專題十

計數原理

第三十講

排列與組合一?選擇題

1.(2018全國卷Ⅱ)我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”,如.在不超過30的素數中,隨機選取兩個不同的數,其和等于30的概率是

A.B.C.D.2.(2017新課標Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有

A.12種

B.18種

C.24種

D.36種

3.(2017山東)從分別標有，,的張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數奇偶性不同的概率是

A.B.C.D.4.(2016年全國II)如圖,小明從街道的E處出發,先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為

A.24

B.18

C.12

D.9

5.(2016四川)用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,其中奇數的個數為

A.24

B.48

C.60

D.72

6.(2015四川)用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,其中比40000大的偶數共有

A.144個

B.120個

C.96個

D.72個

7.(2014新課標1)4位同學各自在周六?周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六?周日都有同學參加公益活動的概率為

A.B.C.D.8.(2014廣東)設集合,那么集合A中滿足條件“”的元素個數為

A.60

B.90

C.120

D.130

9.(2014安徽)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對,其中所成的角為的共有

A.24對

B.30對

C.48對

D.60對

10.(2014福建)用代表紅球,代表藍球,代表黑球,由加法原理及乘法原理,從1個紅球和1個籃球中取出若干個球的所有取法可由的展開式表示出來,如:“1”表示一個球都不取?“”表示取出一個紅球,面“”用表示把紅球和籃球都取出來.以此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個無區別的紅球?從5個無區別的藍球?5個有區別的黑球中取出若干個球,且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是

A.B.C.D.11.(2013山東)用0,1,…,9十個數學,可以組成有重復數字的三位數的個數為

A.243

B.252

C.261

D.279

12.(2012新課標)將2名教師,4名學生分成2個小組,分別安排到甲?乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學生組成,不同的安排方案共有

A.12種

B.10種

C.9種

D.8種

13.(2012浙江)若從1,2,3,…,9這9個整數中同時取4個不同的數,其和為偶數,則不同的取法共有

A.60種

B.63種

C.65種

D.66種

14.(2012山東)現有16張不同的卡片,其中紅色?黃色?藍色?綠色卡片各4張,從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,并且紅色卡片至多1張,不同取法的種數是

A.232

B.252

C.472

D.484

15.(2010天津)如圖,用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色,要求每個點涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色,則不同的涂色方法用

A.288種

B.264種

C.240種

D.168種

16.(2010山東)某臺小型晚會由6個節目組成,演出順序有如下要求:節目甲必須排在前兩位?節目乙不能排在第一位,節目丙必須排在最后一位,該臺晚會節目演出順序的編排方案共有

A.36種

B.42種

C.48種

D.54種

17.(2010廣東)為了迎接2010年廣州亞運會,某大樓安裝5個彩燈,它們閃亮的順序不固定.每個彩燈閃亮只能是紅?橙?黃?綠?藍中的一種顏色,且這5個彩燈閃亮的顏色各不相同,記這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍.在每個閃爍中,每秒鐘有且只有一個彩燈閃亮,而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒?如果要實現所有不同的閃爍,那么需要的時間至少是

A.1205秒

B.1200秒

C.1195秒

D.1190秒

18.(2010湖北)現安排甲?乙?丙?丁?戌5名同學參加上海世博會志愿者服務活動,每人從事翻譯?導游?禮儀?司機四項工作之一,每項工作至少有一人參加?甲?乙不會開車但能從事其他三項工作,丙丁戌都能勝任四項工作,則不同安排方案的種數是

A.152

B.126

C.90

D.54

二?填空題

19.(2018全國卷Ⅰ)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有___種.(用數字填寫答案)

20.(2018浙江)從1,3,5,7,9中任取2個數字,從0,2,4,6中任取2個數字,一共可以組成個沒有重復數字的四位數.(用數字作答)

21.(2017浙江)從6男2女共8名學生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務隊,要求服務隊中至少有1名女生,共有

種不同的選法.(用數字作答)

22.(2017天津)用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字,且至多有一個數字是偶數的四位數,這樣的四位數一共有___________個.(用數字作答)

23.(2015廣東)某高三畢業班有人,同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業留言,那么全班共寫了

條畢業留言.(用數字作答)

24(2014浙江)在8張獎券中有一?二?三等獎各1張,其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人,每人2張,不同的獲獎情況有_____種(用數字作答).25.(2014北京)把5件不同產品擺成一排,若產品與產品相鄰,且產品與產品不相鄰,則不同的擺法有_______種.26.(2014廣東)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數,則這七個數的中位數是6的概率為

.27.(2014江西)10件產品中有7件正品?3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率是________.28.(2013北京)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少一張,如果分給同一人的兩張參觀券連號,那么不同的分法種數是

.29.(2012湖北)回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數.如22,121,3443,94249等.顯然2位回文數有9個:11,22,33,…,99.3位回文數有90個:101,111,121,…,191,202,…,999.則

(Ⅰ)4位回文數有

個;

(Ⅱ)位回文數有

個.30.給個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當時,在所有不同的著色方案中,黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示:

由此推斷,當時,黑色正方形互不相鄰的著色方案共有

種,至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有

種,(結果用數值表示)

31.(2013新課標2)從個正整數1,2,…,中任意取出兩個不同的數,若取出的兩數之和等于5的概率為,則=________.32.(2013浙江)將六個字母排成一排,且均在的同側,則不同的排法共有________種(用數字作答).33.(2010浙江)有4位同學在同一天的上?下午參加“身高與體重”?“立定跳遠”?“肺活量”?“握力”?“臺階”五個項目的測試,每位同學上?下午各測試一個項目,且不重復.若上午不測“握力”項目,下午不測“臺階”項目,其余項目上?下午都各測試一人.則不同的安排方式共有______________種(用數字作答).專題十

計數原理

第三十講

排列與組合答案部分

1.C【解析】不超過30的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個,從中隨機選取兩個不同的數有種不同的取法,這10個數中兩個不同的數的和等于30的有3對,所以所求概率,故選C.2.D【解析】由題意可得,一人完成兩項工作,其余兩人每人完成一項工作,據此可得,只要把工作分成三份:有種方法,然后進行全排列,由乘法原理,不同的安排方式共有種.故選D.3.C【解析】不放回的抽取2次有,如圖

可知與是不同,所以抽到的2張卡片上的數奇偶性不同有=40,所求概率為.4.B【解析】由題意可知有6種走法,有3種走法,由乘法計數原理知,共有

種走法,故選B.5.D【解析】由題意,要組成沒有重復的五位奇數,則個位數應該為1?3?5中任選一個,有

種方法,其他數位上的數可以從剩下的4個數字中任選,進行全排列,有種方法,所以其中奇數的個數為,故選D.6.B【解析】據題意,萬位上只能排4?5.若萬位上排4,則有個;若萬位上排5,則有個.所以共有個,選B.7.D【解析】.8.D【解析】易知1或2或3,下面分三種情況討論.其一:1,此時,從中任取一個讓其等于1或-1,其余等于0,于是有種情況;其二:2,此時,從中任取兩個讓其都等于1或都等于-1或一個等于1?另一個等于-1,其余等于0,于是有種情況;其三:3,此時,從中任取三個讓其都等于1或都等于-1或兩個等于1?另一個等于-1或兩個等于-1?另一個等于1,其余等于0,于是有種情況.由于.9.C【解析】直接法:如圖,在上底面中選,四個側面中的面對角線都與它成,共8對,同樣對應的也有8對,下底面也有16對,這共有32對;左右側面與前后側面中共有16對,所以全部共有48對.間接法:正方體的12條面對角線中,任意兩條垂直?平行或成角為,所以成角為的共有.10.A【解析】分三步:第一步,5個無區別的紅球可能取出0個,1個,…,5個,則有種不同的取法;第二步,5個無區別的籃球都取出或都不取出,則有種不同的取法;第三步,5個有區別的黑球看作5個不同色,從5個不同色的黑球任取0個,1個,…,5個,有種不同的取法,所以所求的取法種數為.11.B【解析】能夠組成三位數的個數是9×10×10=900,能夠組成無重復數字的三位數的個數是9×9×8

=648.故能夠組成有重復數字的三位數的個數為.12.A【解析】先安排1名教師和2名學生到甲地,再將剩下的1名教師和2名學生安排到乙地,共有種.13.D【解析】和為偶數,則4個數都是偶數,都是奇數或者兩個奇數兩個偶數,則有種取法.14.C【解析】若沒有紅色卡片,則需從黃?藍?綠三色卡片中選3張,若都不同色則有=64,若2張同色,則有,若紅色1張,其余2張不同色,則有,其余2張同色則有,所以共有64+144+192+72=472.另解1:,答案應選C.另解2:.15.B【解析】B,D,E,F用四種顏色,則有種涂色方法;B,D,E,F用三種顏色,則有種涂色方法;B,D,E,F用兩種顏色,則有種涂色方法;所以共有24+192+48=264種不同的涂色方法.16.B【解析】分兩類:一類為甲排在第一位共有種,另一類甲排在第二位共有種,故編排方案共有種,故選B.17.C.【解析】共有5!=120個不同的閃爍,每個閃爍要完成5次閃亮需用時間為5秒,共5120=600秒;每兩個閃爍之間的間隔為5秒,共5(120—1)=595秒?那么需要的時間至少是600+595=1195秒.18.C【解析】由于五個人從事四項工作,而每項工作至少一人,那么每項工作至多兩人,因為甲?乙不會開車,所以只能先安排司機,分兩類:(1)先從丙?丁?戊三人中任選一人開車;再從其余四人中任選兩人作為一個元素同其他兩人從事其他三項工作,共有種.(2)先從丙?丁?戊三人中任選兩人開車:其余三人從事其他三項工作,共有種.所以,不同安排方案的種數是=126(種).故選C.19.16【解析】通解

可分兩種情況:第一種情況,只有1位女生入選,不同的選法有

(種);第二種情況,有2位女生入選,不同的選法有(種).根據分類加法計數原理知,至少有l位女生人選的不同的選法有16種.優解

從6人中任選3人,不同的選法有(種),從6人中任選3人都是男生,不同的選法有(種),所以至少有1位女生入選的不同的選法有20–4

=16(種).20.1260【解析】若取的4個數字不包括0,則可以組成的四位數的個數為;若取的4個數字包括0,則可以組成的四位數的個數為.綜上,一共可以組成的沒有重復數字的四位數的個數為+

=720+

540

=1

260.21.660【解析】分兩步,第一步,選出4人,由于至少1名女生,故有種不同的選法;第二步,從4人中選出隊長?副隊長各一人,有種不同的選法,根據分步乘法計數原理共有種不同的選法.22.1080【解析】分兩種情況,只有一個數字為偶數有個,沒有偶數有個,所以共有個.23.1560

【解析】由題意,故全班共寫了1560條畢業留言.24.60【解析】分情況:一種情況將有獎的獎券按2張?1張分給4個人中的2個人,種數為;另一種將3張有獎的獎券分給4個人中的3個人,種數為,則獲獎情況總共有36

+24

=60(種).25.36【解析】將A?B捆綁在一起,有種擺法,再將它們與其他3件產品全排列,有種擺法,共有=48種擺法,而A?B?C

3件在一起,且A?B相鄰,A?C相鄰有CAB?BAC兩種情況,將這3件與剩下2件全排列,有種擺法,故A?B相鄰,A?C不相鄰的擺法由48-12=36.26.【解析】6之前6個數中取3個,6之后3個數中取3個,;

27.【解析】從10件產品中任取4件共有=210種不同取法,因為10件產品中有7件正品?3件次品,所以從中任取4件恰好取到1件次品共有種不同的取法,故所求的概率為.28.96【解析】5張參觀券分成4堆,有2個聯號有4種分法,每種分法分給4個人有種方法,∴總共有.29.【解析】(Ⅰ)4位回文數只用排列前面兩位數字,后面數字就可以確定,但是第一位不能為0,有9(1~9)種情況,第二位有10(0~9)種情況,所以4位回文數有種.答案:90

(Ⅱ)法一?由上面多組數據研究發現,位回文數和位回文數的個數相同,所以可以算出位回文數的個數.位回文數只用看前位的排列情況,第一位不能為0有9種情況,后面項每項有10種情況,所以個數為.法二?可以看出2位數有9個回文數,3位數90個回文數?計算四位數的回文數是可以看出在2位數的中間添加成對的“00,11,22,……99”,因此四位數的回文數有90個按此規律推導,而當奇數位時,可以看成在偶數位的最中間添加0~9這十個數,因此,則答案為.30.21

43【解析】時,黑色正方形互不相鄰的著色方案種數分別為2,3,5,8,由此可看出后一個總是前2項之和,故時應為5+8=13,時應為8+13=21;時,所有的著色方案種數為種,∴至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有種.31.8【解析】由題意,解得.32.480【解析】第一類,字母C排在左邊第一個位置,有種;第二類,字母C排在左邊第二個位置,有種;第三類,字母C排在左邊第三個位置,有種,由對稱性可知共有2′(++)=480種.33.264【解析】上午的總測試方法有種,我們以依次代表五個測試項目,若上午測試的下午測試,則上午測試的下午只能測試,此種測試方法共有2種;若上午測試的同學下午測試之一,則上午測試中任何一個的下午都可以測試,安排完這個同學后其余兩個同學的測試方式就確定了,故共有種測試方法,即下午的測試方法共有11種,根據分步乘法原理,總的測試方法共有種.