近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

十三、坐標系與參數方程

一、單選題

1．（2019·北京（理））已知直線l的參數方程為（t為參數），則點（1,0）到直線l的距離是

A．

B．

C．

D．

二、解答題

2．（2021·全國（文））在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．

（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）設點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出Р的軌跡的參數方程，并判斷C與是否有公共點．

3．（2021·全國（理））在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1．

（1）寫出的一個參數方程;

（2）過點作的兩條切線．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．

4．（2020·江蘇）在極坐標系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．

（1）求，的值

（2）求出直線與圓的公共點的極坐標．

5．（2020·全國（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(t為參數且t≠1)，C與坐標軸交于A，B兩點.（1）求||：

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程.6．（2020·全國（理））在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）當時，是什么曲線？

（2）當時，求與的公共點的直角坐標．

7．（2020·全國（理））已知曲線C1，C2的參數方程分別為C1：（θ為參數），C2：（t為參數）.（1）將C1，C2的參數方程化為普通方程；

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設C1，C2的交點為P，求圓心在極軸上，且經過極點和P的圓的極坐標方程.8．（2019·江蘇）在極坐標系中，已知兩點，直線l的方程為.（1）求A，B兩點間的距離；

（2）求點B到直線l的距離.9．（2019·全國（理））如圖，在極坐標系中，，，弧，所在圓的圓心分別是，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出，的極坐標方程；

（2）曲線由，構成，若點在上，且，求的極坐標.10．（2019·全國（文））在極坐標系中，O為極點，點在曲線上，直線l過點且與垂直，垂足為P.（1）當時，求及l的極坐標方程；

（2）當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.11．（2019·全國（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．

（1）求C和l的直角坐標方程；

（2）求C上的點到l距離的最小值．

12．（2018·江蘇）

在極坐標系中，直線l的方程為，曲線C的方程為，求直線l被曲線C截得的弦長．

13．（2018·全國（文））

在直角坐標系中，曲線的方程為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的直角坐標方程；

（2）若與有且僅有三個公共點，求的方程.14．（2018·全國（理））

在平面直角坐標系中，的參數方程為（為參數），過點且傾斜角為的直線與交于兩點．

（1）求的取值范圍；

（2）求中點的軌跡的參數方程．

15．（2018·全國（文））在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）.（1）求和的直角坐標方程；

（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率．

16．（2017·全國（理））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（θ為參數），直線l的參數方程為

．

（1）若，求C與l的交點坐標；

（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求．

17．（2017·全國（理））

在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為（t為參數），直線l2的參數方程為.設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C．

（1）寫出C的普通方程；

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設，M為l3與C的交點，求M的極徑.18．（2017·全國（理））在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

19．（2017·全國（理））在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

20．（2017·江蘇）已知直線l的參考方程為（t為參數）,曲線C的參數方程為（s為參數）．設p為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值

三、填空題

21．（2019·天津（理））設，直線和圓（為參數）相切，則的值為____.22．（2018·北京（理））在極坐標系中，直線與圓相切，則__________．

23．（2018·天津（理））已知圓的圓心為，直線（為參數）與該圓相交于、兩點，則的面積為___________.24．（2017·天津（理））在極坐標系中，直線與圓的公共點的個數為___________.25．（2017·北京（理））在極坐標系中，點在圓上，點的坐標為，則的最小值為__________．

近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

十三、坐標系與參數方程（答案解析）

1．D

【分析】

首先將參數方程化為直角坐標方程，然后利用點到直線距離公式求解距離即可.【解析】

直線的普通方程為,即,點到直線的距離,故選D.【小結】

本題考查直線參數方程與普通方程的轉化,點到直線的距離,屬于容易題,注重基礎知識?基本運算能力的考查.2．（1）；（2）P的軌跡的參數方程為（為參數），C與沒有公共點.【分析】

（1）將曲線C的極坐標方程化為，將代入可得；

（2）設，設，根據向量關系即可求得P的軌跡的參數方程，求出兩圓圓心距，和半徑之差比較可得.【解析】

（1）由曲線C的極坐標方程可得，將代入可得，即，即曲線C的直角坐標方程為；

（2）設，設，則，即，故P的軌跡的參數方程為（為參數）

曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，兩圓內含，故曲線C與沒有公共點.【小結】

本題考查參數方程的求解，解題的關鍵是設出的參數坐標，利用向量關系求解.3．（1），（為參數）；（2）或.【分析】

（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數方程；

（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式化簡即可.【解析】

（1）由題意，的普通方程為，所以的參數方程為，（為參數）

（2）由題意，切線的斜率一定存在，設切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡得

或

【小結】

本題主要考查直角坐標方程與極坐標方程的互化，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的數學運算能力，是一道基礎題.4．（1）（2）

【分析】

(1)將A,B點坐標代入即得結果；（2）聯立直線與圓極坐標方程，解得結果.【解析】

（1）以極點為原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，因為點為直線上，故其直角坐標方程為，又對應的圓的直角坐標方程為：，由解得或，對應的點為，故對應的極徑為或.（2），當時；

當時，舍；即所求交點坐標為當

【小結】

本題考查極坐標方程及其交點，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5．（1）（2）

【分析】

（1）由參數方程得出的坐標，最后由兩點間距離公式，即可得出的值；

（2）由的坐標得出直線的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可.【解析】

（1）令，則，解得或（舍），則，即.令，則，解得或（舍），則，即.；

（2）由（1）可知，則直線的方程為，即.由可得，直線的極坐標方程為.【小結】

本題主要考查了利用參數方程求點的坐標以及直角坐標方程化極坐標方程，屬于中檔題.6．（1）曲線表示以坐標原點為圓心，半徑為1的圓；（2）.【分析】

（1）利用消去參數，求出曲線的普通方程，即可得出結論；

（2）當時，曲線的參數方程化為

為參數），兩式相加消去參數，得普通方程，由，將曲線

化為直角坐標方程，聯立方程，即可求解.【解析】

（1）當時，曲線的參數方程為為參數），兩式平方相加得，所以曲線表示以坐標原點為圓心，半徑為1的圓；

（2）當時，曲線的參數方程為為參數），所以，曲線的參數方程化為為參數），兩式相加得曲線方程為，得，平方得，曲線的極坐標方程為，曲線直角坐標方程為，聯立方程，整理得，解得或

（舍去），公共點的直角坐標為

.【小結】

本題考查參數方程與普通方程互化，極坐標方程與直角坐標方程互化，合理消元是解題的關鍵，要注意曲線坐標的范圍，考查計算求解能力，屬于中檔題.7．（1）；；（2）.【分析】

（1）分別消去參數和即可得到所求普通方程；

（2）兩方程聯立求得點，求得所求圓的直角坐標方程后，根據直角坐標與極坐標的互化即可得到所求極坐標方程.【解析】

（1）由得的普通方程為：；

由得：，兩式作差可得的普通方程為：.（2）由得：，即；

設所求圓圓心的直角坐標為，其中，則，解得：，所求圓的半徑，所求圓的直角坐標方程為：，即，所求圓的極坐標方程為.【小結】

本題考查極坐標與參數方程的綜合應用問題，涉及到參數方程化普通方程、直角坐標方程化極坐標方程等知識，屬于常考題型.8．（1）；

（2）2.【分析】

(1)由題意，在中，利用余弦定理求解的長度即可；

(2)首先確定直線的傾斜角和直線所過的點的極坐標，然后結合點B的坐標結合幾何性質可得點B到直線的距離.【解析】

（1）設極點為O.在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因為直線l的方程為，則直線l過點，傾斜角為．

又，所以點B到直線l的距離為.【小結】

本題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力．

9．(1)，,(2)，,.【分析】

(1)將三個過原點的圓方程列出，注意題中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范圍.(2)根據條件逐個方程代入求解，最后解出點的極坐標.【解析】

(1)由題意得，這三個圓的直徑都是2，并且都過原點.，,.(2)解方程得，此時P的極坐標為

解方程得或，此時P的極坐標為或

解方程得，此時P的極坐標為

故P的極坐標為，,.【小結】

此題考查了極坐標中過極點的圓的方程，思考量不高，運算量不大，屬于中檔題.10．（1），l的極坐標方程為；（2）

【分析】

（1）先由題意，將代入即可求出；根據題意求出直線的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可；

（2）先由題意得到P點軌跡的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可，要注意變量的取值范圍.【解析】

（1）因為點在曲線上，所以；

即，所以，因為直線l過點且與垂直，所以直線的直角坐標方程為，即；

因此，其極坐標方程為，即l的極坐標方程為；

（2）設，則，由題意，所以，故，整理得，因為P在線段OM上，M在C上運動，所以，所以，P點軌跡的極坐標方程為，即.【小結】

本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，熟記公式即可，屬于常考題型.11．（1）；；（2）

【分析】

（1）利用代入消元法，可求得的直角坐標方程；根據極坐標與直角坐標互化原則可得的直角坐標方程；（2）利用參數方程表示出上點的坐標，根據點到直線距離公式可將所求距離表示為三角函數的形式，從而根據三角函數的范圍可求得最值.【解析】

（1）由得：，又

整理可得的直角坐標方程為：

又，的直角坐標方程為：

（2）設上點的坐標為：

則上的點到直線的距離

當時，取最小值

則

【小結】

本題考查參數方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、求解橢圓上的點到直線距離的最值問題.求解本題中的最值問題通常采用參數方程來表示橢圓上的點，將問題轉化為三角函數的最值求解問題.12．直線l被曲線C截得的弦長為

【解析】

分析：先根據直線與圓極坐標方程得直線與圓的一個交點為A（4，0），且OA為直徑.設直線與圓的另一個交點為B，根據直線傾斜角得∠OAB=．最后根據直角三角形OBA求弦長.解析：因為曲線C的極坐標方程為，所以曲線C的圓心為（2，0），直徑為4的圓．

因為直線l的極坐標方程為，則直線l過A（4，0），傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個交點．

設另一個交點為B，則∠OAB=．

連結OB，因為OA為直徑，從而∠OBA=，所以．

因此，直線l被曲線C截得的弦長為．

小結：本題考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力.13．(1)

.(2)

.【解析】

分析：(1)就根據，以及，將方程中的相關的量代換，求得直角坐標方程；

(2)結合方程的形式，可以斷定曲線是圓心為，半徑為的圓，是過點且關于軸對稱的兩條射線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會出現三個公共點，結合直線與圓的位置關系，得到k所滿足的關系式，從而求得結果.解析：（1）由，得的直角坐標方程為

．

（2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓．

由題設知，是過點且關于軸對稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點．

當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．

經檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與只有一個公共點，與有兩個公共點．

當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．

經檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與沒有公共點．

綜上，所求的方程為．

小結：該題考查的是有關坐標系與參數方程的問題，涉及到的知識點有曲線的極坐標方程向平面直角坐標方程的轉化以及有關曲線相交交點個數的問題，在解題的過程中，需要明確極坐標和平面直角坐標之間的轉換關系，以及曲線相交交點個數結合圖形，將其轉化為直線與圓的位置關系所對應的需要滿足的條件，從而求得結果.14．（1）

（2）為參數，【解析】

分析：（1）由圓與直線相交，圓心到直線距離可得．

（2）聯立方程，由根與系數的關系求解

解析：（1）的直角坐標方程為．

當時，與交于兩點．

當時，記，則的方程為．與交于兩點當且僅當，解得或，即或．

綜上，的取值范圍是．

（2）的參數方程為為參數，．

設，對應的參數分別為，，則，且，滿足．

于是，．又點的坐標滿足

所以點的軌跡的參數方程是

為參數，．

小結：本題主要考查直線與圓的位置關系，圓的參數方程，考查求點的軌跡方程，屬于中檔題．

15．（1），當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為；（2）

【分析】

分析：(1)根據同角三角函數關系將曲線的參數方程化為直角坐標方程，根據代入消元法將直線的參數方程化為直角坐標方程，此時要注意分

與兩種情況.(2)將直線參數方程代入曲線的直角坐標方程，根據參數幾何意義得之間關系，求得，即得的斜率．

【解析】

解析：（1）曲線的直角坐標方程為．

當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為．

（2）將的參數方程代入的直角坐標方程，整理得關于的方程

．①

因為曲線截直線所得線段的中點在內，所以①有兩個解，設為，則．

又由①得，故，于是直線的斜率．

16．（1），；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）直線與橢圓的參數方程化為直角坐標方程，聯立解交點坐標；（2）利用橢圓參數方程，設點，由點到直線距離公式求參數．

試題解析：（1）曲線的普通方程為.當時，直線的普通方程為.由解得或.從而與的交點坐標為，.（2）直線的普通方程為，故上的點到的距離為

.當時，的最大值為.由題設得，所以；

當時，的最大值為.由題設得，所以.綜上，或.小結:本題為選修內容，先把直線與橢圓的參數方程化為直角坐標方程，聯立方程，可得交點坐標，利用橢圓的參數方程，求橢圓上一點到一條直線的距離的最大值，直接利用點到直線的距離公式，表示出橢圓上的點到直線的距離，利用三角有界性確認最值，進而求得參數的值．

17．（1）（2）

【解析】

（1）消去參數得的普通方程；消去參數m得l2的普通方程.設,由題設得，消去k得.所以C的普通方程為.（2）C的極坐標方程為.聯立得.故，從而.代入得，所以交點M的極徑為.【名師小結】本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉化與化歸能力.遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.18．（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉化為直角坐標方程為；

（2）利用（1）中的結論，設出點的極坐標，然后結合面積公式得到面積的三角函數，結合三角函數的性質可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設P的極坐標為（）（＞0），M的極坐標為（）由題設知

|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標方程

因此的直角坐標方程為.（2）設點B的極坐標為

（）.由題設知|OA|=2，于是△OAB面積

當時，S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.小結:本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.19．（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉化為直角坐標方程為；

（2）利用（1）中的結論，設出點的極坐標，然后結合面積公式得到面積的三角函數，結合三角函數的性質可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設P的極坐標為（）（＞0），M的極坐標為（）由題設知

|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標方程

因此的直角坐標方程為.（2）設點B的極坐標為

（）.由題設知|OA|=2，于是△OAB面積

當時，S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.小結:本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.20．.【解析】

直線的普通方程為.因為點在曲線上，設，從而點到直線的的距離，當時，.因此當點的坐標為時，曲線上點到直線的距離取到最小值.21．

【分析】

根據圓的參數方程確定圓的半徑和圓心坐標，再根據直線與圓相切的條件得出滿足的方程，解之解得．

【解析】

圓化為普通方程為，圓心坐標為，圓的半徑為，由直線與圓相切，則有，解得．

【小結】

直線與圓的位置關系可以使用判別式法，但一般是根據圓心到直線的距離與圓的半徑的大小作出判斷．

22．【分析】

根據將直線與圓極坐標方程化為直角坐標方程，再根據圓心到直線距離等于半徑解出.【解析】

因為，由，得，由，得，即，即，因為直線與圓相切，所以

【小結】

（1）直角坐標方程化為極坐標方程，只要運用公式及直接代入并化簡即可；

（2）極坐標方程化為直角坐標方程時常通過變形，構造形如的形式，進行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法.但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應注意對變形過程的檢驗.23．

【分析】

由題意首先求得圓心到直線的距離，然后結合弦長公式求得弦長，最后求解三角形的面積即可.【解析】

由題意可得圓的標準方程為：，直線的直角坐標方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長公式可得：，則.【小結】

處理直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法．

24．2

【解析】

直線為，圓為，因為，所以有兩個交點

【考點】極坐標

【名師小結】再利用公式

把極坐標方程化為直角坐標方程，再解聯立方程組根據判別式判斷出交點的個數，極坐標與參數方程為選修課程，要求靈活使用公式進行坐標變換及方程變換.25．1

【解析】

試題分析：將圓的極坐標方程化為普通方程為，整理為，圓心為，點是圓外一點，所以的最小值就是.【考點】極坐標與直角坐標方程的互化，點與圓的位置關系

【名師小結】（1）熟練運用互化公式：將極坐標化為直角坐標；（2）直角坐標方程與極坐標方程的互化，關鍵要掌握好互化公式，研究極坐標系下圖形的性質時，可轉化為在直角坐標系的情境下進行．