第一篇：熱力學與統計物理復習總結及相關試題

《熱力學與統計物理》考試大綱

第一章 熱力學的基本定律

基本概念：平衡態、熱力學參量、熱平衡定律

溫度，三個實驗系數（α，β，?T）轉換關系，物態方程、功及其計算，熱力學第一定律（數學表述式）熱容量（C，CV，Cp的概念及定義），理想氣體的內能，焦耳定律，絕熱過程及特性，熱力學第二定律（文字表述、數學表述），可逆過程克勞修斯不等式，熱力學基本微分方程表述式，理想氣體的熵、熵增加原理及應用。綜合計算：利用實驗系數的任意二個求物態方程，熵增（ΔS）的計算。

第二章

均勻物質的熱力學性質

基本概念：焓（H），自由能F，吉布斯函數G的定義，全微公式，麥克斯韋關系（四個）及應用、能態公式、焓態公式，節流過程的物理性質，焦湯系數定義及熱容量（Cp）的關系，絕熱膨脹過程及性質，特性函數F、G，空窖輻射場的物態方程，內能、熵，吉布函數的性質。

綜合運用：重要熱力學關系式的證明，由特性函數F、G求其它熱力學函數（如S、U、物態方程）

第三章、第四章 單元及多元系的相變理論

該兩章主要是掌握物理基本概念：

熱動平衡判據（S、F、G判據），單元復相系的平衡條件，多元復相系的平衡條件，多元系的熱力學函數及熱力學方程，一級相變的特點，吉布斯相律，單相化學反應的化學平衡條件，熱力學第三定律標準表述，絕對熵的概念。

統計物理部分

第六章

近獨立粒子的最概然分布

基本概念：能級的簡并度，?空間，運動狀態，代表點，三維自由粒子的?空

??間，德布羅意關系（?＝??，P??k），相格，量子態數。

等概率原理，對應于某種分布的玻爾茲曼系統、玻色系統、費米系統的微觀態數的計算公式，最概然分布，玻爾茲曼分布律（al??le（Z1??????l）配分函數

NZ1??lel???l??se???s），用配分函數表示的玻爾茲曼分布（Z1?1hr0al??el???l），fs，Pl，Ps的概念，經典配分函數（）麥態斯韋速度分布律。

綜合運用：

能計算在體積V內，在動量范圍P→P+dP內，或能量范圍ε→ε+dε內，粒子的量子態數；了解運用最可幾方法推導三種分布。

第七章

玻爾茲曼統計

基本概念：熟悉U、廣義力、物態方程、熵S的統計公式，乘子α、β的意義，玻爾茲曼關系（S＝KlnΩ），最可幾率Vm，平均速度V，方均根速度Vs，能量均分定理。

綜合運用：

能運用玻爾茲曼經典分布計算理想氣體的配分函數內能、物態方程和熵；能運

1???e???ldu用玻爾茲曼分布計算諧振子系統（已知能量ε＝（n+2）??）的配分函數內能和熱容量。

第八章

玻色統計和費米統計

基本概念：

光子氣體的玻色分布，分布在能量為εfs?1??s的量子態s的平均光子數eKT?1）（，T＝0k時，自由電子的費米分布性質（fs=1），費米能量?(0)，費米動量PF，T＝0k時電子的平均能量，維恩位移定律。

綜合運用：掌握普朗克公式的推導；T＝0k時，電子氣體的費米能量?(0)計算，T=0k時，電子的平均速率V的計算，電子的平均能量?的計算。

第九章

系綜理論

基本概念：

?空間的概念，微正則分布的經典表達式、量子表達式，正則分布的表達式，正則配分函數的表達式。

經典正則配分函數。

不作綜合運用要求。

四、考試題型與分值分配

1、題型采用判斷題、單選題、填空題、名詞解釋、證明題及計算題等六種形式。

2、判斷題、單選題占24％，名詞解釋及填空題占24％，證明題占10％，計算題占42％。

《熱力學與統計物理》復習資料

一、單選題

1、彼此處于熱平衡的兩個物體必存在一個共同的物理量，這個物理量就是（）

①態函數 ②內能 ③溫度 ④熵

2、熱力學第一定律的數學表達式可寫為（）

①UB?UA?Q?W

②UA?UB?Q?W ③UB?UA?Q?W

④UA?UB?Q?W

VT，則氣體經

3、在氣體的節流過程中，焦湯系數?=CP，若體賬系數節流過程后將（）

①溫度升高 ②溫度下降 ③溫度不變 ④壓強降低

4、空窖輻射的能量密度u與溫度T的關系是（）

（T??1）??

1①u?aT

②u?aVT

③u?aVT

④u?aT

5、熵增加原理只適用于（）

①閉合系統 ②孤立系統 ③均勻系統 ④開放系統

6、在等溫等容的條件下，系統中發生的不可逆過程，包括趨向平衡的過程，總是朝著（）

①G減少的方向進行 ②F減少的方向進行 ③G增加的方向進行 ④F增加的方向進行

7、從微觀的角度看，氣體的內能是（）

①氣體中分子無規運動能量的總和

②氣體中分子動能和分子間相互作用勢能的總和 ③氣體中分子內部運動的能量總和

④氣體中分子無規運動能量總和的統計平均值

8、若三元Ф相系的自由度為2，則由吉布斯相律可知，該系統的相數Ф是（）334

4①3

②2

③1

④0

9、根據熱力學第二定律可以證明，對任意循環過程L，均有

?

①??TL?0?

②

??TL?0

③???TL＝0?

④

??TL＝?S

10、理想氣體的某過程服從PVr＝常數，此過程必定是（）

①等溫過程

②等壓過程

③絕熱過程

④多方過程

11、卡諾循環過程是由（）

①兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成

②兩個等壓過程和兩個絕熱過程組成 ③兩個等容過程和兩個絕熱過程組成 ④兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成

12、下列過程中為可逆過程的是（）

①準靜態過程

②氣體絕熱自由膨脹過程

③無摩擦的準靜態過程

④熱傳導過程

13、理想氣體在節流過程前后將（）

①壓強不變

②壓強降低

③溫度不變

④溫度降低

14、氣體在經準靜態絕熱過程后將（）

①保持溫度不變

②保持壓強不變

③保持焓不變

④保持熵不變

15、熵判據是基本的平衡判據，它只適用于（）

①孤立系統

②閉合系統

③絕熱系統

④均勻系統

16、描述N個三維自由粒子的力學運動狀態的μ空間是（）

①6維空間

②3維空間

③6N維空間

④3N維空間

17、服從玻爾茲曼分布的系統的一個粒子處于能量為εl的概率是（）

Z1Z1Z1N

①

②

③

④

18、T＝0k時電子的動量PF稱為費米動量，它是T＝0K時電子的（）

①平均動量

②最大動量

③最小動量

④總動量

19、光子氣體處于平衡態時，分布在能量為εs的量子態s的平均光子數為（）

1????sPl＝1e???lPl＝?le???lPl＝1e???lPl＝1e?????l1??1????s1???②eKT?1

③e?1

④eKT?1

①e20、由N個單原子分子構成的理想氣體，系統的一個微觀狀態在?空間占據的相體積是（）

①h

②h

③h

④h

21、服從玻耳茲曼分布的系統的一個粒子處于能量為εs的量子態S的概率是（）

①Ps?Ps?3N6N361N1Nee?????s

②Ps?e???s?????s

③

④

22、在T＝0K時，由于泡利不相容原理限制，金屬中自由電子從能量ε＝0狀態起依次填充之?(0)為止，?(0)稱為費米能量，它是0K時電子的（）

①最小能量

②最大能量

③平均能量

④內能

23、平衡態下，溫度為T時，分布在能量為εs的量子態s的平均電子數是（）

Ps?e???sfs?1??ufs??②

1?①fs?eKTeKT?1 1?1?ufs???ueKT?1

④eKT?1 ③

24、描述N個自由度為1的一維線性諧振子運動狀態的μ空間是（）

①1維空間

②2維空間

③N維空間

④2N維空間

25、玻色分布和費米分布都過渡到玻耳茲曼分布的條件（非簡并性條件）是（）

①e?②e?1

③e??1

④e??1

26、由N個自由度為1的一維線性諧振子構成的系統，諧振子的一個運動狀態在μ空間占據的相體積是（）

2N2N①h ②h ③h ④h

27、由N個自由度為1的一維線性諧振子構成的系統，其系統的一個微觀狀態在?空間占據的相體積是（）

2N2N①h ②h ③h ④h

28、由兩個粒子構成的費米系統，單粒子狀態數為3個，則系統的微觀狀態數為（）

①3個 ②6個 ③9個 ④12個

29、由兩個玻色子構成的系統，粒子的個體量子態有3個，則玻色系統的微觀狀態數為（）

①3個 ②6個 ③9個 ④12個 30、微正則分布的量子表達式可寫為（）

? ①?s?e ②?s?e

③?s??

④

二、判斷題

1、無摩擦的準靜態過程有一個重要的性質，即外界在準靜態過程中對系統的作用力，可以用描寫系統平衡狀態的參量表達出來。（）

CP?????????s?

12、在P-V圖上，絕熱線比等溫線陡些，是因為r=CV。（）

3、理想氣體放熱并對外作功而壓強增加的過程是不可能的。（）

4、功變熱的過程是不可逆過程，這說明熱要全部變為功是不可能的。（）

5、絕熱過程方程對準靜態過程和非準表態過程都適用。（）

6、在等溫等容過程中，若系統只有體積變化功，則系統的自由能永不增加。（）

7、多元復相系的總焓等于各相的焓之和。（）

8、當孤立系統達到平衡態時，其熵必定達到極大值。（）

9、固相、液相、氣相之間發生一級相變時，有相變潛熱產生，有比容突變。

10、膜平衡時，兩相的壓強必定相等。（）

11、粒子和波動二象性的一個重要結果是微觀粒子不可能同時具有確定的動量和坐標。（）

12、構成玻耳茲曼系統的粒子是可分辨的全同近獨立粒子。（）

13、具有完全相同屬性的同類粒子是近獨立粒子。（）

14、玻色系統的粒子是不可分辨的，且每一個體量子態最多能容納一個粒子。（）

15、定域系統的粒子可以分辨，且遵從玻耳茲曼分布。（）

16、熱量是熱現象中特有的宏觀量，它沒有相應的微觀量。（）

?117、玻爾茲曼關系S=KlnΩ只適用于平衡態。（）

18、T=0k時，金屬中電子氣體將產生巨大的簡并壓，它是泡利不相容原理及電子氣的高密度所致。（）

三、填空題

1、孤立系統的熵增加原理可用公式表示為（）。

2、一孤立的單元兩相系，若用指標α、β表示兩相，則系統平衡時，其相變平衡條件可表示為（）。

3、吉布斯相律可表示為f=k+z-Ф，則對于二元系來說，最多有（）相平衡。

4、熱力學系統 由初始狀態過渡到平衡態所需的時間稱為（）。

5、熱力學第二定律告訴我們，自然界中與現象有關的實際過程都是（）。

6、熱力學第二定律的普遍數學表達式為（）。

dP7、克拉珀瓏方程dT?LT?v中，L的意義表示1mol物質在溫度不變時由?相轉變到?相時所吸收的（）。

8、在一般情況下，整個多元復相系不存在總的焓，僅當各相的（）相同時，總的焓才有意義。

9、如果某一熱力學系統與外界有物質和能量的交換，則該系統稱為（）。

10、熱力學基本微分方程dU=（）。

11、單元系開系的熱力學微分方程dU=（）。

12、單相化學反應的化學平衡條件可表示為（）。

13、在s、v不變的情形下，平衡態的（）最小。

14、在T、V不變的情形下，可以利用（）作為平衡判據。

15、設氣體的物態方程為PV=RT，則它的體脹系數?＝（）。

16、當T→0時，物質的體脹系數?（）。

17、當T→0時，物質的CV（）。

18、單元系相圖中的曲線稱為（），其中汽化曲線的終點稱為（）。

19、能量均分定理告訴我們，對處在溫度為T的平衡態的經典系統，粒子能量中每一個平方項的平均值都等于（）。

20、平衡態下，光子氣體的化學勢μ為零，這是與系統中的光子數（）相聯系的。

21、平衡態統計物理的一個基本假設是（）。

22、空窖內的輻射場可看作光子氣體，則光子氣體的能量ε和圓頻率ω遵循的德布羅意關系為（）。

23、若系統由N個獨立線性諧振子構成，則系統配分函數Z與粒子配分函數Z1的關系為（）。

24、用正則分布求熱力學量實質上相當于選取（）作為特性函數。

25、由N個單原子分子構成的理想氣體，粒子配分函數Z1與系統正則配分數Z的關系為（）。

326、T＝0k時，電子氣體的總能量U＝5，式中N為電子數，?(0)為費米能，則一個電子的平均能量為（）。

2mV27、已知T＝0k時，自由電子氣體的化學勢，則電子的費米功量P（0）＝（）。

28、等概率原理的量子表達式為（）。

29、用微正則分布求熱力學量實質上相當于選取（）作為特性函數。

30、由麥克斯韋速度分布律可知，如果把分子速率分為相等的間隔，則（）速率所在的間隔分子數最多。

四、名詞解釋

1、熱力學平衡態

2、馳豫時間

3、廣延量

4、強度量

5、準靜態過程

6、可逆過程

7、絕熱過程

8、節流過程

9、特性函數

10、熵增加原理

11、等概率原理

12、μ空間

13、態密度

14、粒子全同性原理

15、最概然速率

16、能量均分定理

17、玻耳茲曼分布

18、玻色分布

19、費米分布

20、?空間

五、證明題

1、證明熱力學關系式

1??T???P?[P?T?????]?VC?T?U??V V

?CP??S?(式中?為體脹系數???

2、??V?PTV?N?(0)?(0)??2(3?2N)23)

TP???T?（式中?為壓力系數）????CV3、證明熱力學關系式??V?S

?T??T????（式中?T為壓縮系數，?

4、證明熱力學關系式??P?V??U???V?????T???P?T????S V5、證明熱力學關系式

?為體脹系數）

R2aRT??P???P???????3?2?TV?6?VV(V?b)????VT6、對某種氣體測量得到，式中R，a，b為常數，試證該氣體的物態，方程為范德瓦斯方程。

CP??P???P??????

7、證明熱力學關系??V?SCV??V?T。

T??V???T???????PC?T????P，并說明其物理意義。SP8、證明

??P?Tds?CVdT?T??dV?T??V9、證明 ??T???T???P????P???T???V?U?U?U??V??V

10、證明?

六、計算題：

1、已知某氣體的體脹系數

??1T，等溫壓縮系數

?13avT4KT?1P，試求該氣體的物態方程。

2、已知某熱力學系統的特性函數F＝和物態方程。，式中?為常數。試求該系統的熵s

??R,??1PVT，試求該氣體

3、實驗測得1mol氣體的體脹系數和壓強系數分別為的物態方程。

4、一體積為2V的容器，被密閉的隔為等大的兩部分A和B，開始時，A中裝有單原子理想氣體，其溫度為T，而B為真空。若突然抽掉隔板，讓氣體迅速膨脹充滿整個容器，求系統的熵變。

5、對某固體進行測量，共體脹系數及等溫壓縮系數分別為式中a,b為常數，試求該固體的物態方程。

6、實驗測得某氣體的體脹系數和等溫壓縮系數分別為R，a均為常數。試求該氣體的物態方程。

????2aT?bPV1P,?T?bTV，nRPV,?T??aV，式中n，7、已知某表面系統的特性函數F＝?A，式中?為表面張力系數，且?＝?(T)，A為表面積。試用特性函數法求該系統的熵。

v?bv，試求氣體從體積v1等

8、已知1mol范德瓦耳斯氣體的物態方程為溫膨脹到v2時的熵變Δs。

9、有兩個體積相同的容器，分別裝有1mol同種理想氣體，令其進行熱接觸。若氣體的初溫分別為300k和400k，在接觸時保持各自的體積不變，且已知摩爾熱容量CV=R，試求最后的溫度和總熵的變化。

P?RT?a23，其中b為常數。設

10、已知某系統的內能和物態方程分別為0K時的熵S0=0，試求系統的熵。

11、設壓強不太高時，1mol真實氣體的物態方程可表示為PV=RT(1+BP)，其中R

U?bVT4,PV?1U為常數，B為溫度的函數，求氣體的體脹系數α和等溫壓縮系數?T。

Ra??V?????2?TPT??P12、對某氣體測量得到如下結果：

??V?，????Tf(P)??P?T，式中α,R為常數，f(P)只是P的函數。試求（1）f(P)的表達式。（2）氣體的物態方程。

13、已知水的比熱為4.18J/g.c，有1kg 0℃的水與100℃的恒溫熱源接觸，當水溫達到100℃時，水的熵改變了多少？熱源的熵改變了多少？水與熱源的總熵改變了多少？

14、設高溫熱源T1與低溫熱源T2與外界絕熱。若熱量Q從高溫熱源T1傳到低溫熱源T2，試求其熵度。并判斷過程的可遞性。15、1mol范德瓦斯氣體從V1等溫膨脹至V2，試求氣體內能的改變ΔU。

16、已知理想氣體的摩爾自由能f=(CV－S0)T－CVTlnT－RTlnV+f0,試求該氣體的摩爾熵。

17、試由玻耳茲曼分布求單原子理想氣體的物態方程和內能。（積分公式：????e?ax2??a）

18、試求T＝0k時，金屬中自由電子氣體的費米能量μ（0）。

19、若固體中原子的熱運動可看作是3N個獨立的線性諧振子的振動，振子的能量?＝（n?12）hv,n?0,1,2,?。試用玻耳茲曼分布求振子的配分函數Z1和固體的內能

u??N?lnZ1??12bq2U。

20、試由玻耳茲曼分布推導熱力學系統內能U的統計表達式

21、由N個經典線性諧振子組成的系統，其振子的能量b為常數，試求振子的振動配函數Z1（積分式????。，式中a，?＝12ap2?e?x2dx??）

p???c，22、空窖輻射看作由光子氣體構成。已知光子氣體的動量與能量的關系為式中?為圓頻率，c為光速。試求在體積V的空窖內，在?到?+d?的圓頻率范圍內，光子的量子態數為多少？

23、設空窖輻射場光子氣體的能量?＝cp???，試求溫度為T，體積為V的空窖內，圓頻率在?到??d?范圍內的平均光子數。

24、對于金屬中的自由電子氣體，已知電子的能量在?到??d?范圍內電子的量子態數。

2Isin?，試求雙原

25、設雙原子分子的轉動慣量為I，轉動動能表達式子分子的轉動配分函數。

26、假充電子在二維平面上運動，密度為n，試求T=0K時二維電子氣體的費米能量μ（0）。

27、氣柱的高度為H，截面積為S，處于重力場中，并設氣柱分子能量

p2?＝2m，試求在體積V內，能量

2?＝1(P??2PQ2)?＝12m(Px?Py?Pz)?mgz??ax2222，試由玻耳茲曼分布求氣柱分子的配分函數Z1和內能

?a）U（積分公式：??

28、服從玻耳茲曼分布的某理想氣體，粒子的能量與動量關系為?＝cp，式中c為光速。氣體占據的體積設為V，試求粒子的配分函數。?edx?

29、試求溫度為T，體積為V的空窖內，圓頻率在?到??d?范圍內的平均光子數及輻射場內能按頻率分布的規律。30、對于金屬中自由電子氣體，電子的能量

?＝p22m，試求在體積V內，T=0K時系統的總電子數。

部分參考答案

一、單選題

17、②

19、②

21、①

23、④

28、①

29、②

二、證明題

1、利用T、V、U構成的鏈式關系

??T???V???U???V???P???1＝T?????P????????T?V

??V?U??U?T??T?V及能態公式??U?T即可證明。??U???S???＝T???P?V?V?T??T10、選取U=U(T，V)以?代入下式

??T???＝???V?U??S???T???U???T?[T???????P]????U?V ??V?T??U?=－??V?T??S???P???????V?T?T??V代入即得

且?

六、計算題

4??F?S?－??＝aVT3??T?V2、31??F?4P????＝aT??T?T

3dT?dPp??dVV?將α、β代入再改寫為

3、選取T＝T（P，V）可求微分得dV?RPdT?RTP2dP湊成全微分后積分可得

dV??dT??TdP2V?RTP

1ap26、選取V=V(T,P)微分得V1以α，?T代入積分：PV=nRT-2?C

確定C=0 ∴PV=nRT-

28、?S＝?Tap

CVTTdT??V2V1V2??P???P???dV??dV?V1?T?T??V?V＝?以范氏氣體方程代入求偏導數再積?S＝Rlnv2?bv1?b

dS＝dU?PdVT分即得

10、由題中已知條件代入熱力學基本微分方程S＝43bTV3然后積分可得

?R?dT?Tf(P)dPf(P)?2?P 由全微分條件可得

a?R??

212、（1）選取V=V(T，P)得dV=?PTTdP?adT?dTR?－??22P?T積分并由物理邊界條件確定積分

(2)將f(P)代入dV式dV=?P常數 RT

∴V=P?U??aT

15、?U?????P?CdT?[P?T??]dV?V??T?V以范氏氣體方程代入

V1adVVV1?11???a???V?V2? ?1??f?'S?????CVlnT?RlnV?S0??T?V16、17、配分函數Z1?1h3???e3??2m(Px?Py?Pz)222dxdydzdpxdpydpz

?2?m??Z1?V??h2????

20、U?N?Pl?l?l?lal?l??lN?lz1e???l.?l??N?Z1??(??lel???l)

?N?Z1Z1????N12ap?2?lnZ1??

2＝Z

2?1hab??2?khabT21、v1?1h????e??(12bq)dqdp?

23、光的為 ???KT?0在體積V的空窖內，在動量P至P+dP范圍內光子的量子態數2?4?VPdPh32（考慮自旋）

將??cP???代入得

體積V內，在圓頻率????d?范圍內光子的量子態數

V?C23?d?2fs?1??以V2eKT?1代入 得體積V的空窖內，圓頻率在????d?范圍內

?d?32的平均光子數為?C24、25、見教材P275

26、動量在D(P)d?p?e23??KT?1

p28?Vpdph以??2m代入得D（?）d???4?Vh3(2m)312?2d?

Px至Px?dPx,Py至Py?dPy范圍內電子的量子態數

hD（Px,Py）dPxdPy?2dPxdPy??(Px,Py)?(P,?)SdPxdPy

（1）

（2）

?2?PdP

又P?2m?

（3）

∴D(?)d??4?sh2md?

（4）

???(0)???(0)

4?smh2?1fs???0

T＝0K時，∴

∴27Z1?1h3N??fsD(?)d????(0)0d??4?smh2?(0)

?(0)?hn4?m12(式中n?NS)、sh33??dxdy?H?0dz???e???2mKT(Px?Py?Pz)222dPxdPydPz?(2?mKT)2KTmg(1?e?mgHKT)

U??NlnZ12??U0?NKT?NmgHmgH

28、Z1?1h3???e13?c?pdxdydzdpxd33?1 Vpydpz?3heKT??0e?c?p4?pdp?24?Vh3??0pe2?c?pdp

8?V3＝hc??8?KVhc2233T 30、D(P)d?p?8?VPdPh2??P2m代入

???(0)???(0)D(?)d??N?1?134?V22f??s?（2m）?d?3?0h

∴ ??(0)0fsD(?)d???8?V3(2mh2)332?(0)

2《熱力學與統計物理》二00四年七月全真試題（僅供參考）

一、判斷題（下列各題，你認為正確的，請在題干的括號內打“√”，錯的打“×”。每題2分，共20分）

1、在等溫等壓條件下，若系統只有體積變化功，則系統的吉布期函數永不增加。（）

2、氣體的節流過程是等焓過程。（）

3、系統的體積是強度量，系統的壓強是廣延量。（）

4、根據吉布斯相律，二元四相系的自由度f＝4。（）

5、單元復相系達到平衡時，各相的溫度、壓強和化學勢必須分別相等。（）

6、所有工作于兩個一定溫度之間的可逆熱機，其效率不相等。（）

7、兩條絕熱線不能相交。（）

8、對于處在平衡態的孤立系統，微觀狀態數最多的分布出現的概率最大。（）

9、具有完全相同屬性的同類粒子是近獨立粒子。（）

10、順磁性固體是由定域、近獨立的磁性離子組成的系統，遵從玻耳茲曼分布。（）

二、填空題（每題2分，共20分）

1、如果某一熱力學系統與外界有物質和能量的交換，則該系統稱為（）。

2、熱力學第二定律的開爾文表述是：（）。

3、熱力學基本方程du=（）。

??S???＝

4、對熱力學系統而言，麥氏關系??P?T（）。

dp5、克拉珀龍方程dT＝LT(v??v)?中L表示（）。

6、系統的熵S與微觀狀態數Ω之間的玻耳茲曼關系式是（）。

7、玻色（費米）分布可以過渡到玻耳茲曼分布的經典極限（非簡并條件）為（）。

8、根據麥克斯韋速度分布律，理想氣體的方均根速率Vs=（）。

9、對于處在溫度為T的平衡狀態的經典系統，粒子能量中每一個平方項的平均值等于（）。

10、設有兩個全同的玻色子，占據三個不同的個體量子態，則該系統最多有（）個不同的微觀狀態。

三、名詞解釋題（每題5分，共20分）

1、熵增加原理

2、不可逆過程

3、等概率原理

4、玻色分布

四、計算題（每題10分，共40分）

1、某一熱力學系統的體脹系數的物態方程。

2、理想氣體初態溫度為T，體積為VA，經絕熱自由膨脹過程體積膨脹為VB，求氣體的熵變。

3、求由N個原子構成的愛因斯坦固體的內能。（可能用到的公式：1+x+x2+…11T，等溫壓縮系數

1p，求此熱力學系統

?＝KT＝+xn=1?x，(x?1)）

4、某種樣品中的電子服從費米分布，其態密度有如下特征：ε<0時，D（ε）＝0；ε≥0時，D（ε）＝D0，電子總數為N，試求T＝0k時的化學勢μ0，總能量U0。

第二篇：熱力學統計物理

熱力學統計物理（目錄）

第一章 熱力學的基本規律

第二章 均勻物質的熱力學性質

第三章 單元系的相變

第四章 多元系的復相變平衡和化學平衡 熱力學平衡

第五章 不可逆過程熱力學簡介

第六章近獨立粒子的最概然分布

第七章 波爾茨曼統計

第八章 玻色統計和費米統計

第九章 系宗理論

第十章 漲落理論

第十一章 非平衡態統計理論初步

第三篇：《熱力學與統計物理》教學大綱[范文]

《熱力學與統計物理》教學大綱

學分：學時：審 核 人：執 筆 人：面向專業：物理學

一、課程定位

教學對象：物理專業本科生

課程類型：理論物理方向必修課

二、教學目標

通過本課程的學習要求學生初步掌握與熱現象有關的、物質的宏觀物理性質的唯象理論與統計理論，并對二者的特點與聯系有一較全面的認識。為學習后續課程和獨立解決實際問題打下必要的基礎。

三、教學內容及要求

大綱基本內容(不帶*號部分)可在規定的72學時內完成。各章所注學時前一個數字為講授課時數后者為習題課、討論課等學時數。各節所附數字為講授時數。

第一章 熱力學的基本規律(10+0)

1．熱力學系統的平衡狀態及其描述

2．熱平衡定律和溫度

3．物態方程

4．功l

5．熱力學第一定律

6．熱容量和焓

7．理想氣體的內能

8．理想氣體的絕熱過程

9．理想氣體的卡諾循環

10．熱力學第二定律l

11．卡諾定理

12．熱力學溫標(*)

13．克勞修斯等式和不等式l

14．熵的熱力學基本方程1

15．理想氣體的熵1

16．熱力學第二定律的普遍表述1

17．熵增加原理的簡單應用1

18．自由能和吉布斯函數1

說明：在克勞修斯等式和不等式之前的內容與《熱學》課重復較多，除基本概念外可做復習性簡述，可避免重復。同時又能保證熱力學基本概念與規律的嚴格性與系統性．重點應放在熵的性質，熵增加原理的應用上。

第二章 均勻物質的熱力學性質(6+2)

1．能、焓、自由能和吉布斯函數的全微分

2．麥氏關系的簡單應用

3．氣體的節流過程和絕熱彭脹過程

14．基本熱力學函數的確定1

5．特性函數l

6．平衡輻射的熱力學1

7．磁介質的熱力學1

說明：本章是熱力學部分的重點，要求在講清輔助函數的性質及麥氏關系的基礎上．通過對各類體系的應用體現熱力學函數的應用方法和熱力學函數應用的普遍性；本章習題較多，安排2學時的習題課。

第三章 單元系的相變(8+0)

1．熱動平衡判據1

2．開系的基本熱力學方程1

3．單元系的復相平衡條件1

4．單元復相系的平衡性質1

5．臨界點和氣液兩相的轉變1

6．液滴的形成2

7．相變的分類1

8．臨界現象和I臨界指數(*)

9．朗道連續相變理論(*)

第四章 多元系的復相平衡和化學平衡(4+0)

1．多元系的熱力學函數和熱力學方程l

2．多元系的復相平衡條件1

3．吉布斯相律1

4．熱力學第三定律1

第五章 不可逆熱力學簡介(*)

第六章近獨立粒子的最概然分布

1．系統微觀運動狀態的描述1

2．等概率原理

3．分布和微觀狀態2

4．玻爾茲曼分布2

5．粒子運動狀態的經典描述

6．粒子運動狀態的量子描述

7．玻色分布和費米分布l

8．三種分布的關系1

第七章 玻耳茲曼統計(14+2)

1．熱力學量的統計表達式2

2．理想氣體的物態方程2

3．麥克斯韋速度分布律2

4．能量均分定理2(10+0)

5．理想氣體的內能和熱容量(*)

6．理想氣體的熵2

7．固體熱容量的愛因斯坦理論2

8．順磁性固體(*)

9．負溫度狀態2

說明：這一部分是經典統計的重點，內容較多，安排2學時的習題課。

第八章 玻色統計和費米統計(8+0)

1．熱力學量的統計表達式1

2．弱簡并玻色氣體和費米氣體(*)

3．光子氣體2

4．玻色一愛因斯坦凝聚2

5．金屬中的自由電子氣體2

6．簡并理想費米氣體簡例l

7．二維電子氣體與量子霍爾效應(*)

說明：這部分是量子統計的重點，在實際中應用廣泛而重要，對深化人們對量子世界的認識非常有意義，可對學生提高要求。

第九章 系綜理論(8+0)

1．相空間劉維爾定理1

2．微正則分布l

3．微正則分布的熱力學公式1

4．正則分布l

5．正則分布的熱力學公式1

6．實際氣體的物態方程1

7．巨正則分布1

8．巨正則分布的熱力學公式1

9．巨正則分布的簡單應用(*)

說明：微正則系綜可以作為基本假設而省去劉維爾定理，巨正則分布的分布函數及熱力學公式也可以不做推導只給出結果，闡明意義。

第十章 漲落理論(*)

第十一章 非平衡態的統計理論(*)

四、考核方式、方法

閉卷考試，平時成績30%，卷面成績70%。

五、主要參考書

(1)龔昌德《熱力學與統計物理學》高等教育出版社，1982年

(2)蘇汝鏗《統計物理學》復旦大學出版社，1990年

(3)鐘云霄《熱力學與統計物理》科學出版杜，1988年

(4)陳光旨《熱力學統計物理基礎》廣西師范大學出版社，1989年

第四篇：熱力學與統計物理第三章知識總結

§3.1 熱動平衡判據

當均勻系統與外界達到平衡時，系統的熱力學參量必須滿足一定的條件，稱為系統的平衡條件。這些條件可以利用一些熱力學函數作為平衡判據而求出。下面先介紹幾種常用的平衡判據。oisd

一、平衡判據

1、熵判據 熵增加原理，表示當孤立系統達到平衡態時，它的熵增加到極大值，也就是說，如果一個孤立系統達到了熵極大的狀態，系統就達到了平衡態。于是，我們就能利用熵函數的這一性質來判定孤立系統是否處于平衡態，這稱為熵判據。孤立系統是完全隔絕的，與其他物體既沒有熱量的交換，也沒有功的交換。如果只有體積變化功，孤立系條件相當與體積不變和內能不變。

因此熵判據可以表述如下：一個系統在體積和內能不變的情形下，對于各種可能的虛變動，平衡態的熵最大。在數學上這相當于在保持體積和內能不變的條件下通過對熵函數求微分而求熵的極大值。如果將熵函數作泰勒展開，準確到二級有

d因此孤立系統處在穩定平衡態的充分必要條件為既圍繞某一狀態發生的各種可能的虛變動引起的熵變穩定的平衡狀態。

如果熵函數有幾個可能的極大值，則其中最大的極大相應于穩定平衡，其它較小的極大相應于亞穩平衡。亞穩平衡是這樣一種平衡，對于無窮小的變動是穩定是，對于有限大的變動是不穩定的。如果對于某些變動，熵函數的數值不變，這相當于中性平衡了。，該狀態的熵就具有極大值，是熵判據是基本的平衡判據，它雖然只適用于孤立系統，但是要把參與變化的全部物體都包括在系統之內，原則上可以對各種熱動平衡問題作出回答。不過在實際應用上，對于某些經常遇到的物理條件，引入其它判據是方便的，以下將討論其它判據。

2、自由能判據 表示在等溫等容條件下，系統的自由能永不增加。這就是說，處在等溫等容條件下的系統，如果達到了自由能為極小的狀態，系統就達到了平衡態。我們可以利用函數的這一性質來判定等溫等容系統是否處于平衡態，其判據是：系統在等溫等容條件下，對于各種可能的變動，平衡態的自由能最小。這一判據稱為自由能判據。

按照數學上的極大值條件，自由能判據可以表示為： 由此可以確定平衡條件和平衡的穩定性條件。

所以等溫等容系統處于穩定平衡狀態的必要和充分條件為： 3吉布斯函數判據

在等溫等壓過程中，系統的吉布斯函數永不增加。

可以得到吉布斯函數判據：系統

;

在等溫等壓條件下，對于各種可能的變動，平衡態的吉布斯函數最小。

數學表達式為

，等溫等壓系統處在穩定平衡狀態的必要和充分條件為除了熵，自由能和吉布斯函數判據以外，還可以根據其它的熱力學函數性質進行判斷。例如，內能判據，焓判據等。

二、平衡條件

做為熱動平衡判據的初步應用，我們考慮一個均勻的物質系統與具有恒定溫度和恒定壓強的熱源相互接觸，在接觸中二者可以通過功和熱量的方式交換能量。我們推求在達到平衡時所要滿足的平衡條件和平衡穩定條件。

1．平衡條件

現在利用熵判據求系統的平衡條件。我們將系統和熱源合起來構成一個孤立系統，設系統的熵為S，熱源的熵為

因為熵是一個廣延量，具有可加性，則孤立系統的總熵（用）為：(1)當達到平衡態時，根據極值條件可得：(2)由熱力學基本方程

得

注意到組合系統是孤立的，必須滿足

(3)

(4)將（3）代入（2）得

將（4）代入上式得

（5）

因為式中U，V為獨立參量，可任意變化，所以為使上式成立，各系數必須恒等于零。由此可得：

(6)

表明系統和外界的溫度相等，是系

表明系統和外界壓 此式即為系統于外界保持平衡時應滿足的條件。統和外界在熱接觸的情況下應滿足的平衡條件，稱為熱平衡條件。強相等，稱為力學平衡條件。

為了保證平衡狀態的穩定性，系統除了滿足平衡條件外，還要滿足平衡穩定條件。

2、平衡穩定條件

由熵判據可知系統穩定平衡時需滿足即

因為系統與熱源發生相互作用而破壞平衡時，熱源的狀態改變很小，也就是對平衡態的偏離很小，所以可忽略。此時系統的平衡穩定條件簡化為

（8）

（法一）由（3）式將上式再微分一次，略去

和

利用線性代數求得

（法二）根據泰勒展式。將（8）式展為

2

通過導數變換，根據線性代數關系求得，(9)是平衡的穩定性條件。其中系統的力學穩定性的要求。

反映了系統的熱動穩定性的要求，反映了

§3.2 開系的熱力學基本方程

一、幾個概念k

1、元：把熱力學系統的每一種化學組分稱為一個組元，簡稱為元。

2、單元系：僅由一種化學組分組成的系統。例如純水。

3、多元系：由若干種化學組分組成的系統。例如空氣。

4、相：系統中物理和化學性質完全相同且成份相同的均勻部分稱為一個相。

5、單相系（均勻系）：僅有單一的相構成的系統稱為單相系

6、復相系（多相系）：有若干個相共存的系統稱為復相系

又根據組成系統的組元數目，把復相系分為單元復相系和多元復相系。例如，水和水蒸氣共存是單元二相系；鹽是水溶液與水蒸氣共存是二元二相系；

7、相變：在復相系中發生的相轉變過程。

8、開系：在相變過程中，物質可以由一相變到另一相，因此一個相的質量或mol數是可以變的，這時系統為開系。

二、開系的熱力學方程

1、G的全微分dG 從上一章我們知道，一個封閉的均勻系，在簡單情況下，只需兩個獨立參量即可確定系統的狀態，比如用T，P即可確定系統的吉布斯函數。但對均勻開放系統來說，為了確定其狀態，還必須把組成系統的物質摩爾數n或者質量m考慮在內，通常選摩爾數，則此時吉布斯函數是T，P，n為獨立參量，則吉布斯函數的全微分可擴展表示為

⑴

G是以 V，P，n為獨立變量的特征函數

其中

⑵

稱為化學勢，它表示在溫度、壓強不變的情況下，增加一摩爾的物質時，系統吉布斯函數的增量。

μdn表示由于摩爾數改變了dn所引起的吉布斯函數的改變。

由于吉布斯函數是廣延量，我們定義一個摩爾吉布斯函數（即1摩爾物質的吉布斯函數），則系統的吉布斯函數G(T,P,n)=ng(T,P)⑶

因此將⑶代入⑵式得 ⑷

這就是說，化學勢μ等于摩爾吉布斯函數g，這個結果適用于單元相系。

2、dU 由

得內能的全微分

⑸

U是以S，V，n為獨立變量的特征函數 ⑸式就是開系的熱力學基本方程。它是的推廣，可知，開系的內能U是以S,V,n為獨立變量的特性函數。μ也可以表示為 ⑹

即化學勢μ也等于在S,V不變的條件下，增加1mol物質時系統內能的改變。

3、dH 由焓的定義

得焓的全微分為

⑺

H是以S，P，n為獨立變量的特性函數。

因此化學勢也可表示為

4、dF

⑻

因自由能定義F=U-TS。可得自由能的全微分 —>dU)⑼

F是以T，V，n為獨立變量的特性函數

(注：dV—因此 ⑽

（5）、（7）、（9）稱為開系的熱力學函數 如果定義一個熱力學函數 巨熱力勢它的全微分為

⑿

J是以T，V，μ為獨立變量的特性函數。如果已知巨熱力勢J(T，V，μ)，其它熱力學函數可用下面的偏導數求得：

⑾

⒀

由以上討論可見，單元開系的熱力學特性函數與閉系相比，僅增加了一個變數n,并由此引進了化學勢的概念。

§3.3 單元系的復相平衡條件

一、平衡條件

1、推導：為簡單起見，考慮一個孤立的單元兩相系，我們用上角標α和β表示兩個相，用，和，分別表示α和β相的內能，體積和摩爾數。因為是孤立系，所以總的內能，體積和摩爾數是恒定的，有 ⑴

若系統發生一個虛變動，則α相和β相的內能，體積和摩爾數分別改變：，和。孤立系統的條件式（1）要求： ⑵

由知,兩相的熵變為

根據熵的廣延性知，整個系統的熵變

⑷

根據熵判據知，當整個系統達到平衡時，總熵有極大值

因為⑷式中δU,δV,δn是獨立變量,δS=0要求

，即： 熱平衡條件

力學平衡條件 ⑸

相變平衡條件，⑶

2、討論

如果平衡條件未被滿足，復相系統將發生變化，變化將朝著熵增加的方向進行。

1）如果熱平衡條件未能滿足，變化將朝著 的方向進行。例如當 的α相傳遞到低溫的β相去。

時，變化朝著的方向進行，即能量將從高溫2）在熱平衡滿足的情況下，若力學平衡未能滿足，變化將朝著的方向進行。例，當方向進行，即壓強大的相α膨脹，壓強小的相β收縮。

時，變化將朝著的3）在熱平衡條件已滿足，相變平衡條件未被滿足時，變化將朝著的方向進行。例如當時，變化將朝著的方向進行，即物質將由化學勢高的β相相變到化學勢低的α相去，這是μ被稱為化學勢的原因。

二、單元復相系的穩定性條件仍可表示為

一、P—T圖： ，§3.4 單元復相系的平衡性質

1、P—T圖：實驗指出：系統的相變與其溫度和壓強有關，在不同的溫度和壓強下系統可以有不同的相，氣相、液相或固相。有些物質的固相還可以具有不同的晶格結構，不同的晶格結構也是不同的相。如水（H2O）構成的系統有三態：水蒸氣（氣）、水（液）、冰（固）。在不同的條件下，其相有：氣態有一相；液態有一相；固態有六種不同的穩定態，它們分屬于六相。在直角坐標中，單元系相同可以用P—T圖表示。

由單元系相平衡條件，知

⑴

由式（1）決定的曲線 P=P(T)⑵ 稱為相平衡曲線。畫出P—T關系圖即為相圖。如圖為單元系相圖。

三條曲線將圖分為三個區域，它們分別表示固相、液相和氣相單相存在的溫度和壓強范圍。化學勢用，表示，在各自的區域內，溫度和壓強可以單獨變化。如圖中分開氣、液兩相的曲線AC，為汽化線，為氣液兩相的平衡線，在氣化線上氣液兩相可以平衡共存。氣化線上有一點C，溫度等于C點時，液相不存在，因而汽化線也不存在，C點稱為臨界點，相應的溫度和壓強稱為臨界溫度和臨界壓強。例如，水的臨界溫度是647.05K，臨界壓強是.分開液相和固相區域的曲線AB稱為熔解線（或凝固線）。

⑶

分開氣相和固相區域的曲線稱為升華線。

⑷

由于固相在結構上與氣液相差別很大，所以溶解曲線和升華曲線不存在端點，它們只能與其他相平衡曲線相交而中斷。氣化線、熔解線和升華線交于一點A，此點三相共存稱為三相點，是三條相平衡曲線的交點。在三相點，物質的氣、液、固相共存。對于某一物質三相點的溫度和壓強是確定的。例如，水的三相點溫度為273.16K，壓強為

.舉例：以液—氣兩相的轉變為例說明由一相到另一相的轉變過程。

如圖所示：系統開始處在由點1所代表的氣相，如果維持溫度不變，緩慢地增加外界的壓強，則為了維持平衡態，系統的壓強將相應地增大。這樣系統的狀態將沿直線1—2變化，直到與汽化線相交于2點，這時開始有液體凝結，并放出熱量（相變潛熱）。在點2，氣、液兩相平衡共存。如果系統放出的熱量不斷被外界吸收，物質將不斷地由氣相轉變為液相，而保持其溫度和壓強不變，直到系統全部轉變為液相后，如果仍保持溫度不變而增加外界的壓強，系統的壓強將相應地增大，其狀態將沿著直線2—3變化。

2、P—T圖的熱力學理論解釋：

由吉布斯函數判據我們知道，在一定溫度和壓強下，系統的平衡狀態是吉布斯函數最小的狀態。各相的化學勢是溫度和壓強確定的函數化學勢，如果在某一溫度和壓強范圍內，α相的較其它相的化學勢低，系統將以α相單獨存在。這個溫度和壓強范圍就是α相的單相區域。在這個區域內溫度和壓強是獨立的狀態參量。

在氣化線AC上，氣液兩相平衡共存。根據熱平衡條件，力學平衡條件和相變平衡條件，可知，⑸

在三相點，三個相的溫度、壓強和化學勢都相等，即

⑹

三相點的溫度和壓強由⑹式決確定。

（5）式給出兩相平衡共存時壓強和溫度的關系，是兩相平衡曲線的方程式。在平衡曲線上，溫度和壓強兩個參量中只有一個可以獨立改變P=P(T)。由于在平衡曲線上兩相的化學勢相等，兩相的任意比例共存，整個系統的吉布斯函數都是相等的。即，這就是中性平衡。當系統緩慢地從外界吸收或放出熱量時，物質將由一相轉變到另一相而始終保持在平衡態，稱為平衡相變。

二、克拉珀龍（Clapeyron）方程

1、Clapeyron方程 式子（5）為兩相平衡曲線，由于對物質化學勢缺乏足夠的知識，我們并不知道每一相的化學勢，所以相圖上的曲線多是由實驗直接測定的。但是由熱力學理論可以求出相平衡曲線的斜率的表達式稱為Clapeyron方程。

如圖，在P—T圖上畫出兩相平衡曲線。在相平衡曲線上取鄰近的兩點A(T，P)和B(T+dT，P+dP)在相平衡曲線上兩相的化學勢相等，即

⑺

兩式相減得:

⑻

這個結果表明，當沿著平衡曲線由A(T，P)變到B(T+dT，P+dP)時，兩相化學勢的變化必然相等。化學勢的全微分為

(9)其中和分別表示摩爾熵和摩爾體積。

所以有

則由（8）式得

整理變形得 ⑽

定義相變潛熱：以L表示1摩爾物質由α相變到β相時吸收的熱量，稱為，摩爾相變潛熱。因為相變時物質的溫度不變，由熵的定義得

⑾

代入（10）式得 ⑿

此式稱為（Clapeyron）方程，它給出兩相平衡的斜率。

分析Clapeyron方程:當物質發生熔解、蒸發或升華時，混亂程度增加，因而熵也增加，相變潛熱點是正的。由固相或液相轉變到氣相體積也增加，因此氣化線和升華線的斜率dP∕dT是恒正的。由固相轉到液相時，體積也發生膨脹，這時熔解線的斜率也是正的。但有些物質，如冰，在熔解時體積縮小，熔解線的斜率是負的。

2、蒸汽壓方程

應用克拉珀龍方程，可以得出蒸汽壓方程的近似表達式。與凝聚相（液相或固相）達到平衡的蒸汽稱為飽和蒸汽。由于兩相平衡時壓強與溫度間存在一定的關系，飽和蒸汽的壓強是溫度的函數。描述飽和蒸汽的方程稱為蒸汽方程。

若α相為凝聚相，β相為氣相，凝聚相的摩爾體積（每摩爾凝聚物的體積）遠小于氣相的摩爾體積，我們可以略去克拉珀龍方程（10）中的V，并把氣相看作理想氣體，滿足，則克拉珀龍方程可簡化為

分離變量: ⒀

如果更進一步近似地認為相變潛熱與溫度無關,積分上式，得

⒁

即蒸汽壓方程的近似表達式。可以將式⒁寫成

⒂

由式（15）可知，飽和蒸汽壓隨溫度的增加而迅速的增加。由蒸汽壓方程，可以確定出在一定溫度下的飽和蒸汽壓；反過來測定飽和蒸汽壓，也可確定出該狀態的溫度。根據這個原理，可以制造蒸汽壓溫度計。蒸汽壓溫度計主要用與低溫范圍的測量。

§3.5液滴的形成

前面討論兩相平衡時沒有考慮表面相的影響，因而得出的結果只適用于分界面為平面，或液面的曲率半徑足夠大時的情況。當分界面為曲面時，表面張力會對力學平衡條件和相平衡條件產生影響。

一、平衡條件：

我們首先討論在考慮表面相以后系統在達到平衡時所要滿足的平衡條件。將液滴與其蒸汽看作一個復合系統。設液滴為α相，蒸汽為β相，表面為γ相，三相的熱力學基本方程分別為

⑴

設液滴與其蒸汽構成的復合系統已達到熱平衡，則滿足

⑵

且設溫度和體積保持不變，因而我們可應用自由能判據推導系統的力學平衡條件和相變平衡條件。

設想在溫度和總體積保持不變的條件下，系統發生一個虛變動，則三相的n，V和A分別發生,;,;δA的變化。由于在虛變動中的系統的總摩爾數和總體積保持不變，應用

⑶

則

⑷

滿足

在三相溫度相等的條件下，整個系統的自由能

即

⑸

為簡單起見，假設液滴是球形的則，所以有，代入⑸式有 ⑹

由于和是任意的獨立參量,上式中的系數必為零,所以得

(力學平衡條件)

(相平衡條件)⑺

力學平衡條件表明由于表面張力的存在，平衡時球形液滴內部的壓強比蒸汽的壓強大件。當r→時，過渡到，這正是分界面為平面時的力學平衡條相變平衡條件表明平衡時兩相的化學勢仍然相等，但化學勢中的壓強不相等，其關系由力學平衡條件確定。

二、液滴的形成（中肯半徑或臨界半徑）

首先討論氣液兩相平衡時分界面為曲面的蒸汽壓強P′與分界面為平面的飽和蒸汽壓的關系。已知在分界面（液面）為平面時，力學平衡條件是，相變平衡條件為

⑻

上式確定飽和蒸汽壓與溫度的關系。

對分界面為曲面的情況，設兩相（氣、液）平衡時的蒸汽壓強為P′。由分界面為曲面的平衡條件 ⑼

給出曲面上的蒸汽壓強P′與曲面半徑r的關系。

現在利用（8）、（9）兩式推導曲面上的蒸汽壓強P′與平液面上的蒸汽壓強P的關系。由于液體有不易壓縮的性質，壓強改變時液體的性質變化很小，所以可將液體的化學勢在P的鄰域展成泰勒（Taylor）級數，只取一級近似，得

⑽

由,得

⑾

將蒸汽看作理想氣體，根據（2.4.15）和，可得蒸汽的化學勢

⑿

其中 是溫度的函數由上式得

⒀

由⑿ ⒀式得 ⒁

下面由⑻ ⑼ ⑾ ⒁四式得 ⒂

在實際問題中，通常，所以⒂式可近似寫為

⒃

根據（16）式可以求出與壓強為P′的蒸汽處于平衡的液滴半徑為

⒄

稱為中肯半徑（或臨界半徑）。當因此氣相將發生凝結，液滴連續增大；

時，,液相的化學勢降低，當時，就有，因而液滴就要蒸發。

只有當時，蒸汽與液滴互相平衡。

由以上的討論可以看出，在給定的溫度T 壓強P′下，要想在系統中出現凝結現象，就必須在系統中存在有半徑大于相應于T, P′時的臨界半徑的液滴。這種液滴起著凝結核心的作用，如果系統非常純凈，或其中的小顆粒半徑非常小，那么就會出現系統中的蒸汽壓強已超過P，但并沒有發生凝結，而形成過飽和蒸汽（過冷現象）。可見，過飽和蒸汽的出現，是由于蒸汽中缺少凝結核的緣故。

三、沸騰現象

對于沸騰現象的討論，可以完全仿照液滴形成的討論進行。但是應把液滴的半徑r換成氣泡的半徑-r。所以可以得到兩相共存的力學平衡條件為

⒅

表明氣泡內的蒸汽壓強衡。

將r變為-r后，又可得到

比液體的壓強大才能維持氣泡在液體中的力學平

⒆

表明為滿足相平衡條件，氣泡內的壓強P′必須小于同溫度下平液面上的飽和蒸汽壓P 由（18）（19）式可以說明液體的沸騰現象及沸騰前的過熱現象。液體沸騰時，內部有大量的蒸汽泡不斷形成和擴大。在一班情況下，液體內部和器壁上都有很多小空氣泡，它們作為汽化的核心，半徑已足夠大而接近于分界面為平面時，泡內的蒸汽壓P′近似等于P，只有溫度再上升一點使P′等于或大于液體的壓強P時，氣泡就會不斷長大，出現沸騰現象。但是，如果液體中沒有現成的空氣泡做核，或由漲落而引起的氣泡非常小，即使達到正常沸點時，也不會出現沸騰現象。這是由于相變平衡條件（19）式要求氣泡中的壓強P′必須小于分界面為平面的飽和蒸汽壓P，不能滿足力學平衡條件（18）式，氣泡反而被液體壓縮，所以不會產生沸騰現象。

在這種情況下，只有當溫度較正常沸點更高，使P′增大到滿足時，才能沸騰。液體的溫度等于正常沸點而不沸騰的現象稱為液體的過熱現象。可見液體的過熱現象的出現，是由于液體內缺少汽化核的緣故。

§3.6相變的分類

以前討論的氣、液、固之間的相變，兩相的體積不相等，熵也不相等（有相變潛熱），即相變時，有熵和體積的突變，而是另外一些量，如，等壓膨脹函數α，等溫壓縮系數等發生突變，1933年，愛倫費斯特（Ehrenfest）提出一個理論，把相變分為許多級（類）一、一級相變

特征：相變時兩相的化學勢連續，但一級偏導數（熵和體積）有突變。

由，得

, 一級相變的數學表達式即，得

, ⑴ 可見通常的氣、液、固之間的相變是一級相變。二、二級相變

特征：相變時兩相的化學勢及一級偏導數（熵和體積）連續，但二級偏導數（發生突變,，α，）即：

()()

所以 則可得，α，發生突變。但沒有相變潛熱和比容突變。

三、n級相變 類推到n級相變，特征：相變時兩相的化學勢及一級，二級……直到（n-1）級偏導數連續，但n級偏導數發生突變。

一級相變的相平衡曲線的斜率由Clapeyron方程給出，對于二級相變，由于，Clapeyron方程變為不定式，不能應用。但是愛倫費斯特根據二級相變在臨近的兩個點兩相的比熵和比容變化相等, 的條件導出了二級相變點壓強隨溫度變的斜率公式.證明：當兩相系統在壓強為P，溫度為T的情況下達到平衡時，比容為,而在P+dP

和

T+dT的情況下平衡時，應有

即參量，則

但取T,P為獨立

由此得到而

同樣，對于兩相平衡系統，有，由此得到稱為愛倫費斯特方程。

人們習慣上把二級以上的相變通稱為連續相變。由上可知，連續相變在相變點兩相的化學勢以及化學勢的一級偏導數連續。連續相變的相變點稱為臨界點。通過實驗和理論都可以分析連續相變，

第五篇：熱力學統計物理(A參考答案)

寶雞文理學院試題

課程名稱 中學物理教育理論 適用時間與實踐研究

試卷類別A適用專業、年級、班專升本

一.填空題（本題共 7 題，每空 3 分，總共 21 分）

1.假設一物質的體漲系數和等溫壓縮系數經過實驗測得為：，則該物質的物態方程為：。

2.1 mol 理想氣體，保持在室溫下（K）等溫壓縮，其壓強從1 準靜態變為10，則氣體在該過程所放出的熱量為：焦耳。

3.計算機的最底層結構是由一些數字邏輯門構成的，比如說邏輯與門，有兩個輸入，一個輸出，請從統計物理的角度估算，這樣的一個邏輯與門，室溫下（K）在完成一次計算后，產生的熱量是：焦耳。

4.已知巨熱力學勢的定義為，這里是系統的自由能，是系統的粒子數，是一個粒子的化學勢，則巨熱力學勢的全微分為：。

5.已知粒子遵從經典玻耳茲曼分布，其能量表達式為子的平均能量為：。

6.溫度 時，粒子熱運動的熱波長可以估算為：。

7.正則分布給出了具有確定的粒子數、體積、溫度 的系統的分布函數。假設系統的配分函數為，微觀狀態 的能量為，則處在微觀狀態 上的概率為：。

二.簡答題(本題共 3 題，總共 30 分)

1.請從微觀和統計物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數為零的原因。(10分)

2.請說說你對玻耳茲曼分布的理解。(10分)

3.等概率原理以及在統計物理學中的地位。(10分)

三.計算題(本題共 4 題，總共 49 分)

1.一均勻桿的長度為 L，單位長度的定壓熱容量為，在初態時左端溫度為 T1，右端溫度為 T2，T1 < T2，從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統，請計算桿達到均勻溫度分布后桿的熵增。（你可能要用到的積分公式為）(10分)

2.設一物質的物態方程具有以下形式：，試證明其內能和體積無關。(10分)

3.表面活性物質的分子在液面上作二維自由運動，可以看作是二維氣體。請用經典統計理論計算：

（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。(9分)

（2）二維氣體分子的最概然速率。(4分)

4.（1）證明，在二維情況下，對于非相對論粒子，壓強和內能的關系為：

這里，是面積。這個結論對于玻爾茲曼分布、玻色分布和費米分布都是成立的。（8分）

（2）假設自由電子在二維平面上運動，電子運動為非相對論性的，面密度為，試求: 0 K 時電子氣體的費米能量、內能和簡并壓強。(8分)

熱力學.統計物理（A卷）答案

一.填空題（本題共 7 題，每空 3 分，總共 21 分）

1.pVT

?const

2.RT ln 10?5.74?103 3.kT ln 2?2.87?10-21

4.dJ??SdT?pdV?Nd? 5.2kT 6.??

h2m?kT

ES

或者??

h2mkT

7.?s?

e

?

kT

Z

二.簡答題(本題共 3 題，總共 30 分)

1.請從微觀和統計物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數為零的原因。(10分)

答：（1）熱力學中研究的熱平衡輻射系統，是一個和腔壁達到熱力學平衡的系統，熱力學理論可以證明，它的吉布斯函數為零。……………………（2分）

（2）從微觀角度看，平衡輻射場可以認為是光子氣體，每一個單色平面波對應于一個能量和動量確定的光子，腔壁中的輻射場對應于能量和動量從零到無窮大連續取值的光子氣體。輻射場和腔壁不斷發生熱交換，從微觀角度來看，相當于交換光子，因此，腔壁中的光子數不守恒。（2分）

（3）光子是玻色子，滿足玻色分布。在確定玻色分布公式的時候，由于光子數不守恒，因此確定第一個拉氏乘子?的條件不存在，從物理上理解，這個拉氏乘子?就應該為零，因為???勢為零。………………（4分）

（4）化學勢即為摩爾吉布斯函數（或者單個光子的吉布斯函數），光子氣體的吉布斯函數等于摩爾數（或者平均分子數）乘上化學勢，因此光子氣體的吉布斯函數為零。…………………（2分）2.請說說你對玻耳茲曼分布的理解。(10分)

答：（1）系統各個能級中的粒子數，構成一個數列，稱為分布。物理上，需要在給定的分布下，確定系統的微觀狀態。…………………………………（3分）

（2）玻耳茲曼系統是這樣的一個系統，它的各個粒子是可以分辨的，因此，要確定玻耳茲曼的微觀狀態，就需要確定每一個粒子的微觀狀態，給出玻耳茲曼系統的一個分布，只是確定了每一個能級的粒子數，但是這些粒子是哪一些粒子并沒有確定。…………………………………（3分）

（3）由于等概率原理，在給定的宏觀狀態下，任何一種微觀狀態出現的概率是一樣的。不同的分布對應的微觀狀態數是不一樣的，因此，對應微觀狀態數最多的分布，出現的概率最大，這就是最概然分布。玻耳茲曼系統的最概然分布就是玻耳茲曼分布。……………………………（4分）3.等概率原理以及在統計物理學中的地位。(10分)

答：（1）作為熱運動的宏觀理論，熱力學討論的狀態是宏觀狀態，由幾個宏觀參量表征，例如對于一

?

kT，故化學

個孤立系統，可以用粒子數N、體積V 和能量E 來表征系統的平衡態，狀態參量給定之后，處于平衡態的系統的所有宏觀物理量都具有確定值。…………………………………………（2分）

（2）系統的微觀狀態是指構成系統的每一個粒子的力學運動狀態，顯然，在確定的宏觀狀態之下，系統可能的微觀狀態是大量的，而且微觀狀態不斷地發生及其復雜的變化，例如，對于一個沒有相互作用的系統中，總能量是由N 個單粒子能量的簡單求和得到的，因此，將會有大量不同的方式選擇個別粒子的能量使其總和等于總能量。………（2分）

（3）等概率原理認為：在任意時刻，該系統處于各個微觀態中的任意一個狀態都是同等可能的，也就是概率是一樣的。對于一個孤立系統，數學表述就是：設所有可能的微觀狀態的數目?是粒子數N、體積V 和能量E的函數：???(N,V,E)，則每一個微觀狀態的概率為?

。……（3分）

（4）統計物理認為，宏觀物理量是相應的微觀物理量的系綜平均值，要求系綜平均值，就必須知道系統在各個微觀狀態出現的概率。等概率原理給出了孤立系統的各個微觀狀態出現的概率，因此，只要知道總的微觀狀態數，就可以計算各種宏觀物理量。這樣，等概率原理在連接宏觀物理量和相對應的微觀物理量之間建立了一個可以計算的橋梁。當然，實際上，對給定的孤立系統，計算總的微觀狀態數一般是很困難的，但是它是分析其他問題（如分析正則分布和巨正則分布）的基礎，等概率原理也稱為微正則分。……………………………………（3分）

三.計算題(本題共 4 題，總共 49 分)

1.一均勻桿的長度為L，單位長度的定壓熱容量為cp，在初態時左端溫度為 T1，右端溫度為T2，T1?T2，從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統，請計算桿達到均勻溫度分布后桿的熵

增。（你可能要用到的積分公式為?ln x?dx?

T2?T1

L）(10分)?d?x?ln x?x?。T2?T

1答：設桿的初始狀態是左端l?0 溫度為 T1，右端l?L 為T2，從左到右端，位于l 到l?dl的初始溫度為T?T1?

l，達到平衡后溫度為

T1?T

2，這一小段的熵增加值為：

T1?T2

dTT

l

dS?cpdl

T1?

T2?T1

L

?

?cpdl?ln

T1?

T2?T1

L

………………………………（4分）

l

根據熵的可加性，整個均勻桿的熵增加值為

T1?T2?S?

?dS??

L0

cpdl?ln

T1?

T2?T1

L1

?l

?

L

L0

cpdl?ln

T1?T2

LT?T1?

??cpdl?ln?T1?2

0L??

l? ?

?cpL?ln

T1?T2

T1?T2

?cp?

T2?T1

L1

T2?T1

L

?

d（T2?T1

L

T?T1??

l)?ln?T1?2l?

L??

?cpL?ln?cp?

?

T2

T1

dx?ln x

?cpL?ln

T1?T2

?cpL?

1T2?T1

?T2ln T2?T1ln T1?T2?T1?……………（6分）

2.設一物質的物態方程具有以下形式：p?f(V)T，試證明其內能和體積無關。(10分)

證明：以(V,T)作為自變量，則熵的全微分為：

??S???S?dS???dT???dV………………………………（3分）

??T?V??V?T

利用熱力學基本微分方程，有：

dU?TdS?pdV

???S????S??T??dT?TdV?????pdV

??V?T???T?V????S????S?

?T??dT??T???p?dV

??T?V???V?T?

因此有： ?

??U???S?

??T???p………………………………（3分）??V?T??V?T

??U???p?

??T???p ?V?T??T??V

由麥氏關系代入上式，可以得到： ?利用物態方程可以知：?故有：

??p?

??f(V)?T??V

??U???p?

???T???p?Tf(V)?p?0…………………………（4分）得證。?V?T??T??V

3.表面活性物質的分子在液面上作二維自由運動，可以看作是二維氣體。請用經典統計理論計算：

（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。(9分)（2）二維氣體分子的最概然速率。(4分)

答：玻耳茲曼分布的經典表達式是

al?e

?????1

??lh0

r

…………………………………………（2分）

在沒有外場時，二維情況下的分子質心運動能量的經典表達式為 2m2m

在面積A內，分子質心平動動量在dpxdpy范圍內的狀態數為

Ah

??

p

?

(px?py)

dpxdpy

因此，在面積A內，分子質心平動動量在dpxdpy范圍內的分子數為

Ah

e

???

12mkT

(px?py)

dpxdpy

參數由總分子數為N的條件定出

??

積分出，得

Ah

e

???

12mkT

(px?py)

dpxdp

y

?N

e

??

?

12?mkT

12mkT

NA

h0

因此，質心動量在dpxdpy范圍內的分子數為

N

12?mkT

e

?

(px?py)

dpxdpy

用速度作為變量，px?mvx;py?mvy，上式化為：

N

m2?kT

e

?m2kT

(vx?vy)

dvxdvy

這就是在面積A內，分子在dvxdvy范圍內的分子數。用n?N面積內，速度在dvxdvy范圍內的分子數為

f(vx,vy)dvxdvy?n

m2?kT

e

?m2kT

(vx?vy)

A

表示單位面積內的分子數，則在單位

dvxdvy…………………………（5分）

這就是二維情況下的速度分布律。歸一化條件為：

??

f(vx,vy)dvxdvy?

??n2?kT

m

e

?

m2kT

(vx?vy)

dvxdvy?n

m2kT

化為極坐標，并對角度進行積分，可得二維情況下的速率分布律

f(v)dv?n

最概然速率vm滿足條件：

df(v)dv

?n

mdkTdv

(e

?m2kT

v

mkT

e

?v

vdv…………………………………（2分）

v)?0

由此得到：

vm?

kTm

……………………………………………（4分）

在這個速率附近，分子數最多。

4.（1）證明，在二維情況下，對于非相對論粒子，壓強和內能的關系為：

p?

UA

這里，A是面積。這個結論對于玻爾茲曼分布、玻色分布和費米分布都是成立的。（8分）（2）假設自由電子在二維平面上運動，電子運動為非相對論性的，面密度為n?N子氣體的費米能量、內能和簡并壓強。(8分)

A，試求 0 K 時電

答：（1）不妨假設二維空間為正方形，邊長為L，根據周期性邊界條件，二維自由粒子在x和y方向的動量分量的可能取值為：

px?py?

hLhL

nx;nx?0,?1,?2,? ny;ny?0,?1,?2,?

1h

因此對于非相對論的自由粒子，能量為：

?n

xny

?

p

2m

?

2mL

（h)(nx?ny)?

222

2mA

(nx?ny)?aA

22?1

以單一指標l代替(nx,ny)，上式可以記為： ?l?aA?1 因此當有N個粒子存在時，產生的壓強為：

p???

l

??l?A

al??

?

l

(?1)aA

?2

al?A

?1

??lal?

l

UA

…………………（8分）

（2）在面積A?L2內，在p?p?dp內，自由粒子的量子態的數目為：

(Lh)2?pdp

由于電子自旋為

Ah，因此利用自由粒子的非相對論能量動量關系??

p

2m，得到在????d?內，自由電子的量子態的數目為：

2?md??

4?Amh

d?

根據費米分布，一個量子態上的平均電子數為：

f?

1e

????

?1

在面積A內，在????d?內，自由電子的數目為：

he?1he?1

在T?0K時，對上式積分，可以確定費米能量（零溫時的化學勢）：

?(0)

dN?

4?Am

????

d??

4?Am

(???)

kT

d?

N?

?

4?Amh

d???F??(0)?

h

4?m

n……………（4分）

面積A內，在????d?內，自由電子的能量為：

h

在T?0KdU?

4?Am

1e

(???)

kT

?1

?d?

時，對上式積分，得到自由電子的內能為：

U(0)?

4?Amh

?(0)

??d??

N?(0)………………………………（2分）

在T?0K時的簡并壓強為：

p?

U(0)A

?12

n?(0)………………………………………（2分）