第一篇：2006年熱力學與統計物理教學及學術研討會會議紀要

2006年《熱力學與統計物理》教學及學術研討會會議紀要

由全國高校熱力學與統計物理教學研究會主辦，蘭州大學承辦的2006年《熱力學與統計物理》教學及學術研討會于7月16 日至7月23 日在蘭州舉行。

來自北京大學、中國科學技術大學等23所高校34名代表參加了會議。蘭州大學物理科學與技術學院副院長劉肅教授主持了開幕式，蘭州大學黨委副書記、副校長甘暉研究員參加了開幕式并致歡迎詞。全國高校熱力學與統計物理教學研究會主任委員、內蒙古大學梁希俠教授主持了大會報告。

大會報告有：人類認識世界-教學與科研（蘭州大學段一士教授）；非等壓一級相變（華中師范大學鄭小平教授）；21世紀的現代熱力學（復旦大學王季陶教授）等。與會代表還聽取了《電動力學》和《現代光學》課程教學研討會的大會報告。梁希俠主任就教育部高等學校物理學類專業教學指導分委員會關于物理學專業（本科）教學規范草案的相關內容做了介紹。延邊大學郭振平教授等代表就《熱力學與統計物理》及相關課程教學體系、教學方法與內容改革的經驗和問題做了報告和情況介紹。

與會代表對《熱力學與統計物理》及相關課程教學體系、教學方法與內容改革的經驗和問題進行了熱烈、認真的討論。與會代表認為，今后在《熱力學與統計物理》課程教學中，要繼續提倡教學體系、內容和模式的多樣化，注重學生的理論基礎培養及演繹、運算能力訓練，擴大學生的知識面、激發創新思想和思維能力訓練。要根據不同類型學校的具體情況和課程基本內容和基本要求，切合實際地進行教學體系、教學內容和教學方法等方面的改革，在學時和學分壓縮的情況下，保證教學質量和教學效果。與會代表還認為：以后此類會議要安排更多的專題報告和相關科學前沿動態介紹，以吸引更多的專家學者參加交流，總結和汲取先進經驗，提高教師的學術和教學水平，對《熱力學與統計物理》課程教學改革和教學質量提升起到積極的促進作用。

會議期間，經全國高校熱力學與統計物理教學研究會第五屆委員會（擴大）第三次

會議討論，決定換補南開大學趙柳教授（替換胡北來教授）為全國高校熱力學與統計物理教學研究會第五屆委員會委員。

蘭州大學領導對本次會議非常重視，物理科學與技術學院為會議的召開作了大量辛

勤工作，并給予經濟資助，保證了會議的圓滿成功。全體代表對他們表示衷心的感謝。

經與會代表協商、討論，初步議定下次研討會暨研究會委員會議于2007年8月在延吉舉行，由延邊大學承辦。

全國熱力學與統計物理教學研究會

蘭州大學物理科學與技術學院（代章）

2006年7月23日

第二篇：全國《熱力學與統計物理》教學及學術研討會

2010年高等學校熱力學與統計物理學教學及學術研討會通知

（第二輪）

受“教育部高等學校物理學與天文學教學指導委員會”的委托，高等學校《熱力學與統計物理學》教學及學術研討會將于2010年8月1日—8月5日在新疆昌吉市舉行，會議由高等學校《熱力學與統計物理學》教學研究會主辦，山東大學物理學院、昌吉學院物理系、山東省物理學會、新疆物理學會共同承辦。

1.主要內容：

圍繞本次會議的主題和議題，本屆會議的主要內容交流采用大會報告的形式。

2.會議征文：

根據大會統一安排，本次會議將編輯研討會論文集（光盤形式），請參會人員按照會議主 題和相關議題積極撰文投稿。

論文采用Email提交的方式提供電子版論文，請勿重復提交。提交論文的Email地址為:xjcjhmc@163.com。Email提交論文即日起即可提交。

3． 會議日程：（詳細安排見附表1）

2010年8月1日：報到

2010年8月2日：開幕式及邀請報告，大會報告

2010年8月3日：大會報告，學術交流與討論，閉幕式

2010年8月4日—5日：會議考察。8月4日，天池；8月5日，吐魯番。

4． 會議注冊：會議注冊費為每人1050元人民幣，食宿費自理，注冊費可在報到時現場 支付。

5.會議地點：昌吉市園林賓館

乘車路線：（線路圖見附表2）

（1）烏魯木齊火車站——可步行至月明樓站（約300米）——乘坐烏昌快運至昌吉石油大廈站下車（6.5元/人）——乘坐出租車至昌吉園林賓館（5元/車）（見線路圖）

（2）烏魯木齊地窩堡機場——乘出租車至昌吉市園林賓館，車程約30公里，車費40元左右（打表），30分鐘即到。

6．參會回執：為確保各位代表的順利注冊與住宿，務請參會代表于2010年7月15日前 將回執以電子郵件形式（或郵寄）返回。

地址：新疆昌吉市，昌吉學院物理系 收

郵編：831100

聯系人：陳惠敏、張劍梅、姚麗麗、智麗麗

電子郵件：xjcjhmc@163.com，jianmei850730@163.com，Yaolili5200@163.com，zll.2006@163.com

傳真：(0994)-2354207

電話：（0994）-2336272，2336273，2336282，***

7．食宿安排：會議期間食宿由會務組統一安排，入住昌吉市園林賓館，住宿費每標準 間(兩床)240元/天。

8．會議網頁：http://219.247.64.122/dede/

9．其他事宜：歡迎從事相關教學和研究的全國各高校教師參加，并請各位教師對會議 的籌備和會議安排等方面提出寶貴的意見和建議。

高等學校《熱力學與統計物理學》教學研究會 新疆維吾爾自治區物理學會昌吉學院物理系（代章）2010年7月1日

山東省物理學會山東大學物理學院

2010年高等學校《熱力學與統計物理學》教學及學術研討會回執

（復印有效）

其它說明：

1.會后旅游：會后（8月6日起），會議為代表提供了多條旅游路線（暫定為

1、喀納斯湖四日游；

2、喀什雙飛二日游；

3、那來提草原風情四日游；

4、喀什、卡拉庫里湖南疆風情雙飛二日游等）。自愿參加，費用自理。旅游線路及費用詳見網頁。

2.若家屬隨會議吃飯、考察，收費標準為850元/人。

附表1

大會交流安排表

附表2：

烏魯木齊市火車站乘車示意圖

昌吉市乘車示意圖

第三篇：熱力學統計物理

熱力學統計物理（目錄）

第一章 熱力學的基本規律

第二章 均勻物質的熱力學性質

第三章 單元系的相變

第四章 多元系的復相變平衡和化學平衡 熱力學平衡

第五章 不可逆過程熱力學簡介

第六章近獨立粒子的最概然分布

第七章 波爾茨曼統計

第八章 玻色統計和費米統計

第九章 系宗理論

第十章 漲落理論

第十一章 非平衡態統計理論初步

第四篇：《熱力學與統計物理》教學大綱[范文]

《熱力學與統計物理》教學大綱

學分：學時：審 核 人：執 筆 人：面向專業：物理學

一、課程定位

教學對象：物理專業本科生

課程類型：理論物理方向必修課

二、教學目標

通過本課程的學習要求學生初步掌握與熱現象有關的、物質的宏觀物理性質的唯象理論與統計理論，并對二者的特點與聯系有一較全面的認識。為學習后續課程和獨立解決實際問題打下必要的基礎。

三、教學內容及要求

大綱基本內容(不帶*號部分)可在規定的72學時內完成。各章所注學時前一個數字為講授課時數后者為習題課、討論課等學時數。各節所附數字為講授時數。

第一章 熱力學的基本規律(10+0)

1．熱力學系統的平衡狀態及其描述

2．熱平衡定律和溫度

3．物態方程

4．功l

5．熱力學第一定律

6．熱容量和焓

7．理想氣體的內能

8．理想氣體的絕熱過程

9．理想氣體的卡諾循環

10．熱力學第二定律l

11．卡諾定理

12．熱力學溫標(*)

13．克勞修斯等式和不等式l

14．熵的熱力學基本方程1

15．理想氣體的熵1

16．熱力學第二定律的普遍表述1

17．熵增加原理的簡單應用1

18．自由能和吉布斯函數1

說明：在克勞修斯等式和不等式之前的內容與《熱學》課重復較多，除基本概念外可做復習性簡述，可避免重復。同時又能保證熱力學基本概念與規律的嚴格性與系統性．重點應放在熵的性質，熵增加原理的應用上。

第二章 均勻物質的熱力學性質(6+2)

1．能、焓、自由能和吉布斯函數的全微分

2．麥氏關系的簡單應用

3．氣體的節流過程和絕熱彭脹過程

14．基本熱力學函數的確定1

5．特性函數l

6．平衡輻射的熱力學1

7．磁介質的熱力學1

說明：本章是熱力學部分的重點，要求在講清輔助函數的性質及麥氏關系的基礎上．通過對各類體系的應用體現熱力學函數的應用方法和熱力學函數應用的普遍性；本章習題較多，安排2學時的習題課。

第三章 單元系的相變(8+0)

1．熱動平衡判據1

2．開系的基本熱力學方程1

3．單元系的復相平衡條件1

4．單元復相系的平衡性質1

5．臨界點和氣液兩相的轉變1

6．液滴的形成2

7．相變的分類1

8．臨界現象和I臨界指數(*)

9．朗道連續相變理論(*)

第四章 多元系的復相平衡和化學平衡(4+0)

1．多元系的熱力學函數和熱力學方程l

2．多元系的復相平衡條件1

3．吉布斯相律1

4．熱力學第三定律1

第五章 不可逆熱力學簡介(*)

第六章近獨立粒子的最概然分布

1．系統微觀運動狀態的描述1

2．等概率原理

3．分布和微觀狀態2

4．玻爾茲曼分布2

5．粒子運動狀態的經典描述

6．粒子運動狀態的量子描述

7．玻色分布和費米分布l

8．三種分布的關系1

第七章 玻耳茲曼統計(14+2)

1．熱力學量的統計表達式2

2．理想氣體的物態方程2

3．麥克斯韋速度分布律2

4．能量均分定理2(10+0)

5．理想氣體的內能和熱容量(*)

6．理想氣體的熵2

7．固體熱容量的愛因斯坦理論2

8．順磁性固體(*)

9．負溫度狀態2

說明：這一部分是經典統計的重點，內容較多，安排2學時的習題課。

第八章 玻色統計和費米統計(8+0)

1．熱力學量的統計表達式1

2．弱簡并玻色氣體和費米氣體(*)

3．光子氣體2

4．玻色一愛因斯坦凝聚2

5．金屬中的自由電子氣體2

6．簡并理想費米氣體簡例l

7．二維電子氣體與量子霍爾效應(*)

說明：這部分是量子統計的重點，在實際中應用廣泛而重要，對深化人們對量子世界的認識非常有意義，可對學生提高要求。

第九章 系綜理論(8+0)

1．相空間劉維爾定理1

2．微正則分布l

3．微正則分布的熱力學公式1

4．正則分布l

5．正則分布的熱力學公式1

6．實際氣體的物態方程1

7．巨正則分布1

8．巨正則分布的熱力學公式1

9．巨正則分布的簡單應用(*)

說明：微正則系綜可以作為基本假設而省去劉維爾定理，巨正則分布的分布函數及熱力學公式也可以不做推導只給出結果，闡明意義。

第十章 漲落理論(*)

第十一章 非平衡態的統計理論(*)

四、考核方式、方法

閉卷考試，平時成績30%，卷面成績70%。

五、主要參考書

(1)龔昌德《熱力學與統計物理學》高等教育出版社，1982年

(2)蘇汝鏗《統計物理學》復旦大學出版社，1990年

(3)鐘云霄《熱力學與統計物理》科學出版杜，1988年

(4)陳光旨《熱力學統計物理基礎》廣西師范大學出版社，1989年

第五篇：熱力學統計物理(A參考答案)

寶雞文理學院試題

課程名稱 中學物理教育理論 適用時間與實踐研究

試卷類別A適用專業、年級、班專升本

一.填空題（本題共 7 題，每空 3 分，總共 21 分）

1.假設一物質的體漲系數和等溫壓縮系數經過實驗測得為：，則該物質的物態方程為：。

2.1 mol 理想氣體，保持在室溫下（K）等溫壓縮，其壓強從1 準靜態變為10，則氣體在該過程所放出的熱量為：焦耳。

3.計算機的最底層結構是由一些數字邏輯門構成的，比如說邏輯與門，有兩個輸入，一個輸出，請從統計物理的角度估算，這樣的一個邏輯與門，室溫下（K）在完成一次計算后，產生的熱量是：焦耳。

4.已知巨熱力學勢的定義為，這里是系統的自由能，是系統的粒子數，是一個粒子的化學勢，則巨熱力學勢的全微分為：。

5.已知粒子遵從經典玻耳茲曼分布，其能量表達式為子的平均能量為：。

6.溫度 時，粒子熱運動的熱波長可以估算為：。

7.正則分布給出了具有確定的粒子數、體積、溫度 的系統的分布函數。假設系統的配分函數為，微觀狀態 的能量為，則處在微觀狀態 上的概率為：。

二.簡答題(本題共 3 題，總共 30 分)

1.請從微觀和統計物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數為零的原因。(10分)

2.請說說你對玻耳茲曼分布的理解。(10分)

3.等概率原理以及在統計物理學中的地位。(10分)

三.計算題(本題共 4 題，總共 49 分)

1.一均勻桿的長度為 L，單位長度的定壓熱容量為，在初態時左端溫度為 T1，右端溫度為 T2，T1 < T2，從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統，請計算桿達到均勻溫度分布后桿的熵增。（你可能要用到的積分公式為）(10分)

2.設一物質的物態方程具有以下形式：，試證明其內能和體積無關。(10分)

3.表面活性物質的分子在液面上作二維自由運動，可以看作是二維氣體。請用經典統計理論計算：

（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。(9分)

（2）二維氣體分子的最概然速率。(4分)

4.（1）證明，在二維情況下，對于非相對論粒子，壓強和內能的關系為：

這里，是面積。這個結論對于玻爾茲曼分布、玻色分布和費米分布都是成立的。（8分）

（2）假設自由電子在二維平面上運動，電子運動為非相對論性的，面密度為，試求: 0 K 時電子氣體的費米能量、內能和簡并壓強。(8分)

熱力學.統計物理（A卷）答案

一.填空題（本題共 7 題，每空 3 分，總共 21 分）

1.pVT

?const

2.RT ln 10?5.74?103 3.kT ln 2?2.87?10-21

4.dJ??SdT?pdV?Nd? 5.2kT 6.??

h2m?kT

ES

或者??

h2mkT

7.?s?

e

?

kT

Z

二.簡答題(本題共 3 題，總共 30 分)

1.請從微觀和統計物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數為零的原因。(10分)

答：（1）熱力學中研究的熱平衡輻射系統，是一個和腔壁達到熱力學平衡的系統，熱力學理論可以證明，它的吉布斯函數為零。……………………（2分）

（2）從微觀角度看，平衡輻射場可以認為是光子氣體，每一個單色平面波對應于一個能量和動量確定的光子，腔壁中的輻射場對應于能量和動量從零到無窮大連續取值的光子氣體。輻射場和腔壁不斷發生熱交換，從微觀角度來看，相當于交換光子，因此，腔壁中的光子數不守恒。（2分）

（3）光子是玻色子，滿足玻色分布。在確定玻色分布公式的時候，由于光子數不守恒，因此確定第一個拉氏乘子?的條件不存在，從物理上理解，這個拉氏乘子?就應該為零，因為???勢為零。………………（4分）

（4）化學勢即為摩爾吉布斯函數（或者單個光子的吉布斯函數），光子氣體的吉布斯函數等于摩爾數（或者平均分子數）乘上化學勢，因此光子氣體的吉布斯函數為零。…………………（2分）2.請說說你對玻耳茲曼分布的理解。(10分)

答：（1）系統各個能級中的粒子數，構成一個數列，稱為分布。物理上，需要在給定的分布下，確定系統的微觀狀態。…………………………………（3分）

（2）玻耳茲曼系統是這樣的一個系統，它的各個粒子是可以分辨的，因此，要確定玻耳茲曼的微觀狀態，就需要確定每一個粒子的微觀狀態，給出玻耳茲曼系統的一個分布，只是確定了每一個能級的粒子數，但是這些粒子是哪一些粒子并沒有確定。…………………………………（3分）

（3）由于等概率原理，在給定的宏觀狀態下，任何一種微觀狀態出現的概率是一樣的。不同的分布對應的微觀狀態數是不一樣的，因此，對應微觀狀態數最多的分布，出現的概率最大，這就是最概然分布。玻耳茲曼系統的最概然分布就是玻耳茲曼分布。……………………………（4分）3.等概率原理以及在統計物理學中的地位。(10分)

答：（1）作為熱運動的宏觀理論，熱力學討論的狀態是宏觀狀態，由幾個宏觀參量表征，例如對于一

?

kT，故化學

個孤立系統，可以用粒子數N、體積V 和能量E 來表征系統的平衡態，狀態參量給定之后，處于平衡態的系統的所有宏觀物理量都具有確定值。…………………………………………（2分）

（2）系統的微觀狀態是指構成系統的每一個粒子的力學運動狀態，顯然，在確定的宏觀狀態之下，系統可能的微觀狀態是大量的，而且微觀狀態不斷地發生及其復雜的變化，例如，對于一個沒有相互作用的系統中，總能量是由N 個單粒子能量的簡單求和得到的，因此，將會有大量不同的方式選擇個別粒子的能量使其總和等于總能量。………（2分）

（3）等概率原理認為：在任意時刻，該系統處于各個微觀態中的任意一個狀態都是同等可能的，也就是概率是一樣的。對于一個孤立系統，數學表述就是：設所有可能的微觀狀態的數目?是粒子數N、體積V 和能量E的函數：???(N,V,E)，則每一個微觀狀態的概率為?

。……（3分）

（4）統計物理認為，宏觀物理量是相應的微觀物理量的系綜平均值，要求系綜平均值，就必須知道系統在各個微觀狀態出現的概率。等概率原理給出了孤立系統的各個微觀狀態出現的概率，因此，只要知道總的微觀狀態數，就可以計算各種宏觀物理量。這樣，等概率原理在連接宏觀物理量和相對應的微觀物理量之間建立了一個可以計算的橋梁。當然，實際上，對給定的孤立系統，計算總的微觀狀態數一般是很困難的，但是它是分析其他問題（如分析正則分布和巨正則分布）的基礎，等概率原理也稱為微正則分。……………………………………（3分）

三.計算題(本題共 4 題，總共 49 分)

1.一均勻桿的長度為L，單位長度的定壓熱容量為cp，在初態時左端溫度為 T1，右端溫度為T2，T1?T2，從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統，請計算桿達到均勻溫度分布后桿的熵

增。（你可能要用到的積分公式為?ln x?dx?

T2?T1

L）(10分)?d?x?ln x?x?。T2?T

1答：設桿的初始狀態是左端l?0 溫度為 T1，右端l?L 為T2，從左到右端，位于l 到l?dl的初始溫度為T?T1?

l，達到平衡后溫度為

T1?T

2，這一小段的熵增加值為：

T1?T2

dTT

l

dS?cpdl

T1?

T2?T1

L

?

?cpdl?ln

T1?

T2?T1

L

………………………………（4分）

l

根據熵的可加性，整個均勻桿的熵增加值為

T1?T2?S?

?dS??

L0

cpdl?ln

T1?

T2?T1

L1

?l

?

L

L0

cpdl?ln

T1?T2

LT?T1?

??cpdl?ln?T1?2

0L??

l? ?

?cpL?ln

T1?T2

T1?T2

?cp?

T2?T1

L1

T2?T1

L

?

d（T2?T1

L

T?T1??

l)?ln?T1?2l?

L??

?cpL?ln?cp?

?

T2

T1

dx?ln x

?cpL?ln

T1?T2

?cpL?

1T2?T1

?T2ln T2?T1ln T1?T2?T1?……………（6分）

2.設一物質的物態方程具有以下形式：p?f(V)T，試證明其內能和體積無關。(10分)

證明：以(V,T)作為自變量，則熵的全微分為：

??S???S?dS???dT???dV………………………………（3分）

??T?V??V?T

利用熱力學基本微分方程，有：

dU?TdS?pdV

???S????S??T??dT?TdV?????pdV

??V?T???T?V????S????S?

?T??dT??T???p?dV

??T?V???V?T?

因此有： ?

??U???S?

??T???p………………………………（3分）??V?T??V?T

??U???p?

??T???p ?V?T??T??V

由麥氏關系代入上式，可以得到： ?利用物態方程可以知：?故有：

??p?

??f(V)?T??V

??U???p?

???T???p?Tf(V)?p?0…………………………（4分）得證。?V?T??T??V

3.表面活性物質的分子在液面上作二維自由運動，可以看作是二維氣體。請用經典統計理論計算：

（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。(9分)（2）二維氣體分子的最概然速率。(4分)

答：玻耳茲曼分布的經典表達式是

al?e

?????1

??lh0

r

…………………………………………（2分）

在沒有外場時，二維情況下的分子質心運動能量的經典表達式為 2m2m

在面積A內，分子質心平動動量在dpxdpy范圍內的狀態數為

Ah

??

p

?

(px?py)

dpxdpy

因此，在面積A內，分子質心平動動量在dpxdpy范圍內的分子數為

Ah

e

???

12mkT

(px?py)

dpxdpy

參數由總分子數為N的條件定出

??

積分出，得

Ah

e

???

12mkT

(px?py)

dpxdp

y

?N

e

??

?

12?mkT

12mkT

NA

h0

因此，質心動量在dpxdpy范圍內的分子數為

N

12?mkT

e

?

(px?py)

dpxdpy

用速度作為變量，px?mvx;py?mvy，上式化為：

N

m2?kT

e

?m2kT

(vx?vy)

dvxdvy

這就是在面積A內，分子在dvxdvy范圍內的分子數。用n?N面積內，速度在dvxdvy范圍內的分子數為

f(vx,vy)dvxdvy?n

m2?kT

e

?m2kT

(vx?vy)

A

表示單位面積內的分子數，則在單位

dvxdvy…………………………（5分）

這就是二維情況下的速度分布律。歸一化條件為：

??

f(vx,vy)dvxdvy?

??n2?kT

m

e

?

m2kT

(vx?vy)

dvxdvy?n

m2kT

化為極坐標，并對角度進行積分，可得二維情況下的速率分布律

f(v)dv?n

最概然速率vm滿足條件：

df(v)dv

?n

mdkTdv

(e

?m2kT

v

mkT

e

?v

vdv…………………………………（2分）

v)?0

由此得到：

vm?

kTm

……………………………………………（4分）

在這個速率附近，分子數最多。

4.（1）證明，在二維情況下，對于非相對論粒子，壓強和內能的關系為：

p?

UA

這里，A是面積。這個結論對于玻爾茲曼分布、玻色分布和費米分布都是成立的。（8分）（2）假設自由電子在二維平面上運動，電子運動為非相對論性的，面密度為n?N子氣體的費米能量、內能和簡并壓強。(8分)

A，試求 0 K 時電

答：（1）不妨假設二維空間為正方形，邊長為L，根據周期性邊界條件，二維自由粒子在x和y方向的動量分量的可能取值為：

px?py?

hLhL

nx;nx?0,?1,?2,? ny;ny?0,?1,?2,?

1h

因此對于非相對論的自由粒子，能量為：

?n

xny

?

p

2m

?

2mL

（h)(nx?ny)?

222

2mA

(nx?ny)?aA

22?1

以單一指標l代替(nx,ny)，上式可以記為： ?l?aA?1 因此當有N個粒子存在時，產生的壓強為：

p???

l

??l?A

al??

?

l

(?1)aA

?2

al?A

?1

??lal?

l

UA

…………………（8分）

（2）在面積A?L2內，在p?p?dp內，自由粒子的量子態的數目為：

(Lh)2?pdp

由于電子自旋為

Ah，因此利用自由粒子的非相對論能量動量關系??

p

2m，得到在????d?內，自由電子的量子態的數目為：

2?md??

4?Amh

d?

根據費米分布，一個量子態上的平均電子數為：

f?

1e

????

?1

在面積A內，在????d?內，自由電子的數目為：

he?1he?1

在T?0K時，對上式積分，可以確定費米能量（零溫時的化學勢）：

?(0)

dN?

4?Am

????

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4?Am

(???)

kT

d?

N?

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d???F??(0)?

h

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n……………（4分）

面積A內，在????d?內，自由電子的能量為：

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在T?0KdU?

4?Am

1e

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kT

?1

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時，對上式積分，得到自由電子的內能為：

U(0)?

4?Amh

?(0)

??d??

N?(0)………………………………（2分）

在T?0K時的簡并壓強為：

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U(0)A

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n?(0)………………………………………（2分）