專題十

計數原理

第三十一講

二項式定理

2019年

1.(2019全國III理4)(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數為

A.12

B.16

C.20

D.24

2.(2019浙江13)在二項式的展開式中,常數項是________,系數為有理數的項的個數是_______.3.(2019天津理10)是展開式中的常數項為

.2010-2018年

一?選擇題

1.(2018全國卷Ⅲ)的展開式中的系數為

A.10

B.20

C.40

D.80

2.(2017新課標Ⅰ)展開式中的系數為

A.15

B.20

C.30

D.35

3.(2017新課標Ⅲ)的展開式中的系數為

A.80

B.40

C.40

D.80

4.(2016年四川)

設為虛數單位,則的展開式中含的項為

A.-15

B.15

C.-20

D.20

5.(2015湖北)已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等,則奇數項的二項式系數和為

A.B.C.D.6.(2015陜西)二項式的展開式中的系數為15,則

A.4

B.5

C.6

D.7

7.(2015湖南)已知的展開式中含的項的系數為30,則

A.B.C.6

D.-6

8.(2014浙江)在的展開式中,記項的系數為,則=

A.45

B.60

C.120

D.210

9.(2014湖南)的展開式中的系數是

A.-20

B.-5

C.5

D.20

10.(2013遼寧)使得的展開式中含常數項的最小的為

A.B.C.D.11.(2013江西)展開式中的常數項為

A.80

B.-80

C.40

D.-40

12.(2012安徽)的展開式的常數項是（）

A.B.C.D.13.(2012天津)在的二項展開式中,的系數為

A.10

B.-10

C.40

D.-40

14.(2011福建)的展開式中,的系數等于

A.80

B.40

C.20

D.10

15.(2011陜西)(R)展開式中的常數項是

A.B.C.15

D.20

二?填空題

16.(2018天津)在的展開式中,的系數為

.17.(2018浙江)二項式的展開式的常數項是___________.18.(2017浙江)已知多項式=,則=___,=___.19.(2017山東)已知的展開式中含有項的系數是,則

.20.(2016年山東)若的展開式中的系數是-80,則實數a=_______.21.(2016年全國I)的展開式中,x3的系數是

.(用數字填寫答案)

22.(2015北京)在的展開式中,的系數為

.(用數字作答)

23.(2015新課標2)的展開式中的奇數次冪項的系數之和為32,則=______.24.(2014新課標1)的展開式中的系數為

.(用數字填寫答案)

25.(2014新課標2)的展開式中,的系數為15,則=___.(用數字填寫答案)

26.(2014山東)若的展開式中項的系數為20,則的最小值為

.27.(2013安徽)若的展開式中的系數為7,則實數______.28.(2012廣東)的展開式中的系數為______.(用數字作答)

29.(2012浙江)若將函數表示為,其中，,…,為實數,則

.30.(2011浙江)設二項式的展開式中的系數為A,常數項為B,若B=4A,則的值是

.31.(2010安徽)展開式中,的系數等于

.專題十

計數原理

第三十一講

二項式定理

答案部分

2019年

1.解析的展開式中的系數為.故選A.2.解析:二項式的展開式的通項為.由,得常數項是;當r=1,3,5,7,9時,系數為有理數,所以系數為有理數的項的個數是5個.3.解析

由題意,可知此二項式的展開式的通項為

.所以當,即時,為常數項,此時.2010-2019年

1.C【解析】,由,得,所以的系數為.故選C.2.C【解析】展開式中含的項為,故前系數為30,選C.3.C【解析】的展開式的通項公式為:,當時,展開式中的系數為,當時,展開式中的系數為,所以的系數為.選C.4.A【解析】通項,令,得含的項為,故選A.5.D【解析】因為的展開式中的第4項與第8項的二項式系數相等,所以,解得,所以二項式的展開式中奇數項的二項式系數和為.6.C【解析】由,知,∴,解得或(舍去),故選C.7.D【解析】,令,可得,故選D.8.C【解析】由題意知，，因此.9.A【解析】由二項展開式的通項可得,第四項,故的系數為-20,選A.10.B【解析】通項,常數項滿足條件,所以時最小.11.C【解析】,令,解得,所以常數項為.12.D【解析】第一個因式取,第二個因式取得:,第一個因式取,第二個因式取得:

展開式的常數項是.13.D【解析】∵=,∴,即,∴的系數為.14.B【解析】的展開式中含的系數等于,系數為40.答案選B.15.C【解析】,令,則,所以,故選C.16.【解析】,令,得,所以的系數為.17.7【解析】,令,解得,所以所求常數項為.18.16,4【解析】將變換為,則其通項為,取和可得，令,得.19.4【解析】,令得:,解得.20.【解析】因為,所以由,因此

21.【解析】由得,令得,此時系數為10.22.40【解析】由通項公式，令,得出的系數為.23.3【解析】展開式的通項為,由題意可知，解得.24.-20【解析】中,令,再令,得的系數為.25.【解析】二項展開式的通項公式為,當時，,則,故.26.2【解析】,令,得,故,∴,當且僅當或時等號成立.27.【解析】通項

所以.28.20【解析】的展開式中第項為

令得:的系數為.29.10【解析】法一:由等式兩邊對應項系數相等.即:.法二:對等式:兩邊連續對x求導三次得:,再運用賦值法,令得:,即.法三:,則?

30.2【解析】由題意得,∴，又∵,∴,解之得,又∵,∴.31.15【解析】.