第一篇：坐標系與參數方程(知識總結)

坐標系與參數方程專題

坐標系與參數方程

【要點知識】

一、坐標系

1.平面直角坐標系中的伸縮變換

?x???x(??0)設點P(x,y)是平面直角坐標系xOy中的任意一點，在變換?:?的作用

?y??y(??0)?下，點P(x,y)對應到點P?(x?,y?)，我們把?稱為平面直角坐標系xOy中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換.2.極坐標系

（1）極坐標系的概念

如圖所示，在平面內取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣我們就建立了一個極坐標系.（2）極坐標

設點M是平面內一點，極點O與點M的距離叫做點M的極徑，記為?；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的?xOM叫做點M的極角，記為?.我們把有序數對(?,?)叫做點M的極坐標，記為M(?,?).（3）極徑、極角的取值范圍

一般地，極徑??0，極角??R.坐標系與參數方程專題

3.極坐標與直角坐標之間的互化

如圖所示，設點M是平面內任意一點，記點M的直角坐標為(x,y)，極坐標為(?,?).我們可以得到極坐標與直角坐標之間如下關系：

（?。┲苯亲鴺嘶瘶O坐標：x??cos?，y??sin?；（ⅱ）極坐標化直角坐標：?2?x2?y2，tan??y（x?0）.x

【注】上面兩類關系式是我們進行極坐標與直角坐標互化的重要關系式.解題時，大家要根據題意靈活選用.4.幾個簡單曲線的極坐標方程

（1）圓的極坐標方程：圓心在C(a,0)（a?0），半徑為a的圓的極坐標方程為??2acos?；

（2）直線的極坐標方程：經過極點，從極軸到直線的角是

?的直線l的極坐標方程為4?? ?4和??5?.45.柱坐標系與球坐標系（1）柱坐標系

如圖所示，建立空間直角坐標系Oxyz，設點P是空間中任意一點，它在Oxy平面上的)（??0，0???2?）表示點Q在Oxy平面上的極坐標，這時點P射影為點Q，用(?,?2 坐標系與參數方程專題的位置可用有序數組(?,?,z)（z?R）表示.我們把建立上述對應關系的坐標系叫做柱坐標系；相應地，把有序數組(?,?,z)叫做點P的柱坐標，記作P(?,?,z)，其中??0，0???2?，z?R.【注】直角坐標與柱坐標互化的變換公式：（2）球坐標系

如圖所示，建立空間直角坐標系Oxyz，設點P是空間中任意一點，連結OP，記OP?r，OP與Oz軸正向所夾的角為?，設點P在Oxy平面上的射影為點Q，Ox軸按逆時針方向旋轉到OQ時所轉過的正角為?，這樣點P的位置就可以用有序數組(r,?,?)表示.我們把建立上述對應關系的坐標系叫做球坐標系（或空間極坐標系）；相應地，把有序數組(r,?,?)叫做點P的球坐標，記作P(r,?,?)，其中r?0，0????，0???2?.?x?rcos?cos??【注】直角坐標與球坐標互化的變換公式：?y?rcos?sin?

?z?rsin?? 坐標系與參數方程專題

二、參數方程

1.參數方程的概念

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數t的函?x?f(t)數?①，并且對于t的每一個允許值，由方程組①所確定的點P(x,y)都在這條曲線y?g(t)?上，那么我們就把方程組①叫做這條曲線的參數方程，而把聯系變數x，y的變數t叫做參變數，簡稱參數.2.參數方程與普通方程之間的互化

曲線的參數方程與普通方程是曲線方程的兩種不同形式.一般地，可以通過消去參數，由參數方程得到普通方程；反之，如果已知變數x，y中的一個與參數t的關系，例如x?f(t)，則我們可以通過把它代入普通方程，求出另一個變數與參數的關系y?g(t)，?x?f(t)由此得到的方程組?就是該曲線的參數方程.y?g(t)?【注】在解決參數方程與普通方程互化的問題時，必須要使x，y的取值范圍保持一致.3.幾個簡單曲線的參數方程

?x?rcos?O（1）圓的參數方程：圓心在原點，半徑為r的圓的參數方程為?

y?rsin??（?為參數）；

（2）橢圓的參數方程：中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓的參數方程為?（?為參數）；

（3）雙曲線的參數方程：中心在原點O，焦點在x軸上的雙曲線的參數方程為

?x?acos??y?bsin??x?asec?1?sec??sec??（為參數），這里，是的正割函數，并且； ?cos?y?btan??（4）拋物線的參數方程：以原點O為頂點，以x軸為對稱軸，開口向右的拋物線 坐標系與參數方程專題

2p?x???tan2?2（不包括原點）的參數方程為?（?為參數）； y?2px（p?0）

?y?2p?tan??（5）直線的參數方程：過點M0(x0,y0)，傾斜角為?（??為??2）的直線l的參數方程?x?x0?tcos?（t為參數）；

?y?y0?tsin?（6）漸開線的參數方程：??x?r(cos???sin?)（?為參數）；

y?r(sin???cos?)?（7）擺線的參數方程：?

?x?r(??sin?)（?為參數）.?y?r(1?cos?)5

第二篇：2012高三數學第一輪復習(十三)坐標系與參數方程學案

2012高三數學第一輪復習

（十三）坐標系與參數方程學案

坐標系（第一課）

一．基礎知識梳理：

1.極坐標系的概念：在平面內取一個定點Ｏ，叫做極點；自極點Ｏ引一條射線Ｏｘ叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系。

2．點M的極坐標：設M是平面內一點，極點Ｏ與點M的距離OM叫做點M的極徑，記為?；以極軸Ｏx為始邊，射線OM為終邊的∠XOM叫做點M的極角，記為?。有序數對(?,?)叫做點M的極坐標，記為M(?,?).極坐標(?,?)與(?,??2k?)(k?Z)表示同一個點。

練習：在極坐標系里描出下列各點

?4?A（3，0）C（3，）D（5，）

323．極坐標與直角坐標的互化：

互化前提1.極點與直角坐標系的原點重合;2.極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合;M的極坐標為(?,?)，直角坐標為(x,y)，則它們之間的關系為：

?x??cos??y??sin????2?x2?y??y???tanx?2

（極坐標化為直角坐標）（直角坐標化為極坐標）

2?二例題：例1．（1）把點M 的極坐標(8,)化成直角坐標 3

（2）把點P的直角坐標(,?2)化成極坐標

變式訓練：（2007深圳一模理）在極坐標系中，已知點A（1，則A、B兩點間的距離是．3??）和B(2,), 4

4三．特殊曲線極坐標方程

1．以極點為圓心，r為半徑的圓的極坐標方程是 ??r；

2．在極坐標系中，???(??0)表示以極點為起點的一條射線；???(??R)表示過極點的一條直線.3．在極坐標系中，過點A(a,0)(a?0)，且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是?cos??a.四．極坐標方程與直角坐標方程互化

例2．把下列極坐標方程化為直角坐標方程：

1）?sin??2：_____________2）?(2cos??5sin?)?4?0:______________

3）???10cos?:_____________4）??2cos??4sin?:________________

5）??2：_____________（6）化極坐標方程??6cos(??

?)為直角坐標方程。

例3．（2007深圳一模文）在極坐標系中，過圓??4cos?的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標方程為．

注：極坐標的問題常轉化為直角坐標問題，再用有關直角坐標系中知識解決。

五練習：

?

1．(2007廣東文)在極坐標系中，直線l的方程為ρsinθ=3，則點(2，)到直線l的距離

6為．

2．(2008廣東文、理)已知曲線C1,C2的極坐標方程分別為?cos??3,??4cos?

?

（??0,0???），則曲線C1與C2交點的極坐標為_____.3.(2007汕頭二模理)在極坐標系中，圓ρ=cosθ與直線ρcosθ=1的位置關系是．

4.(2007廣州一模文、理）在極坐標系中，圓??2上的點到直線?cos??sin??6的距離的最小值是 ___ __．

??

???

5．(2008廣州一模文、理)

在極坐標系中，過點??作圓??4sin?的切線，則切

4??

線的極坐標方程是．

6.(2008深圳調研文)在極坐標系中，直線??

參數方程（第二課）

一．基礎知識梳理 1）．參數方程的概念：在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數t的函數??

x?f(t),并且對于t 的每一個允許值，由這個方程所確定的點M(x,y)

?y?g(t),π

（??R）與圓??

4cos???

3交于A、B兩點，則AB?．

都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數x,y的變數t 叫做參變數，簡稱參數。

相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。2）常見曲線的參數方程

?x?rcos??a1、圓：普通方程：(x?a)?(y?b)?r參數方程：?

y?rsin??b?

?x?rcos?

特別地，當a?0,b?0時，可得x2?y2?r2的參數方程?

?y?rsin?

?x?acos?y22、橢圓：普通方程：2?2?1(a?b?0)參數方程：?（?為參數），y?bsin?ba?

x

2注：一般地，通過消去參數把參數方程化為普通方程來解題，但要注意變量的取值范

圍要一致！

二、練習:

1、把下列參數方程化為普通方程

?x?t?11）?（t為參數）____________;

y?1?2t??x?2t2）?（t為參數）:______________;

2?y?t

???x??3)?（?為參數，0???）____________

2??y??

?x?5cos?

2、曲線?（?為參數）的焦點坐標為__________;

?y?3sin?

?x??1?cos?

3、曲線?（?為參數）與直線x?m有公共點，那么實數m的取值范圍是

y?sin??________;

?x?t?3

4.(2007廣東理)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為?(參數t?R)，?y?3?t

?x?2cos?

C圓的參數方程為?則圓C的圓心坐為，(參數???0，2??)，?y?2sin??2

圓心到直線l的距離為.5.【2012高考廣東文14】（坐標系與參數方程選做題）在平面直角坐標系xOy中，曲線

?x?1?????x???2（為參（?為參數，0???）和?C1和C

2的參數方程分別為?t

2??y???y??

??2數），則曲線C1和C2的交點坐標為.?x?5cos?

6．（坐標系與參數方程選做題）已知兩曲線參數方程分別為?（0≤? ＜??）

?y?sin?

5?

?x?t2和?，它們的交點坐標為4（t∈R）??y?t

．

7.（坐標系與參數方程選做題）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數方程分

???x?t?x??

別為?（t

為參數）和?（?為參數），則曲線C1與C2的交點坐標為

y?????y??

_______.

第三篇：近五年（2017-2021）高考數學真題分類13 坐標系與參數方程

近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

十三、坐標系與參數方程

一、單選題

1．（2019·北京（理））已知直線l的參數方程為（t為參數），則點（1,0）到直線l的距離是

A．

B．

C．

D．

二、解答題

2．（2021·全國（文））在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．

（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）設點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出Р的軌跡的參數方程，并判斷C與是否有公共點．

3．（2021·全國（理））在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1．

（1）寫出的一個參數方程;

（2）過點作的兩條切線．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．

4．（2020·江蘇）在極坐標系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．

（1）求，的值

（2）求出直線與圓的公共點的極坐標．

5．（2020·全國（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(t為參數且t≠1)，C與坐標軸交于A，B兩點.（1）求||：

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程.6．（2020·全國（理））在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）當時，是什么曲線？

（2）當時，求與的公共點的直角坐標．

7．（2020·全國（理））已知曲線C1，C2的參數方程分別為C1：（θ為參數），C2：（t為參數）.（1）將C1，C2的參數方程化為普通方程；

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設C1，C2的交點為P，求圓心在極軸上，且經過極點和P的圓的極坐標方程.8．（2019·江蘇）在極坐標系中，已知兩點，直線l的方程為.（1）求A，B兩點間的距離；

（2）求點B到直線l的距離.9．（2019·全國（理））如圖，在極坐標系中，，，弧，所在圓的圓心分別是，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出，的極坐標方程；

（2）曲線由，構成，若點在上，且，求的極坐標.10．（2019·全國（文））在極坐標系中，O為極點，點在曲線上，直線l過點且與垂直，垂足為P.（1）當時，求及l的極坐標方程；

（2）當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.11．（2019·全國（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．

（1）求C和l的直角坐標方程；

（2）求C上的點到l距離的最小值．

12．（2018·江蘇）

在極坐標系中，直線l的方程為，曲線C的方程為，求直線l被曲線C截得的弦長．

13．（2018·全國（文））

在直角坐標系中，曲線的方程為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的直角坐標方程；

（2）若與有且僅有三個公共點，求的方程.14．（2018·全國（理））

在平面直角坐標系中，的參數方程為（為參數），過點且傾斜角為的直線與交于兩點．

（1）求的取值范圍；

（2）求中點的軌跡的參數方程．

15．（2018·全國（文））在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）.（1）求和的直角坐標方程；

（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率．

16．（2017·全國（理））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（θ為參數），直線l的參數方程為

．

（1）若，求C與l的交點坐標；

（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求．

17．（2017·全國（理））

在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為（t為參數），直線l2的參數方程為.設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C．

（1）寫出C的普通方程；

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設，M為l3與C的交點，求M的極徑.18．（2017·全國（理））在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

19．（2017·全國（理））在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

20．（2017·江蘇）已知直線l的參考方程為（t為參數）,曲線C的參數方程為（s為參數）．設p為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值

三、填空題

21．（2019·天津（理））設，直線和圓（為參數）相切，則的值為____.22．（2018·北京（理））在極坐標系中，直線與圓相切，則__________．

23．（2018·天津（理））已知圓的圓心為，直線（為參數）與該圓相交于、兩點，則的面積為___________.24．（2017·天津（理））在極坐標系中，直線與圓的公共點的個數為___________.25．（2017·北京（理））在極坐標系中，點在圓上，點的坐標為，則的最小值為__________．

近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

十三、坐標系與參數方程（答案解析）

1．D

【分析】

首先將參數方程化為直角坐標方程，然后利用點到直線距離公式求解距離即可.【解析】

直線的普通方程為,即,點到直線的距離,故選D.【小結】

本題考查直線參數方程與普通方程的轉化,點到直線的距離,屬于容易題,注重基礎知識?基本運算能力的考查.2．（1）；（2）P的軌跡的參數方程為（為參數），C與沒有公共點.【分析】

（1）將曲線C的極坐標方程化為，將代入可得；

（2）設，設，根據向量關系即可求得P的軌跡的參數方程，求出兩圓圓心距，和半徑之差比較可得.【解析】

（1）由曲線C的極坐標方程可得，將代入可得，即，即曲線C的直角坐標方程為；

（2）設，設，則，即，故P的軌跡的參數方程為（為參數）

曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，兩圓內含，故曲線C與沒有公共點.【小結】

本題考查參數方程的求解，解題的關鍵是設出的參數坐標，利用向量關系求解.3．（1），（為參數）；（2）或.【分析】

（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數方程；

（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式化簡即可.【解析】

（1）由題意，的普通方程為，所以的參數方程為，（為參數）

（2）由題意，切線的斜率一定存在，設切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡得

或

【小結】

本題主要考查直角坐標方程與極坐標方程的互化，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的數學運算能力，是一道基礎題.4．（1）（2）

【分析】

(1)將A,B點坐標代入即得結果；（2）聯立直線與圓極坐標方程，解得結果.【解析】

（1）以極點為原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，因為點為直線上，故其直角坐標方程為，又對應的圓的直角坐標方程為：，由解得或，對應的點為，故對應的極徑為或.（2），當時；

當時，舍；即所求交點坐標為當

【小結】

本題考查極坐標方程及其交點，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5．（1）（2）

【分析】

（1）由參數方程得出的坐標，最后由兩點間距離公式，即可得出的值；

（2）由的坐標得出直線的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可.【解析】

（1）令，則，解得或（舍），則，即.令，則，解得或（舍），則，即.；

（2）由（1）可知，則直線的方程為，即.由可得，直線的極坐標方程為.【小結】

本題主要考查了利用參數方程求點的坐標以及直角坐標方程化極坐標方程，屬于中檔題.6．（1）曲線表示以坐標原點為圓心，半徑為1的圓；（2）.【分析】

（1）利用消去參數，求出曲線的普通方程，即可得出結論；

（2）當時，曲線的參數方程化為

為參數），兩式相加消去參數，得普通方程，由，將曲線

化為直角坐標方程，聯立方程，即可求解.【解析】

（1）當時，曲線的參數方程為為參數），兩式平方相加得，所以曲線表示以坐標原點為圓心，半徑為1的圓；

（2）當時，曲線的參數方程為為參數），所以，曲線的參數方程化為為參數），兩式相加得曲線方程為，得，平方得，曲線的極坐標方程為，曲線直角坐標方程為，聯立方程，整理得，解得或

（舍去），公共點的直角坐標為

.【小結】

本題考查參數方程與普通方程互化，極坐標方程與直角坐標方程互化，合理消元是解題的關鍵，要注意曲線坐標的范圍，考查計算求解能力，屬于中檔題.7．（1）；；（2）.【分析】

（1）分別消去參數和即可得到所求普通方程；

（2）兩方程聯立求得點，求得所求圓的直角坐標方程后，根據直角坐標與極坐標的互化即可得到所求極坐標方程.【解析】

（1）由得的普通方程為：；

由得：，兩式作差可得的普通方程為：.（2）由得：，即；

設所求圓圓心的直角坐標為，其中，則，解得：，所求圓的半徑，所求圓的直角坐標方程為：，即，所求圓的極坐標方程為.【小結】

本題考查極坐標與參數方程的綜合應用問題，涉及到參數方程化普通方程、直角坐標方程化極坐標方程等知識，屬于?？碱}型.8．（1）；

（2）2.【分析】

(1)由題意，在中，利用余弦定理求解的長度即可；

(2)首先確定直線的傾斜角和直線所過的點的極坐標，然后結合點B的坐標結合幾何性質可得點B到直線的距離.【解析】

（1）設極點為O.在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因為直線l的方程為，則直線l過點，傾斜角為．

又，所以點B到直線l的距離為.【小結】

本題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力．

9．(1)，,(2)，,.【分析】

(1)將三個過原點的圓方程列出，注意題中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范圍.(2)根據條件逐個方程代入求解，最后解出點的極坐標.【解析】

(1)由題意得，這三個圓的直徑都是2，并且都過原點.，,.(2)解方程得，此時P的極坐標為

解方程得或，此時P的極坐標為或

解方程得，此時P的極坐標為

故P的極坐標為，,.【小結】

此題考查了極坐標中過極點的圓的方程，思考量不高，運算量不大，屬于中檔題.10．（1），l的極坐標方程為；（2）

【分析】

（1）先由題意，將代入即可求出；根據題意求出直線的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可；

（2）先由題意得到P點軌跡的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可，要注意變量的取值范圍.【解析】

（1）因為點在曲線上，所以；

即，所以，因為直線l過點且與垂直，所以直線的直角坐標方程為，即；

因此，其極坐標方程為，即l的極坐標方程為；

（2）設，則，由題意，所以，故，整理得，因為P在線段OM上，M在C上運動，所以，所以，P點軌跡的極坐標方程為，即.【小結】

本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.11．（1）；；（2）

【分析】

（1）利用代入消元法，可求得的直角坐標方程；根據極坐標與直角坐標互化原則可得的直角坐標方程；（2）利用參數方程表示出上點的坐標，根據點到直線距離公式可將所求距離表示為三角函數的形式，從而根據三角函數的范圍可求得最值.【解析】

（1）由得：，又

整理可得的直角坐標方程為：

又，的直角坐標方程為：

（2）設上點的坐標為：

則上的點到直線的距離

當時，取最小值

則

【小結】

本題考查參數方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、求解橢圓上的點到直線距離的最值問題.求解本題中的最值問題通常采用參數方程來表示橢圓上的點，將問題轉化為三角函數的最值求解問題.12．直線l被曲線C截得的弦長為

【解析】

分析：先根據直線與圓極坐標方程得直線與圓的一個交點為A（4，0），且OA為直徑.設直線與圓的另一個交點為B，根據直線傾斜角得∠OAB=．最后根據直角三角形OBA求弦長.解析：因為曲線C的極坐標方程為，所以曲線C的圓心為（2，0），直徑為4的圓．

因為直線l的極坐標方程為，則直線l過A（4，0），傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個交點．

設另一個交點為B，則∠OAB=．

連結OB，因為OA為直徑，從而∠OBA=，所以．

因此，直線l被曲線C截得的弦長為．

小結：本題考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力.13．(1)

.(2)

.【解析】

分析：(1)就根據，以及，將方程中的相關的量代換，求得直角坐標方程；

(2)結合方程的形式，可以斷定曲線是圓心為，半徑為的圓，是過點且關于軸對稱的兩條射線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會出現三個公共點，結合直線與圓的位置關系，得到k所滿足的關系式，從而求得結果.解析：（1）由，得的直角坐標方程為

．

（2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓．

由題設知，是過點且關于軸對稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點．

當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．

經檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與只有一個公共點，與有兩個公共點．

當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．

經檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與沒有公共點．

綜上，所求的方程為．

小結：該題考查的是有關坐標系與參數方程的問題，涉及到的知識點有曲線的極坐標方程向平面直角坐標方程的轉化以及有關曲線相交交點個數的問題，在解題的過程中，需要明確極坐標和平面直角坐標之間的轉換關系，以及曲線相交交點個數結合圖形，將其轉化為直線與圓的位置關系所對應的需要滿足的條件，從而求得結果.14．（1）

（2）為參數，【解析】

分析：（1）由圓與直線相交，圓心到直線距離可得．

（2）聯立方程，由根與系數的關系求解

解析：（1）的直角坐標方程為．

當時，與交于兩點．

當時，記，則的方程為．與交于兩點當且僅當，解得或，即或．

綜上，的取值范圍是．

（2）的參數方程為為參數，．

設，對應的參數分別為，，則，且，滿足．

于是，．又點的坐標滿足

所以點的軌跡的參數方程是

為參數，．

小結：本題主要考查直線與圓的位置關系，圓的參數方程，考查求點的軌跡方程，屬于中檔題．

15．（1），當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為；（2）

【分析】

分析：(1)根據同角三角函數關系將曲線的參數方程化為直角坐標方程，根據代入消元法將直線的參數方程化為直角坐標方程，此時要注意分

與兩種情況.(2)將直線參數方程代入曲線的直角坐標方程，根據參數幾何意義得之間關系，求得，即得的斜率．

【解析】

解析：（1）曲線的直角坐標方程為．

當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為．

（2）將的參數方程代入的直角坐標方程，整理得關于的方程

．①

因為曲線截直線所得線段的中點在內，所以①有兩個解，設為，則．

又由①得，故，于是直線的斜率．

16．（1），；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）直線與橢圓的參數方程化為直角坐標方程，聯立解交點坐標；（2）利用橢圓參數方程，設點，由點到直線距離公式求參數．

試題解析：（1）曲線的普通方程為.當時，直線的普通方程為.由解得或.從而與的交點坐標為，.（2）直線的普通方程為，故上的點到的距離為

.當時，的最大值為.由題設得，所以；

當時，的最大值為.由題設得，所以.綜上，或.小結:本題為選修內容，先把直線與橢圓的參數方程化為直角坐標方程，聯立方程，可得交點坐標，利用橢圓的參數方程，求橢圓上一點到一條直線的距離的最大值，直接利用點到直線的距離公式，表示出橢圓上的點到直線的距離，利用三角有界性確認最值，進而求得參數的值．

17．（1）（2）

【解析】

（1）消去參數得的普通方程；消去參數m得l2的普通方程.設,由題設得，消去k得.所以C的普通方程為.（2）C的極坐標方程為.聯立得.故，從而.代入得，所以交點M的極徑為.【名師小結】本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉化與化歸能力.遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.18．（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉化為直角坐標方程為；

（2）利用（1）中的結論，設出點的極坐標，然后結合面積公式得到面積的三角函數，結合三角函數的性質可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設P的極坐標為（）（＞0），M的極坐標為（）由題設知

|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標方程

因此的直角坐標方程為.（2）設點B的極坐標為

（）.由題設知|OA|=2，于是△OAB面積

當時，S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.小結:本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.19．（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉化為直角坐標方程為；

（2）利用（1）中的結論，設出點的極坐標，然后結合面積公式得到面積的三角函數，結合三角函數的性質可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設P的極坐標為（）（＞0），M的極坐標為（）由題設知

|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標方程

因此的直角坐標方程為.（2）設點B的極坐標為

（）.由題設知|OA|=2，于是△OAB面積

當時，S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.小結:本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.20．.【解析】

直線的普通方程為.因為點在曲線上，設，從而點到直線的的距離，當時，.因此當點的坐標為時，曲線上點到直線的距離取到最小值.21．

【分析】

根據圓的參數方程確定圓的半徑和圓心坐標，再根據直線與圓相切的條件得出滿足的方程，解之解得．

【解析】

圓化為普通方程為，圓心坐標為，圓的半徑為，由直線與圓相切，則有，解得．

【小結】

直線與圓的位置關系可以使用判別式法，但一般是根據圓心到直線的距離與圓的半徑的大小作出判斷．

22．【分析】

根據將直線與圓極坐標方程化為直角坐標方程，再根據圓心到直線距離等于半徑解出.【解析】

因為，由，得，由，得，即，即，因為直線與圓相切，所以

【小結】

（1）直角坐標方程化為極坐標方程，只要運用公式及直接代入并化簡即可；

（2）極坐標方程化為直角坐標方程時常通過變形，構造形如的形式，進行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法.但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應注意對變形過程的檢驗.23．

【分析】

由題意首先求得圓心到直線的距離，然后結合弦長公式求得弦長，最后求解三角形的面積即可.【解析】

由題意可得圓的標準方程為：，直線的直角坐標方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長公式可得：，則.【小結】

處理直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法．

24．2

【解析】

直線為，圓為，因為，所以有兩個交點

【考點】極坐標

【名師小結】再利用公式

把極坐標方程化為直角坐標方程，再解聯立方程組根據判別式判斷出交點的個數，極坐標與參數方程為選修課程，要求靈活使用公式進行坐標變換及方程變換.25．1

【解析】

試題分析：將圓的極坐標方程化為普通方程為，整理為，圓心為，點是圓外一點，所以的最小值就是.【考點】極坐標與直角坐標方程的互化，點與圓的位置關系

【名師小結】（1）熟練運用互化公式：將極坐標化為直角坐標；（2）直角坐標方程與極坐標方程的互化，關鍵要掌握好互化公式，研究極坐標系下圖形的性質時，可轉化為在直角坐標系的情境下進行．

第四篇：人教版高中數學選修4-4坐標系與參數方程全套教案(可編輯)

人教版高中數學選修4-4坐標系與參數方程全套教案課型： 復習課 課時數： 講學時間： 20101月18號班級： 學號：

1、了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。

2、能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化。

3、能在極坐標系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）的方程。通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義。

4、分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質，選擇適當的參數寫出它們的參數方程，能進行參數方程與普通方程的互化。

二、【回歸教材】：

1、閱讀《》,試了解1）設點是平面直角坐標系中的任意一點，在伸縮變換公式的作用下，如何找到點P的對應點？試找出變換為的伸縮變換公式.（2）極坐標系是如何建立的？試類比平面直角坐標系的建立過程畫一個，并寫出點M的極徑與極角來表示它的極坐標，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，寫出極坐標和直角坐標的互化公式.（3）在平面直角坐標系中，曲線C可以用方程來表示，在極坐標系中，我們用什么方程來表示這段曲線呢？例如圓，直線，你是如何用極坐標方程表示它們的？

2、閱讀選修4-4《》2）將曲線的參數方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型，我們是如何做到的？在互化的過程中，必須注意什么問題？試探究一下圓錐曲線的參數方程與普通方程的互化。

三、【達標練習與作業】：

1、在同一平面直角坐標系中，曲線經過一個伸縮變換后變為，則這個伸縮變換為.2、已知點的極坐標為，則它的直角坐標為 ；而如果點的直角坐標為，則它的極坐標為.3、化極坐標方程為直角坐標方程是 ；則極坐標方程 表示的曲線是 ；而圓心為，半徑為3的圓所表示的極坐標方程為.4、直線（t為參數）的傾斜角的大小是.5、極坐標方程為，它所表示的圓的半徑為.6、（t為參數）上到點的距離為的點坐標為.7、已知為參數，求點到方程表示的曲線的距離的最小值.8、已知直線（t為參數），求被雙曲線截得的弦長.四、【課后反思】：書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟。（1）（2）

第五篇：參數方程的概念(教案)

參數方程的概念

一、教學目標

知識與技能：通過大量的實例理解參數方程及參數的意義，并進行簡單的應用。過程與方法：能選取適當的參數，求簡單曲線的參數方程

情感、態度與價值觀：通過觀察、探索、發現的創造性過程，培養創新意識。

教學重點：參數方程的定義及應用

教學難點：選擇適當的參數寫出曲線的參數方程.授課類型：新授課

教學模式：啟發、誘導發現教學.二、教學過程: 2.1創設問題情境，激發學生的積極性

鉛球運動員投擲鉛球，在出手的一剎那，鉛球的速度為v0，與地面成?角，如何來刻畫鉛球運動的軌跡呢？ 2.2分析理解

如圖，一架救援飛機在離災區地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行。為使投放救援物資準確落于災區指定的地面（不記空氣阻力），飛行員應如何確定投放時機呢？

y 500 o x

2.3抽象概括

1、由上述問題引出：什么是參數方程？

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任一點的坐標M?x,y?都是某個變數t的函數?x?f(t)并且對t的每一個允許值,由此所確定的點M?x,y?都在這條曲線上,那,(t為參數）??y?g(t)么此方程就叫做這條曲線的參數方程t為參數.注意事項：

1、同一曲線選取的參數不同，曲線的參數方程形式也不一樣 2在實際問題中要確定參數的取值范圍 3參數方程求法

（1）建立直角坐標系，設曲線上任一點P坐標為(x,y)

（2）選取適當的參數

（3）根據已知條件和圖形的幾何性質，物理意義，建立點P坐標與參數的函數式

（4）證明這個參數方程就是所由于的曲線的方程 4關于參數方程中參數的選取

選取參數的原則是曲線上任一點坐標當參數的關系比較明顯關系相對簡單。與運動有關的問題選取時間t做參數 與旋轉的有關問題選取角?做參數 2.4典型例題：

例1：一架救援飛機以100m/s的速度作水平直線飛行。在離災區指定目標1000m時投放救援物資（不計空氣阻力，重力加速 g=10m/s）問此時飛機的飛行高度約是多少？（精確到1m）

例2．設炮彈發射角為?，發射速度為v0，（1）求子彈彈道曲線的參數方程（不計空氣阻力）

?（2）若Vo?100m/s，??，當炮彈發出2秒時，6① 求炮彈高度

② 求出炮彈的射程（1）數

三、鞏固與練習：P 書28練習

四、小

結：本節課學習了以下內容：

1．選擇適當的參數表示曲線的方程的方法;2．體會參數的意義

五、課后作業：全程設計