專題九

解析幾何

第二十六講

雙曲線

2019年

1.(2019全國III文10）已知F是雙曲線C：的一個焦點，點P在C上，O為坐標原點，若，則的面積為

A．

B．

C．

D．

2.（2019江蘇7）在平面直角坐標系中，若雙曲線經過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是

.3.（2019浙江2）漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是

A．

B．1

C．

D．2

4.（2019全國1文10）雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為

A．2sin40°

B．2cos40°

C．

D．

5.（2019全國II文12）設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為

A．

B．

C．2

D．

6.（2019北京文5）已知雙曲線（a>0）的離心率是，則a=

（A）

（B）4

（C）2

（D）

7.（2019天津文6）已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為

（A）

（B）

（C）2

（D）

2010-2018年

一、選擇題

1．(2018浙江)雙曲線的焦點坐標是

A．，B．，C．，D．，2．(2018全國卷Ⅱ)雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為

A．

B．

C．

D．

3．(2018全國卷Ⅲ)已知雙曲線的離心率為，則點到的漸近線的距離為

A．

B．

C．

D．

4．(2018天津)已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點．設，到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為

A．

B．

C．

D．

5．（2017新課標Ⅰ）已知是雙曲線：的右焦點，是上一點，且與軸垂直，點的坐標是．則的面積為

A．

B．

C．

D．

6．（2017新課標Ⅱ）若，則雙曲線的離心率的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

7．（2017天津）已知雙曲線的右焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點），則雙曲線的方程為

A．

B．

C．

D．

8．（2016天津）已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為

A．

B．

C．

D．

9．（2015湖南）若雙曲線的一條漸近線經過點，則此雙曲線的離心率為

A．

B．

C．

D．

10．（2015四川）過雙曲線的右焦點且與軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于兩點，則＝

A．

B．2

C．6

D．4

11．（2015重慶）設雙曲線的右焦點是，左、右頂點分別是，過做的垂線與雙曲線交于兩點，若，則雙曲線的漸近線的斜率為

A．

B．

C．

D．

12．（2014新課標1）已知是雙曲線：的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為

A．

B．3

C．

D．

13．（2014廣東）若實數k滿足，則曲線與曲線的A．焦距相等

B．實半軸長相等

C．虛半軸長相等

D．離心率相等

14．（2014天津）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點在直線上，則雙曲線的方程為

A．

B．

C．

D．

15．（2014重慶）設分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得則該雙曲線的離心率為

A．

B．

C．

D．3

16．（2013新課標1）已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為

A．

B．

C．

D．

17．（2013湖北）已知，則雙曲線

與的A．實軸長相等

B．虛軸長相等

C．焦距相等

D．

離心率相等

18．（2013重慶）設雙曲線的中心為點，若有且只有一對相較于點、所成的角為的直線和，使，其中、和、分別是這對直線與雙曲線的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

19．（2012福建）已知雙曲線的右焦點為，則該雙曲線的離心率等于

A．

B．

C．

D．

20．（2012湖南）已知雙曲線C

：=1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為

A．=1

B．=1

C．=1

D．=1

21．（2011安徽）雙曲線的實軸長是

A．

B．

C．

D．

22．（2011山東）已知雙曲線的兩條漸近線均和圓：

相切，且雙曲線的右焦點為圓的圓心，則該雙曲線的方程為

A．

B．

C．

D．

23．（2011湖南）設雙曲線的漸近線方程為，則的值為

A．4

B．3

C．2

D．1

24．（2011天津）已知雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(2,1)，則雙曲線的焦距為

A．

B．

C．

D．

25．（2010新課標）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過F的直線與相交于A，B兩點，且AB的中點為,則的方程式為

A．

B．

C．

D．

26．（2010新課標）中心在原點，焦點在軸上的雙曲線的一條漸近線經過點，則它的離心率為

A．

B．

C．

D．

27．（2010福建）若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為

A．2

B．3

C．6

D．8

二、填空題

28．(2018北京)若雙曲線的離心率為，則=_________．

29．(2018江蘇)在平面直角坐標系中，若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是

．

30．（2017新課標Ⅲ）雙曲線的一條漸近線方程為，則=

．

31．（2017山東）在平面直角坐標系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于，兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為

．

32．（2017江蘇）在平面直角坐標系中，雙曲線的右準線與它的兩條漸近線分別交于點，其焦點是，則四邊形的面積是

．

33．（2016年北京）已知雙曲線的一條漸近線為，一個焦點為，則=_______；=_____________．

34．（2016年山東）已知雙曲線E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是_______．

35．（2015新課標1）已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為

．

36．（2015山東）過雙曲線的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交于點，若點的橫坐標為，則的離心率為

．

37．（2015新課標1）已知是雙曲線：的右焦點，是左支上一點，當

周長最小時，該三角形的面積為

．

38．（2014山東）已知雙曲線的焦距為，右頂點為A，拋物線的焦點為F，若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為，且，則雙曲線的漸近線方程為

．

39．（2014浙江）設直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，若點滿足，則該雙曲線的離心率是____．

40．（2014北京）設雙曲線經過點，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為________．

41．（2014湖南）設F1，F2是雙曲線C：的兩個焦點．若在C上存在一點P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，則C的離心率為_________．

42．（2013遼寧）已知為雙曲線的左焦點，為上的點，若的長等于虛軸長的2倍，點在線段，則的周長為

．

43．（2012遼寧）已知雙曲線，點為其兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則的值為

．

44．（2012天津）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且的右焦點為,則

．

45．（2012江蘇）在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為

．

46．（2011山東）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為

．

47．(2011北京)已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則=

．

三、解答題

48．（2014江西）如圖，已知雙曲線：()的右焦點，點分別在的兩條漸近線上，軸，∥(為坐標原點）．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過上一點的直線與直線相交于點，與直線相交于點，證明：當點在上移動時，恒為定值，并求此定值．

49．（2011廣東）設圓C與兩圓中的一個內切，另一個外切．

（1）求C的圓心軌跡L的方程；

（2）已知點M，且P為L上動點，求的最大值及此時點P的坐標．

專題九

解析幾何

第二十六講

雙曲線

答案部分

2019年

1.解析

如圖所示，不妨設為雙曲線的右焦點，為第一象限點．

由雙曲線方程可得，，則，則以為圓心，以3為半徑的圓的方程為．

聯立，解得．

則．故選B．

2.解析

因為雙曲線經過點，所以，解得，即．

又，所以該雙曲線的漸近線方程是．

3.解析：根據漸進線方程為的雙曲線，可得，所以，則該雙曲線的離心率為，故選C．

4.由雙曲線的對稱性可得另一條漸近線的傾斜角為，所以，.故選D．

5.解析：解析：解法一：由題意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故選A．

解法二：如圖所示，由可知為以為直徑圓的另一條直徑，所以，代入得，所以，解得.故選A．

解法三：由可知為以為直徑圓的另一條直徑，則，.故選A．

6.解析

由題意知，，解得.故選D.7.解析

因為拋物線的焦點為，準線為，所以，準線的方程為.因為與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為原點），所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率為．

故選D．

2010-2018年

1．B【解析】由題可知雙曲線的焦點在軸上，因為，所以，故焦點坐標為，．故選B．

2．A【解析】解法一

由題意知，所以，所以，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選A

．

解法二

由，得，所以該雙曲線的漸近線方程為．故選A．

3．D【解析】解法一

由離心率，得，又，得，所以雙曲線的漸近線方程為，由點到直線的距離公式，得點到的漸近線的距離為．故選D．

解法二

離心率的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線的方程是，由點到直線的距離公式，得點到的漸近線的距離為．故選D．

4．A【解析】通解

因為直線經過雙曲線的右焦點，所以不妨取，取雙曲線的一條漸近線為直線，由點到直線的距離公式可得，因為，所以，所以，得．

因為雙曲線的離心率為2，所以，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為，故選A．

優解

由，得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3，所以．

因為雙曲線的離心率為2，所以，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為，故選A．

5．D【解析】由得，所以，將代入，得，所以，又的坐標是，所以點到的距離為1，故的面積為，選D．

6．C【解析】由題意，∵，∴，選C．

7．D【解析】由題意，解得，選D．

8．A【解析】由題意得，由，解得，所以雙曲線的方程為，選A．

9．D【解析】由已知可得雙曲線的漸近線方程為，點在漸近線上，∴，又，∴，∴．

10．D【解析】雙曲線的右焦點為，漸近線方程為，將代入得，所以．

11．C【解析】由題意，得，將代入雙曲線方程，解得

．不妨設，則，根據題意，有，整理得，所以雙曲線的漸近線的斜率為．

12．A【解析】雙曲線方程為，焦點到一條漸近線的距離為，選A．

13．A【解析】∵，∴，本題兩條曲線都是雙曲線，又，∴兩雙曲線的焦距相等，選A．

14．A【解析】

依題意得，所以，雙曲線的方程為．

15．B【解析】由雙曲線的定義得，又，所以，即，因此，即，則（）（）=0，解得

舍去），則雙曲線的離心率．

16．C【解析】由題知，即==，∴=，∴=，∴的漸近線方程為，故選C．

17．D【解析】雙曲線的離心率是，雙曲線的離心率是，故選D．

18．A【解析】設雙曲線的焦點在軸上，則由作圖易知雙曲線的漸近線的離心率必須滿足，所以，既有，又雙曲線的離心率為，所以．

19．C【解析】∵雙曲線的右焦點為（3，0），∴+5=9，∴=4，∴=2

∵=3，∴，故選C．

20．A【解析】設雙曲線C

：-=1的半焦距為，則．

又C的漸近線為，點P(2,1)在C的漸近線上，即．

又，C的方程為-=1．

21．C【解析】可變形為，則，.故選C．

22．A【解析】圓，而，則，應選A．

23．C【解析】由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知．

24．B【解析】雙曲線的漸近線為，由雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（－2，－1）得，即，又∵，∴，將（－2，－1）代入得，∴，即．

25．B【解析】由雙曲線的中心為原點，是的焦點可設雙曲線的方程為，設，即

則，則，故的方程式為.應選B．

26．D【解析】設雙曲線的方程為，其漸近線為，∵點在漸近線上，所以，由．

27．C【解析】由題意，F（－1，0），設點P，則有,解得，因為，所以==，此二次函數對應的拋物線的對稱軸為，因為，所以當時，取得最大值，選C．

28．4【解析】由題意得，得，又，所以，故答案為4．

29．2【解析】不妨設雙曲線的一條漸近線方程為，所以，所以，得，所以雙曲線的離心率．

30．5【解析】由雙曲線的標準方程可得漸近線方程為：，結合題意可得：．

31．【解析】設，由拋物線的定義有，而，所以，即，由得，所以，所以，即，所以漸近性方程為．

32．【解析】由題意，右準線的方程為，漸近線的方程為，設，則，，所以四邊形的面積為．

33．【解析】依題意有，因為，解得．

34．【解析】依題意，不妨設作出圖像如下圖所示

則故離心率

35．【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，故可設雙曲線的方程為，又雙曲線過點，所以，所以，故雙曲線的方程為．

36．【解析】設直線方程為，由，得，由，解得（舍去）．

37．【解析】由題意，雙曲線：的右焦點為，實半軸長，左焦點為，因為在的左支上，所以的周長

=，當且僅當三點共線且在中間時取等號，此時直線的方程為，與雙曲線的方程聯立得的坐標為，此時，的面積為．

38．【解析】拋物線的準線，與雙曲線的方程聯立得，根據已知得

①，由得

②，由①②得，即，所以所求雙曲線的漸近線方程為．

39．【解析】聯立直線方程與雙曲線漸近線方程可解得交點為，而，由，可得的中點與點連線的斜率為3，可得，所以．

40．【解析】設與具有相同漸近線的雙曲線C的方程為，將點代入C的方程中，得．∴雙曲線的方程為，漸近線方程為．

41．【解析】由已知可得，，由雙曲線的定義，可得，則．

42．44【解析】由題意得，，兩式相加，利用雙曲線的定義得，所以的周長為．

43．【解析】由雙曲線的方程可知

44．1，2【解析】雙曲線的漸近線為，而的漸近線為，所以有，又雙曲線的右焦點為，所以，又，即，所以．

45．2【解析】由題意得＞0,∴=,=

由=得，解得=2．

46．【解析】由題意可知雙曲線的焦點，即，又因雙曲線的離心率為，所以，故，所以雙曲線的方程為．

47．2【解析】由得漸近線的方程為，即，由一條漸近線的方程為得．

48．【解析】（1）設，因為，所以

直線OB方程為，直線BF的方程為，解得

又直線OA的方程為，則

又因為ABOB，所以，解得，故雙曲線C的方程為

（2）由（1）知，則直線的方程為，即

因為直線AF的方程為，所以直線與AF的交點

直線與直線的交點為

則

因為是C上一點，則，代入上式得，所求定值為

49．【解析】（1）設C的圓心的坐標為，由題設條件知

化簡得L的方程為

（2）過M，F的直線方程為，將其代入L的方程得

解得

因T1在線段MF外，T2在線段MF內，故，若P不在直線MF上，在中有

故只在T1點取得最大值2．