第一篇：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理試題(D卷)

熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理試題（D卷）

適用于2002級(jí)本科物理學(xué)專(zhuān)業(yè)

(2004-2005學(xué)年度第一學(xué)期)

1.(10 points)Consider(?U)=0.Show(?U)=0

?VT

2.(10 points)Consider C? 0and(v?p?V?pT)T?0.Show Cp?0

3.(20 points)Consider a chemical reaction follows that

2N2?32H2?NH3?0 Show isopiestic equilibrium constant

Kp?274??2

21??p

If the reaction follows that

N2?3H2?2NH3?0

calculate isopiestic equilibrium constant again.4.(20 points)Use Maxwell velocity distribution law to show the fluctuation of velocity and mean translational energy respectively follows that(v?)?

(??)?

?2kTm(3?8?)232(kT)2

?e

0??x2xdx?24?32?, ?e0??x2xdx?438?52

5.(20 points)The electronic density of a metal is 5.9?1028/m.Calculate the Fermi energy, 3

Fermi velocity and degenerate pressure of this free electronic gas at temperature T=0K.6.(20 points)Use canonical ensemble distribution to calculate the internal energy E, free energy F, chemical potential μ, and pressure p of the ideal gas.附簡(jiǎn)答：

1.(10 points)Solution

(?U?V（）T=T()T =

?p?T)V-p;?（?U?V)T=0;p?T（?p?T)V(4 points)

?U?V

?(U,T)?(V,T))T（?p?V

=

?(U,T)?(p,T)?(p,T)?(V,T)

=0=（?U?p)T(4 points)

∵?V

（?p)T≠0;?（?U?p)T=0(2 points)(10 points)Solution

Cp?CV

??p???V??????T??T?V??T?

p

(4 points)

??p???V?????T??V??p

???T?

??=-1(3 points)??

?V?p?T?

??p???V?

Cp ?CV??T????

?V?T??T??p?p?V

? C? 0)T?0, thusCpV ? 0andCv, Cp?0(4 points)

Because（3.(20 points)SolutionAssume NH3 with n0 mol, decomposed n0ε mol，the spare part(1-ε)n0 mol,making N2 with

1n0?

n0? mol and H2 with

n0? mol.Total number is(1+ε)n0 mol.xN

n0?

(1??)n0

22?;xH2?;x NH3?;(1??)n0(1??)n0(1??)n0

Isopiestic equilibrium constant

(5 points)

K

p

?1

?(xN2)2(xH2)2(xNH3)

274

?

p2

?

?1

?

?

1??

p

(5 points)

Ifthe reaction follows that

N2?3H2?2NH

?0

assume NH3 with 2n0 mol, decomposed 2n0ε mol，the spare part 2(1-ε)n0 mol, making N2 withn0? mol and H2 with3n0? mol.Total number is 2(1+ε)n0 mol.xN?

n0?2(1??)n0

;xH2?

3n0?2(1??)n0

;x NH3?

2(1??)n02(1??)n0

;(5 points)

Isopiestic equilibrium constant

K

p

?(xN2)(xH2)(xNH3)

13?2

p

1?3?2

?

?

2(1??)

?

3?

2(1??)

?

(1??)(1??)

?2?2

p

?

27?

16(1??)

p

(5 points)

4.(20 points)Solution

(v?)2?v2?2(5 points)

In the scope of V and dpx dpy dpz , the molecule number follows that

Vh

-?-

12mkT

(px?py?pz)

e

dpxdpydpz

f(vx, vy,vz)dvxdvydvz?m??n??

2?kT??

e

m2kT

(vx?vy?vz)

222

dvxdvydvz

?m?

?4?n??

2?kT??

3e

m2kT

v

vdv

(5 points)

(v?)?v?2

?

kTm

(3?

?)

D(?)d??

2?Vh

(2m)

3?

d?

(5 points)

?

?

154

(kT),22

?32

(kT)

(??)

??

?2

?(kT)

(5 points)5.(20 points)Solution

The mean number of electron at one level ε is

when temperature T=0K: f=1ε<μ(0)

f=0ε>μ(0)(5 points)

4?Vh

f?

e

???

kT

?1

(2m)

?

?(0)

?

212

d? ?N

?

?(0)??3?

2m?

?

N??V?

?5.6eV

(5 points)

?(0)?p(0)2m

vF?1.4?10m.s

?

p(0)??3?

?

N??V?

?1

(5 points)

??2.1?10

Pa

(5 points)

6.(20 points)Solution

(4 points)

3N

E?

?

i?1

pi

2m

1??E

Z?

N!h

3N

?e

dq1?dq3Ndp1?dp3N

3N

Z?V

N

?2?m?2

N!????h2???

The free energy

lnZ(T, V, N)=-NkT(1?ln??V??2?mkT?32F=--kT??2

??)?N?h???

p???F?V

?

NkTT,N

V

S??

?F?V?2?mkT?32?T

?Nk(ln????5

V,N

??

N?h2

???)??2???F

?Nk(ln??V??2?mkT?32?5

? N? 2

???)V ,N? N?h???2

(4 points)

(4 points)(4 points)

(4 points)

第二篇：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理試題(B卷)

熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理試題（B卷）

適用于200×級(jí)本科物理學(xué)專(zhuān)業(yè)

(200×-200×學(xué)第×學(xué)期)

6．（20分）在極端相對(duì)論情形下電子能量與動(dòng)量的關(guān)系為??cp,其中c為光速.試求自由電子氣體在0K時(shí)的費(fèi)米能量,內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓.附標(biāo)準(zhǔn)答案

1.(10分)解證：范氏氣體?p?

??a?

?v?b??RT 2?v?

由式(2.2.7)? ?

Ra??U???p?

?p?2(5分)?=T??-p=T

v?bv??v?T??T?V

aa??U?

??=2?U(T,v)?U0??f(T)

v??v?Tv

??U?

CV???=f?(T)；與v無(wú)關(guān)。(5分)

??T?V

2．(20分)證明：顯然屬于一級(jí)相變;L?T(S????S???);其中S?S?T,p(T)?，在p～T相平衡曲線上.??Sdp?dL??S?

??S????S????T????T?????dT??T???pdT?

??S?????S??????S??????其中：?? ???????

??T???T?P??T?P

??S??????Sdp???S????dp

???????[](5分)??????T???pdT???T?dT?P??P???

又有：CP?T?

??S???????

?；L?T(S?S)??T?P

由麥?zhǔn)详P(guān)系(2.2.4): ??

??S???V?

?????（5分）?

??T?P??p?T

上幾式聯(lián)立(并將一級(jí)相變的克拉伯瓏方程代入)得：

dLL?

?cp-cp???dTT

???v?

????T??????v???L

??????T???v??v?(5分)?p??p??

???

若?相是氣相，?相是凝聚相；V

??V????～0；??T??～0；

??p

?相按理想氣體處理。pV=RT

?

dL??

?cp?cp(5分)dT

3．（10分）證明：（1）U(T,?V,?n1,??nk)??U(T,V,n1,?nk)

根據(jù)歐勒定理，?xi?f?f，可得

?xii

U??ni

i

?U?U

(5分)?V

?ni?V?U?U?U?U

?V??ni(?vi)??niui ?ni?V?n?Viii

（2）U?

?ni

i

ui?

?U?U

(5分)?vi

?ni?V

4．（20分）證明：出現(xiàn)某狀態(tài)?s幾率為Ps

設(shè)S1,S2,……Sk狀態(tài)對(duì)應(yīng)的能級(jí)?s?

設(shè)Sk+1 ,Sk+2,……Sw狀態(tài)對(duì)應(yīng)的能級(jí)?s?

類(lèi)似………………………………

e?????s

則出現(xiàn)某微觀狀態(tài)的幾率可作如下計(jì)算：根據(jù)玻爾茲曼統(tǒng)計(jì) PS?；

N

顯然NPs代表粒子處于某量子態(tài)S下的幾率，NPS?e

?????S

。于是

?e???

??

S

代表

?SK?????S??

?個(gè)粒子在?s?上的K個(gè)微處于S狀態(tài)下的粒子數(shù)。例如，對(duì)于?s?能級(jí)??e?S?S?

?1?

觀狀態(tài)的概率為： P

?S???PS??粒子數(shù)??P

?Sk??e?????s???? S??S?S1?

?

類(lèi)似寫(xiě)出：P

?S????P

?Sk??e?????s?????S???S?S1?

?

………………………………………………等等。(5分)

于是N個(gè)粒子出現(xiàn)某一微觀狀態(tài)的概率。

P??P?S??

S?S?

S

P?

?Sk?

?????s???e??S?SS??1?

?P?

?Sk?

?e?????s????? S???S?S1?

一微觀狀態(tài)數(shù)??，（基于等概率原理）P

S?kln?(5分)

S?kln

Sk??SW?

????????S???????S?????ee????P?????PS???S???S?SK?1?S?S1??????

（5分）

SW

?SK?????S????k??elnPS???e?????S??lnPS??????

SK?1?S1?

????

將NPS?e

?????S

帶入?S??kN

?P

S

S

lnPS(5分)

5．（20分）證明: 在體積V中,ω到ω+ dω的頻率范圍內(nèi)準(zhǔn)粒子的量子態(tài)數(shù)為

g(?)d??

4?V21/2

pdp?B?d?3h,（5分）

推導(dǎo)上式時(shí),用到關(guān)系p??k.這里B為常數(shù).由于準(zhǔn)粒子數(shù)不守恒,玻色分布中的??0.系統(tǒng)的內(nèi)能為

E??0

?m

3/2

???m??

g(?)d??B?0???d????

e?1e?1,（5分）

考慮到態(tài)密度在高頻時(shí)發(fā)散,需引入截止頻率可令

?m.但在低溫下?????1,在積分中

?m??.設(shè)????x,則有

E?

?

CT5/20

x3/25/2?xdx?Te?1,（5分）

??E?

CV????T3/2

??T?V其中,C為常數(shù).易得.（5分）

6．（20分）在極端相對(duì)論情形下電子能量與動(dòng)量的關(guān)系為??cp,其中c為光速.試求自由電子氣體在0K時(shí)的費(fèi)米能量,內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓.解: 在體積V中,? 到? + d? 的能量范圍內(nèi)電子的量子態(tài)數(shù)為

g(?)d??

8?V28?V2

pdp??d?333hhc.（5分）

???0?1,f??

???0.?0,絕對(duì)零度時(shí),費(fèi)米函數(shù)為

?08?V8?V3

N??fg(?)d???33?2d??33?0

3hc0hc總電子數(shù)滿足,?3N?

?0???

8?V??可求出費(fèi)米能量

E???fg(?)d???

1/3

hc

.（5分）

?d??3

?08?V

電子氣的內(nèi)能

h3c

8?V43

??N?0330

44hc.（5分）

氣體的簡(jiǎn)并壓

pd?

EN

??03V4V.（5分）

第三篇：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理試題

熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理試題

適用于200×級(jí)本科物理學(xué)專(zhuān)業(yè)

(200×-200×學(xué)第×學(xué)期)

1.(10分)證明范氏氣體的定容熱容量只是溫度的函數(shù),與比容無(wú)關(guān).2.(20分)

dL

dT試證明，相變潛熱隨溫度的變化率為 ???v???????TT???L?cp-cp?????v???????p??T??L??? ??v?v?p??

如果?相是氣相，?相是凝聚相，試證明上式可簡(jiǎn)化為：

dL

dT?cp??cp ?

3．(10分)若將U看作獨(dú)立變數(shù)T, V, n1,… nk的函數(shù)，試證明：

（1）U??

ini?U?ni?V?U?V

（2）ui??U?ni?vi?U?V

4．（20分）試證明，對(duì)于遵從玻爾茲曼分布的系統(tǒng)，熵函數(shù)可以表示為

S??Nk?PslnPs

s

式中Ps是總粒子處于量子態(tài)s的概率，Ps?

和。

e?????sN?e???sZ1,?s對(duì)粒子的所有量子態(tài)求

5．（20分）鐵磁體中的自旋波也是一種準(zhǔn)粒子,遵從玻色分布,色散關(guān)系是??Ak.試證明在低溫下,這種準(zhǔn)粒子的激發(fā)所導(dǎo)致的熱容與T

3/22成正比.6．（20分）在極端相對(duì)論情形下電子能量與動(dòng)量的關(guān)系為??cp,其中c為光速.試求自由電子氣體在0K時(shí)的費(fèi)米能量,內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓.附標(biāo)準(zhǔn)答案

1.解證：范氏氣體?p?2??v?b??RT

(10分)v??

Ra??U???p?

由式(2.2.7)? ? ?p?2?=T??-p=T(5分)v?bv??v?T??T?Vaa??U???=2?U(T,v)?U0??f(T)

v??v?Tv

?a?

??U?

CV???=f?(T)；與v無(wú)關(guān)。(5分)

??T?V

2．(20分)證明：顯然屬于一級(jí)相變;L?T(S????S???);其中S?S?T,p(T)?，在p～T相平衡曲線上.dLdT

?S

???

?S

???

??Sdp???S?

???T???T?????

??T???pdT?

???

??S???S

其中：??????

??T???T

???S?????????P??T

?? ??P

?dp?]?(5分)?dT?P

??S?????Sdp?

???????[???T?pdT??????S???

??????P??T

??S???????

又有：CP?T??S)?；L?T(S

??T?P

由麥?zhǔn)详P(guān)系(2.2.4): ??

??S???V?

?????（5分）?

??T?P??p?T

上幾式聯(lián)立(并將一級(jí)相變的克拉伯瓏方程代入)得：

dLdT

?cp-cp

?

?

???v?

??????TT???

L

???v?

??????p??T

?

??L???(5分)??v?v?p??

?

?～0； ??p

若?相是氣相，?相是凝聚相；V

?

??V???

～0；??T

?

?相按理想氣體處理。pV=RT

?

dLdT

?cp

?

?cp

?

(5分)

3．（10分）證明：（1）U(T,?V,?n1,??nk)??U(T,V,n1,?nk)

根據(jù)歐勒定理，?xi?f?f，可得

i

?xi

U?

?

i

ni

?U?ni?U?ni?vi

?V

?U?V?U?V

(5分)

（2）U?

?

i

ni

?V?

?

i

ni（?U?ni

?vi

?U?V)?

?nu

ii

i

ui?

?U?ni

?U

(5分)?V

4．（20分）證明：出現(xiàn)某狀態(tài)?s幾率為Ps

設(shè)S1,S2,……Sk狀態(tài)對(duì)應(yīng)的能級(jí)?s?

設(shè)Sk+1 ,Sk+2,……Sw狀態(tài)對(duì)應(yīng)的能級(jí)?s?

類(lèi)似………………………………

則出現(xiàn)某微觀狀態(tài)的幾率可作如下計(jì)算：根據(jù)玻爾茲曼統(tǒng)計(jì) PS?顯然NPs代表粒子處于某量子態(tài)S下的幾率，NPS?e

?????S

e

?????s

N；

。于是?e

?????S

代表

?SK?????

S?

處于S狀態(tài)下的粒子數(shù)。例如，對(duì)于?s?能級(jí)??e

??S?S1?

?個(gè)粒子在?s?上的K個(gè)微??

觀狀態(tài)的概率為： P?S???PS?

?粒子數(shù)?

?P

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?

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?

????

類(lèi)似寫(xiě)出：P?S????P

?Sk

?????s???e

?

S???S?S1

?

????

(5分)

………………………………………………等等。

于是N個(gè)粒子出現(xiàn)某一微觀狀態(tài)的概率。

P?

?P?S??

S?S?

S

P

?Sk

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S??S?S1

?

????

?P

?Sk

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?

S???S?S1

?

????

一微觀狀態(tài)數(shù)??

1P，（基于等概率原理）

(5分)

S?kln?

S?kln

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????

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S

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SK?1

SW

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?lnP

S

S??

?

????

?

將NPS?e

?????S

帶入?S??kN?PSlnPS(5分)

5．（20分）證明: 在體積V中,ω到ω+ dω的頻率范圍內(nèi)準(zhǔn)粒子的量子態(tài)數(shù)為

4?Vh

1/2

g(?)d??pdp?B?d?,（5分）

推導(dǎo)上式時(shí),用到關(guān)系p??k.這里B為常數(shù).由于準(zhǔn)粒子數(shù)不守恒,玻色分布中的??0.系統(tǒng)的內(nèi)能為

?m

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???

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g(?)d??B?0

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3/2

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d?,（5分）

考慮到態(tài)密度在高頻時(shí)發(fā)散,需引入截止頻率可令

?m

.但在低溫下?????1,在積分中

?m??

.設(shè)????x,則有

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5/2

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?0

x

x

3/2

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3/2

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5/2,（5分）

??E?CV????T

??T?V

其中,C為常數(shù).易得

.（5分）

6．（20分）在極端相對(duì)論情形下電子能量與動(dòng)量的關(guān)系為??cp,其中c為光速.試求自由電子氣體在0K時(shí)的費(fèi)米能量,內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓.解: 在體積V中,? 到? + d? 的能量范圍內(nèi)電子的量子態(tài)數(shù)為

8?Vh

g(?)d??pdp?

8?Vhc

?d?

.（5分）

?1,???0f??

?0,???0.絕對(duì)零度時(shí),費(fèi)米函數(shù)為

?0

總電子數(shù)滿足

N??fg(?)d???

8?Vhc

?d??

1/3

8?V3hc

?0,可求出費(fèi)米能量

?0

?3N????

8?V??

hc

.（5分）8?Vhc

?0

電子氣的內(nèi)能

E???fg(?)d???

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?0?

N?0

.（5分）

氣體的簡(jiǎn)并壓

pd?

E3V

?

N4V

?0

.（5分）

第四篇：熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理試題

1吉布斯相律的公式為()

(A)f =k+3+f(B)f =k+2-f(C)f =f+3-k(D)f =f+2+k

2關(guān)于一級(jí)相變和二級(jí)相變()

（A）一級(jí)相變有相變潛熱，二級(jí)相變無(wú)相變潛熱

（B）一級(jí)相變無(wú)相變潛熱，二級(jí)相變有相變潛熱

（C）兩種相變都有相變潛熱

（D）兩種相變都無(wú)相變潛熱

三、證明題

1證明理想氣體的內(nèi)能與體積無(wú)關(guān).2證明在S,V不變的情況下,平衡態(tài)的U最小.四 計(jì)算題將質(zhì)量相同而溫度分別為T(mén)1和T2的兩杯水在等壓下絕熱地混合，求熵變 2在三相點(diǎn)附近，固態(tài)氨的蒸氣壓（單位為）方程為：

液態(tài)氨的蒸氣壓方程為：

試求氨三相點(diǎn)的溫度和壓強(qiáng)，氨的汽化熱、升華熱及在三相點(diǎn)的熔解熱

二、簡(jiǎn)答題

1寫(xiě)出宏觀狀態(tài)下, 玻爾茲曼系統(tǒng), Bose系統(tǒng), Fermi 系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)目。2 等概率原理

三、計(jì)算題

1:試求絕對(duì)零度下電子氣體中電子的平均速率。

2:試給出固體熱容量的愛(ài)因斯坦理論

四、證明題根據(jù)玻爾茲曼系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)用最可幾法導(dǎo)出玻爾茲曼系統(tǒng)的最概然分布。

第五篇：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理

熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理（目錄）

第一章 熱力學(xué)的基本規(guī)律

第二章 均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)

第三章 單元系的相變

第四章 多元系的復(fù)相變平衡和化學(xué)平衡 熱力學(xué)平衡

第五章 不可逆過(guò)程熱力學(xué)簡(jiǎn)介

第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布

第七章 波爾茨曼統(tǒng)計(jì)

第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)

第九章 系宗理論

第十章 漲落理論

第十一章 非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)理論初步