專題七

不等式

第二十講

二元一次不等式(組)與簡單的線性規劃問題

2019年

1.（2019全國文13）若變量x，y滿足約束條件則z=3x–y的最大值是___________.2.（2019北京文10）若x，y滿足

則的最小值為__________，最大值為__________．

3.（2019天津文2）設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為

（A）2

（B）3

（C）5

（D）6

4.（2019浙江3）若實數x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值是

A．

B．1

C．10

D．12

2010-2018年

一、選擇題

1．(2018北京)設集合則

A．對任意實數，B．對任意實數，C．當且僅當時，D．當且僅當時，2．(2018天津)設變量x，y滿足約束條件

則目標函數的最大值為

A．

B．19

C．21

D．45

3．（2017新課標Ⅰ）設，滿足約束條件，則的最大值為

A．0

B．1

C．2

D．3

4．（2017新課標Ⅱ）設、滿足約束條件．則的最小值是

A．

B．

C．1

D．9

5．（2017新課標Ⅲ）設，滿足約束條件，則的取值范圍是

A．[–3,0]

B．[–3,2]

C．[0,2]

D．[0,3]

6．（2017山東）已知，滿足約束條件，則的最大值是

A．3

B．1

C．1

D．3

7．（2017浙江）若，滿足約束條件，則的取值范圍是

A．[0，6]

B．

[0，4]

C．

D．

8．（2017北京）若，滿足，則的最大值為

A．1

B．3

C．5

D．9

9．（2016年山東）若變量滿足則的最大值是

A．4

B．9

C．10

D．12

10．（2016年浙江）若平面區域

夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是

A.B.C.D.11．（2015湖南）若變量滿足約束條件，則的最小值為

A．－1

B．0

C．1

D．2

12．（2015陜西）某企業生產甲、乙兩種產品均需用兩種原料，已知生產1噸每種產品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業每天可獲得最大利潤為

甲

乙

原料限額

A（噸）

B（噸）

A．12萬元

B．16萬元

C．17萬元

D．18萬元

13．（2015天津）設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值為．

A．7

B．8

C．9

D．14

14．（2015重慶）若不等式組，表示的平面區域為三角形，且其面積等于，則的值為

A．－3

B．1

C．

D．3

15．（2015廣東）若變量，滿足約束條件，則的最大值為

A．

B．

C．

D．

16．（2015安徽）已知滿足約束條件，則的最大值是

A．

B．

C．

D．1

17．（2015福建）變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實數等于

A．

B．

C．

D．

18．（2015四川）設實數滿足，則的最大值為

A．

B．

C．12

D．16

19．（2014新課標1）不等式組的解集記為．有下面四個命題：

：，：,：，：．

其中真命題是

A．，B．，C．，D．，20．（2014安徽）滿足約束條件，若取得最大值的最優解不唯一，則實數的值為（）

A．

B．

C．2或1

D．

21．（2014福建）已知圓，設平面區域，若圓心，且圓C與軸相切，則的最大值為

A．5

B．29

C．37

D．49

22．（2014北京）若滿足且的最小值為－4，則的值為

A．2

B．-2

C．

D．

23．（2013新課標2）設滿足約束條件，則的最小值是

A．

B．

C．

D．

24．（2013陜西）若點位于曲線y

=

|x|與y

=

2所圍成的封閉區域，則2x－y的最小值為

A．－6

B．－2

C．0

D．2

25．（2013四川）若變量滿足約束條件且的最大值為，最小值為，則的值是

A．

B．

C．

D．

26．（2012廣東）已知變量滿足約束條件，則的最大值為

A．12

B．11

C．3

D．－1

27．（2012廣東）已知變量滿足約束條件，則的最小值為

A．

B．

C．

D．

28．（2012山東）設變量滿足約束條件，則目標函數的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

29．（2012福建）若直線上存在點滿足約束條件則實數的最大值為（）

A．

B．1

C．

D．2

30．（2012天津）設變量滿足約束條件，則目標函數的最小值為

A．?5

B．?4

C．?2

D．3

31．（2012遼寧）設變量滿足，則的最大值為

A．20

B．35

C．45

D．55

32．（2011廣東）已知平面直角坐標系上的區域D由不等式給定，若為D上的動點，點A的坐標為，則z=·的最大值為

A．3

B．4

C．3

D．4

33．（2011安徽）設變量的最大值和最小值分別為

A．1，－1

B．2，－2

C．1，－2

D．2，－1

34．（2011湖南）設＞1，在約束條件下，目標函數z=x+my的最大值小于2，則的取值范圍為

A．(1，)

B．(，)

C．(1,3)

D．(3，)

35．（2010新課標）已知ABCD的三個頂點為A(－1，2)，B(3，4)，C(4，－2)，點(x，y)在ABCD的內部，則z=2x－5y的取值范圍是

A．(－14，16)

B．(－14，20)

C．(－12，18)

D．(－12，20)

36．（2010山東）設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值和最小值分別為

A．

B．

C．

D．

二、填空題

37．(2018全國卷Ⅰ)若，滿足約束條件，則的最大值為___．

38．(2018全國卷Ⅱ)若滿足約束條件

則的最大值為___．

39．(2018全國卷Ⅲ)若變量滿足約束條件則的最大值是______．

40．(2018北京)若，滿足，則的最小值是_____．

41．(2018浙江)若，滿足約束條件，則的最小值是___________，最大值是___________．

42．（2016江蘇）已知實數滿足，則的取值范圍是

．

43．（2016全國I卷）某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5

kg，乙材料1

kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5

kg，乙材料0.3

kg，用3個工時，生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元。該企業現有甲材料150

kg，乙材料90

kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為

元.44．（2016全國III卷）設滿足約束條件則的最小值為______．

45．（2015北京）如圖，△及其內部的點組成的集合記為，為中任意一點，則的最大值為_________．

46．(2015新課標1)若滿足約束條件，則的最大值為

．

47．（2014安徽）不等式組表示的平面區域的面積為________．

48．（2014浙江）當實數，滿足時，恒成立，則實數的取值范圍是________．

49．（2014湖南）若變量滿足約束條件，且的最小值為－6，則

．

50．（2013新課標1）設滿足約束條件，則的最大值

為

．

51．（2013浙江）設，其中實數滿足，若z的最大值為12，則實數=________

．

52．（2013湖南）若變量x,y滿足約束條件則的最大值為____．

53．（2012新課標）設，滿足約束條件，則得取值范圍為

．

54．（2011湖南）設在約束條件下，目標函數的最大值為4，則的值為

．

55．（2011陜西）如圖，點在四邊形ABCD內部和邊界上運動，那么的最小值為________．

56．（2011新課標）若變量，滿足約束條件，則的最小值是_________．

57．(2010安徽)設，滿足約束條件,若目標函數的最大值為8，則的最小值為

__

_．

58．（2010陜西）鐵礦石A和B的含鐵率，冶煉每萬噸鐵礦石的的排放量及每萬噸鐵礦石的價格如下表：

(萬噸)

（百萬元）

A

50％

B

70％

0.5

某冶煉廠至少要生產1.9（萬噸）鐵，若要求的排放量不超過2（萬噸）則購買鐵礦石的最少費用為

（萬元）．

三、解答題

59．（2017天津）電視臺播放甲、乙兩套連續劇，每次播放連續劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續劇時，連續劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：

連續劇播放時長（分鐘）

廣告播放時長（分鐘）

收視人次（萬）

甲

乙

已知電視臺每周安排的甲、乙連續劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續劇播放的次數不多于乙連續劇播放次數的2倍．分別用，表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續劇的次數．

（Ⅰ）用，列出滿足題目條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域；

（Ⅱ）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續劇各多少次，才能使收視人次最多？

60．（2016年天津）某化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，需要三種主要原料．生產1車皮甲種肥料和生產1車皮乙中種肥料所需三種原料的噸數如下表所示：

現有種原料200噸，種原料360噸，種原料300噸，在此基礎上生產甲、乙兩種肥料．已知生產1車皮甲種肥料，產生的利潤為2萬元；生產1車皮乙種肥料，產生的利潤為3萬元．分別用表示計劃生產甲、乙兩種肥料的車皮數．

(Ⅰ)用列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域；

(Ⅱ)問分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？并求出此最大利潤.61．（2010廣東）某營養師要為某個兒童預定午餐和晚餐。已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和6個單位的維生素；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和10個單位的維生素．另外，該兒童這兩餐需要的營養中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質和54個單位的維生素．如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐?

專題七

不等式

第二十講

二元一次不等式(組)與簡單的線性規劃問題

答案部分

2019年

1.解析

由約束條件作出可行域如圖：

化目標函數為，由圖可知，當直線過時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為9．

2.解析

作出約束條件表示的可行域，如圖所示.令，則，當此直線經過可行域內的點時，取最小值；當此直線經過可行域內的點時，取最大值.由，得，由，得，所以；.3.解析

由約束條件作出可行域如圖：

化目標函數為，由圖可知，當直線過時，有最大值.聯立，解得.所以的最大值為．

故選C．

4.解析：作出表示的平面區域，如圖所示

分別聯立其中兩個方程，得A（2，2），B（-1，1），C（1，-1），則.故選C.2010-2018年

1．D【解析】解法一

點在直線上，表示過定點，斜率為的直線，當時，表示過定點，斜率為的直線，不等式表示的區域包含原點，不等式表示的區域不包含原點．直線與直線互相垂直，顯然當直線的斜率時，不等式表示的區域不包含點，故排除A；點與點連線的斜率為，當，即時，表示的區域包含點，此時表示的區域也包含點，故排除B；當直線的斜率，即時，表示的區域不包含點，故排除C，故選D．

解法二

若，則，解得，所以當且僅當時，．故選D．

2．C【解析】不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，作出直線．平移該直線，當經過點時，取得最大值，由，得，即，所以，故選C．

3．D【解析】可行域如圖陰影部分，由圖可知，目標函數過點取最大值3．選D．

4．A【解析】如圖為可行域

結合目標函數的幾何意義可得函數在點處取得最小值，最小值為．故選A．

5．B【解析】不等式組的可行域如圖，目標函數的幾何意義可得函數在點

處取得最小值

.在點

處取得最大值，選B．

6．D【解析】不等式組可行域如圖陰影部分，當過時取得最大值3，選D．

7．D【解析】如圖陰影為可行域，可知在時，無最大值．

所以的取值范圍是．選D．

8．D【解析】不等式組可行域如圖陰影部分，目標函數過點時，取得最大值，故選D.9．C【解析】作出不等式組所表示的平面區域如圖中陰影部分所示，設為平面區域內任意一點，則表示．顯然，當點與點合時，即取得最大值，由，解得，故．所以的最大值為．故選C．

10．B【解析】畫出不等式組的平面區域如圖所示，由得，由

得，由題意可知，當斜率為1的兩條直線分別過點和點時，兩直線的距離最小，即．故選B．

11．A【解析】畫出可行域(圖略)，可知在點處取得最小值．

12．D【解析】設該企業每天生產甲、乙兩種產品分別為、噸，則利潤．

由題意可列，其表示如圖陰影部分區域：

當直線過點時，取得最大值，所以，故選D．

13．C【解析】畫出可行域（圖略），可知目標函數在點處有最大值9．

14．B【解析】由于不等式組,表示的平面區域為三角形，且其面積等于，再注意到直線：與直線:互相垂直，所以是直角三角形；易知，()；

從而=，化簡得：，解得=，或=1；檢驗知當=時，已知不等式組不能表示一個三角形區域，故舍去；所以=1；故選B．

15．B【解析】作出可行域（圖略）可知，目標函數過點時取最大值．

16．A【解析】作出滿足條件的可行域，如圖中陰影部分所示，易知在點處，取得最大值，故．

17．C

【解析】

將目標函數變形為，當取最大值，則直線縱截距最小，故當時，不滿足題意；當時，畫出可行域，如圖所示，其中．顯然不是最優解，故只能是最優解，代入目標函數得，解得，故選C．

18．A【解析】根據不等式組作出可行域，如圖中陰影部分所示

當動點在線段AC上時取得最大，此時2x＋y＝10．

．

當且僅當，時取等號，對應點落在線段AC上．

故最大值為．故選A．

19．C【解析】畫出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當目標函數經過可行域內的點A（2，1）時，取得最小值0，故，因此是真命題，選C．

20．D【解析】畫出約束條件表示的平面區域如圖，取得最大值表示直線向上平移移動最大，表示直線斜率，有兩種情況：或．

21．C【解析】平面區域為如圖所示的陰影部分的△ABD，因圓心∈，且圓與軸相切，所以點在如圖所示的線段上，線段的方程為（2≤≤6），由圖形得，當點在點處時，取得最大值，故選C．

22．D【解析】作出線性約束條件，的可行域．當時，如圖(1)所示，此時可行域為軸上方、直線的右上方、直線的右下方的區域，顯然此時無最小值．當時．取得最小值2；當時，取得最小值-2，均不符合題意，當時，如圖(2)所示，此時可行域為點A(2，0)，B（，0），C(0，2)所圍成的三角形區域，當直線經過點B（，0）時，有最小值，即，所以得．故選D．

23．B【解析】由得，即．作出可行域如圖，平移直線，由圖象可知當直線經過點B時，直線的截距最大，此時取得最小值，由得，即,代入直線得，選B．

24．A【解析】的圖像圍成一個三角形區域，3個頂點的坐標分別是

(0,0)，(2,2)，(2,2)．且當取點(2,2)時，2x

–

y

=－6取最小值．所以選A．

25．C【解析】作出可行域，如圖，則在A點取得最大值，在B點取得最小值，則，選C．

26．B【解析】約束條件對應邊際及內的區域：

則．

27．C【解析】約束條件對應邊際及內的區域：

則．

28．A【解析】作出可行域，直線，將直線平移至點處有最大值，點處有最小值，即,應選A．

29．B【解析】由題意，可求得交點坐標為

（1，2）要使直線y=2x上存在點（x，y）滿足約束條件，如圖所示．則可得m≤1，∴實數m的最大值為1，故選B．

30．B【解析】做出不等式對應的可行域如圖，由得，由圖象可知當直線經過點時，直線的截距最大，而此時最小為，選B．

31．D【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖知目標函數

過點時，的最大值為55，故選D．

32．B【解析】畫出區域D如圖所示，而z=·=，所以，令：，平移直線過點()時，取得最大值，故．

33．B【解析】如圖先畫出不等式表示的平面區域，易知當，時，取得最大值2，當時，取得最小值－2，選B．

34．A【解析】

畫出可行域，可知在點取最大值，由解得．

35．B【解析】當直線z=2x5y過點B時，當直線z=2x5y過點D(0,4)時，所以z=2x5y的取值范圍為（－14，20），點D的坐標亦可利用求得．

36．A【解析】作出滿足約束條件的可行域，如右圖所示，可知當直線平移到點（5，3）時，目標函數取得最大值3；

當直線平移到點（3，5）時，目標函數取得最小值11，故選A．

37．6【解析】作出可行域為如圖所示的所表示的陰影區域，作出直線，并平移該直線，當直線過點時，目標函數取得最大值：且．

38．9【解析】畫出不等式組所表示的平面區域，如圖中陰影部分所示．作出直線，平移該直線，當直線過點時，取得最大值，．

39．3【解析】易知在可行域的頂點取得最大值，由，解得，代入，可得；由，解得，代入，可得；由，解得，代入，可得；可知，的最大值為3．

40．3【解析】作出不等式組，所表示的平面區域如圖中陰影部分所示，令，作出直線，平移該直線，當直線過點時，取得最小值，最小值為．

41．?2；8【解析】由題可得，該約束條件表示的平面區域是以，為頂點的三角形及其內部區域（圖略）．由線性規劃的知識可知，目標函數在點

處取得最大值，在點處取得最小值，則最小值，最大值．

42．【解析】不等式組所表示的平面區域是以點，為頂點的三角形及其內部，如圖所示，因為原點到直線的距離為，所以，又當取點時，取得最大值13，故的取值范圍是．

43．【解析】由題意，設產品A生產件，產品B生產件，利潤，線性約束條件為，作出不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，又由，可知取得最大值時的最優解為(60，100)，所以（元）．

44．【解析】作出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分所示，由圖知當經過點時，取得最小值，．

45．7

【解析】

由目標函數的可行域為邊界及其內部（如圖所示）．令，即，平移直線至目標函數的可行域內，可知當過點時，取得最大值，即．

46．4

【解析】

作出可行域（圖略），作出直線：，平移直線，當直線:

過點A時，取最大值，由，解得A（1,1），∴的最大值為4．

47．4【解析】如圖陰影部分，可知

48．【解析】由線性規劃的可行域，求出三個交點坐標分別為，都代入，可得．

49．－2【解析】畫出可行域（圖略），由題意可知不等式組表示的區域為一三角形，平移參照直線，可知在點處取得最小值，故．

解得．

50．3【解析】做出可行域可知，當的時候有最大值3

51．2【解析】此不等式表示的平面區域如圖所示．當>0時，直線：平移到A點時目標函數取最大值，即當4+4=12

所以=2，當<0時，直線：平移到A或B點是目標函數取最大值，可知取值是大于零，所以不滿足，所以=2，所以填2．

52．6【解析】畫出可行區域，即為五邊形區域，平移參照直線，在點(4，2)處取得最大值，此時．

53．【解析】約束條件對應四邊形邊際及內的區域：

則．

54．3【解析】畫出可行域，可知在點取最大值為4，解得

55．1【解析】目標函數，當時，所以當取得最大值時，的值最小；移動直線，當直線移動到過點A時，最大，即的值最小，此時．

56．－6【解析】根據得可行域，根據得，平移，易知在點處取得最小值－6．

57．4【解析】不等式表示的區域是一個四邊形，4個頂點是，易見目標函數在取最大值8，所以，所以，在時是等號成立．所以的最小值為4．.58．15【解析】設購買鐵礦石A和B各，萬噸，則購買鐵礦石的費用，滿足約束條件，表示平面區域（圖略）則當直線過點B（1,2）時，購買鐵礦石的最少費用z=15．

59．【解析】（Ⅰ）由已知，滿足的數學關系式為即

該二元一次不等式組所表示的平面區域為圖1中的陰影部分：

（圖1）

（圖2）

（Ⅱ）設總收視人次為萬，則目標函數為．

考慮，將它變形為，這是斜率為，隨變化的一族平行直線．為直線在軸上的截距，當取得最大值時，的值最大．又因為滿足約束條件，所以由圖2可知，當直線經過可行域上的點M時，截距最大，即最大．

解方程組得點M的坐標為．

所以，電視臺每周播出甲連續劇6次、乙連續劇3次時才能使總收視人次最多．

60．【解析】（Ⅰ）由已知滿足的數學關系式為，該二元一次不等式組所表示的區域為圖1中的陰影部分．

（Ⅱ）設利潤為萬元，則目標函數，這是斜率為，隨變化的一族平行直線.為直線在軸上的截距，當取最大值時，的值最大.又因為滿足約束條件，所以由圖2可知，當直線經過可行域中的點時，截距的值最大，即的值最大.解方程組得點的坐標為，所以.答：生產甲種肥料車皮，乙種肥料車皮時利潤最大，且最大利潤為萬元.61．【解析】設為該兒童分別預訂個單位的午餐和晚餐，共花費元，則，且滿足以下條件，即，做出可行域（圖略）作直線，平移直線至，當

經過C點時，可使達到最小值．

由

即，此時，答:

午餐和晚餐分別預定4個單位和3個單位，花費最少z=22元．