第一篇：2012高數競賽24111報名表

中國地質大學（武漢）2012高數競賽報名表

所在學院:資源學院學院負責人:

總計人數:

10負責人聯系電話：***

第二篇：高數競賽（本站推薦）

高數

說明：請用A4紙大小的本來做下面的題目（陰影部分要學完積分之后才能做）

第一章 函數與極限

一、本章主要知識點概述

1、本章重點是函數、極限和連續性概念；函數是高等數學研究的主要對象，而極限是高等數學研究問題、解決問題的主要工具和方法。高等數學中的一些的重要概念，如連續、導數、定積分等，不外乎是不同形式的極限，作為一種思想方法，極限方法貫穿于高等數學的始終。

然而，極限又是一個難學、難懂、難用的概念，究其原因在于，極限集現代數學的兩大矛盾于一身。（1）、動與靜的矛盾：極限描述的是一個動態的過程，而人的認識能力本質上具有靜態的特征。（2）無窮與有窮的矛盾：極限是一個無窮運算，而人的運算能力本質上具有有窮的特征。極限就是在這兩大矛盾的運動中產生，這也是極限難學、難懂、難用之所在。

連續性是高等數學研究對象的一個基本性質，又往往作為討論函數問題的一個先決條件，且與函數的可導性、可積性存在著不可分割的邏輯關系。

2、從2001年第一屆天津市大學數學競賽至今共八屆競賽試題分析，函數極限及其連續性在有的年份占了比較大的比重，連續性、極限與導數、積分等綜合的題目也要引起足夠的重視；從最近幾年的考題也可以看出，有個別題目是研究生入學考試題目的原題，如2004年競賽試題二為1997年研究生入學考試題目；2006年競賽試題一為2002年研究生入學考試試題；2005年競賽試題一為1997年研究生入學考試試題等，這也從側面反映了部分試題難度系數。

二、證明極限存在及求極限的常用方法

1、用定義證明極限；

2、利用極限的四則運算法則；

3、利用數學公式及其變形求極限；（如分子或分母有理化等）

4、利用極限的夾逼準則求極限；

5、利用等價無窮小的代換求極限；

6、利用變量代換與兩個重要極限求極限（也常結合冪指函數極限運算公式求極限）；（2）利用洛必達法則求極限；

7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求極限；

8、利用函數的連續性求極限；

9、利用導數的定義求極限；

10、利用定積分的定義求某些和式的極限；11先證明數列極限的存在（常用到“單調有界數列必有極限”的準則，再利用遞歸關系求極限）

12、數列極限轉化為函數極限等。當然，這些方法之間也不是孤立的，如在利用洛必達法則時經常用到變量代換與等價無窮小的代換，這大大簡化計算。

對于定積分的定義，要熟悉其定義形式，如

（二）高數

極限的運算

要靈活運用極限的運算方法，如初等變形，不僅是求極限的基本方法之一，也是微分、積分運算中經常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角變換、求和等。

高數

高數

高數

（四）連續函數的性質及有關的證明、極限與導數、積分等結合的綜合性題目。

16、（2006年數學一）

（五）無窮小的比較與無窮小的階的確定常用工具——洛必達法則與泰勒公式。

高數

（六）由極限值確定函數式中的參數

求極限式中的常數，主要根據極限存在這一前提條件，利用初等數學變形、等價無窮小、必

達法則、泰勒公式等來求解。

高數

四、練習題

高數

高數

高數

高數

五、歷屆競賽試題

2001年天津市理工類大學數學競賽

2002年天津市理工類大學數學競賽

2003年天津市理工類大學數學競賽

高數

高數

2004年天津市理工類大學數學競賽

2005年天津市理工類大學數學競賽

高數

2007年天津市理工類大學數學競賽

高數

2010年天津市大學數學競賽一元函數微分學部分試題

一、填空

注：本題為第十屆（1998年）北京市大學數學競賽試題

二、選擇

三、計算

四、證明

高數

首屆中國大學生數學競賽賽區賽（初賽）試題2009年

一、填空

二、計算

第三篇：高數競賽策劃書

河南科技大學

2011級“高等數學”競賽策劃書

大學的榮譽，不在于它的校舍和人數，而在于它一代又

一代人的質量。我想這句話真正的注解了一個學校的內涵，今天我們是一個學院人，以我們學院的榮譽為驕傲。而明天，我們應該讓學院因曾經有過我們而感到欣慰。我院決定面向2011級全體學生進行開展“高等數學競賽”活動。具體策劃方案如下：

一、主題

“高等數學”競賽

二、主辦單位

材料學院

三、目的和意義

1.通過競賽可以激發廣大學生學習高等數學的興趣和熱情。

2.我院多數專業的專業課程中涉及較多的數學知識，對學生

更好的學習專業知識有很大的幫助。

3.通過競賽，使學生加深學習數學知識和數學思想，有利于

學生提高邏輯思維能力，提升解決實際問題的素質。

4.通過學院競賽，可以宣傳與擴大我院在學校中的知名度。

四、競賽方式與創新點

1.競賽以考試的形式進行。

2.本次競賽將增加學生以專業為背景，為以后設計數學建模

并解決問題題奠定基礎。

五、競賽工作安排

1.張貼宣傳海報

張貼時間:4月15日

2.場地申請

3.邀請老師配合出題

4.試卷批改

學習委員監考并批閱

批閱時間4月26日（周四）下午5:40

5.賽后衛生打掃

六、競賽辦法

1.競賽對象

材料學院2011級學生，每班5—10名

2.競賽報名

各班學生報名到班級學習委員，然后上報年級學習委員

3.競賽內容

高等數學第六版上冊1/3，下冊2/3。（難易適中）

4.競賽時間

2012年4月26日（周四）下午3：00---5:00

5.競賽地點

開元校區教學樓五區416

6.競賽獎勵

一等獎1名：德育分30分+50元獎品+獎狀

二等獎3名：德育分20分+30元獎品+獎狀

三等獎6名：德育分10分+20元獎品+獎狀 賽后公示

以板報或院報的形式公布

七、競賽要求

遵守考試秩序，誠信答卷，杜絕作弊。

材料學院

2012年4月10日

第四篇：極限連續-高數競賽超好

高數競賽例題

第一講 函數、極限、連續

例1.例2.例3.例4.例5.例6.例7.例8.例9.lim1nn??(1?n2???nn).lim1?3?5?(2n?1)2?4?6?(2n)n??

limx?0x?3????5?x?，其中[?]為取整函數

lim1?cosxx2x?0

lim(cosn???n)n2

lim(x??x?ax?a)2x?1e，求常數a.lim(sinx??2x?cos1x)x

lim[(n?n?n??32n21)en?1?n]

6limln(1?3x)(e2x3x?0?1)sinx2 例10.例11.例12.lim1?tanx?1?sinx2x?0xln(1?x)?x

limln(1?2)ln(1?x??x3x)

limsinx?xcosxsinx3x?0

例13.已知f(x)在x?0的某鄰域內有連續導數，且lim(sin2x?x?0f(x)xx)?2，求 f(0),f?(0).例14.例15.例16.lim(n??nn?12?nn?222???nn?n22)

?2?n??sinsinsin?n?n???nlim?n??11?n?1n?n?2n??????

x???lim[x?x?1?(ax?b)]?0，求常數a,b.2例17.設f(x)?nlim???

x2n?1?ax?bxx2n2?1為連續函數，求a,b.例18.設f(x)在(??,??)上連續，且f(f(x))?x，證明至少??，使得f(?)??.....................................................................................................................極 限

例1.例2.nlim(n??1n?n?12?2n?n?22???nn?n?n2)

limn???k?1kn?k?122

先兩邊夾，再用定積分定義 例3.例4.例5.設limx?0 例6.例7.?1x2lim(n?1)nnn?1n??sin1n

lime?e2xsinx2x?0x[ln(1?x?x)?ln(1?x?x)]

ln(1?)f(x)tanx?5，求limx2x?02?1xf(x).12(3sint?tcos)dt?0tlimxx?0(1?cosx)?ln(1?t)dtx0

x???limln(2e2?x?x?1)x?xsinx?1

例8.例9.limexx?0100

x???lim(x?x?x?x)

1例10.xxxlim??a1?a2???an?x?，其中，ax?0?.?n??1,a2?,an均為正數

例11.已知2nf(x)?limxe(1?x)n?xen??e(1?x)n?x2n?1，求?0f(x)dx.例12.設10?a?b，求lim?a?n?b?n?nn??

例13.設f(x)在(??,??)內可導，且limf?(x)?ex??，xlim?的值.??x?c???lim[f(x)?f(x?1)]，求cx??x?c?x??

例14.設f(x)在x?0的某鄰域內二階可導，且f??(0)?0，x又已知)dtlim?0f(tx?0?x??sinx???0,求?,?.例15.當x?1時，lim(1?x)(1?x2)(1?x4)n?(1?x2)n??

例16.當x?0時，求limxn??cosx2cosx4?cos2n

例17.lim(1?1(1?1n??22)(1?132)?n2)

例18.lim1nn??nn(n?1)?(2n?1)

limf(x)x?0x?0，連 續

例1.求f(x)?lim

例2.設g(x)在x?0的某鄰域內連續，且lim?1g(x2t)dt?1??02?x??1f(x)???2?a?bcosx2?x??x?0x?0x?01?x1?x2n的間斷點，并判斷其類型

n??g(x)?1xn?0?a，已知

在x?0處連續，求a,b的值.例3.證方程ln實根.例4.f(x)在[a,b]上連續，且a?c?d?b，證：在(a,b)內至少存在?x?xe???01?cos2xdx在區間(0,??)內有且僅有兩個不同，使得pf(c)?qf(d)?(p?q)f(?)，其中p,q為任意正常數.例5.設f(x)在(a,b)內連續，且x1,x2,?,xn?(a,b)，試證：???(a,b)，使

例6.試證方程x?asin且它不超過b?a.例7.設f(x),g(x)在(??,??)上連續，且g(x)?0,利用閉區間上連續函數的性質，證明存在一點??[a,b]，使?abf(?)?1n[f(x1)?f(x2)???f(xn)].x?b，其中a?0,b?0，至少存在一個正根，并

f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab

第五篇：高數論文

高數求極限方法小結

高等數學是近代數學的基礎,是現代科學技術中應用最廣泛的一門學科。在從初等數學這種靜態的數量關系的分析到高等數學這種對動態數量關系的研究這一發展過程中,研究對象發生了很大的變化。也正是在這一背景下,極限作為一種研究事物動態數量關系的方法應運而生。極限，在學習高數中具有至關重要的作用。眾所周知,高等數學的基礎是微積分,而極限又是微積分的基礎,我們不難從此看出極限與高等數學之間的相關性。同時根限又將高等數學各重要內容進行了統一,在高等數學中起到了十分重要的作用。極限的概念是高等數學中最重要也是最基本的概念之一。作為研究分析方法的重要理論基礎,它是研究函數的導數和定積分的工具,極限的思想和方法也是微積分中的關鍵內容。在理解的基礎上,熟練掌握求極限的方法,能夠提高高等數學的學習能力。下面，我總結了一些求極限的方法：

一、幾種常見的求極限方法

1、帶根式的分式或簡單根式加減法求極限：

1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時出現未知數的不同次冪：將未知數全部化到分子或分母的位置。）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時乘以不同的對應分式湊成完全平方式。

2、分子分母都是有界變量與無窮大量加和求極限：

分子分母同時除以該無窮大量以湊出無窮小量與有界變量的乘積結果還是無窮小量。

3、等差數列與等比數列求極限：用求和公式。

4、分母是乘積分子是相同常數的n項的和求極限：列項求和。

5、分子分母都是未知數的不同次冪求極限:看未知數的次冪，分子大為無窮大，分子小為無窮小或須先通分。

6、利用等價無窮小代換： 這種方法的理論基礎主要包括：（1）有限個無窮小的和、差、積仍是無窮小。

（有界函數與無窮小的乘積仍是無窮小。（3）非零無窮小與無窮大互為倒數。（等價無窮小代換（當求兩個無窮小之比的極限時，分子與分母都可用等價無窮代替。）（5）只能在乘除時使用，但并不是在加減時一定不能用，但是前提必須證明拆開時極限依然存在。）還有就是，一些常用的等價無窮小換

7、洛必達法則：（大題目有時會有提示要你使用這個法則）

首先它的使用有嚴格的前提?。。。?/p>

1、必須是X趨近而不是N趨近?。。。ㄋ援斍髷盗袠O限時應先轉化為相應函數的極限，當然，n趨近是x趨近的一種情況而已。還有一點，數列的n趨近只可能是趨近于正無窮，不可能是負無窮）

2、必須是函數導數存在！?。。偃绺嬖V你g（x），但沒告訴你其導數存在，直接用勢必會得出錯誤的結果。）

3、必須是0/0型或無窮比無窮型?。?！當然，還要注意分母不能為零。洛必達法則分為三種情況： 1、0/0型或無窮比無窮時候直接用 2、0乘以無窮

無窮減無窮（應為無窮大與無窮小成倒數關系）所以，無窮大都寫成無窮小的倒數形式了。通項之后就能變成1中的形式了。3、0的0次方

1的無窮次方

對于（指數冪數）方程，方法主要是取指數還是對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來，就是寫成0與無窮的形式了。

（這就是為什么只有三種形式的原因）

8.泰勒公式

（含有e的x次方的時候，尤其是含有正余弦的加減的時候，特別要注意?。。。?/p>

E的x展開 sina展開 cosa展開 ln（1+x）展開 對題目簡化有很大幫助

泰勒中值定理：如果函數f（x）在含有n的某個區間（a，b）內具有直到n+1階導數，則對任意x屬于（a，b），有：

F（x）=f（x0）+

+

+

…………

+

+Rn(X)

其中Rn(X)=。。。。。這里的 ke see 是介于x與x0之間的某個值。

9、夾逼定理

這個主要介紹的是如何用之求數列極限，主要看見極限中的通項是方式和的形式，對之縮小或擴大。

10、無窮小與有界函數的處理方法

面對復雜函數的時候，尤其是正余弦的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定注意用這個方法。

面對非常復雜的函數 可能只需要知道他的范圍結果就出來了?。?！

11、等比等差數列公式的應用（主要對付數列極限）

（q絕對值要小于1）

12、根號套根號型：約分，注意??！別約錯了

13、各項拆分相加：（來消掉中間的大多數）（對付的還是數列極限）

可以使用待定系數法來拆分化簡函數。

14、利用兩個重要極限

這兩個極限很重要。。對第一個而言是當X趨近于0的時候sinx比上x的值，第二個x趨近于無窮大或無窮小都有對應的形式

15、利用極限的四則運算法則來求極限

16、求數列極限的時候可以將其轉化為定積分來求。

17、利用函數有界原理證明極限的存在性，利用數列的逆推求極限

（1）、單調有界數列必有極限

（2）、單調遞增且有上界的數列必有極限，單調遞減且有下界的數列必有極限。

18、直接使用1求導的定義求極限

當題目中告訴你F（0）=0，且F（x）的導數為0時，就暗示你一定要用導數的定義：、（1）、設函數y=f（x）在x0的某領域內有定義，當自變量在x在x0處取得增量的他x 時，相應的函數取得增量 的他y=f（的他x+x0）-f（x0）。如果 的他y與 的他x之比的極限存在，則稱函數y=f（x）在x0處可導并稱這個極限為這個函數的導數。

（2）、在某點處可導的充分必要條件是左右導數都存在且相等。

19、數列極限轉化為函數極限求解

數列極限中是n趨近，面對數列極限時，先要轉化為x趨近的情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種形式而已，是必要條件。（還有數列的n當然是趨近于正無窮的）