專題九

解析幾何

第二十七講

拋物線

2019年

1.（2019全國II文9）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=

A．2

B．3

C．4

D．8

2.（2019浙江21）如圖，已知點為拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F右側.記的面積為.（1）求p的值及拋物線的準線方程；

（2）求的最小值及此時點G的坐標.3.(2019全國III文21）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：

（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求該圓的方程.1.解析（1）設，則.由于，所以切線DA的斜率為，故，整理得

設，同理可得.故直線AB的方程為.所以直線AB過定點.（2）由（1）得直線AB的方程為.由，可得.于是.設M為線段AB的中點，則.由于，而，與向量平行，所以.解得t=0或.當=0時，=2，所求圓的方程為；

當時，所求圓的方程為.2010-2018年

一、選擇題

1．（2017新課標Ⅱ）過拋物線：的焦點，且斜率為的直線交于點(在軸上方)，為的準線，點在上且⊥，則到直線的距離為

A．

B．

C．

D．

2．（2016年全國II卷）設F為拋物線C：y2=4x的焦點，曲線y=（k>0）與C交于點P，PF⊥x軸，則k=

A．

B．1

C．

D．2

3．（2015陜西）已知拋物線()的準線經過點，則該拋物線的焦點坐標為

A．(－1，0)

B．(1，0)

C．(0，－1)

D．(0，1)

4．（2015四川）設直線與拋物線相交于兩點，與圓相切于點，且為線段的中點．若這樣的直線恰有4條，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

5．（2014新課標1）已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的一個焦點，若，則=

A．

B．

C．3

D．2

6．（2014新課標2）設為拋物線C：的焦點，過且傾斜角為30°的直線交于兩點，為坐標原點，則△的面積為

A．

B．

C．

D．

7．（2014遼寧）已知點在拋物線C：的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為

A．

B．

C．

D．

8．（2013新課標1）為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為

A．

B．

C．

D．

9．（2013江西）已知點，拋物線的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則|FM|：|MN|=

A．2:

B．1:2

C．1:

D．1:3

10．（2012新課標）等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于、兩點，則的實軸長為

A．

B．

C．4

D．8

11．（2012山東）已知雙曲線：的離心率為2．若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為

A．

B．

C．

D．

12．（2011新課標）已知直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，與C交于，兩點，為C的準線上一點，則的面積為

A．18

B．24

C．36

D．48

二、填空題

13．(2018北京)已知直線過點且垂直于軸，若被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為_________．

14．（2015陜西）若拋物線的準線經過雙曲線的一個焦點，則=

15．（2014湖南）如圖，正方形的邊長分別為，原點為的中點，拋物線經過

．

16．（2013北京）若拋物線的焦點坐標為，則，準線方程為

．

17．（2012陜西）右圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬

米．

18．（2010浙江）設拋物線的焦點為，點．若線段的中點在拋物線上，則到該拋物線準線的距離為_____________．

三、解答題

19．（2018全國卷Ⅱ）設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．

(1)求的方程；

(2)求過點，且與的準線相切的圓的方程．

20．（2018浙江）如圖，已知點是軸左側(不含軸)一點，拋物線：上存在不同的兩點，滿足，的中點均在上．

(1)設中點為，證明：垂直于軸；

(2)若是半橢圓()上的動點，求面積的取值范圍．

21．（2017新課標Ⅰ）設，為曲線：上兩點，與的橫坐標之和為4．

(1)求直線的斜率；

(2)設為曲線上一點，在處的切線與直線平行，且，求直線的方程．

22．（2017浙江）如圖，已知拋物線．點，拋物線上的點，過點作直線的垂線，垂足為．

（Ⅰ）求直線斜率的取值范圍；

（Ⅱ）求的最大值．

23．（2016年全國I卷）在直角坐標系中，直線：交軸于點，交拋物線：于點，關于點的對稱點為，連結并延長交于點．

（I）求；

（II）除以外，直線與是否有其它公共點？說明理由．

24．（2016年全國III卷）已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點．

（I）若在線段上，是的中點，證明；

（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程．

25．（2016年浙江）如圖，設拋物線的焦點為F，拋物線上的點A到y軸的距離等于．

（I）求p的值；

（II）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M.求M的橫坐標的取值范圍．

26．（2015浙江）如圖，已知拋物線：，圓：，過點作不過原點的直線，分別與拋物線和圓相切，為切點．

（Ⅰ）求點的坐標；

（Ⅱ）求的面積．

注：直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行，則該直線與拋物線相切，稱該公共點為切點．

27．（2015福建）已知點為拋物線（）的焦點，點在拋物線上，且．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）已知點，延長交拋物線于點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．

28．（2014山東）已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有，當點的橫坐標為3時，為正三角形。

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，（ⅰ）證明直線過定點，并求出定點坐標；

（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

29．（2014陜西）如圖，曲線由上半橢圓和部分拋物線連接而成，的公共點為，其中的離心率為．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）過點的直線與分別交于（均異于點），若，求直線的方程．

30．（2013廣東）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）當點為直線上的定點時，求直線的方程；

（Ⅲ）當點在直線上移動時，求的最小值．

31．（2012新課標）設拋物線：的焦點為，準線為，為上一點，已知以為圓心，為半徑的圓交于、點．

（Ⅰ）若，的面積為，求的值及圓的方程；

（Ⅱ）若、、三點在同一直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到、距離的比值．

32．（2011新課標）在平面直角坐標系中，已知點，點在直線上，點滿足，點的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）為C上動點，為C在點處的切線，求點到距離的最小值．

專題九

解析幾何

第二十七講

拋物線

答案部分

2019年

1.解析：由題意可得：，解得．故選D．

2.（I）由題意得，即p=2.所以，拋物線的準線方程為x=?1.（Ⅱ）設，重心.令，則.由于直線AB過F，故直線AB方程為，代入，得，故，即，所以.又由于及重心G在x軸上，故，得.所以，直線AC方程為，得.由于Q在焦點F的右側，故.從而

.令，則m>0，.當時，取得最小值，此時G（2，0）.3.解析（1）設，則.由于，所以切線DA的斜率為，故，整理得

設，同理可得.故直線AB的方程為.所以直線AB過定點.（2）由（1）得直線AB的方程為.由，可得.于是.設M為線段AB的中點，則.由于，而，與向量平行，所以.解得t=0或.當=0時，=2，所求圓的方程為；

當時，所求圓的方程為.2010-2018年

1．C【解析】由題意可知，如圖，又拋物線的定義得，所以

為等邊三角形，在三角形中，，得，所以到的距離為等邊三角形中邊上的高，易知為．選C．

2．D【解析】易知拋物線的焦點為，設，由軸得，代入拋物線方程得舍去)，把代入曲線的，故選D．

3．B【解析】因為拋物線的準線方程為，∴，∴焦點坐標為．

4．D

【解析】當直線的斜率不存在時，這樣的直線恰好有2條，即，所以；所以當直線的斜率存在時，這樣的直線有2條即可．設，，則．又，兩式相減得，．

設圓心為，則，因為直線與圓相切，所以，解得，于是，又，即，所以，又，所以，選D．

5．C【解析】過點作交于點，因為，所以，又焦點到準線的距離為4，所以．故選C．

6．D【解析】易知拋物線中，焦點，直線的斜率，故直線的方程為，代入拋物線方程，整理得．

設，則，由物線的定義可得弦長，結合圖象可得到直線的距離，所以的面積．

7．D【解析】∵在拋物線的準線上，∴．∴，∴，設直線的方程為①，將①與聯立，得②，則△=，即，解得或（舍去），將代入①②解得，即，又，∴，故選D．

8．C【解析】∵，由拋物線的定義可得點的坐標，∴的面積為．

9．C【解析】依題意可得AF所在直線方程為代入x2=4y得，又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1:．

10．C【解析】設交的準線

于

得：

11．D【解析】∵雙曲線：的離心率為2,所以

又漸近線方程為所以雙曲線的漸近線方程為

而拋物的焦點坐標為所以有.故選D．

12．C【解析】設拋物線的方程為，易知，即，∵點在準線上，∴到的距離為，所以面積為36，故選C．

13．【解析】由題意知，對于，當時，由于被拋物線截得的線段長為4，所以，所以，所以拋物線的焦點坐標為．

14．【解析】的準線方程為，又，所以必經過雙曲線的左焦點，所以，．

15．【解析】由正方形的定義可知BC=

CD，結合拋物線的定義得點D為拋物線的焦點，所以，D，將點F的坐標代入拋物線的方程得，變形得，解得或（舍去），所以．

16．2，【解析】；準線．

17．【解析】建立直角坐標系，使拱橋的頂點O的坐標為（0,0），設拋物線的方程為，與拋物線的交點為A、B，根據題意知A（–2，–2），B（2，–2）

則有，∴

∴拋物線的解析式為

水位下降1米，則y=–3，此時有或

∴此時水面寬為米．

18．【解析】由題意可得的值為，B點坐標為（）所以點B到拋物線準線的距離為．

19．【解析】(1)由題意得，的方程為．

設，由得．，故．

所以．

由題設知，解得（舍去），．

因此的方程為．

(2)由(1)得的中點坐標為，所以的垂直平分線方程為，即．

設所求圓的圓心坐標為，則

解得或

因此所求圓的方程為或．

20．【解析】(1)設，．

因為，的中點在拋物線上，所以，為方程

即的兩個不同的實數根．

所以．

因此，垂直于軸．

(2)由(1)可知

所以，．

因此，的面積．

因為，所以．

因此，面積的取值范圍是．

21．【解析】（1）設，則，，x1+x2=4，于是直線的斜率．

（2）由，得．

設，由題設知，解得，于是．

設直線的方程為，故線段的中點為，．

將代入得．

當，即時，．

從而．

由題設知，即，解得．

所以直線AB的方程為．

22．【解析】（Ⅰ）設直線AP的斜率為，因為，所以直線AP斜率的取值范圍是。

（Ⅱ）聯立直線AP與BQ的方程

解得點Q的橫坐標是

因為

==

=

=，所以

=

令，因為，所以在區間上單調遞增，上單調遞減，因此當時，取得最大值．

23．【解析】（Ⅰ）由已知得，.又為關于點的對稱點，故，的方程為，代入整理得，解得，因此．所以為的中點，即．

（Ⅱ）直線與除以外沒有其它公共點.理由如下：

直線的方程為，即.代入得，解得，即直線與只有一個公共點，所以除以外直線與沒有其它公共點.24．【解析】（Ⅰ）由題設.設，則，且

.記過兩點的直線為，則的方程為.（Ⅰ）由于在線段上，故.記的斜率為，的斜率為，則

.所以.（Ⅱ）設與軸的交點為，則.由題設可得，所以（舍去），.設滿足條件的的中點為.當與軸不垂直時，由可得.而，所以.當與軸垂直時，與重合．所以所求軌跡方程為.25．【解析】(Ⅰ)由題意得拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線的距離．

由拋物線的第一得，即.(Ⅱ)由(Ⅰ)得拋物線的方程為，可設.因為AF不垂直于y軸，可設直線AF:，由消去得，故，所以.又直線AB的斜率為，故直線FN的斜率為，從而的直線FN：，直線BN：，所以，設M(,0)，由A，M，N三點共線得：，于是，經檢驗，或滿足題意.綜上，點M的橫坐標的取值范圍是.26．【解析】（Ⅰ）由題意可知，直線的斜率存在，故可設直線的方程為．

所以消去．整理得：．

因為直線與拋物線相切，所以，解得.所以，即點．設圓的圓心為，點的坐標為，由題意知，點關于直線對稱，故有，解得．即點．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線的方程為，所以點到直線的距離為．

所以的面積為．

27．【解析】解法一：（Ⅰ）由拋物線的定義得．

因為，即，解得，所以拋物線的方程為．

（Ⅱ）因為點在拋物線上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設．

由，可得直線的方程為．

由，得，解得或，從而．

又，所以，所以，從而，這表明點到直線的距離相等，故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為．

因為點在拋物線：上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設．

由，可得直線的方程為．

由，得，解得或，從而．

又，故直線的方程為，從而．

又直線的方程為，所以點到直線的距離．

這表明以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．

28．【解析】（Ⅰ）由題意知，設，則的中點為

因為，由拋物線的定義可知，解得或（舍去）

由，解得．所以拋物線的方程為．

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，設．

因為，則，由得，故，故直線的斜率

因為直線和直線平行，設直線的方程為，代入拋物線的方程得，由題意，得

設，則

當時，可得直線的方程為，由，整理得，直線恒過點

當時，直線的方程為，過點，所以直線過定點．

（ⅱ）由（ⅰ）知直線過定點，所以。

設直線的方程為，因為點在直線上

故．設，直線的方程為

由于，可得，代入拋物線的方程得

所以，可求得，所以點到直線的距離為

==

則的面積，當且僅當即時等號成立，所以的面積的最小值為．

29．【解析】（Ⅰ）在，方程中，令，可得b=1,且得是上半橢圓的左右頂點，設的半焦距為，由及，解得，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半橢圓的方程為，易知，直線與軸不重合也不垂直，設其方程為

代入的方程中，整理得：

（*）

設點的坐標，由韋達定理得

又，得，從而求得

所以點的坐標為．

同理，由得點的坐標為，,即，解得

經檢驗，符合題意，故直線的方程為

30．【解析】（Ⅰ）依題意，解得（負根舍去）

拋物線的方程為．

（Ⅱ）設點,，由,即得．

∴拋物線在點處的切線的方程為，即．

∵，∴．

∵點在切線上,∴.①

同理，.②

綜合①、②得，點的坐標都滿足方程

.∵經過兩點的直線是唯一的，∴直線的方程為，即．

（Ⅲ）由拋物線的定義可知，所以

聯立，消去得，當時，取得最小值為．

31．【解析】（Ⅰ）由對稱性知：是等腰直角，斜邊

點到準線的距離

圓的方程為

（Ⅱ）由對稱性設，則

點關于點對稱得：

得：，直線

切點

直線

坐標原點到距離的比值為．

32．【解析】（Ⅰ）設，由已知得，．

所以=，=(0，)，=(，-2).再由題意可知（+）??=0，即（，）?(，－2)=0．

所以曲線C的方程式為．

（Ⅱ）設為曲線C：上一點，因為，所以的斜率為，因此直線的方程為，即．

則點到的距離．又，所以

當=0時取等號，所以點到距離的最小值為2．