則直線的方程為.點P的坐標滿足，消去并化簡，得到，解得，代入到的方程，解得，.因為點在軸上方，所以.由圓心在直線上，可設.因為，且由（Ⅰ）知，故，解得.因為圓與軸相切，所以圓的半徑為2，又由圓與相切，得，可得.所以，橢圓的方程為.8.解析

設，橢圓C：的，，由于為上一點且在第一象限，可得，為等腰三角形，可能或，即有，即，；，即，舍去．可得.9.解析（1）設，則.由于，所以切線DA的斜率為，故，整理得

設，同理可得.故直線AB的方程為.所以直線AB過定點.（2）由（1）得直線AB的方程為.由，可得.于是.設M為線段AB的中點，則.由于，而，與向量平行，所以.解得t=0或.當=0時，=2，所求圓的方程為；

當時，所求圓的方程為.2010-2018年

1．C【解析】不妨設，因為橢圓的一個焦點為，所以，所以，所以的離心率為．故選C．

2．D【解析】由題設知，，所以，．由橢圓的定義得，即，所以，故橢圓的離心率．故選D．

3．C【解析】由題意，．由橢圓的定義可知，到該橢圓的兩個焦點的距離之和為，故選C．

4．B【解析】由題意可知，∴，∴離心率，選B．

5．A【解析】以線段為直徑的圓是，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理為，即，即，故選A．

6．A【解析】當，焦點在軸上，要使上存在點滿足，則，即，得；當，焦點在軸上，要使上存在點滿足，則，即，得，故的取值范圍為，選A．

7．B【解析】不妨設直線過橢圓的上頂點和左焦點，則直線的方程為，由已知得，解得，又，所以，即，故選B．

8．A【解析】由題意，不妨設點在軸上方，直線的方程為，分別令與，得，設的中點為，由，得，即，整理得，所以橢圓的離心率，故選A．

9．B【解析】∵拋物線：的焦點坐標為，準線的方程為

①，設橢圓的方程為，所以橢圓的半焦距，又橢圓的離心率為，所以，橢圓的方程為②，聯立①②，解得或，所以，選B．

10．B【解析】由題意得：，因為，所以，故選C．

11．A【解析】設橢圓的左焦點為，半焦距為，連結，則四邊形為平行四邊形，所以，根據橢圓定義，有，所以，解得．因為點到直線：的距離不小于，即，所以，所以，解得，所以，所以橢圓的離心率的取值范圍為．

12．D【解析】由題意可設，圓的圓心坐標為，圓心到的距離為，當且僅當時取等號，所以，所以兩點間的最大距離是．

13．D【解析】設，則=2，=－2，①

②

①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴橢圓方程為，故選D.14．D【解析】∵，選D.15．C【解析】是底角為的等腰三角形

16．5【解析】設，由，得，即，．因為點，在橢圓上，所以，得，所以，所以當時，點橫坐標的絕對值最大，最大值為2．

17．【解析】設左焦點為，由關于直線的對稱點在橢圓上，得，又，所以，不妨設，則，因此，又，由以上二式可得，即，即，所以，．

18．【解析】設，分別代入橢圓方程相減得，根據題意有，且，所以，得，整理，所以．

19．12【解析】設交橢圓于點，連接和，利用中位線定理可得

．

20．【解析】由題意可得，由題意可知點為的中點，所以點的坐標為，由，所以，整理得，解得．

21．【解析】由題意得通徑，∴點B坐標為

將點B坐標帶入橢圓方程得，又，解得

∴橢圓方程為．

22．【解析】由題意可知，中，所以有，整理得，故答案為．

23．【解析】由橢圓的性質可知：，.又已知，成等比數列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為．

24．【解析】設點的坐標為，點的坐標為．，可得，∵，∴，又點在橢圓上，∴，解得，∴點的坐標是．

25．【解析】(1)因為橢圓的焦點為，可設橢圓的方程為．又點在橢圓上，所以，解得

因此，橢圓的方程為．

因為圓的直徑為，所以其方程為．

(2)①設直線與圓相切于，則，所以直線的方程為，即．

由消去，得

．（*）

因為直線與橢圓有且只有一個公共點，所以．

因為，所以．

因此，點的坐標為．

②因為三角形的面積為，所以，從而．

設，由（*）得，所以．

因為，所以，即，解得舍去），則，因此的坐標為．

綜上，直線的方程為．

26．【解析】(1)設，則，．

兩式相減，并由得．

由題設知，于是．①

由題設得，故．

(2)由題意得，設，則

．

由(1)及題設得，．

又點在上，所以，從而，．

于是．

同理．

所以．

故

27．【解析】(1)由題意得，所以，又，所以，所以，所以橢圓的標準方程為．

(2)設直線的方程為，由消去可得，則，即，設，則，則，易得當時，故的最大值為．

(3)設，，則

①，②，又，所以可設，直線的方程為，由消去可得，則，即，又，代入①式可得，所以，所以，同理可得．

故，因為三點共線，所以，將點的坐標代入化簡可得，即．

28．【解析】(1)設橢圓的焦距為，由已知得，又由，可得

由，從而．

所以，橢圓的方程為．

(2)設點P的坐標為，點M的坐標為，由題意，點的坐標為

由的面積是面積的2倍，可得，從而，即．

易知直線的方程為，由方程組

消去y，可得．由方程組消去，可得．

由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或．

當時，不合題意，舍去；

當時，，符合題意．

所以，的值為．

29．【解析】（1）設，則，．

由得，．

因為在上，所以．

因此點的軌跡方程為．

（2）由題意知．設，則，，，由得，又由（1）知，故．

所以，即．又過點存在唯一直線垂直與，所以過點且垂直于的直線過的左焦點．

30．【解析】（Ⅰ）設橢圓的離心率為e．由已知，可得．

又由，可得，即．

又因為，解得．

所以，橢圓的離心率為．

（Ⅱ）（ⅰ）依題意，設直線FP的方程為，則直線FP的斜率為．

由（Ⅰ）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯立，可解得，即點Q的坐標為．

由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直線FP的斜率為．

（ii）由，可得，故橢圓方程可以表示為．

由（i）得直線FP的方程為，與橢圓方程聯立消去，整理得，解得（舍去），或．

因此可得點，進而可得，所以．由已知，線段的長即為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線．

因為，所以，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得．

所以，橢圓的方程為．

31．【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為，得，又當時，得，所以，因此橢圓方程為．

（Ⅱ）設，聯立方程

得，由

得

（*）

且，因此，所以，又，所以

整理得：，因為

所以

令，故

所以．

令，所以．

當時，從而在上單調遞增，因此，等號當且僅當時成立，此時，所以，由（*）得

且，故，設，則，所以得最小值為．

從而的最小值為，此時直線的斜率時．

綜上所述：當，時，取得最小值為．

32．【解析】（Ⅰ）設橢圓的方程為．

由題意得解得．

所以．

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）設，且，則．

直線的斜率，由，則，故直線的斜率．

所以直線的方程為．

直線的方程為．

聯立，解得點的縱坐標．

由點在橢圓上，得．

所以．

又，所以與的面積之比為．

33．【解析】（1）設橢圓的半焦距為.因為橢圓的離心率為，兩準線之間的距離為8，所以，解得，于是，因此橢圓的標準方程是.（2）由（1）知，.設，因為點為第一象限的點，故.當時，與相交于，與題設不符.當時，直線的斜率為，直線的斜率為.因為，所以直線的斜率為，直線的斜率為，從而直線的方程：，①

直線的方程：.②

由①②，解得，所以.因為點在橢圓上，由對稱性，得，即或.又在橢圓上，故.由，解得；，無解.因此點的坐標為.34．【解析】（I）由題意得，．所以橢圓的方程為．

又，所以離心率．

（II）設（，），則．

又，所以直線的方程為．

令，得，從而．

直線的方程為．

令，得，從而．

所以四邊形的面積

．

從而四邊形的面積為定值．

35．【解析】（Ⅰ）設，則由題意知.由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為，又，因此直線的方程為.將代入得，解得或，所以.因此的面積.（Ⅱ）將直線的方程代入得

.由得，故.由題設，直線的方程為，故同理可得.由得，即.設，則是的零點，所以在單調遞增，又，因此在有唯一的零點，且零點在內，所以.36．【解析】(Ⅰ)設橢圓的半焦距為，由題意知，所以，所以橢圓C的方程為.(Ⅱ)(i)設，由M(0,)，可得

所以直線PM的斜率，直線QM的斜率.此時，所以為定值.(ii)設，直線PA的方程為，直線QB的方程為.聯立，整理得.由可得，所以，同理.所以，所以

由，可知k>0，所以，等號當且僅當時取得.此時，即，符號題意.所以直線AB的斜率的最小值為

.37．【解析】（Ⅰ）設，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.（Ⅱ）設直線的斜率為，則直線的方程為，設，由方程組

消去，整理得，解得或，由題意得，從而，由（Ⅰ）知，設，有，由，得，所以，解得，因此直線的方程為，設，由方程組消去，得，在中，即，化簡得，即，解得或，所以直線的斜率為或.38．【解析】（Ⅰ）由題意有，解得．

所以的方程為．

（Ⅱ）設直線：，，將代入得．

故，．

于是直線的斜率，即．

所以直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值．

39．【解析】（Ⅰ）設，由已知離心率及，又因為,故直線BF的斜率．

（Ⅱ）設點，（i）由（Ⅰ）可得橢圓方程為，直線BF的方程為，將直線方程與橢圓方程聯立，消去y，得，解得．因為，所以直線BQ方程為，與橢圓方程聯立，消去，整得，解得．又因為,及，可得．

（ii）由（i）有,所以,即，又因為，所以=．

又因為，所以，因此，所以橢圓方程為．

40．【解析】（Ⅰ）由題設知，結合，解得．

所以橢圓的方程式為．

（Ⅱ）由題設知，直線的方程式為，代入，得．

由已知>0．

設，,，則．

從而直線的斜率之和

=

=．

41．【解析】（Ⅰ）由橢圓的定義，故．

設橢圓的半焦距為，由已知，因此，即，從而．故所求橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）如題(21)圖，由，得．

由橢圓的定義，，進而．

于是．

解得，故．

由勾股定理得，從而，兩邊除以，得，若記，則上式變成．

由，并注意到關于的單調性，得，即，進而，即．

42．【解析】

（Ⅱ）

．

43．【解析】（Ⅰ）設直線的方程為，由，消去得，由于直線與橢圓只有一個公共點，故，即，解得點的坐標為，由點在第一象限，故點的坐標為；

（Ⅱ）由于直線過原點，且與垂直，故直線的方程為，所以點到直線的距離，整理得，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以點到直線的距離的最大值為.44．【解析】（Ⅰ）根據及題設知

將代入，解得（舍去）

故C的離心率為.（Ⅱ）由題意，原點為的中點，∥軸，所以直線與軸的交點

是線段的中點，故，即

①

由得。

設，由題意知，則，即

代入C的方程，得。②

將①及代入②得

解得，故.45．【解析】：（Ⅰ）由得。

因為的周長為16，所以由橢圓定義可得

故。

（Ⅱ）設，則且，由橢圓定義可得

在中，由余弦定理可得

即

化簡可得，而，故

于是有，因此，可得

故為等腰直角三角形．從而，所以橢圓的離心率．

46．【解析】（Ｉ）由題意知，可得.橢圓C的方程可化簡為.將代入可得，因此，可得.因此，所以橢圓C的方程為.（Ⅱ）（ⅰ）設，則，因為直線AB的斜率，又，所以直線AD的斜率，設直線AD的方程為，由題意知，由，可得.所以，因此，由題意知，所以，所以直線BD的方程為，令，得，即．可得．

所以，即．

因此存在常數使得結論成立.（ⅱ）直線BD的方程，令，得，即，由（ⅰ）知，可得的面積，因為，當且僅當時等號成立，此時S取得最大值，所以的面積的最大值為.47．【解析】（Ｉ）設的焦距為,由題可得,從而,因為點在雙曲線上,所以,由橢圓的定義可得，所以的方程為.（Ⅱ）不存在符合題設條件的直線.(1)若直線垂直于軸,因為與只有一個公共點,所以直線的方程為或,當時,易知所以,此時.當時,同理可得.（2）當直線不垂直于軸,設的方程為,由

可得,當與相交于兩點時,設,則滿足上述方程的兩個實根,從而,于是,由可得,因為直線與只有一個公共點，所以上述方程的判別式,化簡可得，因此，于是,即,所以,綜合（i）（ii）可知，不存在符合題目條件的直線．

48．【解析】（1）依條件，所以橢圓C的標準方程為

（Ⅱ）設，，又設中點為

（i）因為，所以直線的方程為：

所以

于是，所以。因為

所以，三點共線

即OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）

（ii），所以，令（）

則（當且僅當時取“”）

所以當最小時，即或，此時點T的坐標為或

49．【解析】（Ⅰ）因為焦距為4，所，又因為橢圓C過點，所以，故，從而橢圓C的方程為。

（Ⅱ）由題意，E點坐標為，設，則，再由知，即．

由于，故．因為點G是點D關于y軸的對稱點，所以點．

故直線的斜率．

又因在橢圓C上，所以．

①

從而

故直線的方程為

②

將②代入橢圓C方程，得：

③

再將①代入③，化簡得：

解得，即直線與橢圓C一定有唯一的公共點．

50．【解析】依題意可設橢圓和的方程分別為

：，：.其中，（Ⅰ）解法1：如圖1，若直線與軸重合，即直線的方程為，則，所以.在C1和C2的方程中分別令，可得，，于是．

若，則，化簡得.由，可解得．

故當直線與軸重合時，若，則．

解法2：如圖1，若直線與軸重合，則，；，．.所以．

若，則，化簡得.由，可解得．

故當直線與軸重合時，若，則．

第28題解答圖1

第28題解答圖2

（Ⅱ）解法1：如圖2，若存在與坐標軸不重合的直線l，使得.根據對稱性，不妨設直線：，點，到直線的距離分別為，則

因為，所以.又，所以，即.由對稱性可知，所以，于是

.①

將的方程分別與C1，C2的方程聯立，可求得，.根據對稱性可知，于是

.②

從而由①和②式可得

.③

令，則由，可得，于是由③可解得.因為，所以.于是③式關于有解，當且僅當，等價于.由，可解得，即，由，解得，所以

當時，不存在與坐標軸不重合的直線l，使得；

當時，存在與坐標軸不重合的直線l使得.解法2：如圖2，若存在與坐標軸不重合的直線l，使得.根據對稱性，不妨設直線：，點，到直線的距離分別為，則

因為，所以.又，所以.因為，所以.由點，分別在C1，C2上，可得，兩式相減可得，依題意，所以.所以由上式解得.因為，所以由，可解得.從而，解得，所以

當時，不存在與坐標軸不重合的直線l，使得；

當時，存在與坐標軸不重合的直線l使得.51．【解析】(Ⅰ)設F(－c,0)，由，知.過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有，解得，于是，解得，又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為.(Ⅱ)設點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.求解可得x1＋x2＝，x1x2＝.因為A(，0)，B(，0)，所以·＋·

＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)

＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)

＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2

＝．

由已知得＝8，解得k＝．

52．【解析】：（Ⅰ）由于，將代入橢圓方程得

由題意知，即，又，所以，所以橢圓方程為．

（Ⅱ）由題意可知：=,=,設其中，將向量坐標代入并化簡得：，因為，所以，而，所以

（Ⅲ）由題意可知，l為橢圓的在點處的切線，由導數法可求得，切線方程為：，所以，而，代入中得

為定值．

53．【解析】（Ⅰ）由題意得解得.所以橢圓C的方程為.（Ⅱ）由得.設點M,N的坐標分別為，則，，．

所以|MN|==

=.由因為點A(2,0)到直線的距離，所以△AMN的面積為.由，解得.54．【解析】（Ⅰ）

（Ⅱ）設；則

在中，面積

55．【解析】（Ⅰ）由，所以

設是橢圓上任意一點，則，所以

所以，當時，有最大值，可得，所以

故橢圓的方程為：

（Ⅱ）存在點滿足要求，使得面積最大．

假設直線與圓相交于不同兩點,則圓心到的距離，∴

①

因為在橢圓上，所以

②，由①②得：

∵

所以，由②得代入上式

得，當且僅當，∴，此時滿足要求的點有四個．

此時對應的的面積為．

56．【解析】（Ⅰ）將（0，4）代入C的方程得，∴=4，又

得，即，∴a=5，∴C的方程為．

（Ⅱ）過點且斜率為的直線方程為，設直線與C的交點為A，B，將直線方程代入C的方程，得，即，解得，AB的中點坐標，即中點為．

57．【解析】（Ⅰ）設直線，由題意，由方程組得，由題意，所以

設，由韋達定理得

所以

由于E為線段AB的中點，因此

此時

所以OE所在直線方程為又由題設知D（－3，m），令=－3，得，即=1，所以

當且僅當==1時上式等號成立，此時

由得

因此

當時，取最小值2．

（Ⅱ）（i）由（I）知OD所在直線的方程為

將其代入橢圓C的方程，并由

解得

又，由距離公式及得

由

因此，直線的方程為

所以，直線

（ii）由（i）得

若B，G關于x軸對稱，則

代入

即，解得（舍去）或

所以k=1，此時關于x軸對稱。

又由（I）得所以A（0，1）．

由于的外接圓的圓心在x軸上，可設的外接圓的圓心為（d，0），因此

故的外接圓的半徑為，所以的外接圓方程為

58．【解析】（Ⅰ）由橢圓定義知

又

（Ⅱ）L的方程式為，其中

設，則A，B

兩點坐標滿足方程組，化簡得

則

因為直線AB的斜率為1，所以

即

.則

解得．

59．【解析】設，由題意知＜0，＞0.（Ⅰ）直線的方程為，其中.聯立得

解得

因為，所以.即

得離心率

．

（Ⅱ）因為，所以.由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為．