第一篇：熱力學統計物理試題

熱力學·統計物理試題

適用于200×級本科物理學專業

(200×-200×學年度第×學期)

1.(10分)證明范氏氣體的定容熱容量只是溫度的函數,與比容無關.2.(20分)

dL

dT試證明，相變潛熱隨溫度的變化率為 ???v???????TT???L?cp-cp?????v???????p??T??L??? ??v?v?p??

如果?相是氣相，?相是凝聚相，試證明上式可簡化為：

dL

dT?cp??cp ?

3．(10分)若將U看作獨立變數T, V, n1,… nk的函數，試證明：

（1）U??

ini?U?ni?V?U?V

（2）ui??U?ni?vi?U?V

4．（20分）試證明，對于遵從玻爾茲曼分布的系統，熵函數可以表示為

S??Nk?PslnPs

s

式中Ps是總粒子處于量子態s的概率，Ps?

和。

e?????sN?e???sZ1,?s對粒子的所有量子態求

5．（20分）鐵磁體中的自旋波也是一種準粒子,遵從玻色分布,色散關系是??Ak.試證明在低溫下,這種準粒子的激發所導致的熱容與T

3/22成正比.6．（20分）在極端相對論情形下電子能量與動量的關系為??cp,其中c為光速.試求自由電子氣體在0K時的費米能量,內能和簡并壓.附標準答案

1.解證：范氏氣體?p?2??v?b??RT

(10分)v??

Ra??U???p?

由式(2.2.7)? ? ?p?2?=T??-p=T(5分)v?bv??v?T??T?Vaa??U???=2?U(T,v)?U0??f(T)

v??v?Tv

?a?

??U?

CV???=f?(T)；與v無關。(5分)

??T?V

2．(20分)證明：顯然屬于一級相變;L?T(S????S???);其中S?S?T,p(T)?，在p～T相平衡曲線上.dLdT

?S

???

?S

???

??Sdp???S?

???T???T?????

??T???pdT?

???

??S???S

其中：??????

??T???T

???S?????????P??T

?? ??P

?dp?]?(5分)?dT?P

??S?????Sdp?

???????[???T?pdT??????S???

??????P??T

??S???????

又有：CP?T??S)?；L?T(S

??T?P

由麥氏關系(2.2.4): ??

??S???V?

?????（5分）?

??T?P??p?T

上幾式聯立(并將一級相變的克拉伯瓏方程代入)得：

dLdT

?cp-cp

?

?

???v?

??????TT???

L

???v?

??????p??T

?

??L???(5分)??v?v?p??

?

?～0； ??p

若?相是氣相，?相是凝聚相；V

?

??V???

～0；??T

?

?相按理想氣體處理。pV=RT

?

dLdT

?cp

?

?cp

?

(5分)

3．（10分）證明：（1）U(T,?V,?n1,??nk)??U(T,V,n1,?nk)

根據歐勒定理，?xi?f?f，可得

i

?xi

U?

?

i

ni

?U?ni?U?ni?vi

?V

?U?V?U?V

(5分)

（2）U?

?

i

ni

?V?

?

i

ni（?U?ni

?vi

?U?V)?

?nu

ii

i

ui?

?U?ni

?U

(5分)?V

4．（20分）證明：出現某狀態?s幾率為Ps

設S1,S2,……Sk狀態對應的能級?s?

設Sk+1 ,Sk+2,……Sw狀態對應的能級?s?

類似………………………………

則出現某微觀狀態的幾率可作如下計算：根據玻爾茲曼統計 PS?顯然NPs代表粒子處于某量子態S下的幾率，NPS?e

?????S

e

?????s

N；

。于是?e

?????S

代表

?SK?????

S?

處于S狀態下的粒子數。例如，對于?s?能級??e

??S?S1?

?個粒子在?s?上的K個微??

觀狀態的概率為： P?S???PS?

?粒子數?

?P

?Sk

?????s??e

?

S??S?S1

?

????

類似寫出：P?S????P

?Sk

?????s???e

?

S???S?S1

?

????

(5分)

………………………………………………等等。

于是N個粒子出現某一微觀狀態的概率。

P?

?P?S??

S?S?

S

P

?Sk

?????s??e

?

S??S?S1

?

????

?P

?Sk

?????s???e

?

S???S?S1

?

????

一微觀狀態數??

1P，（基于等概率原理）

(5分)

S?kln?

S?kln

kW???（5分）????????S???????S?????ee???P??????PS???S???S?SK?1?S?S1??

????

S

S

?SK?????

S?

??k??elnPS??

?S1

??

??e

SK?1

SW

?????S??

?lnP

S

S??

?

????

?

將NPS?e

?????S

帶入?S??kN?PSlnPS(5分)

5．（20分）證明: 在體積V中,ω到ω+ dω的頻率范圍內準粒子的量子態數為

4?Vh

1/2

g(?)d??pdp?B?d?,（5分）

推導上式時,用到關系p??k.這里B為常數.由于準粒子數不守恒,玻色分布中的??0.系統的內能為

?m

E??0

??e

???

?1

g(?)d??B?0

?m

??e

???

3/2

?1

d?,（5分）

考慮到態密度在高頻時發散,需引入截止頻率可令

?m

.但在低溫下?????1,在積分中

?m??

.設????x,則有

E?CT

5/2

?

?0

x

x

3/2

e?1

3/2

dx?T

5/2,（5分）

??E?CV????T

??T?V

其中,C為常數.易得

.（5分）

6．（20分）在極端相對論情形下電子能量與動量的關系為??cp,其中c為光速.試求自由電子氣體在0K時的費米能量,內能和簡并壓.解: 在體積V中,? 到? + d? 的能量范圍內電子的量子態數為

8?Vh

g(?)d??pdp?

8?Vhc

?d?

.（5分）

?1,???0f??

?0,???0.絕對零度時,費米函數為

?0

總電子數滿足

N??fg(?)d???

8?Vhc

?d??

1/3

8?V3hc

?0,可求出費米能量

?0

?3N????

8?V??

hc

.（5分）8?Vhc

?0

電子氣的內能

E???fg(?)d???

?d??

8?V4hc

?0?

N?0

.（5分）

氣體的簡并壓

pd?

E3V

?

N4V

?0

.（5分）

第二篇：熱力學與統計物理試題

1吉布斯相律的公式為()

(A)f =k+3+f(B)f =k+2-f(C)f =f+3-k(D)f =f+2+k

2關于一級相變和二級相變()

（A）一級相變有相變潛熱，二級相變無相變潛熱

（B）一級相變無相變潛熱，二級相變有相變潛熱

（C）兩種相變都有相變潛熱

（D）兩種相變都無相變潛熱

三、證明題

1證明理想氣體的內能與體積無關.2證明在S,V不變的情況下,平衡態的U最小.四 計算題將質量相同而溫度分別為T1和T2的兩杯水在等壓下絕熱地混合，求熵變 2在三相點附近，固態氨的蒸氣壓（單位為）方程為：

液態氨的蒸氣壓方程為：

試求氨三相點的溫度和壓強，氨的汽化熱、升華熱及在三相點的熔解熱

二、簡答題

1寫出宏觀狀態下, 玻爾茲曼系統, Bose系統, Fermi 系統的微觀狀態數目。2 等概率原理

三、計算題

1:試求絕對零度下電子氣體中電子的平均速率。

2:試給出固體熱容量的愛因斯坦理論

四、證明題根據玻爾茲曼系統的微觀狀態數用最可幾法導出玻爾茲曼系統的最概然分布。

第三篇：熱力學統計物理試題(B卷)

熱力學·統計物理試題（B卷）

適用于200×級本科物理學專業

(200×-200×學第×學期)

6．（20分）在極端相對論情形下電子能量與動量的關系為??cp,其中c為光速.試求自由電子氣體在0K時的費米能量,內能和簡并壓.附標準答案

1.(10分)解證：范氏氣體?p?

??a?

?v?b??RT 2?v?

由式(2.2.7)? ?

Ra??U???p?

?p?2(5分)?=T??-p=T

v?bv??v?T??T?V

aa??U?

??=2?U(T,v)?U0??f(T)

v??v?Tv

??U?

CV???=f?(T)；與v無關。(5分)

??T?V

2．(20分)證明：顯然屬于一級相變;L?T(S????S???);其中S?S?T,p(T)?，在p～T相平衡曲線上.??Sdp?dL??S?

??S????S????T????T?????dT??T???pdT?

??S?????S??????S??????其中：?? ???????

??T???T?P??T?P

??S??????Sdp???S????dp

???????[](5分)??????T???pdT???T?dT?P??P???

又有：CP?T?

??S???????

?；L?T(S?S)??T?P

由麥氏關系(2.2.4): ??

??S???V?

?????（5分）?

??T?P??p?T

上幾式聯立(并將一級相變的克拉伯瓏方程代入)得：

dLL?

?cp-cp???dTT

???v?

????T??????v???L

??????T???v??v?(5分)?p??p??

???

若?相是氣相，?相是凝聚相；V

??V????～0；??T??～0；

??p

?相按理想氣體處理。pV=RT

?

dL??

?cp?cp(5分)dT

3．（10分）證明：（1）U(T,?V,?n1,??nk)??U(T,V,n1,?nk)

根據歐勒定理，?xi?f?f，可得

?xii

U??ni

i

?U?U

(5分)?V

?ni?V?U?U?U?U

?V??ni(?vi)??niui ?ni?V?n?Viii

（2）U?

?ni

i

ui?

?U?U

(5分)?vi

?ni?V

4．（20分）證明：出現某狀態?s幾率為Ps

設S1,S2,……Sk狀態對應的能級?s?

設Sk+1 ,Sk+2,……Sw狀態對應的能級?s?

類似………………………………

e?????s

則出現某微觀狀態的幾率可作如下計算：根據玻爾茲曼統計 PS?；

N

顯然NPs代表粒子處于某量子態S下的幾率，NPS?e

?????S

。于是

?e???

??

S

代表

?SK?????S??

?個粒子在?s?上的K個微處于S狀態下的粒子數。例如，對于?s?能級??e?S?S?

?1?

觀狀態的概率為： P

?S???PS??粒子數??P

?Sk??e?????s???? S??S?S1?

?

類似寫出：P

?S????P

?Sk??e?????s?????S???S?S1?

?

………………………………………………等等。(5分)

于是N個粒子出現某一微觀狀態的概率。

P??P?S??

S?S?

S

P?

?Sk?

?????s???e??S?SS??1?

?P?

?Sk?

?e?????s????? S???S?S1?

一微觀狀態數??，（基于等概率原理）P

S?kln?(5分)

S?kln

Sk??SW?

????????S???????S?????ee????P?????PS???S???S?SK?1?S?S1??????

（5分）

SW

?SK?????S????k??elnPS???e?????S??lnPS??????

SK?1?S1?

????

將NPS?e

?????S

帶入?S??kN

?P

S

S

lnPS(5分)

5．（20分）證明: 在體積V中,ω到ω+ dω的頻率范圍內準粒子的量子態數為

g(?)d??

4?V21/2

pdp?B?d?3h,（5分）

推導上式時,用到關系p??k.這里B為常數.由于準粒子數不守恒,玻色分布中的??0.系統的內能為

E??0

?m

3/2

???m??

g(?)d??B?0???d????

e?1e?1,（5分）

考慮到態密度在高頻時發散,需引入截止頻率可令

?m.但在低溫下?????1,在積分中

?m??.設????x,則有

E?

?

CT5/20

x3/25/2?xdx?Te?1,（5分）

??E?

CV????T3/2

??T?V其中,C為常數.易得.（5分）

6．（20分）在極端相對論情形下電子能量與動量的關系為??cp,其中c為光速.試求自由電子氣體在0K時的費米能量,內能和簡并壓.解: 在體積V中,? 到? + d? 的能量范圍內電子的量子態數為

g(?)d??

8?V28?V2

pdp??d?333hhc.（5分）

???0?1,f??

???0.?0,絕對零度時,費米函數為

?08?V8?V3

N??fg(?)d???33?2d??33?0

3hc0hc總電子數滿足,?3N?

?0???

8?V??可求出費米能量

E???fg(?)d???

1/3

hc

.（5分）

?d??3

?08?V

電子氣的內能

h3c

8?V43

??N?0330

44hc.（5分）

氣體的簡并壓

pd?

EN

??03V4V.（5分）

第四篇：熱力學統計物理試題(D卷)

熱力學·統計物理試題（D卷）

適用于2002級本科物理學專業

(2004-2005學第一學期)

1.(10 points)Consider(?U)=0.Show(?U)=0

?VT

2.(10 points)Consider C? 0and(v?p?V?pT)T?0.Show Cp?0

3.(20 points)Consider a chemical reaction follows that

2N2?32H2?NH3?0 Show isopiestic equilibrium constant

Kp?274??2

21??p

If the reaction follows that

N2?3H2?2NH3?0

calculate isopiestic equilibrium constant again.4.(20 points)Use Maxwell velocity distribution law to show the fluctuation of velocity and mean translational energy respectively follows that(v?)?

(??)?

?2kTm(3?8?)232(kT)2

?e

0??x2xdx?24?32?, ?e0??x2xdx?438?52

5.(20 points)The electronic density of a metal is 5.9?1028/m.Calculate the Fermi energy, 3

Fermi velocity and degenerate pressure of this free electronic gas at temperature T=0K.6.(20 points)Use canonical ensemble distribution to calculate the internal energy E, free energy F, chemical potential μ, and pressure p of the ideal gas.附簡答：

1.(10 points)Solution

(?U?V（）T=T()T =

?p?T)V-p;?（?U?V)T=0;p?T（?p?T)V(4 points)

?U?V

?(U,T)?(V,T))T（?p?V

=

?(U,T)?(p,T)?(p,T)?(V,T)

=0=（?U?p)T(4 points)

∵?V

（?p)T≠0;?（?U?p)T=0(2 points)(10 points)Solution

Cp?CV

??p???V??????T??T?V??T?

p

(4 points)

??p???V?????T??V??p

???T?

??=-1(3 points)??

?V?p?T?

??p???V?

Cp ?CV??T????

?V?T??T??p?p?V

? C? 0)T?0, thusCpV ? 0andCv, Cp?0(4 points)

Because（3.(20 points)SolutionAssume NH3 with n0 mol, decomposed n0ε mol，the spare part(1-ε)n0 mol,making N2 with

1n0?

n0? mol and H2 with

n0? mol.Total number is(1+ε)n0 mol.xN

n0?

(1??)n0

22?;xH2?;x NH3?;(1??)n0(1??)n0(1??)n0

Isopiestic equilibrium constant

(5 points)

K

p

?1

?(xN2)2(xH2)2(xNH3)

274

?

p2

?

?1

?

?

1??

p

(5 points)

Ifthe reaction follows that

N2?3H2?2NH

?0

assume NH3 with 2n0 mol, decomposed 2n0ε mol，the spare part 2(1-ε)n0 mol, making N2 withn0? mol and H2 with3n0? mol.Total number is 2(1+ε)n0 mol.xN?

n0?2(1??)n0

;xH2?

3n0?2(1??)n0

;x NH3?

2(1??)n02(1??)n0

;(5 points)

Isopiestic equilibrium constant

K

p

?(xN2)(xH2)(xNH3)

13?2

p

1?3?2

?

?

2(1??)

?

3?

2(1??)

?

(1??)(1??)

?2?2

p

?

27?

16(1??)

p

(5 points)

4.(20 points)Solution

(v?)2?v2?2(5 points)

In the scope of V and dpx dpy dpz , the molecule number follows that

Vh

-?-

12mkT

(px?py?pz)

e

dpxdpydpz

f(vx, vy,vz)dvxdvydvz?m??n??

2?kT??

e

m2kT

(vx?vy?vz)

222

dvxdvydvz

?m?

?4?n??

2?kT??

3e

m2kT

v

vdv

(5 points)

(v?)?v?2

?

kTm

(3?

?)

D(?)d??

2?Vh

(2m)

3?

d?

(5 points)

?

?

154

(kT),22

?32

(kT)

(??)

??

?2

?(kT)

(5 points)5.(20 points)Solution

The mean number of electron at one level ε is

when temperature T=0K: f=1ε<μ(0)

f=0ε>μ(0)(5 points)

4?Vh

f?

e

???

kT

?1

(2m)

?

?(0)

?

212

d? ?N

?

?(0)??3?

2m?

?

N??V?

?5.6eV

(5 points)

?(0)?p(0)2m

vF?1.4?10m.s

?

p(0)??3?

?

N??V?

?1

(5 points)

??2.1?10

Pa

(5 points)

6.(20 points)Solution

(4 points)

3N

E?

?

i?1

pi

2m

1??E

Z?

N!h

3N

?e

dq1?dq3Ndp1?dp3N

3N

Z?V

N

?2?m?2

N!????h2???

The free energy

lnZ(T, V, N)=-NkT(1?ln??V??2?mkT?32F=--kT??2

??)?N?h???

p???F?V

?

NkTT,N

V

S??

?F?V?2?mkT?32?T

?Nk(ln????5

V,N

??

N?h2

???)??2???F

?Nk(ln??V??2?mkT?32?5

? N? 2

???)V ,N? N?h???2

(4 points)

(4 points)(4 points)

(4 points)

第五篇：熱力學統計物理

熱力學統計物理（目錄）

第一章 熱力學的基本規律

第二章 均勻物質的熱力學性質

第三章 單元系的相變

第四章 多元系的復相變平衡和化學平衡 熱力學平衡

第五章 不可逆過程熱力學簡介

第六章近獨立粒子的最概然分布

第七章 波爾茨曼統計

第八章 玻色統計和費米統計

第九章 系宗理論

第十章 漲落理論

第十一章 非平衡態統計理論初步