第一篇：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理(A參考答案)

寶雞文理學(xué)院試題

課程名稱 中學(xué)物理教育理論 適用時(shí)間與實(shí)踐研究

試卷類別A適用專業(yè)、年級、班專升本

一.填空題（本題共 7 題，每空 3 分，總共 21 分）

1.假設(shè)一物質(zhì)的體漲系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)經(jīng)過實(shí)驗(yàn)測得為：，則該物質(zhì)的物態(tài)方程為：。

2.1 mol 理想氣體，保持在室溫下（K）等溫壓縮，其壓強(qiáng)從1 準(zhǔn)靜態(tài)變?yōu)?0，則氣體在該過程所放出的熱量為：焦耳。

3.計(jì)算機(jī)的最底層結(jié)構(gòu)是由一些數(shù)字邏輯門構(gòu)成的，比如說邏輯與門，有兩個(gè)輸入，一個(gè)輸出，請從統(tǒng)計(jì)物理的角度估算，這樣的一個(gè)邏輯與門，室溫下（K）在完成一次計(jì)算后，產(chǎn)生的熱量是：焦耳。

4.已知巨熱力學(xué)勢的定義為，這里是系統(tǒng)的自由能，是系統(tǒng)的粒子數(shù)，是一個(gè)粒子的化學(xué)勢，則巨熱力學(xué)勢的全微分為：。

5.已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為子的平均能量為：。

6.溫度 時(shí)，粒子熱運(yùn)動(dòng)的熱波長可以估算為：。

7.正則分布給出了具有確定的粒子數(shù)、體積、溫度 的系統(tǒng)的分布函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)的配分函數(shù)為，微觀狀態(tài) 的能量為，則處在微觀狀態(tài) 上的概率為：。

二.簡答題(本題共 3 題，總共 30 分)

1.請從微觀和統(tǒng)計(jì)物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數(shù)為零的原因。(10分)

2.請說說你對玻耳茲曼分布的理解。(10分)

3.等概率原理以及在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的地位。(10分)

三.計(jì)算題(本題共 4 題，總共 49 分)

1.一均勻桿的長度為 L，單位長度的定壓熱容量為，在初態(tài)時(shí)左端溫度為 T1，右端溫度為 T2，T1 < T2，從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統(tǒng)，請計(jì)算桿達(dá)到均勻溫度分布后桿的熵增。（你可能要用到的積分公式為）(10分)

2.設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：，試證明其內(nèi)能和體積無關(guān)。(10分)

3.表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動(dòng)，可以看作是二維氣體。請用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論計(jì)算：

（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。(9分)

（2）二維氣體分子的最概然速率。(4分)

4.（1）證明，在二維情況下，對于非相對論粒子，壓強(qiáng)和內(nèi)能的關(guān)系為：

這里，是面積。這個(gè)結(jié)論對于玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都是成立的。（8分）

（2）假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動(dòng)，電子運(yùn)動(dòng)為非相對論性的，面密度為，試求: 0 K 時(shí)電子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡并壓強(qiáng)。(8分)

熱力學(xué).統(tǒng)計(jì)物理（A卷）答案

一.填空題（本題共 7 題，每空 3 分，總共 21 分）

1.pVT

?const

2.RT ln 10?5.74?103 3.kT ln 2?2.87?10-21

4.dJ??SdT?pdV?Nd? 5.2kT 6.??

h2m?kT

ES

或者??

h2mkT

7.?s?

e

?

kT

Z

二.簡答題(本題共 3 題，總共 30 分)

1.請從微觀和統(tǒng)計(jì)物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數(shù)為零的原因。(10分)

答：（1）熱力學(xué)中研究的熱平衡輻射系統(tǒng)，是一個(gè)和腔壁達(dá)到熱力學(xué)平衡的系統(tǒng)，熱力學(xué)理論可以證明，它的吉布斯函數(shù)為零。……………………（2分）

（2）從微觀角度看，平衡輻射場可以認(rèn)為是光子氣體，每一個(gè)單色平面波對應(yīng)于一個(gè)能量和動(dòng)量確定的光子，腔壁中的輻射場對應(yīng)于能量和動(dòng)量從零到無窮大連續(xù)取值的光子氣體。輻射場和腔壁不斷發(fā)生熱交換，從微觀角度來看，相當(dāng)于交換光子，因此，腔壁中的光子數(shù)不守恒。（2分）

（3）光子是玻色子，滿足玻色分布。在確定玻色分布公式的時(shí)候，由于光子數(shù)不守恒，因此確定第一個(gè)拉氏乘子?的條件不存在，從物理上理解，這個(gè)拉氏乘子?就應(yīng)該為零，因?yàn)???勢為零。………………（4分）

（4）化學(xué)勢即為摩爾吉布斯函數(shù)（或者單個(gè)光子的吉布斯函數(shù)），光子氣體的吉布斯函數(shù)等于摩爾數(shù)（或者平均分子數(shù)）乘上化學(xué)勢，因此光子氣體的吉布斯函數(shù)為零。…………………（2分）2.請說說你對玻耳茲曼分布的理解。(10分)

答：（1）系統(tǒng)各個(gè)能級中的粒子數(shù)，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，稱為分布。物理上，需要在給定的分布下，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。…………………………………（3分）

（2）玻耳茲曼系統(tǒng)是這樣的一個(gè)系統(tǒng)，它的各個(gè)粒子是可以分辨的，因此，要確定玻耳茲曼的微觀狀態(tài)，就需要確定每一個(gè)粒子的微觀狀態(tài)，給出玻耳茲曼系統(tǒng)的一個(gè)分布，只是確定了每一個(gè)能級的粒子數(shù)，但是這些粒子是哪一些粒子并沒有確定。…………………………………（3分）

（3）由于等概率原理，在給定的宏觀狀態(tài)下，任何一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是一樣的。不同的分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不一樣的，因此，對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，這就是最概然分布。玻耳茲曼系統(tǒng)的最概然分布就是玻耳茲曼分布。……………………………（4分）3.等概率原理以及在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的地位。(10分)

答：（1）作為熱運(yùn)動(dòng)的宏觀理論，熱力學(xué)討論的狀態(tài)是宏觀狀態(tài)，由幾個(gè)宏觀參量表征，例如對于一

?

kT，故化學(xué)

個(gè)孤立系統(tǒng)，可以用粒子數(shù)N、體積V 和能量E 來表征系統(tǒng)的平衡態(tài)，狀態(tài)參量給定之后，處于平衡態(tài)的系統(tǒng)的所有宏觀物理量都具有確定值。…………………………………………（2分）

（2）系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是指構(gòu)成系統(tǒng)的每一個(gè)粒子的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，顯然，在確定的宏觀狀態(tài)之下，系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)是大量的，而且微觀狀態(tài)不斷地發(fā)生及其復(fù)雜的變化，例如，對于一個(gè)沒有相互作用的系統(tǒng)中，總能量是由N 個(gè)單粒子能量的簡單求和得到的，因此，將會(huì)有大量不同的方式選擇個(gè)別粒子的能量使其總和等于總能量。………（2分）

（3）等概率原理認(rèn)為：在任意時(shí)刻，該系統(tǒng)處于各個(gè)微觀態(tài)中的任意一個(gè)狀態(tài)都是同等可能的，也就是概率是一樣的。對于一個(gè)孤立系統(tǒng)，數(shù)學(xué)表述就是：設(shè)所有可能的微觀狀態(tài)的數(shù)目?是粒子數(shù)N、體積V 和能量E的函數(shù)：???(N,V,E)，則每一個(gè)微觀狀態(tài)的概率為?

。……（3分）

（4）統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為，宏觀物理量是相應(yīng)的微觀物理量的系綜平均值，要求系綜平均值，就必須知道系統(tǒng)在各個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。等概率原理給出了孤立系統(tǒng)的各個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，因此，只要知道總的微觀狀態(tài)數(shù)，就可以計(jì)算各種宏觀物理量。這樣，等概率原理在連接宏觀物理量和相對應(yīng)的微觀物理量之間建立了一個(gè)可以計(jì)算的橋梁。當(dāng)然，實(shí)際上，對給定的孤立系統(tǒng)，計(jì)算總的微觀狀態(tài)數(shù)一般是很困難的，但是它是分析其他問題（如分析正則分布和巨正則分布）的基礎(chǔ)，等概率原理也稱為微正則分。……………………………………（3分）

三.計(jì)算題(本題共 4 題，總共 49 分)

1.一均勻桿的長度為L，單位長度的定壓熱容量為cp，在初態(tài)時(shí)左端溫度為 T1，右端溫度為T2，T1?T2，從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統(tǒng)，請計(jì)算桿達(dá)到均勻溫度分布后桿的熵

增。（你可能要用到的積分公式為?ln x?dx?

T2?T1

L）(10分)?d?x?ln x?x?。T2?T

1答：設(shè)桿的初始狀態(tài)是左端l?0 溫度為 T1，右端l?L 為T2，從左到右端，位于l 到l?dl的初始溫度為T?T1?

l，達(dá)到平衡后溫度為

T1?T

2，這一小段的熵增加值為：

T1?T2

dTT

l

dS?cpdl

T1?

T2?T1

L

?

?cpdl?ln

T1?

T2?T1

L

………………………………（4分）

l

根據(jù)熵的可加性，整個(gè)均勻桿的熵增加值為

T1?T2?S?

?dS??

L0

cpdl?ln

T1?

T2?T1

L1

?l

?

L

L0

cpdl?ln

T1?T2

LT?T1?

??cpdl?ln?T1?2

0L??

l? ?

?cpL?ln

T1?T2

T1?T2

?cp?

T2?T1

L1

T2?T1

L

?

d（T2?T1

L

T?T1??

l)?ln?T1?2l?

L??

?cpL?ln?cp?

?

T2

T1

dx?ln x

?cpL?ln

T1?T2

?cpL?

1T2?T1

?T2ln T2?T1ln T1?T2?T1?……………（6分）

2.設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：p?f(V)T，試證明其內(nèi)能和體積無關(guān)。(10分)

證明：以(V,T)作為自變量，則熵的全微分為：

??S???S?dS???dT???dV………………………………（3分）

??T?V??V?T

利用熱力學(xué)基本微分方程，有：

dU?TdS?pdV

???S????S??T??dT?TdV?????pdV

??V?T???T?V????S????S?

?T??dT??T???p?dV

??T?V???V?T?

因此有： ?

??U???S?

??T???p………………………………（3分）??V?T??V?T

??U???p?

??T???p ?V?T??T??V

由麥?zhǔn)详P(guān)系代入上式，可以得到： ?利用物態(tài)方程可以知：?故有：

??p?

??f(V)?T??V

??U???p?

???T???p?Tf(V)?p?0…………………………（4分）得證。?V?T??T??V

3.表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動(dòng)，可以看作是二維氣體。請用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論計(jì)算：

（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。(9分)（2）二維氣體分子的最概然速率。(4分)

答：玻耳茲曼分布的經(jīng)典表達(dá)式是

al?e

?????1

??lh0

r

…………………………………………（2分）

在沒有外場時(shí)，二維情況下的分子質(zhì)心運(yùn)動(dòng)能量的經(jīng)典表達(dá)式為 2m2m

在面積A內(nèi)，分子質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)量在dpxdpy范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為

Ah

??

p

?

(px?py)

dpxdpy

因此，在面積A內(nèi)，分子質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)量在dpxdpy范圍內(nèi)的分子數(shù)為

Ah

e

???

12mkT

(px?py)

dpxdpy

參數(shù)由總分子數(shù)為N的條件定出

??

積分出，得

Ah

e

???

12mkT

(px?py)

dpxdp

y

?N

e

??

?

12?mkT

12mkT

NA

h0

因此，質(zhì)心動(dòng)量在dpxdpy范圍內(nèi)的分子數(shù)為

N

12?mkT

e

?

(px?py)

dpxdpy

用速度作為變量，px?mvx;py?mvy，上式化為：

N

m2?kT

e

?m2kT

(vx?vy)

dvxdvy

這就是在面積A內(nèi)，分子在dvxdvy范圍內(nèi)的分子數(shù)。用n?N面積內(nèi)，速度在dvxdvy范圍內(nèi)的分子數(shù)為

f(vx,vy)dvxdvy?n

m2?kT

e

?m2kT

(vx?vy)

A

表示單位面積內(nèi)的分子數(shù)，則在單位

dvxdvy…………………………（5分）

這就是二維情況下的速度分布律。歸一化條件為：

??

f(vx,vy)dvxdvy?

??n2?kT

m

e

?

m2kT

(vx?vy)

dvxdvy?n

m2kT

化為極坐標(biāo)，并對角度進(jìn)行積分，可得二維情況下的速率分布律

f(v)dv?n

最概然速率vm滿足條件：

df(v)dv

?n

mdkTdv

(e

?m2kT

v

mkT

e

?v

vdv…………………………………（2分）

v)?0

由此得到：

vm?

kTm

……………………………………………（4分）

在這個(gè)速率附近，分子數(shù)最多。

4.（1）證明，在二維情況下，對于非相對論粒子，壓強(qiáng)和內(nèi)能的關(guān)系為：

p?

UA

這里，A是面積。這個(gè)結(jié)論對于玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都是成立的。（8分）（2）假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動(dòng)，電子運(yùn)動(dòng)為非相對論性的，面密度為n?N子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡并壓強(qiáng)。(8分)

A，試求 0 K 時(shí)電

答：（1）不妨假設(shè)二維空間為正方形，邊長為L，根據(jù)周期性邊界條件，二維自由粒子在x和y方向的動(dòng)量分量的可能取值為：

px?py?

hLhL

nx;nx?0,?1,?2,? ny;ny?0,?1,?2,?

1h

因此對于非相對論的自由粒子，能量為：

?n

xny

?

p

2m

?

2mL

（h)(nx?ny)?

222

2mA

(nx?ny)?aA

22?1

以單一指標(biāo)l代替(nx,ny)，上式可以記為： ?l?aA?1 因此當(dāng)有N個(gè)粒子存在時(shí)，產(chǎn)生的壓強(qiáng)為：

p???

l

??l?A

al??

?

l

(?1)aA

?2

al?A

?1

??lal?

l

UA

…………………（8分）

（2）在面積A?L2內(nèi)，在p?p?dp內(nèi)，自由粒子的量子態(tài)的數(shù)目為：

(Lh)2?pdp

由于電子自旋為

Ah，因此利用自由粒子的非相對論能量動(dòng)量關(guān)系??

p

2m，得到在????d?內(nèi)，自由電子的量子態(tài)的數(shù)目為：

2?md??

4?Amh

d?

根據(jù)費(fèi)米分布，一個(gè)量子態(tài)上的平均電子數(shù)為：

f?

1e

????

?1

在面積A內(nèi)，在????d?內(nèi)，自由電子的數(shù)目為：

he?1he?1

在T?0K時(shí)，對上式積分，可以確定費(fèi)米能量（零溫時(shí)的化學(xué)勢）：

?(0)

dN?

4?Am

????

d??

4?Am

(???)

kT

d?

N?

?

4?Amh

d???F??(0)?

h

4?m

n……………（4分）

面積A內(nèi)，在????d?內(nèi)，自由電子的能量為：

h

在T?0KdU?

4?Am

1e

(???)

kT

?1

?d?

時(shí)，對上式積分，得到自由電子的內(nèi)能為：

U(0)?

4?Amh

?(0)

??d??

N?(0)………………………………（2分）

在T?0K時(shí)的簡并壓強(qiáng)為：

p?

U(0)A

?12

n?(0)………………………………………（2分）

第二篇：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理

熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理（目錄）

第一章 熱力學(xué)的基本規(guī)律

第二章 均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)

第三章 單元系的相變

第四章 多元系的復(fù)相變平衡和化學(xué)平衡 熱力學(xué)平衡

第五章 不可逆過程熱力學(xué)簡介

第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布

第七章 波爾茨曼統(tǒng)計(jì)

第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)

第九章 系宗理論

第十章 漲落理論

第十一章 非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)理論初步

第三篇：《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》教學(xué)大綱[范文]

《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》教學(xué)大綱

學(xué)分：學(xué)時(shí)：審 核 人：執(zhí) 筆 人：面向?qū)I(yè)：物理學(xué)

一、課程定位

教學(xué)對象：物理專業(yè)本科生

課程類型：理論物理方向必修課

二、教學(xué)目標(biāo)

通過本課程的學(xué)習(xí)要求學(xué)生初步掌握與熱現(xiàn)象有關(guān)的、物質(zhì)的宏觀物理性質(zhì)的唯象理論與統(tǒng)計(jì)理論，并對二者的特點(diǎn)與聯(lián)系有一較全面的認(rèn)識(shí)。為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和獨(dú)立解決實(shí)際問題打下必要的基礎(chǔ)。

三、教學(xué)內(nèi)容及要求

大綱基本內(nèi)容(不帶*號部分)可在規(guī)定的72學(xué)時(shí)內(nèi)完成。各章所注學(xué)時(shí)前一個(gè)數(shù)字為講授課時(shí)數(shù)后者為習(xí)題課、討論課等學(xué)時(shí)數(shù)。各節(jié)所附數(shù)字為講授時(shí)數(shù)。

第一章 熱力學(xué)的基本規(guī)律(10+0)

1．熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)及其描述

2．熱平衡定律和溫度

3．物態(tài)方程

4．功l

5．熱力學(xué)第一定律

6．熱容量和焓

7．理想氣體的內(nèi)能

8．理想氣體的絕熱過程

9．理想氣體的卡諾循環(huán)

10．熱力學(xué)第二定律l

11．卡諾定理

12．熱力學(xué)溫標(biāo)(*)

13．克勞修斯等式和不等式l

14．熵的熱力學(xué)基本方程1

15．理想氣體的熵1

16．熱力學(xué)第二定律的普遍表述1

17．熵增加原理的簡單應(yīng)用1

18．自由能和吉布斯函數(shù)1

說明：在克勞修斯等式和不等式之前的內(nèi)容與《熱學(xué)》課重復(fù)較多，除基本概念外可做復(fù)習(xí)性簡述，可避免重復(fù)。同時(shí)又能保證熱力學(xué)基本概念與規(guī)律的嚴(yán)格性與系統(tǒng)性．重點(diǎn)應(yīng)放在熵的性質(zhì)，熵增加原理的應(yīng)用上。

第二章 均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)(6+2)

1．能、焓、自由能和吉布斯函數(shù)的全微分

2．麥?zhǔn)详P(guān)系的簡單應(yīng)用

3．氣體的節(jié)流過程和絕熱彭脹過程

14．基本熱力學(xué)函數(shù)的確定1

5．特性函數(shù)l

6．平衡輻射的熱力學(xué)1

7．磁介質(zhì)的熱力學(xué)1

說明：本章是熱力學(xué)部分的重點(diǎn)，要求在講清輔助函數(shù)的性質(zhì)及麥?zhǔn)详P(guān)系的基礎(chǔ)上．通過對各類體系的應(yīng)用體現(xiàn)熱力學(xué)函數(shù)的應(yīng)用方法和熱力學(xué)函數(shù)應(yīng)用的普遍性；本章習(xí)題較多，安排2學(xué)時(shí)的習(xí)題課。

第三章 單元系的相變(8+0)

1．熱動(dòng)平衡判據(jù)1

2．開系的基本熱力學(xué)方程1

3．單元系的復(fù)相平衡條件1

4．單元復(fù)相系的平衡性質(zhì)1

5．臨界點(diǎn)和氣液兩相的轉(zhuǎn)變1

6．液滴的形成2

7．相變的分類1

8．臨界現(xiàn)象和I臨界指數(shù)(*)

9．朗道連續(xù)相變理論(*)

第四章 多元系的復(fù)相平衡和化學(xué)平衡(4+0)

1．多元系的熱力學(xué)函數(shù)和熱力學(xué)方程l

2．多元系的復(fù)相平衡條件1

3．吉布斯相律1

4．熱力學(xué)第三定律1

第五章 不可逆熱力學(xué)簡介(*)

第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布

1．系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述1

2．等概率原理

3．分布和微觀狀態(tài)2

4．玻爾茲曼分布2

5．粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述

6．粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述

7．玻色分布和費(fèi)米分布l

8．三種分布的關(guān)系1

第七章 玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)(14+2)

1．熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式2

2．理想氣體的物態(tài)方程2

3．麥克斯韋速度分布律2

4．能量均分定理2(10+0)

5．理想氣體的內(nèi)能和熱容量(*)

6．理想氣體的熵2

7．固體熱容量的愛因斯坦理論2

8．順磁性固體(*)

9．負(fù)溫度狀態(tài)2

說明：這一部分是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)，內(nèi)容較多，安排2學(xué)時(shí)的習(xí)題課。

第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)(8+0)

1．熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式1

2．弱簡并玻色氣體和費(fèi)米氣體(*)

3．光子氣體2

4．玻色一愛因斯坦凝聚2

5．金屬中的自由電子氣體2

6．簡并理想費(fèi)米氣體簡例l

7．二維電子氣體與量子霍爾效應(yīng)(*)

說明：這部分是量子統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)，在實(shí)際中應(yīng)用廣泛而重要，對深化人們對量子世界的認(rèn)識(shí)非常有意義，可對學(xué)生提高要求。

第九章 系綜理論(8+0)

1．相空間劉維爾定理1

2．微正則分布l

3．微正則分布的熱力學(xué)公式1

4．正則分布l

5．正則分布的熱力學(xué)公式1

6．實(shí)際氣體的物態(tài)方程1

7．巨正則分布1

8．巨正則分布的熱力學(xué)公式1

9．巨正則分布的簡單應(yīng)用(*)

說明：微正則系綜可以作為基本假設(shè)而省去劉維爾定理，巨正則分布的分布函數(shù)及熱力學(xué)公式也可以不做推導(dǎo)只給出結(jié)果，闡明意義。

第十章 漲落理論(*)

第十一章 非平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)理論(*)

四、考核方式、方法

閉卷考試，平時(shí)成績30%，卷面成績70%。

五、主要參考書

(1)龔昌德《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)》高等教育出版社，1982年

(2)蘇汝鏗《統(tǒng)計(jì)物理學(xué)》復(fù)旦大學(xué)出版社，1990年

(3)鐘云霄《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》科學(xué)出版杜，1988年

(4)陳光旨《熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理基礎(chǔ)》廣西師范大學(xué)出版社，1989年

第四篇：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理名字解釋

名字解釋

1、熱力學(xué)平衡態(tài)(P2)

性質(zhì)不隨時(shí)間改變

2廣延量

物理量與系統(tǒng)的質(zhì)量或物質(zhì)的量成正比

3準(zhǔn)靜態(tài)過程

準(zhǔn)靜態(tài)過程：過程由無限靠近的平衡態(tài)組成，過程進(jìn)行的每一步，系統(tǒng)都處于平衡態(tài)。

6、可逆過程

熱力學(xué)系統(tǒng)由某一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過某一過程到達(dá)另一狀態(tài)后，如果存在另一過程，它能使系統(tǒng)和外界完全復(fù)原，即使系統(tǒng)回到原來狀態(tài)，同時(shí)又完全消除原來過程對外界所產(chǎn)生的一切影響，則原來的過程稱為可逆過程。反之，如果無論采用何種辦法都不能使系統(tǒng)和外界完全復(fù)原，則原來的過程稱為不可逆過程。

7、絕熱過程

氣體與外界無熱量交換時(shí)的狀態(tài)變化過程，9、等概率原理

對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的！

12、粒子全同性原理

全同粒子不可分辨，任意交換一對粒子不改變系統(tǒng)狀態(tài)

13、最概然分布

根據(jù)等概率原理，對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的，那么微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。

14玻耳茲曼分布（玻色分布

費(fèi)米分布）

玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布——玻耳茲曼分布

第一部分。

1熵增原理0

2特性函數(shù)3熱力學(xué)第二定律的兩種表述及其本質(zhì)

4熵判據(jù)

5單元系、單元復(fù)相系o

6單元復(fù)相系平衡條件包括哪些

7等幾率原理

8空間0

9近獨(dú)立粒子系統(tǒng)

10全同性粒子系統(tǒng)

11玻色子、費(fèi)米子0

12統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的最根本觀點(diǎn)是什么

玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式0

簡并條件（經(jīng)典極限條件）、弱簡并條件、強(qiáng)簡并條件

15微正則分布、正則分布和巨正則分布分別適用于什么樣的系

16系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述

1．（P42）在絕熱過程中，系統(tǒng)的熵永不減少，對于可逆絕熱過程，系統(tǒng)的熵不變；對于不可逆絕熱過程，系統(tǒng)的熵總是增加，這個(gè)結(jié)論叫做熵增加原理。

2．（P63）如果適當(dāng)選擇獨(dú)立變量（稱為自然變量），只要知道一個(gè)熱力學(xué)函數(shù)，就可以通過求偏導(dǎo)數(shù)而求得均勻系統(tǒng)的全部熱力學(xué)函數(shù)，從而把均勻系統(tǒng)的平衡性質(zhì)完全確定。這樣的熱力學(xué)函數(shù)稱為特性函數(shù)。以、為變量的特征函數(shù)是內(nèi)能。

3．（P30）熱力學(xué)第二定律的克氏表述：不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其他變化；開氏表述：不可能從單一熱源吸熱使之完全變成有用功而不引起其他變化。

4．（P76）如果孤立系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到了熵為極大的狀態(tài)，就不可能在發(fā)生任何宏觀變化，系統(tǒng)就達(dá)到了平衡態(tài)。我們可以利用熵函數(shù)這一性質(zhì)來判定孤立系統(tǒng)的平衡態(tài)，這稱為熵判據(jù)。

5．（P80）單元系是指化學(xué)上純的物質(zhì)系統(tǒng)，它只含一種化學(xué)組分（一個(gè)組元）。如果一個(gè)單元系不是均勻的，但可以分為若干個(gè)均勻的部分，該系統(tǒng)稱為單元復(fù)相系。比如水和水蒸汽共存構(gòu)成一個(gè)單元兩相系。

6．（P82）單元復(fù)相系達(dá)到平衡條件必須同時(shí)滿足熱學(xué)平衡條件、力學(xué)平衡條件和相平衡條件。

7．（P178）對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率是相等的。這是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的基本假設(shè)。

8．（P165）為了形象地描繪粒子的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，用共個(gè)變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個(gè)維空間，稱為空間。粒子在某一時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用空間中一點(diǎn)表示，稱為粒子力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)代表點(diǎn)。

9．（P174）近獨(dú)立粒子系統(tǒng)是指系統(tǒng)中的粒子之間相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子間的相互作用，將整個(gè)系統(tǒng)的能量表達(dá)為單個(gè)粒子的能量之和。

10．（P174）全同性粒子系統(tǒng)是指由具有完全相同的內(nèi)稟屬性（相同的質(zhì)量、電賀、自旋等等）的同類粒子組成的系統(tǒng)。

11．（P175）自然界中的基本粒子可分為兩類，自旋量子數(shù)為半整數(shù)的稱為費(fèi)米子；自旋量子數(shù)為整數(shù)的稱為玻色子。

12．（P178）統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的一個(gè)最根本的觀點(diǎn)是，宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的特性是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。

13．（P187）玻耳茲曼分布：；玻色分布與費(fèi)米分布

14．（P187、P196）簡并條件（經(jīng)典極限條件）：或者或者氣體越稀薄，溫度越高，分子質(zhì)量越大越容易滿足。P228）若簡并條件：或雖小但不可忽略；P239）強(qiáng)簡并條件：或者

15．P253）微正則分布------系統(tǒng)給定的宏觀條件是具有確定的粒子數(shù)N、體積V和能量E；P261）正則分布---------系統(tǒng)給定的宏觀條件是具有確定的粒子數(shù)N、體積V和溫度T；P290）巨正則分布---------系統(tǒng)給定的宏觀條件是具有確定的體積V、溫度T和化學(xué)勢。

16．P175）系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述：假如全同粒子可以分辨，確定全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)粒子的個(gè)體量子態(tài)；對于不可分辨的全同粒子，確定由全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)。

1、孤立系統(tǒng)的熵增加原理可用公式表示為（dS≥

0）。

2、一孤立的單元兩相系，若用指標(biāo)α、β表示兩相，則系統(tǒng)平衡時(shí)，其相變平衡條件可表示為（）P66。

3、熱力學(xué)第二定律告訴我們，自然界中與現(xiàn)象有關(guān)的實(shí)際過程都是（不可逆過程）。

4、在一般情況下，整個(gè)多元復(fù)相系不存在總的焓，僅當(dāng)各相的（壓強(qiáng)）相同時(shí)，總的焓才有意義。

5、如果某一熱力學(xué)系統(tǒng)與外界有物質(zhì)和能量的交換，則該系統(tǒng)稱為（開放系統(tǒng)）。

6、熱力學(xué)基本微分方程dU=（TdS-pdV)。

7、單元系開系的熱力學(xué)微分方程dU=（Dq+dW)。

8、在s、v不變的情形下，平衡態(tài)的（內(nèi)能）最小。

9、在T、V不變的情形下，可以利用（自由能判據(jù)）作為平衡判據(jù)。P26

1.熱力學(xué)第二定律的兩種表述及其本質(zhì)：克勞修斯（Clausius）的說法不可能把熱從低溫物體傳到高溫物體，而不引起其它變化，開爾文（Kelvin）的說法：“不可能從單一熱源取出熱使之完全變?yōu)楣Γ话l(fā)生其它的變化。”

后來被奧斯特瓦德(Ostward)表述為：“第二類永動(dòng)機(jī)是不可能造成的”

其本質(zhì)是一切實(shí)際過程都是不可逆的，都具有方向性。

2.熵判據(jù)：孤立系統(tǒng)中發(fā)生的不可逆過程，一定是朝著熵增加的方向進(jìn)行的，當(dāng)熵達(dá)到極大時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到熱力學(xué)平衡態(tài)，孤立系統(tǒng)中的熵的這一性質(zhì)可以作為判定系統(tǒng)是否處于熱平衡狀態(tài)的依據(jù)，故稱之為熵判據(jù)。

3.單元復(fù)相系平衡條件包括哪些？1、由等溫等壓系統(tǒng)---吉布斯判據(jù)（當(dāng)吉布斯函數(shù)減至最小時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡；整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)，兩相中的化學(xué)勢都必須相等。

4.近獨(dú)立粒子系統(tǒng)：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用。

5.全同性粒子系統(tǒng)：由具有完全相同屬性（相同的質(zhì)量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。

6.統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的最根本觀點(diǎn)是什么？宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)。

宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。

7.玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式：5.5.11式；5.10.4式；5.10.5式。

8.系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述：系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是指系統(tǒng)的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由同一時(shí)刻各粒子的瞬時(shí)狀態(tài)決定，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)也有經(jīng)典描述和量子描述；

經(jīng)典描述：系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，每個(gè)粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個(gè)代表點(diǎn)表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時(shí)刻的N個(gè)代表點(diǎn)描述

量子描述：對于N個(gè)粒子的系統(tǒng)，就是確定各個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)。

9.平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的一個(gè)基本假設(shè)是什么？答：是等概率原理

第三部分

單選題

1、彼此處于熱平衡的兩個(gè)物體必存在一個(gè)共同的物理量，這個(gè)物理量就是（③）

①態(tài)函數(shù)②內(nèi)能

③溫度

④熵

2、熱力學(xué)第一定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫為（①）

①

②

③

④

3、在氣體的節(jié)流過程中，焦湯系數(shù)=，若體賬系數(shù)，則氣體經(jīng)節(jié)流過程后將（②）

①溫度升高

②溫度下降

③溫度不變

④壓強(qiáng)降低

4、空窖輻射的能量密度u與溫度T的關(guān)系是（④）

①

②

③

④

5、熵增加原理只適用于（②）

①閉合系統(tǒng)

②孤立系統(tǒng)

③均勻系統(tǒng)

④開放系統(tǒng)

6、在等溫等容的條件下，系統(tǒng)中發(fā)生的不可逆過程，包括趨向平衡的過程，總是朝著（②）P25

①G減少的方向進(jìn)行

②F減少的方向進(jìn)行

③G增加的方向進(jìn)行

④F增加的方向進(jìn)行

7、從微觀的角度看，氣體的內(nèi)能是（④）

①氣體中分子無規(guī)運(yùn)動(dòng)能量的總和

②氣體中分子動(dòng)能和分子間相互作用勢能的總和

③氣體中分子內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的能量總和

④氣體中分子無規(guī)運(yùn)動(dòng)能量總和的統(tǒng)計(jì)平均值

9、根據(jù)熱力學(xué)第二定律可以證明，對任意循環(huán)過程L，均有（①）

①

②

③

④

10、理想氣體的某過程服從PVr＝常數(shù)，此過程必定是（④）

①等溫過程

②等壓過程

③絕熱過程

④多方過程

11、卡諾循環(huán)過程是由（①）

①兩個(gè)等溫過程和兩個(gè)絕熱過程組成②兩個(gè)等壓過程和兩個(gè)絕熱過程組成③兩個(gè)等容過程和兩個(gè)絕熱過程組成④兩個(gè)等溫過程和兩個(gè)絕熱過程組成12、下列過程中為可逆過程的是（③）

①準(zhǔn)靜態(tài)過程

②氣體絕熱自由膨脹過程

③無摩擦的準(zhǔn)靜態(tài)過程

④熱傳導(dǎo)過程

13、理想氣體在節(jié)流過程前后將（③）P48

①壓強(qiáng)不變

②壓強(qiáng)降低

③溫度不變

④溫度降低

14、氣體在經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程后將（④）

①保持溫度不變

②保持壓強(qiáng)不變

③保持焓不變

④保持熵不變

15、熵判據(jù)是基本的平衡判據(jù)，它只適用于（①）

①孤立系統(tǒng)

②閉合系統(tǒng)

③絕熱系統(tǒng)

④均勻系統(tǒng)

16、描述N個(gè)三維自由粒子的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的μ空間是（③)

①6維空間

②3維空間

③6N維空間

④3N維空間

17、描述N個(gè)自由度為1的一維線性諧振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的μ空間是（2N）

①1維空間

②2維空間

③N維空間

④2N維空間

18、由兩個(gè)粒子構(gòu)成的費(fèi)米系統(tǒng)，單粒子狀態(tài)數(shù)為3個(gè)，則系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為（②）

①3個(gè)

②6個(gè)

③9個(gè)

④12個(gè)

19、由兩個(gè)玻色子構(gòu)成的系統(tǒng)，粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè)，則玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為（①）

①3個(gè)

②6個(gè)

③9個(gè)

④12個(gè)

第五篇：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理習(xí)題

《熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理2》教學(xué)大綱

課程名稱（英文）：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理2（Thermodynamics and Statistical Mechanics Ⅱ）

課程代碼：0612933

課程類別：提高拓寬課程

學(xué)時(shí)：34學(xué)時(shí)

學(xué)分：2學(xué)分

考核辦法：考查

適用對象：物理學(xué)本科專業(yè)

一、課程簡介

《熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理2》課程是高等學(xué)校物理學(xué)專業(yè)本科選修的課程。是在《熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理1》的基礎(chǔ)上進(jìn)一步掌握熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的基本概念和原理，加深與擴(kuò)展熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的內(nèi)容，使學(xué)生對熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的概念、原理與基本理論有更透徹的理解與掌握。同時(shí)掌握用熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理解決實(shí)際問題的方法，進(jìn)一步提高學(xué)生的解題技巧與能力。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代物理學(xué)和科學(xué)技術(shù)奠定基礎(chǔ)，并滿足一部分學(xué)生考研的需要。

二、教學(xué)目的及要求

1、掌握多元系熱力學(xué)函數(shù)的一般性質(zhì)和多元系的熱力學(xué)方程，了解多元系的化學(xué)平衡條件。

2、系綜理論可以應(yīng)用于有相互作用粒子組成的系統(tǒng)。掌握系綜理論的基本概念，以及微正則系綜、正則系綜和巨正則系綜。

3、進(jìn)一步提高學(xué)生的解題技巧與能力。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代物理學(xué)和科學(xué)技術(shù)奠定基礎(chǔ)，并滿足一部分學(xué)生考研的需要。

三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：多元系的熱力學(xué)方程及復(fù)相平衡條件，熱力學(xué)第三定律；相空間，劉維定理，微正則系綜，正則系綜，巨正則系綜。

四、與其它課程的關(guān)系

1、前期課程：力學(xué)、熱學(xué)、原子物理、量子力學(xué)、高等數(shù)學(xué)，《熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理（1）》。

2、材料物理和固體物理等課程的先行課。

五、教學(xué)內(nèi)容

第四章多元系的復(fù)相平衡和化學(xué)平衡(10學(xué)時(shí))

本章主要教學(xué)內(nèi)容：

4.1 多元系的熱力學(xué)函數(shù)和熱力學(xué)方程：

(1)多元單相系的熱力學(xué)函數(shù)：歐勒定律 偏摩爾量；

(2)多元單相系的熱力學(xué)基本方程：多元方程 吉布斯關(guān)系；

(3)多元復(fù)相的系熱力學(xué)函數(shù)與基本方程。

4.2 多元系的復(fù)相平衡條件:

力學(xué)平衡條件:Pα=Pβ；熱平衡條件:Tα =Tβ；相平衡條件:μα i =μβi(i=1,2,3,...)

4.3 吉布斯相律：證明吉布斯相律

*4.5 化學(xué)平衡條件：

化學(xué)反應(yīng)式一般表達(dá)式；化學(xué)反平衡條件。

4.6 混合理想氣體的性質(zhì)：

混合理想氣體的物態(tài)方程；混合理想氣體的熱力學(xué)基本方程。

4.8 熱力學(xué)第三定律：

能斯脫定理與熱力學(xué)第三定律；由能斯脫定理推導(dǎo)熱學(xué)第三定律；絕對熵。

本章的教學(xué)目的及要求：掌握多元系熱力學(xué)函數(shù)的一般性質(zhì)和多元系的熱力學(xué)方程，了解多元系的化學(xué)平衡條件。

本章的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：多元系的熱力學(xué)方程及復(fù)相平衡條件，熱力學(xué)第三定律。

第九章 系統(tǒng)理論(10學(xué)時(shí))

本章主要教學(xué)內(nèi)容：

9.1 系統(tǒng), 相空間,列維定理：

(1)系統(tǒng),系統(tǒng)法與幾率法,μ空間與r空間；

(2)系統(tǒng)微觀狀態(tài)的描述；

(3)列維定理。

9.2 微正則分布：

(1)微正則系綜 ；

(2)微正則分布(等幾率原理)：①經(jīng)典表達(dá)式，②量子表達(dá)式，③能量在E-E+dE殼層內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)公式。

9.3 微正則分布的熱力學(xué)公式：

(1)求內(nèi)能,廣義力,熵的公式 ；

(2)求能量的相對漲落。

9.10 巨正則分布：開放系統(tǒng)，配分函數(shù)，巨正則分布。

9.11巨正則分布的熱力學(xué)函公式：

(1)求內(nèi)能、廣義力、熵的公式；

(2)求粒子數(shù)漲落和相對漲落。

本章的教學(xué)目的及要求：系綜理論可以應(yīng)用于有相互作用粒子組成的系統(tǒng)。掌握系綜理論的基本概念，以及微正則系綜、正則系綜和巨正則系綜。

本章的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：相空間，劉維定理，微正則系綜，正則系綜，巨正則系綜

習(xí)題講解（14學(xué)時(shí)）

1、關(guān)于麥?zhǔn)详P(guān)系應(yīng)用（2學(xué)時(shí)）

2、有關(guān)多元復(fù)相系平衡的計(jì)算（2學(xué)時(shí)）

2、量子態(tài)的計(jì)算（或微觀狀態(tài)數(shù)的計(jì)算）（2學(xué)時(shí)）

3、能量均分定理的應(yīng)用：（2學(xué)時(shí)）

4、關(guān)于光子氣和電子氣的計(jì)算（2學(xué)時(shí)）

5、系綜理論的計(jì)算（4學(xué)時(shí)）

本講的教學(xué)目的及要求：加深與擴(kuò)展熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理內(nèi)容，使學(xué)生對熱力

學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的概念、原理與基本理論有更透徹的理解與掌握，掌握用熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理解決實(shí)際問題的方法，提高學(xué)生的解題技巧與能力。

六、教材及參考書目

1、教材：

①《熱力學(xué).統(tǒng)計(jì)物理》（第三版），汪志誠，高等教育出版社，2003②自編講義

2、教學(xué)參考書：

①《熱力學(xué)簡程》（第二版），王竹溪，高等教育出版社，1978

②《統(tǒng)計(jì)物理學(xué)導(dǎo)論》（第二版），王竹溪，人民教育出版社，1964

③《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)》（第一版），馬本、高尚惠、孫煜，人民教育出版社，2003

④《熱力學(xué)》（第三版），熊吟濤，高等學(xué)校出版社，1979

⑤《統(tǒng)計(jì)物理學(xué)》，熊吟濤，高等學(xué)校出版社，1981

⑥《相對論物理.統(tǒng)計(jì)物理》(統(tǒng)計(jì)物理部分)，張家鋁、曹烈兆、陳兆甲，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1991

⑦Fundamentals of statishical and Thermal physics ,Kdif F, Mc Graw-Hill Book company.⑧《統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)》（第一版），朱文浩、顧毓沁，清華大學(xué)出版社,1983

七、教學(xué)方法與建議

主要采用講授課,注意培養(yǎng)學(xué)生思維和獨(dú)立思考能力，注意各章之間的聯(lián)系。