第一篇：高數1.3教案

§１.３ 數列的極限

函數研究兩個變量的對應關系，而極限則是研究自變量變化時，因變量的變化趨勢。

一.極限思想―割圓術：用圓內接正多邊形面積逼近圓面積

圓內接正六邊形面積記為A1

十二 A2

二十四 A3

6?2n?1 An?n?N?

A1,A2,?,An,?構成一列有次序的數――數列.n→大，An?A(圓面積)。不論n如何大，只要n取定, An?A.設想n??，即內接正多邊形邊數無限增加，在這個過程中，內接正多邊形的面積無限接近于圓，同時An→確定的數值（即圓的面積）數學上就稱為的極限（n??）。

極限方法是高數中一個基本方法。

二.數列的極限定義――xn?f?n?，D為正整數。

1.第一種定義:當項數n無限增大時，如果xn無限接近于一個確定的常數a，則稱當n無限增大時xn的極限是a.2.“??N”def 當???0，不論它多么小，總?N?0,?對于n?N的一切xn，恒有xn?a??成立，則limxn?a.如果數列沒有極限，就稱是發散的。

n?? *1.?是任意給定（任意性）

*2.N與?有關，隨?給定而選定，一般地?越小，N越大，N大到何種程度，取決于使xn?a??成立時xn的項數n的取值，定義中僅要求N有關，并不一定要找出最小的自然數N.*3幾何意義：n?N時，所有的xn都落在?a??,a???內，即數列只有有限個（最多只有N個）在區間之外。*4利用定義不能直接求極限。

三.極限的證明

1例1 證明lim(1?)?1

n??1?n111?1???，?n??1 證：???0，要使1?1?n1?n?111?1?取N?[?1],則當n?N時,有1???, 1?n1?n?1 ∴lim(1?)?1

n??1?n limxn?a的證明步驟：

n?? 1)給定???0

2)要使xn?a??,解出N?N(?)3)取N，即N?.4)當n?N時，有xn?a??

5)下結論。n!例2 證明 limn?0

n??nn!證：???0，要使n?0＜?，nn!nn?111只要n?0＝????

nnnnnn!11取 N?[],則當n?N=[]時，有n?0??

n??n!∴limn?0 n??n 例3 證明.limn???n?1?n?0 n?1?n??

?證：???0，要使只要111???,n?2

4?n?1?n2n1取N?[2]

則當n?N時有n?1?n??, 4?∴limn???n?1?n?0.2n?1? 例4 設q?1，證明等比數列1,q,q,?,qn?1,?的極限是0。

?? 證：???0???1?∵xn?0?qln?取自然對數，解得∴n?1?，lnqln?n?1]，則當n?N時有xn?0?q?? 取N?[1?lnq limqn??n?1?0。

四.收斂數列的性質

1.極限的唯一性

定理１ 數列不能收斂于兩個不同的極限。2.有界性

（1）有界概念：數列xn，若?M?0，對一切xn有xn?M，稱xn有界。

（2）收斂數列的有界性

定理2 如果數列xn收斂，那么數列xn一定有界。

若xn無界?xn發散。xn有界，則不一定收斂。

如xn???1?n?1,即?1,1,?1,1,?,??1?n?1,?

∴數列有界是收斂的必要條件，非充分條件。3.收斂數列與子數列的關系

子數列：在數列?xn?中任意抽取無限多項并保持這些項在原數列中的次序，得到的一個數列為原數列?xn?的子數列。xn

k定理3 若?xn?收斂于a，則它的任一子數列也收斂，且極限也是a。

一個發散的數列也可能有收斂的子數列。?

小結：本節介紹了數列極限的定義，理解利用定義證明數列的極限，知道收斂數列的有關性質。

??

第二篇：高數1.3教案

高

等

數

學

第三次課

教學內容：函數的極限，無窮小，無窮大 教學目的：（1）正確了解函數極限的概念，了解用???（x?x0)與??X（x??)語言驗證函數極限的步驟。

（2）了解無窮小概念及其與函數極限的關系

（3）了解無窮小與無窮大的關系，函數的左右極限與函數極限的關系 教學重點：函數極限的???定義、無窮小的概念 教學難點：函數極限的???定義 教學關鍵：函數極限的???定義 教學過程：

一、由數列極限引入函數極限

根據自變量情況的不同，函數的極限分為兩類：

（x??)（1）自變量趨于無窮大的函數的極限（2）自變量趨于有限值的函數極限（x?x0)

二、定義

1、自變量趨于有限值的函數極限（x?x0)

定義：設函數f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義。如果存在常數A，對于任意給定的正數?（無論多么小），總存在正數?，使得當x滿足不等式0?|x?x0|??時，對應的函數值f(x)都滿足不等式|f(x)?A|??，那么常數A就叫做函數f(x)當（x?x0)時的極限，記做x?x0limf(x)?A或f(x)?A（當x?x0)

說明：

1、對于給定的??0，?不唯一

2、f(x)在x0有無極限與有無定義無關

（2x?3)?5 例

1、limx?1證明：???0,要使|2x?3?5|??,?|2x?3?5|?2|x?1|，?只要2|x?1|??,即|x?1|?例

2、證明極限limx?4

x?22?2，????0,取???2當0?|x?1|??時有|2x?3?5|??，得證。

證明：??0,要使|x?4|?? 2考慮x?2時x2的變化趨勢，故不妨設1

??只要5|x?2|??,即|x?2〈|

5?????0,取??min{1,},當0?|x?2|??時，有|x2?4|???得證

5左極限與右極限

（1）當x從x0的左邊趨于x0時，f(x)?A，則稱A為f(x)當 x?x0的左極限，記作x?x0?limf(x)?A或f(x0?0)?A

第 1 頁

2013-4-11 徐屹

高

等

數

學

（2）當x從x0的右邊趨于x0時，f(x)?A，則稱A為f(x)當 x?x0的右極限，記作x?x0?limf(x)?A或f(x0?0)?A

x?x0?f(x0?0)?A 結論：limf(x0)?A?f(x0?0）（x??)

2、自變量趨于無窮大時函數的極限x??的三種情況：x???

（x?0）

x???

（x?0）

x??

（|x|??)

定義：設函數f(x)當|x|大于某一正數時有定義，如果存在常數A，對于任意給定的正數?（無論它多小），總存在著正數X，使得當 x滿足不等式|x|>X時，對應的函數值f(x)都滿足不等式

|f(x)?A|??，那么常數A就叫做函數f(x)當x??時的極限，記作

limf(x)?A，或f(x)?A（當x??)

x??定義：設函數f(x)當x大于某一正數時有定義，如果存在常數A，對于任意給定的正數?（無論它多小），總存在著正數X，使得當 x滿足不等式x>X時，對應的函數值f(x)都滿足不等式

|f(x)?A|??，那么常數A就叫做函數f(x)當x???時的極限，記作

x???limf(x)?A，或f(x)?A（當x???)

說明：類似可以定義函數的左極限

sinx?0

x??xsinxsinxsinx1?0|??，?|?0|?||?證明：???0,要使| xxx|x|11?只要??,即|x|?

|x|?1sinx????0,取X?當|x|?X時有，|?0|?? 所以得證

?x例：利用極限定義證明lim

三、函數極限的性質

1、（唯一性）如果limf(x)存在，則此極限唯一。

x?x02、（局部有界性）如果limf(x)=A，那么存在常數M>0,和??0，使得當0?|x?x0|??時有x?x0|f(x)|?M

證明：因為limf(x)=A，所以取x?x0??1，則???0,當0?|x?x0|??時，有|f(x)?A|?1?|f(x)|?|f(x)?A|?|A|?|A|?1 記M=|A|?1，則得證

3、（局部保號性）如果limf(x)=A而且A>0（或A<0）,那么存在常數??0，使得當

x?x00?|x?x0|??時，有f(x)>0(或f(x)?0)徐屹

第 2 頁

2013-4-11

高

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數

學

說明：由此定理可以得到更強的結論：

如果limf(x)=A（A?0），那么就存在著x0的某一去心鄰域U(x0)，當x?U(x0)時，就有x?x0oo|A| 20f(x)?0），而且limf(x)?A，推論：如果x0的某一去心鄰域內f(x)?（或那么A?0或（A?0）|f(x)|?x?x0函數極限與數列極限的關系：如果limf(x)存在，{xn}為函數f(x)的定義域內任一收斂于x0的數x?x0列，且滿足：x?x0(n?N?)，那么相應的函數值數列{f(xn)}必收斂，且limf(xn)?limf(x)

n??x?x0證明：設limf(x)=A，則???0,???0,當0?|x?x0|??時有，|f(x)?A|

n??由假設，xn?x0,。故當n?N時，0?|x?x0|??，從而|f(xn)?A|??，即limf(xn)?A

n??

四、無窮小與無窮大

1、無窮小：如果函數f(x)當x?x0或（x??)時的極限為零，那么稱函數f(x)為當x?x)時的無窮小。0或（x??如x?0時：x2,sinx,tgx,1?cosx為無窮小 如x??時，,e1x?x2為無窮小

說明：1任何一個非零常數都不是無窮小量

2一個函數是否為無窮小量，與自變量的變化趨勢有關

定理

1、在自變量的同一變化過程x?x0或（x??)中，函數f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+?，其中?是無窮小。

2、無窮大

設函數f(x)在x0的某一去心鄰域有定義（或|x|大于某一正數時有定義）。如果對于任意給定的正數M，總存在正數?（或正數X），只要x適合不等式0?|x?x0|??（或|x|?X），對應的函數值f(x)總滿足不等式|f(x)|?M，則稱函數f(x)為當x?x0(或x??)時的無窮大。注意：無窮大與很大數的區別

3、無窮小與無窮大的關系

定理：在同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則

1為無窮小：反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)f(x)?0，則1為無窮大 f(x)2例：當x?0時，x?5為無窮小，1為無窮大。2x?5說明：此定理只使用于同一變化過程。

徐屹 第 3 頁 2013-4-11

第三篇：高數1.1教案

第一章：函數與極限

教學目的 1。正確理解函數的概念，掌握函數的表示方法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式； 2． 正確理解函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性；

3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念； 4． 掌握基本初等函數的性質及其圖形。教學重點 分段函數，復合函數，初等函數。教學難點 有界性，初等函數的判斷。教學內容： 前言

名稱：高等數學

教學過程一學年

主要內容：一元、多元函數微分學和積分學、矢量代數、空間解析幾何、無窮級數和微分方程。教學目的：掌握高等數學的基本知識，基本理論，基本計算方法，提高數學素養。培養學生的抽象思維和邏輯推理能力，辯證的思想方法，培養學生的空間想象能力，培養學生分析問題和解決問題的能力。為學生進一步學習數學打下一定的基礎，還要為學習專業的后繼課程準備必要的數學基礎。

第一節：映射與函數

一、集合

1、集合概念

具有某種特定性質的事物的總體叫做集合。組成這個集合的事物稱為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A?{a1,a2,a3,??}

2)A?{xx的性質P}

元素與集合的關系：a?A

a?A

一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數集：N，Z，Q，R，N+

元素與集合的關系：

A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。

如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A?B 若作A?B且A?B則稱A是B的真子集。空集?： ??A2、集合的運算

并集A?B ：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B ：A?B?{x|x?A且x?B}

差集

AB：AB?{x|x?A且x?B}

C全集I、E

補集A：

集合的并、交、余運算滿足下列法則： 交換律、A?B?B?A

A?B?B?A 結合律、(A?B)?C?A?(B?C)

(A?B)?C?A?(B?C)

分配律

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)對偶律

(A?B)c?Ac?Bc

(A?B)c?Ac?Bc 笛卡兒積A×B?{(x,y)|x?A且y?B}

3、區間和鄰域

開區間

(a,b)

閉區間

?a,b? 半開半閉區間

?a,b???a,b?

有限、無限區間

鄰域：U(a)

U(a,?)?{xa???x?a??}

a 鄰域的中心

?鄰域的半徑

去心鄰域

U(a,?)

左、右鄰域

二、映射

1.映射概念

定義

設X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中的每一個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的映射，記作

f：X?Y

其中y 稱為元素x的像，并記作f(x)，即

y?f(x)

注意：1）集合X；集合Y；對應法則f

2）每個X有唯一的像；每個Y的原像不唯一

3)單射、滿射、雙射

2、映射、復合映射

三、函數

1、函數的概念：

定義：設數集D?R，則稱映射f:D?R為定義在D上的函數

記為

y?f(x),x?D

自變量、因變量、定義域、值域、函數值

用f、g、?

函數相等：定義域、對應法則相等

自然定義函數；單值函數；多值函數、單值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

?13)符號函數 y??x?0?0 ??1x?0?

4)取整函數 y??x?

（階梯曲線）5)分段函數 y??x?0?2x?1?x0?x?1x?1

2、函數的幾種特性

1）函數的有界性(上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數、不同定義域，有界性變化。

2)函數的單調性（單增、單減）在x1、x2點比較函數值

f(x1)與f(x2)的大小（注：與區間有關）

3)函數的奇偶性(定義域對稱、f(x)與f(?x)關系決定)

圖形特點(關于原點、Y軸對稱)

4)函數的周期性(定義域中成立：f(x?l)?f(x))

3、反函數與復合函數

反函數：函數f:D?f(D)是單射，則有逆映射f函數與反函數的圖像關y?x于對稱

?1(y)?x，稱此映射f?1為f函數的反函數

復合函數：函數u?g(y)定義域為D1，函數y?f(x)在D上有定義、且f(D)?D1。則u?g(f(x))?g?f(x)為復合函數。(注意：構成條件)

4、函數的運算

和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數才能運算)

5、初等函數：

1)冪函數：y?x

2)指數函數：y?a

3)對數函數 y?loga(x)

4)三角函數

y?sin(x),y

5)反三角函數

ax?cos(x),y?tan(x),y?cot(x)

y?arcsin(x)，y?arccox)s(y?arctan(x)y?arccot(x)

以上五種函數為基本初等函數

6)雙曲函數

ex?e?xex?e?x??

shx

chx

22shxex?e?xthx??xchxe?e?x

注：雙曲函數的單調性、奇偶性。

雙曲函數公式

sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy ch(x?y)?chx?chy?shx?shyy?arshx反雙曲函數：

y?archx y?arthx

第四篇：高數級數的教案

第75、76課時：

【教學目標與要求】

1．理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念； 2．熟練掌握級數的基本性質及收斂的必要條件； 2．掌握幾何級數收斂與發散的條件。

【教學重點】

1、常數項級數收斂、發散的概念及幾何級數；

2、級數的基本性質及收斂的必要條件。

【教學難點】

級數的基本性質及收斂的必要條件。

§12? 1 常數項級數的概念和性質

一、常數項級數的概念

1．常數項級數的定義

給定一個數列

u1? u2? u3? ? ? ?? un? ? ? ?? 則由這數列構成的表達式u1 ? u2 ? u3 ? ? ? ?? un ? ? ? ?叫做常數項)無窮級數? 簡稱常數項)級數? 記為?un? 即

n?1??

n?1?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

其中第n項u n 叫做級數的一般項?

2．級數的部分和? 作級數?un的前n項和sn??ui?u1?u2?u3? ? ? ? ?un

n?1i?1?n稱為級數?un的部分和?

n?1??

3． 級數斂散性定義? 如果級數?un的部分和數列{sn}有極限s? 即limsn?s?

n?1n??則稱無窮級數?un收斂? 這時極限s叫做這級數的和?

n?1?并寫成

s??un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

n?1?如果{sn}沒有極限? 則稱無窮級數?un發散?

n?1?

余項? 當級數?un收斂時? 其部分和s n是級數?un的和s的近似值? 它們之間的差值

n?1n?1??

rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ? 叫做級數?un的余項?

n?1?

例1 討論等比級數(幾何級數)

n?0?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ? ?的斂散性? 其中a?0? q叫做級數的公比?

解 如果q?1? 則部分和

sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna????

1?q1?q1?q?aa

當|q|?1時? 因為limsn?? 所以此時級數?aqn收斂? 其和為?

1?q1?qn??n?0?

當|q|>1時? 因為limsn??? 所以此時級數?aqn發散?

n??n?0

如果|q|?1? 則當q?1時? sn ?na??? 因此級數?aqn發散?

n?0??

當q??1時? 級數?aqn成為

n?0

a?a?a?a? ? ? ??

當|q|?1時? 因為sn 隨著n為奇數或偶數而等于a或零?

所以sn的極限不存在? 從而這時級數?aqn也發散?

n?0??a,|q|?1?綜上所述，級數?aqn??1?q

n?0?|q|?1???提醒學生一定要熟練記住上述結論！

例2 證明級數

1?2?3?? ? ??n?? ? ? 是發散的?

證 此級數的部分和為

sn?1?2?3? ? ? ? ?n?n??n(n?1)?

2顯然? limsn??? 因此所給級數是發散的?

例3 判別無窮級數

的收斂性?

提示? un?1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ?

1?22?33?4n(n?1)1?1?1?

n(n?1)nn?

1二、收斂級數的基本性質

性質1 如果級數?un收斂于和s? 則它的各項同乘以一個常數k所得的級數?kun也n?1n?1??收斂? 且其和為ks?

性質2 如果級數?un收斂于和s? 則級數?kun也收斂? 且其和為ks?

n?1n?1????

性質3 如果?un?s? 則?kun?ks?

n?1n?1???

性質4 如果級數?un、?vn分別收斂于和s、?? 則級數?(un?vn)也收斂? 且其和為n?1n?1n?1s???

性質5 如果?un?s、?vn??? 則?(un?vn)?s???

n?1n?1n?1???

性質6

在級數中去掉、加上或改變有限項? 不會改變級數的收斂性?

比如? 級數1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)級數10000?1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)級數111?? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

3?44?5n(n?1)?

性質7 如果級數?un收斂? 則對這級數的項任意加括號后所成的級數仍收斂? 且其和n?1不變?

應注意的問題? 如果加括號后所成的級數收斂? 則不能斷定去括號后原來的級數也收斂?

例如? 級數

（1?1)+（1?1)+? ? ?收斂于零? 但級數1?1?1?1?? ? ?卻是發散的?

推論? 如果加括號后所成的級數發散? 則原來級數也發散?

級數收斂的必要條件?

性質8 如果?un收斂? 則它的一般項un 趨于零? 即limun?0?

n?1n?0?

應注意的問題? 級數的一般項趨于零并不是級數收斂的充分條件?

例

4證明調和級數

n?1?n?1?2?3? ? ? ? ?n? ? ? ? 是發散的? ?111調和級數的斂散性也必須要記熟！

證： 假若級數?1收斂且其和為s? s是它的部分和?

nnn?1n??n???顯然有limsn?s及lims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?

n??

但另一方面?

s2n?sn?1?1? ? ? ? ?1?1?1? ? ? ? ?1?1?

n?1n?22n2n2n2n21必定發散?

n?1n?故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 這矛盾說明級數?n??小結

1.常數項級數及其斂散性的概念； 2.常數項級數的性質；

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意常數項級數的概念以及重要性質，要結合實例，反復講解，尤其要熟練的記住等比級數與調和級數的斂散性。

師生活動設計P255:3（2）4（1）（2）（3）作業 P255: 3(3)；4(4),(5)

第77、78、79、80、81、82課時：

【教學目標與要求】

1．熟練掌握正項級數的審斂法（比較判別法、比值判別法、根值判別法和極限判別法），熟練掌握p級數收斂與發散的條件。2．熟練掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。3．理解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，記住絕對收斂與條件收斂的關系。

【教學重點】

1．正項級數的審斂法（比較判別法、比值判別法、根值判別法和極限判別法），熟練掌握p級數收斂與發散的條件；

2．交錯級數的萊布尼茨判別法；3.任意項級數絕對收斂與條件收斂 【教學難點】

1、比較判別法的極限形式；

2、任意項級數斂散性的判別。

第五篇：1.3能被2,5整除的數教案

課題:1.3能被2，5整除的數（第一課時）

一、教學目標

1.經歷觀察與思考，概括出能被2，5整除的數的特征，并會運用判斷一個正整數能否被2，5整除;2.經歷觀察與思考，概括出能同時被2，5整除的數的特征;3.理解奇數與偶數的意義.二、教學重、難點

教學重點: 掌握能被2、5整除的數的特征

教學難點：發現奇數、偶數的一些規律，并會靈活運用

三、教學過程 1.復習導入

通過昨天的學習,我們知道了

(1).因數和倍數的定義______________(2).一個整數的因數有_____個,最小因數是_____,最大因數是________;(3).一個整數的倍數有_____個,最小因數是_____,無最大倍數.(4).倍數和因數是相互存在的.2.請寫出15個2的倍數,并觀察這些數由什么規律？

規律:2的倍數,個位數字為0,2,4,6,8 ,能被2整除,偶數(even number)請同學對比歸納,奇數的定義? 不是2的倍數,個位數字為1,3,5,7,9,不能被2整除,奇數(odd number)正整數 奇數 偶數

3、請寫出4個5的倍數,并觀察這些數由什么規律？ 規律：5的倍數，各位數字為0或5，能被5整除 2.課堂練習

（1）請把下列各數填入相應的圈內：15、40、53、264、376、540、1001 奇數 偶數 5的倍數

（2）完成書P10，練習1.3③，并概括能同時被2、5整除的數的特征。注：可以把題目鋪墊下

改為：能被2整除的數有：_____________________;能被5整除的數有:_______________________;能被2和5同時整除的數有: ______________________.再介紹”韋恩”圖

【推論】同時能被2、5整除的數，一定能被10整除。

（3）最值問題：

1）寫出能被2整除的最大兩位數 2）寫出能被2整除的最小兩位數 3）寫出5的倍數中最小的三位數 4）寫出5的倍數中最大的三位數

（4）一個數為2012，1）至少減去什么正整數，是奇數？ 2）至少加上什么正整數，是5的倍數？ 3）至少乘以什么正整數，能同時被2、5整除？

四、挑戰

“轉糖盤”是一個固定不動的圓盤，盤面被平分為10格（如圖）。在偶數格內放一塊糖，在奇數格內放上值錢的物品。某人給攤主5角錢，即可沿著順時針方向轉動圓盤一次。圓盤停轉后，指針指到哪一格，攤主便依據該格的數順著圓盤轉動方向從下一格起數格，數到哪一格，該格中的物品就歸這個人。例如：指針停在3，則從4起再數3格，即第6格中的物品就是獎品.實際上，不管您怎么轉，永遠都拿不到奇數格中的物品。請你試著填寫下列表格，看看你的獎品是什么.為什么呢？

五、作業 1.《堂練》5-6 2.挑戰題