第一篇：《多位數減法練習課》課堂教學實錄 華應龍

《多位數減法練習課》課堂教學實錄 華應龍

2010-04-01

執教年級：四年級 執教課時：1課時

師：小明很高興，因為他將和學生代表團去臺灣和法國，他爸爸也非常高興就給他準備了一個密碼箱。小明高興的同時也擔心萬一把密碼給忘記了呢？他爸爸對小明說兒子我們來玩個游戲，玩完了之后你就知道密碼設一個什么好，就算是密碼忘記了也能很快的找出來。你們說這個游戲好不好？

生：（齊聲）好。

師：游戲是這樣的，你寫三個不同的數字。（板書：三個不同的數字）你們寫在練習紙上。（生紛紛寫）誰告訴我你寫的是什么？

生：我寫的是367。

師：我說的是三個不同的數字，應該怎么表達？ 生：3、6、7。

師：對了，如果是367就變成了一個數了。你呢？ 生：我寫的是1、2、3。

師：如果一個同學寫的是4、5、12你覺得行不行？ 生：（齊聲）不行。師：為什么不行？

生：因為你要求的是我們寫三個不同的數字，12是個兩位數，這樣總共就是四個數了。

師：對，三個不同的數字就只能從0到9十個數字之間去選。小明寫的是4、7、5。他爸爸說你用這三個不同的數字組一個最大的數。（板書：最大的數）是多少？

生：（齊聲）是754。師：再組一個最小的數是多少？ 生：是457。

師：接著他爸爸說用最大的數減去最小的數，754－457等于多少？ 生：297。

師：297又是由三個不同的數字組成的，用這個數組成一個最大的數是多少？ 生：（齊聲）是972。師：最小數是—— 生：（齊聲）279。師：相減的話是多少？ 生：（齊聲）693。

師：可以一直減下去，現在你們把剛才自己寫的三個數字按照這樣的規則下下去，看誰寫得多，漂亮。（同學們迅速地拿出紙和筆認真地寫，老師巡視，還叫了個學生上黑板上黑板上寫，講臺上的同學寫著寫著發現總寫都是495，很多同學也不再往下寫了）

師：怎么了？

生：寫不完。495在重復，總減都這樣。師：寫不完，真的寫下去就還是495嗎？ 生：組成的數字在重復，所以減出來的數還是495。

師：495組一個最大的數還是954，組一個最小的數還是459，所以得出來的答案總是495。那其他的同學為什么也停下來不算了也是后面重復出現了，還能算出一個新的結果來嗎？算不出來，剛才算了停下來不算的舉手。（紛紛舉手）看看這個同學的用1、5、7組成的數字。（生笑）師：（師笑）這個同學只顧著寫，沒有回頭看看，還要不要再寫了？

生：（齊聲）不要了。師：所以我覺得剛才那些停下來沒有寫的同學非常棒。鼓掌！（生掌聲）看著黑板上這個同學寫的讓我想到一句話，千金難買回頭看！（板書：千金難買回頭看）讀一遍。

生：（齊讀）千金難買回頭看。師：這句話是什么意思啊？

生：我覺得是一千克金子都買不到回頭一看。

師：（師笑）就是說很多很多的錢都買不到回頭一看。就說明回頭一看是多么的寶貴啊！我們回頭一看的時候除了發現這一點你還能發現什么，生：它的前面還可以算出594，693，396。師：大家看看是這樣的嗎？ 生：（齊聲）是。

師：好，看看我搜集的一個作品是不是這樣的？

師：用的數字不同，算出來的數字都是495，不但如此還發現前一個是多少？

生：（齊聲）594，693，792，792，198，198。師：真奇怪，有沒有人不一樣的？ 生：第一個算出來就是594。師：第一個就是594接著就是多少？ 生：495。師：你呢？

生：我算出來的第一個就是495了。

師：我們得到495的步數可能不一樣，有的少幾步，有的就多幾步，但是得到的結果是不是都是這樣的數字組成的呢？

生：是。

師：這是我們的新發現，還能發現什么？ 生：看到得出來的結果中間的數都是9。師：厲害！再想想為什么都是9呢？ 生：9的旁邊兩個數加起來還是9。

師：（師笑）好，真會學習，也就是個位和百位加起來也是9。他這個發現好不好？ 生：好。

師：是了不起的發現，給他鼓半個掌聲。（啊！學生驚呼）老師剛才問的是為什么十位上是9，他沒有答，現在誰知道？

生：因為最大的數十位是一樣的，最大數的個位要比最小數的個位要小，所以減的時候要向十位借一位，到了十位要減的時候就不夠減了，所以減下來的數就是9了。

師：說得真好，兩點非常重要，第一就是最大的數和個位的數是相同的，第二就是最大的數的個位比最小的個位要小，減的話就一定要退位所以中間的數就應該是9，把掌聲給她。（生掌聲）這樣一分析是不是覺得我們看到的背后都是有原因的啊——

生：是。

師：剛才那個同學說百位個位加起來是9，是不是這樣的？ 生：是。（點頭）師：這個又是為什么呢？

生：因為這兩個數都是可以被9除的，而被9除的數加起來都是9。（生沒有反應，似乎沒有聽懂）師：你們都不知道說的是什么意思？真棒這是六年級才學到的內容，這背后也是有原因的，等你們到了六年級就明白了，這個同學回答得太棒了。我們回頭一看發現都是495，再也出不來了，這是第一點。我們還發現不但是495，495前面的數也一樣，十位上全是9，百位個位加起來等于9。發現了這些規律你檢查下算到495了嗎？有沒有同學沒有算到495的。（紛紛搖頭）太厲害了，一個也沒有！給自己鼓掌。（眾掌聲）可以下課了，你們那么厲害！

生：再玩回兒。（呵呵）師：剛才我們琢磨的是3個不同的數字經過這樣的規則最后就算出這樣一個奇怪的495，知道這個495有一個特別的名字——“數字黑洞”。黑洞你們聽說過嗎？

生：（齊聲）聽過。師：好，請看大屏幕。師：誰來說說你對黑洞了解些什么？

生：連光都逃脫不了黑洞的吸力。

師：黑洞它的吸引力非常非常地大，什么物體都能吸進去包括光線。誰還知道些什么？ 生：黑洞能把所有的東西能夠變成紙一樣的東西。

師：紙一樣的東西說明還有啊！還能看到像紙一樣的東西嗎？（師笑）黑洞是宇宙中的一種天體，質量非常非的大，最小的黑洞是太陽的幾倍幾十倍，最大的黑洞是太陽的幾十億倍。

生：哇??（異口同聲）

師：（師笑）受不了是吧，所以黑洞的吸引力特別地大。那這個數字黑洞—— 生：吸引力也非常大。

師：對，只要是三個不同的數字它就能把它吸進去，就再也出不來了是不是？ 生：（齊聲）是。

師：三個不同的數字黑洞是495那小明的密碼就可以設成多少？ 生：（齊聲）495。

師：忘記了，也可以再算出來。忘一密碼不是三位的呢？如果是四位的呢，四個不同的數字算出來的數字黑洞是多少？你還有什么問題呢？（板書：四個）

生：兩個數字的。

師：兩個數字的數字黑洞是什么呢？我們說的三個不同的數字，如果三個數字相同的呢？（板書：2個）生：那就是個零了。

師：是零，也是個洞。（呵呵）如果三個不同的數字里面有零的話還是495嗎？ 生：（齊聲）是。

師：（呵呵）別說那么早，這些問題你想研究哪個問題呢？你們自己選擇一個你們最想研究的問題寫在紙上。

（同學們迅速地在紙上寫著答案，老師巡視）

師：我看到很多同學都已經有研究結果了，誰愿意帶著你的答案上來展示一下？研究4位的先來。（一 生走上講臺）

生：我研究的是6、5、1、2，按照三位數字的規則一直減下去，發現到最后總算都是6174。所以我的結論是4位數的數字黑洞是6174。

師：他說完了你們有意見嗎？大家跟他一樣的舉手。（紛紛舉手）真好，還有研究0的嗎？ 生：我是研究帶有0的三個不同的數字，我研究的是0、1、2到最后也是495。師：（呵呵）這個同學一步就算出來是495大家同意嗎？ 生1：為什么你寫的是0、1、2，算式又是803呢？

生：因為我發現0、1、2，算出來有很多很多的數字，所以算的時候我就改成是8、0、3我發現這個數字第一步算出來就是495。

師：一開始用的是0、1、2，后來改成了8、0、3，還有什么問題？ 生：8、0、3組成的最大的數字應該是830？（生低頭）

師：回答她的問題，怎么埋頭啊？（情不自禁地笑）看來這個驗證還要再完善些。有沒有也研究0的？ 生：我研究的是4、2、0我算到的最后的結果495。

師：看到她這個研究怎么樣，（紛紛點頭）不錯，大家鼓掌！（聲掌聲）今天我們就研究到這，親金難買回頭一看，回頭一看是多么的美妙，多么的有趣。請你回過頭想想這節課我們是怎樣開始的，進行的，又發現了什么，你有什么收獲？

生：三個不同的數字算到最后還是495。師：495是個奇怪的數字，還有誰？ 生：我知道495是數字黑洞。師：還有不同的收獲？

生：我發現6714是四為數的數字黑洞。師：對，這個是收獲，你呢？

生：我覺得每次計算完應該回頭看一看。

師：真好，每次都要回頭看一看，我們還有很多很多的收獲時間關系我們就不說了，我們剛才說到個位和百位加起來都是9我們要到六年級才能明白，十位上是9我們現在就能明白。為什么三個不同的數字算到的數字黑洞就是495而不是其它的數字呢？（紛紛搖頭）不明白是吧？想知道答案嗎？

生：（齊聲）想。

師：全世界現在還沒有一個人能夠說清楚這個原因。如果你研究出來了，你就是全世界人的老師。生：哈哈。師：時間到，下課！生：（齊聲）老師，再見！

【專家評點】

練習課是對在教學內容已經新授之后，進一步針對教學內容進行鞏固提升的課型。練習課的常貌一般是通過大量的習題，通過學生解決問題的過程達到各個教學點的訓練以及綜合訓練。尤其是關于計算的練習課，更是通過大量板著面孔的題目對計算中的各個問題進行有針對性的訓練。而華老師的這節練習課，別有一番風味，把炒冷飯變成了誘人的揚州炒飯。

在數學文化神奇而美麗的面具下，學生進行了大量多位數減法的練習，改變了練習課的面貌。正是這樣一個面孔，給了孩子不一樣的感受，大大增強了學生的興趣，使得學生對計算之愛猶如泉眼噴涌，這時的學生喜歡計算。使得學生不知不覺中，通過對數字黑洞問題的挑戰，達到了一定程度的退位減法練習。

在練習的同時，學生收獲了計算中的規律——數字黑洞，增加了練習課的文化味道。在發現規律的過程中，很好地處理了一般與特殊的關系，關注到特殊數字“0”的時候，給通性通法以重要地位。通過規律的遷移，學生自己隨意選擇的三位數都可以出現黑洞；不僅三位數可以出現黑洞，四位數和兩位數也都可以出現黑洞。使得規律的一般性得到重視，規律的通用味道很足。

練習的同時，更為可貴的是收獲了思考問題的方法——回頭看，增加了練習課的方法味道。在計算過程中，學生通過“回頭看”可以發現規律，通過“回頭看”可以產生更為系統的認知。通過計算練習課，學生意識到“回頭看”的重要，在以后的學習歷程中，將“回頭看”養成習慣，將會給學生帶來很大益處。

本節課知識目標是多位數減法練習，過程目標是規律與方法。觀課后的感覺，本節課非常好地凸顯了過程與方法目標，但感知目標不是完全到位。練習的數量很足，但是不是缺少了練習課的練習效果？一方面，學生不是剛剛學完這個內容，已經經歷過一段時間的鞏固，顯得錯過時機的減法練習不是那么的必要；另一方面，對多位數減法中學生計算問題的處理顯得重視不足。

（范存麗 評點）

第二篇：《多位數減法練習課(移植課)》教案設計

教學目標：

1、正確熟練進行多位數減法計算。

2、提高發現規律和提出問題的能力，初步感悟猜想、驗證、常識等研究方法。

3、感受數學的神奇與魅力。

教學過程：

一、創設情境，提出問題

1、出示圖片，觀察表情

導語：今天老師給同學們帶來一位新朋友，請同學們觀察他的表情怎樣？

2、提出問題——旅行箱設置什么密碼？

師：事情是這樣的：小明將要參加一個夏令營，他的爸爸給他買了一個帶有三位數的密碼旅行箱。他跟高興，但是他又想了想，萬一不小心把密碼忘了怎么辦？這時他爸爸說：兒子，別著急，我們來玩一個游戲，玩了這個游戲你就知道密碼要取什么比較好了，即使是忘記了也能很快的找回來。同學們你們愿意一起玩這個游戲嗎?

3、游戲規則

師：游戲規則是這樣的：寫出三個不同的數字（請同學在練習本上寫出三個自己心里所想的不同的數字）把這三個數字組成一個最大的數和一個最小的數，然后把最大的數和最小的數相減……

二、練習三位數減三位數

師：請同學把自己寫的不同三個數字組成一個最大的數和一個最小的數，然后把最大的數和最小的數相減，接著把它們的差再組成一個最大的數和一個最小的數繼續相減，按這樣的規則，一步一步地算下去，咱們來比一比，看誰在在規定的時間內寫的算式又對又多。（建議用豎式，不用橫式）

三、發現問題，發現規律

學生提問，學生解答，教師幫助。

1、發現問題——疑惑

算式954－459＝495怎么老不停的重復？

2、學生交流匯報

3、發現規律

4、千金難買回頭看

5、計算有誤的查找原因

獨立思考，小組交流。

四、復習計算多位數減法時要注意什么？

小組交流，全班交流。

五、介紹“數字黑洞”

1、出示黑洞的圖片

2、理解（解釋）黑洞

六、再次練習多位數減法——尋找四位數字的數字黑洞

七、談談你的收獲和體會

第三篇：華應龍課堂教學觀摩體會

走近名師，為學日益

聽《認識圓》心得體會 沙溪鎮第三小學 袁 爽

11月24日，我有幸現場聽了特級教師華應龍老師的《認識圓》這堂課。無論是這堂課還是華老師都給我留下深刻的印象。錢鐘書曾戲虐的說過，如果雞蛋好吃何必想要看看下蛋的雞呢？我是好奇之人，到底是什么樣的雞才下如此好吃的雞蛋呢？一千個人眼中有一千個哈姆雷特，每個生命個體都是唯一的，因此每個視角也是獨特的。我對此次的聽課有一點心得與君共勉。俗話說不憤不啟、不悱不發，華老師的課給我的啟發，主要表現在以下三個方面。

第一，數學的文化、美育功能

新課標中提到：義務階段的數學，其基本的出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展。使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。因此數學還應該具有文化、美育的功能。華老師的課中滲透數學的文化、美育功能俯首皆是。教學設計可謂是圖文并茂，從圓的定義：圓，一周同長；圓的特點：大方無隅；畫圓工具：無規矩不成方圓等等，到同時代的人物場景或人物圖片。一方面讓數學課生動有趣，另一方面讓學生了解圓不是今天才發現的，感受我國數學的發展和先人的智慧。誰說數學里只有思維、邏輯，華老師不正向我們展示了數學的文化、美育功能嗎？其實學理偏愛文，古今中外皆有。大家都知道愛因斯坦是20世紀最偉大的物理學家，同時他還是偉大的藝術家、文學家。其實知識是相融相通，各種學科或是知識都好比淙淙的小溪，無論流經哪里都會匯入大海融合在一起。

北京奧運會的口號是人文奧運，為什么我們的數學不能是人文數學？在數學中滲透人文知識，不是要學生記住這些知識，而是發揚數學文化功能，滲透數學美育功能。我們怎樣在教學中體現數學的文化、美育功能呢？個人認為先要提升自己的文化素養，才能在教學中實現以上功能。現在我才真正認識到何為特級，不愧為特級教師，處處張顯與眾不同。他教數學，卻有著深厚的文化底蘊，是我輩望其項背的。古今中外關乎數學關乎教育的名言信手拈來就是。我想他一定讀了許多的書，才會有如此豐富的思想，才會有如許多的思考。一直覺得自己還是讀了點書，心中有一點筆墨的，今天才發現是如此的膚淺，相形之下，我真是自慚形穢啊。華老師為什么能騰出時間讀書？都說羅馬不是一天建成的，讀書也不是一天就可以完成的，需要日積月累。尤其是我們這樣的學校，學生的文化素養普遍偏低，教師要保持源源不斷的活水供給學生就要多讀書讀好書。

第二，關注細節，關注生活

在教學中我也發現有學生注意力不集中或不愿聽？原因可能有好多種，但對于教師來說，學生顯示對出知識內容不感興趣是他在學習中遇到困難的原因之一。《給教師的100條建議》中提到，知識在他們那里常常變成了不能活動的“貨物”，積累知識好像就是為了“儲備”，而不能“進入周轉”，知識沒有加以運用。知識——這就意味著能夠運用。只有當知識成為精神生活的因素，占據人的思想，激發人的興趣時，才能稱之為知識。知識的積極性、生命力，——這是它們得以不斷發展、深化的決定性條件。而只是不斷發展、深化的知識，才是活的知識。只有在知識不斷發展的條件下，才能實現這樣的規律性：學生掌握的知識越多，他的學習就越容易。但一些知識好像脫離了學生的精神生活，脫離了他的智力興趣。掌握知識對學生來說變成了一件討厭的、令人苦惱的事，最好能夠盡快地擺脫它。我很贊同以上的觀點。課標中也提到不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋和應用的過程。汪中求在他的書中寫到細節決定一切。華老師的課正是從生活出發并關注細節。讓我難忘兩個細節是尋寶游戲和籃球賽。新課的導入用了一個尋寶游戲，并貫穿整個圓認識活動的始終。“寶物在據小明左腳三米的地方”引發學生思考寶物可能在哪里？進而自然的由學生提出寶物所在的位置構成了一個圓。這種游戲啟發學生思考，學生躍躍欲試都想解決這個問題，學生的胃口就被吊起來了。好的開始是成功的一半。另一個就是接連兩次出現的籃球比賽的錄相，04年雅典奧運會八分之一小組賽和NBA的一個比賽場景。賽事是學生熟悉，第一個賽事的出現是前奏，為了調節學生的心緒到課堂中來，第二個賽事是為了讓學生看到圓就在身邊，同時啟發為什么籃球中圈是圓形？除了以上兩個還有許許多多我們常見的卻視而不見的生活中的圓。

第三，面對突發問題或困難時的應對心理

每個人都會遇到意想不到的突發問題，這時候你會怎么想，怎么辦呢？我們先來看看華老師是如何處理的。課還未開始，華老師就遇到一個問題：上的是“圓的認識”學生卻沒有帶圓規。我像是等著看好戲似的，看你怎么處理。起初，華老師的反應與一般人無異：焦慮、著急，甚至想過換課。過了5、6秒，他恢復了常態會到課上了，并且沒有在想這件事。后來在互動交流中，我們得知此類情況發生不止一次兩次了，更有甚者上四年級的內容，上課的學生卻是二年級的。每次遇到這種情況，他都會想到《阿甘正傳》中阿甘媽媽的話，要想往前走就要甩掉過去。正是這種甩掉過去的心理支持他正確面對出現的每一個問題。無論在生活中或教學中我們也可能遇到此類的問題，我們大多是慌亂，慌亂，甚至影響一天的心情，我們何不放下負擔甩掉包袱呢，思考阿甘媽媽說的話呢。可能我們不能立即做到這一點，但做與不做，做好與不好并不是同一個問題，只要我們每天邁出一小步，再回首，我們已經走了一大步了。

以上是我個人的對這節課的一點心得，其實此次太倉之行的感觸遠不止這些，更為精彩的還有《課堂因出錯而精彩》，我想《課堂因出錯而精彩》應該在教學中更為實用。我想單獨意會直至達到共鳴。

2012年12月6日下午，我有幸參加了中國教育報“送教下鄉”大型公益活動，親耳傾聽了全國著名特級教師華應龍的講學。華老師是小學數學界的泰斗，在全國有著極高的影響力。能夠這樣近距離感受華老師的風采，內心激動可想而知。

華老師的新作《圓的認識》，在尋寶行動中拉開了探究圓的序幕，“寶物在哪里”這個巧妙的問題，不僅讓學生回答了探討的問題，而且凸顯了圓心定位置，半徑定大小的重要知識點。

短短的四十分鐘，華老師不僅注重向學生傳授知識，更在無形中向學生們傳授著開啟思維的“金鑰匙”——“是什么”、“為什么”、“怎么做”、“為何這么做”、“一定這樣嗎”。這五把啟發思維的金鑰匙貫穿全課，讓學生們經歷了數學研究的全過程，體會到了考慮問題要嚴謹、全面，培養了學生科學研究的態度。

華老師的《圓的認識》這堂課，從談話認識老師到插曲借橡皮到尋找“寶物在哪里”，從畫圓展示圓與不圓的作品到籃球場上解釋圓到重提“寶物在哪里”回歸情景突破圓，真是水到渠成，渾圓天成。

除了這些獨到的設計之外，讓人回味無窮的東西還有很多。一聲“孩子”顯露出華老師把學生當作自己的子女一般看待，而一聲“小伙子”讓男孩子感到無尚的光榮，課堂上時時可以聽到師生朗朗的笑聲、自發的掌聲。師生沉浸在學習的幸福中，這里沒有了學生對“師道與講臺”的敬畏，有的是老師拾起童心的綿綿磁力。這里學生不再認為數學是枯燥的代名詞，數學是詩、是歌、是畫，讓人流連忘返，學生們都不愿意下課了??

在整個課堂中出現了，大方無隅，沒有規矩不成方圓，大成若缺鑄成遠圓，圓一中同長也，而且這個古語重復出現了好幾次。這些古語可能時常會被大家提及，但是能這樣恰到好處的用到課堂上，實屬罕見。“圓有圓的規矩，方有方的規矩；做人有做人的規矩，探究問題有探究問題的規矩，”這句話我深深的記住了，這句充滿哲理的話，讓我們在體味圓的特征的同時又不得不思索其中蘊涵的哲理，華老師的魅力無處不在散發。

隨后華老師給我們做了“融錯，讓課堂更精彩”的報告，給我們提供了全新的視角去認識孩子的錯誤——“從差錯中學習是最好的學習，學生課堂上犯的錯誤很多時候是最好的教學資源”。這讓我意識到要善待孩子們出現的每一個差錯，這些差錯將會是他們走向成功的起點，是一雙隱形的翅膀，會帶領他們高飛遠行。

容錯

錯是錯

融錯

錯不是錯

榮錯

錯還是錯

華老師站在哲學的高度詮釋了這三句話。容錯要有博大的胸懷，如佛家的境界。如何才能練就這番心境，這就需要我們多讀書，讀名家的書，讀富有哲理性的書。融錯需要技能，需要轉化的技巧，需要

在平時工作中多實踐，多反思，多總結。榮錯是最高境界，讓學生因錯誤而榮耀，因錯誤而發展，因錯誤而有所成就。

人總是背向過去，腳踏現在，面朝未來。教師不僅應該知道學生過去的差錯，而且應當醫治學生現在的差錯、預防學生未來的差錯。為此，我們就應該像醫生那樣通過望聞問切，準確判斷病因，然后對癥下藥。

差錯的價值有時并不在于差錯本身，而在于師生從中獲得新的啟迪。對教師來說，學生的“差錯”是機遇，是挑戰，更是教育智慧的折射。我們說“課堂因差錯而精彩”，并不是說有了“錯”很精彩，而是指用了“錯”更精彩，精彩在教師藝術地處理了隨機生成的差錯，巧妙地彰顯了差錯的寶貴價值，用真正富有生命價值的氣息浸潤發展著的學生生命。

第四篇：華應龍教案找次品教案實錄

華應龍教案找次品教案實錄

一、談話引入

1．實話實說——請吃糖

【為了活躍氣氛，拉近與學生的感情，更主要地為了引入“次品”的概念，課前與學生這樣談話】

師：同學們仔細看看老師，能用幾句簡短的話描述一下老師的特點嗎？ 生1：老師中等身材，頭發很平。

生2：老師臉很方，眼睛很小。??

（老師用鼓勵的目光激勵學生發言，隨便學生怎么說，說的越奇怪越好。不管學生說什么，老師都大肆表揚同時表示感謝，以激起其他學生想說話的欲望。待三四個學生發言后，老師話鋒一轉，提出第二個問題。）

師：同學們非常善于觀察，這么短的時間就發現了老師這么多的特點。既然如此聰明，請允許我請教第二個問題，你們必須實話實說，說實話的本老師獎勵吃糖。

（拿出一瓶真的木糖醇，此時學生都好奇地等著老師會出什么問題或者看著老師手里的木糖醇，老師故意矜持一會才說出問題。）

老師的問題是：你覺得我和你們原來的數學老師相比，誰更像一位優秀的數學老師？（聽課老師有的發出了笑聲，學生們也都面面相覷，微笑著不知如何作答）生1：老師您更優秀。

師：（笑著說）瞎說！你還沒聽過老師上課呢。生2：（笑著說）兩個都像。

師：（笑著說）不許都選，只能選一個。生2：（有點無奈的）那就選我們原來的老師吧。

師：說得對！咱們今天表現的如此優秀，一定是原來老師的功勞。請吃糖！

（從木糖醇瓶中倒出一粒放入該學生手中，繼續面向其他同學）誰還想吃糖，請實話數說。生3：是我們原來的老師，因為他辛辛苦苦教了我們好幾年。

師：（緊緊握著該學生的手）真是一個懂得感恩的孩子，說得對，請吃糖！

（從木糖醇瓶中再倒出一粒放入該學生手中）【對學生而言，這是一個兩難的問題。有說原老師的，有說現在的老師的，也會有兩邊討好的。老師對兩個都選的同學一定要逼其選其一，同時給選自己原來老師的兩個學生每人一粒糖吃。】

師：（笑著說）同學們不用說了，老師已經知道結果了，應該是你們原來的老師更優秀。（話鋒一轉）當某個人或某項事物不足夠好時，我們可以稱之為——（拖長音，表示疑問）生：次品

師：對，次品。（隨機板書）

師：（很認真地說）在今天在座的這么多優秀教師中找出我這樣的次品老師是很容易的，可有些時候，找次品就不那么容易了。剛才誰吃我糖了，請給我站起來！（假裝生氣）【吃糖的學生剛才還美滋滋的呢，現在被迫站起來。】

師：（繼續假裝生氣）誰讓你們吃糖的？（學生苦笑）瞧瞧你們惹麻煩了吧。老師剛剛買了3瓶一樣的木糖醇，其中一瓶就被你們“偷吃了”兩粒，（老師出示3瓶一樣的木糖醇），吃掉兩粒的那一瓶重量自然就變得輕一些。重量變輕了我們就可以稱之為——（拖長音，表示疑問。）

生：次品（很快接上）

師：對。怎樣很快地知道哪一瓶是次品呢？（示意吃糖的學生坐下）如果用天平稱來稱，至少幾次才能保證找到呢？請獨立思考。（學生獨立思考約30秒鐘）2．初步建立基本思維模型。

師：誰來說說至少要幾次才能保證找到？

（此時學生基本有兩種意見：部分或大部分人認為需要2次，部分思維好的同學會認為1次足矣。老師請認為1次的同學上臺展示）師：你見過天平嗎？ 生：見過。

師：天平長什么樣子？（學生茫然。老師走過去示意學生把雙手向左右兩邊伸平，笑曰：這就是一架美麗的天平。該生不自然地笑了，全體同學則會心地一笑。）

師：別人都認為要2次，你說1次就行了。別瞎說！怎么稱的？稱給我們瞧瞧！（該生演示：任意拿兩瓶放在天平左右兩邊，兩手伸平）生：如果是這種情況，剩下的那一瓶就是次品。師：如果天平左右兩邊不平呢？（該生再演示：天平左高右低的情況。）

生：如果是這種情況，左邊高的那一瓶就是次品。師：還有一種情況呢？

（該生馬上反應過來，立刻演示：天平左低右高的情況。）生：如果是這種情況，右邊高的那一瓶就是次品。（面向全體同學）

師：大家看明白了嗎？剛才這位同學任意從3瓶中拿出2瓶放在天平的左右兩邊，如果平衡了，次品在哪？ 眾生：剩下的那一瓶。師：如果天平有一邊翹起呢？ 眾生：翹起的那一瓶。

師：不管是哪一種情況，幾次就可以找到次品了呀？ 眾生：1次。

師：1次果然就可以找到次品是哪一瓶了，表揚給我們帶來這樣思考的那位同學。（掌聲想起）

師：誰還能像剛才那位同學一樣給我們演示一下怎么1次就能找到次品了呢？

【3瓶中有1瓶次品，用天平稱來稱，至少1次就可以找到。是找次品問題最基本的思維模型，一定要讓每個學生都清晰。所以，一位同學演示后，再請一位同學上臺演示，以加深每個同學的印象。】

（生再次演示，老師適時強調）

師：開始認為需要2次的同學，現在清楚了嗎？3瓶當中有1瓶次品，用天平稱稱，至少幾次就可以保證找到？ 眾生響亮回答：1次。3．拓展延伸，引導猜想。

師：3瓶當中有1瓶次品，用天平稱稱，至少1次就可以保證找到。如果不是3瓶，假如今天來聽課的老師每人1瓶，大概有兩千多瓶吧。我們暫且估計有2187瓶。（隨機板書）如果2187瓶中也有1瓶次品（輕），用天平稱稱，至少幾次才能保證找到呢？請你猜一猜！（停頓約20秒，找兩三個同學回答）生1：2186次。生2：2185次。生3：一千多次。生4：729次。

師：2187瓶中有1瓶次品，用天平稱稱，怎么也要好兩千多次、一千多次或好幾百次，都是這么認為嗎？ 眾生點頭：是。

師：如果你們都是這么認為，今天這節課就非常有研究的必要。我們今天這節課就來研究，如果真有2187瓶木糖醇，其中1瓶是次品（輕），用天平稱稱，究竟至少幾次才能保證找到，好嗎？ 眾生：好！

二、組織探究 1.體會化繁為簡

師：要解決這個問題，大家覺得2187這個數據是不是有點大呀？ 眾生：是。

師：解決問題時，面對一些比較龐大的數據，我們往往可以采取一種策略，誰知道是什么？ 生1：簡化 生2：化簡

師：對！解決問題時，面對一些比較龐大的數據，我們往往可以采取一種策略——化繁為簡（隨機板書），也就是把數據轉化地小一些，就是兩位同學說的化簡。簡到什么程度呢？3瓶剛才我們研究過了，現在我們研究幾瓶好呢？ 生1：4瓶。生2：5瓶。

師：5瓶和我們書上的例1剛好一模一樣，我們就先來研究如果5瓶當中有1瓶次品，用天平稱稱，至少幾次保證找到？好嗎？ 眾生：好！2.第一次探究

師：請先獨立思考。可以拿出5枚硬幣動手試一試。（約1分鐘后）

師：同桌同學可以小聲交流交流。（約1分鐘后）

師：誰來說一說至少幾次保證能找到？ 生1：1次。生2：2次。生3：3次。? ?

師：你是怎么稱的？請描述稱的過程？

生1：我在天平左右兩邊各放1瓶，如果有翹起，就找到了。

師：這種情況是有可能的，但能保證嗎？如果天平平衡了怎么辦？你先請坐！（生1意識到自己考慮問題的不足，帶著思考坐下！）

生2：我也在天平左右兩邊各放1瓶，如果平衡了，說明這兩瓶中沒有次品；就從剩下的3瓶中再任意選兩瓶放在天平的左右兩邊，如果平衡了，剩下的那瓶就是次品，如果有一邊翹起，翹起的那端就是次品。一共稱了2次。師：他的方法可行嗎？ 眾生:可行。師：剛才這位同學的稱法，開始時，把5瓶分成了怎樣的3份呀？ 生：（1、1、3）

師：真聰明！1和1要稱一次，剩下的3瓶中再找1瓶次品，就像我們課剛剛開始的問題一樣，當然也要1次，一共就是2次。這種稱法如果用數學符號簡單地記錄下來，可以寫成這樣，用“ ”表示稱一次（板書）： 5→（1、1、3）→（1、1、1）〒 2次 可以嗎？ 眾生:可以。

師：有沒有也是2次，但稱法不一樣的？

生：我在天平左右兩邊各放2瓶，如果平衡了，說明這兩瓶中沒有次品，剩下的那瓶就是次品，但這不能保證。如果有一邊翹起，說明次品在翹起的那一端里，然后再把翹起那一端的2個放在天平左右兩邊，再稱一次，一定可以找到。一共稱了2次。

師：真了不起！同樣也是稱2次，稱法還真的不同。這位同學的稱法如果也用數學符號簡單地記錄下來，可以寫成這樣：（板書）5→（2、2、1）→（1、1、）〒 2次 行嗎？ 眾生:行！

師：比較兩位同學的稱法，過程不同，但結果一致！除了結果相同外，還有沒有發現別的共同點？

（學生略作思考，老師隨機點出）

師：老師發現剛才的兩種稱法，不管開始時如何分組，在每一次稱的時候，天平左右兩邊始終保持瓶數一樣，這是為什么呀？為什么不天平一邊放2瓶，一邊放3瓶呢？ 生：瓶數不一樣，比較不出來。

師：由于正品和次品的差距往往很小，所以當瓶數不等時，用天平稱量時是無法判斷的。找次品自然要追求次數越少越好，所以這種“浪費”的稱法我們當然不提倡。

師：（笑著對說要3次的同學說話）3次當然能稱的出來，但并不是至少的方案，明白了嗎？ 生點頭示意明白。3.第二次探究

師：5瓶我們研究過了，離2187瓶還差的遠呢。再靠近點，接下來我們研究多少瓶呢？ 生1：8瓶。生2：9瓶。生3：10瓶。

師：同學們說的都可以，但我們上課時間有限，在一位數中9最大，我們來研究9瓶好不好？（其實例2就是9瓶）眾生：好！

師：誰再來明確一下問題？

生：9瓶木糖醇中有1瓶是次品（輕），用天平稱稱，至少幾次保證找到？

師：問題已經很明確，請先獨立思考。可以拿9枚硬幣分組試一試，也可以像老師一樣用數學符號畫一畫。

（師靜靜地巡視約1分鐘）

師：請前后桌4位同學一組，討論交流你們認為至少幾次才能找到次品？（師參與討論約2分鐘）

師：老師剛才在下面聽到有的同學說要4次，有的說要3次，還有的說2次就行。到底至少要幾次呢？看來需要交流交流。先從多的來，誰剛才說要4次的？請說說你是怎樣稱的？ 生：我天平左右兩邊各放1個，每次稱2個，這樣4次就一定可以找到。（師隨著學生的表述相機板書）

9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〒 4次 師：他的稱法可行嗎？ 生：可行但不是次數最少的。

師：好！讓我們一起來聽聽次數再少一些的稱法。3次該怎樣稱？

生：我把9分成4、4、1三組，先稱兩個4，如果天平平衡了，剩下的1瓶就是次品，但這是很幸運的。如果不平，把翹起的那4瓶再2個對2個稱，如果平??（老師禮貌地打斷學生的話）

師：這時會出現平衡嗎？（提醒：次品就在這4瓶里，天平左右兩邊各放2瓶）

生：（明白后立刻改口）一定會有一邊翹起，然后再把翹起的2瓶天平兩邊各放1個，再稱1次，共3次就可以找到次品是哪一瓶。（師隨著學生的表述相機板書）

9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〒 3次 師：他的稱法可行嗎？

生：可行。我也是3次，但稱法與他不一樣。

師：真的嗎？同樣是3次，稱法還可以不一樣？趕快說給我們聽聽。

生：我把9分成2、2、2、2、1五組，先稱兩個2，如果有一邊翹起，再稱1次就可以了，但這是幸運的；如果天平平衡了，再稱剩下的兩個2，如果天平還是平衡了，剩下的1瓶就是次品，但這也是很幸運的。如果不平衡，再把翹起的2個分開，天平左右兩邊各1個，再稱1次就一定找到次品了。這樣也是3次保證找到了次品。（師隨著學生的表述相機板書）9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1）→（1、1）〒 3次 師：還真不錯！同樣是3次保證找到，稱法還真不一樣。師：剛才好像還有人說2次就夠了，不太可能吧？是誰說的？（說2次的學生起立）

師：別人都是4次、3次的，你說2次就行，還堅持嗎？（學生堅持）

師：好！我們大家剛才辛苦了老半天才弄明白至少要3次才能保證找到次品，他竟然堅持說2次就夠了，難道我們??請認真聽聽他是怎么稱的！如果他說錯了，我們要罰他唱首歌。（故意這樣說，以引起學生都來關注他的2次是怎樣稱的）

生：我把9分成三組，每組3個。先稱兩個3，如果天平有一邊翹起，次品就在翹起的那3瓶里；如果天平平衡了，次品就在剩下的3瓶里。不管怎樣，接下來就只要研究3瓶就可以了。前面剛學過，從3瓶里找1瓶次品，稱1次就夠了。這樣2次就保證找到了次品。（師隨著學生的表述相機板書）9→（3、3、3）→（1、1、1）〒 2次 師：聽得懂他的稱法嗎？

（有部分學生不敢大聲回答，請剛才的學生再重復一遍）

師：現在都聽懂了吧！這個同學的稱法完全可行，稱2次就解決了問題。為什么我們別的稱法次數就比他多呢？我們的問題出在哪兒？這個同學的高明又在哪呢？請仔細觀察黑板上的四種稱法，看誰能最快發現其中的奧秘？ 9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〒 4次 9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〒 3次

9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1）→（1、1）〒 3次 9→（3、3、3）→（1、1、1）〒 2次（學生觀察思考約1分鐘，老師給予適當暗示）

生：2次的稱法一開始把9瓶分成了3組，每組3個。這樣稱1次，就可以斷定次品在哪一組里。

師：說得好！把9瓶分成了3組，每組3個，也就是把物品總數均分3份，這樣稱1次，就可以淘汰2份6瓶，從而讓剩下的瓶數變得最少，自然總的次數就會少下來。而4次的稱法，稱1次后，最多只能淘汰2瓶；3次的兩種稱法，稱第一次后，也最多只能淘汰4瓶，所以最終的次數就會相對多起來。4．第三次探究

師：剛才9瓶中找1瓶次品（輕），那位同學一開始把9瓶平均分成3份來稱，最后的次數最少。是不是所有的可以均分成3份的物品總數，一開始都平均分成3份來稱，最后的次數也是最少呢？剛才那位同學是否偶然呢？我們還需要怎么辦？ 生：繼續驗證。

師：（握著同學的手）說得好！僅僅一個例子不足以推廣，我們還需要進一步驗證。驗證多少呢？比9大一些，可以均分3份的？（有學生立刻回答）生：12.師:好的！我們就來研究12。如果12瓶中有1瓶是次品（輕），用天平稱稱，至少幾次保證找到？請先用剛才那位同學的思路，均分3份來操作。看看至少要幾次？ 生說師板書：

12→（4、4、4）→（2、2）→（1、1）〒 3次

師：按照剛才那位同學的思維模式推理，至少要3次才能保證找到。3次是否真的就是最少的次數嗎？有沒有比3次還少的呢？如果有，說明剛才的那位同學純屬偶然。請2人一小組，拼湊12枚硬幣操作操作，或者用筆畫一畫，看看有沒有更少的可能？（學生思考討論，老師巡視參與，約1～2分鐘后交流）生1：我是均分2份做的，也是3次。（師隨著學生的表述相機板書）

12→（6、6）→（3、3）→（1、1）〒 3次 師：有沒有比剛才的3次少？ 生1：沒有。

師：誰找到比3次還少的稱法了？

生2：我沒找到，但我一開始均分4分來做的，最后也是3次。（師隨著學生的表述相機板書）

12→（3、3、3、3）→（3、3、3、3）→（1、1、1）〒 3次

師：兩位同學真不錯，再次給我們展示了最終結果一樣時，中間過程的豐富多彩。但我們都沒有找到比3次還少的方案。如果再研究下去，我們會發現次數只會越來越多。比如： 12→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2、）→（1、1）〒 4次。其實剛才那位同學的思維模式并非偶然，真的具有一定的規律性。時間關系，我們不再繼續驗證。

師：剛才那位同學的思維模式是什么？

眾生：物品總數如果能均分3份，就把物品盡量平均分成3份來操作。師：為什么呢？

生：把物品總數平均分成3份來操作，這樣稱1次就可以斷定次品在哪一份里，每一次都最大限度地淘汰，最后的次數自然就會少下來。

三、強化訓練

師：通過剛才的探究，我們已經找到了內在的思維規律，現在老師想考驗一下咱們班同學的數學感覺如何，看看誰的反應快？如果不是12瓶，而是27瓶中有1瓶次品（輕），用天平稱稱，至少幾次保證找到？

（提醒運用剛才發現的思維模式，馬上有學生舉手）生：3次。

師：（故作驚訝！）別亂說，不可能吧？27瓶呀蠻多的，3次怎么可以保證找到？ 生：我把27瓶平均分成3份，每份9瓶；稱1次就可以推斷次品在哪個9瓶里。然后9瓶就像剛才那位同學那樣再均分3份來稱，2次就夠了。我這里只增加了1次，所以3次就找到了。

（師隨著學生的表述相機板書）

27→（9、9、9）→（3、3、3）→（1、1、1）〒 3次

師：真聰明！把27瓶平均分成3份，每份的9瓶，也可以假設看成一個超大瓶。這樣，27瓶就轉化為了3個超大瓶，稱1次，自然就可以斷定次品在哪個超大瓶里，也就是哪個9里。然后把9再平均分成3份，以此類推，每稱1次，都淘汰兩份，剩下一份。最后的次數一定就是至少的。

師：如果不是27瓶，而是81瓶呢？

（有學生脫口說要9次，可能是想到了九九八十一）師：（不動聲色）嗯！有可能。是至少嗎？（馬上有學生反應過來）生：4次就夠了。

師：（微笑著）請問怎么稱？

生：把81瓶平均分成3份，每份27瓶，稱1次就可以知道次品在哪個超大大瓶27里。27瓶剛才是3次，所以81瓶中有1瓶次品，用天平稱稱，4次就夠了。師：真了不起！他也學會轉化了。如果不是81瓶，而是243瓶呢？（立刻有學生舉手）

生：5次。跟上面一樣，把243均分3份，只比81瓶多稱了1次。所以是5次。師：反應真快！有沒有哪位同學猜到老師接下來會出哪個數？ 生：729。

師：（握著學生舉的手表揚他）真是英雄所見略同！老師真的要出729，如果真有729瓶，其中1瓶是次品（輕），用天平稱稱，至少幾次保證找到？ 眾生：6次。

師：接下來就到哪個數了？ 眾生：2187。

師：現在大聲地告訴老師，如果真有2187瓶，其中1瓶是次品，用天平稱稱，至少幾次保證找到？ 眾生：7次。

師：課剛開始時猜需要2186次的是那位同學，請問此時此刻有什么想說的嗎？（該生起立，笑著無言以對）

師：是什么讓這位同學無言以對？從兩千多瓶中找一瓶次品，起初我們本能地感覺怎么也要兩千多、一千多或好幾百次，其實7次足矣。前后相差之大，遠遠超出了我們的想像。這就是數學思考的魅力。也正是這種無窮的魅力，才讓我們這位同學感覺無言以對。其實不止是這位同學，剛開始時，我們都沒有想到啊！（輕輕摸摸該生的頭，示意他坐下）

四、全課總結 1.全課小結

師：（指著板書上的“次品”倆字）請問我們今天上的什么課？ 全體學生：（自然地答道）次品課。師：（故作生氣狀）瞎說！你才上次品課呢。

（順手在“次品”前寫上一個大大的“找”字，全體聽課老師則會心地哈哈大笑）2.提出問題

今天我們找次品的物品總數不管是9、12，還是27、81、243??，都是3的倍數，也就是可以直接均分三份來操作，如果物品總數不是3的倍數，又該怎樣操作呢？這個問題，需要我們下節課來繼續研究。

第五篇：六年級數學復習課(華應龍)

《六年級數學復習課》教學案例

華應龍

公開教學選擇上復習課？這是我絕對不會做的，更確切地說——是不敢做！原因很簡單：第一，復習鞏固舊知識，學生覺得無味；第二，以練習為主，講練結合，形式單一，缺乏新意；第三，復習課主要針對學生存在的典型錯例有的放矢地進行輔導，后面那么多老師聽課，一旦學生暴露的都是問題，不知該如何有效地調控課堂。

不久前的一節公開教學觀摩課徹底打破了我的這種固執、可笑的想法，這是特級教師華應龍執教的一堂六年級數學復習課。

這堂課既沒有生動鮮亮的多媒體課件，也沒有豐富多樣的練習形式，全課的展開就圍繞著一張綜合測試題：

1.請認真地把試卷讀完，然后在試卷左上角寫上自己的姓名。

2.脫式計算：1.25×32×0.25。

3.解方程：6.8+3.2x=26。

4.甲乙兩地相距300千米，一輛汽車從甲地開往乙地，平均每小時行60千米，4小時后離甲地多少千米？

5.帶著小狗的小明和小兵同時分別從相距1200米的兩地相向而行。小明每分鐘行55米，小兵每分鐘行65米，小狗每分鐘跑240米，小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明這邊跑，遇到小明后再向小兵那邊跑。當小明和小兵相遇時，小狗一共跑了多少米？

6.如果你已經認真讀完了7道題目，就只要完成第1題。這樣的測試有意思嗎？那就笑在心里，等待5分鐘的到來，好嗎？

7.小紅的房間長4米，寬3.2米，她爸爸準備把南墻刷上彩漆，這面墻上窗戶的面積是2.8平方米。算一算，小紅爸爸至少需要買多少千克彩漆？（每平方米大約用彩漆0.4千克）

“你在耍我們！”

【精彩回放】上課伊始，老師宣布進行一次5分鐘比賽。隨著一聲口令，全班伏案疾書，5分鐘很快就過去了。“完成這張試卷的同學請舉手！”老師滿臉期待。學生一臉沮喪，面面相覷。“一個都沒完成？”看得出，老師心有不甘。沉默片刻，一個憤憤不平的聲音傳來：“老師，你在耍我們！”此言一出，滿堂嘩然！老師一臉迷惑：“我怎么耍你們了？”“你看，第6題??”隨著他的提醒，大家將目光聚焦于試卷的一處——“6.如果你已經認真讀完了7道題目，就只要完成第1題??”

學生們恍然大悟，忍不住七嘴八舌地議論開了。老師連忙追問道：“真是我耍了你們？”這一追問引發了學生的自我反省：

“不是，因為第1題已經說得很清楚了，而我連名字都沒寫！”

“我把名字習慣性地寫在了右上角了！”

“如果我們按要求認真地把試卷讀完的話，我們當然能看清第6題的要求。”

【且聽且思】我們總習慣于在學生做練習時反復提醒：先審題，再下筆。然而，年復一年、日復一日地提醒得到的依然是學生的我行我素，拿題即做，結果仍然是屢說屢錯，屢錯屢說。于是我們便常常心生抱怨：怎么老師的話到了學生那里就成了耳邊風？這份試卷的特殊價值就在于不經意間讓學生真真切切地自我反思，實實在在地體會到認讀提示語是多么重要。這種體驗遠比老師在學生做題前反復叮嚀要有效、要深刻，它絕非只是學生停留在表面、承諾在口頭的應答。

“我們又上當了！”

【精彩回放】“既然大家覺得這張試卷很有意思，那么我們就來研究一下，請把其中的第4題、第5題和第7題做完，時間為6分鐘。”??開始交流了，一位矮個男孩首當其沖：“第4題的算式是300-60×4”，其余學生紛紛頷首點頭。老師并未急于表態，而是將目光投向另一位眉頭緊鎖的女孩，他注意到剛才這位女孩曾遲疑地舉了一下手。“我覺得應該是60×4”，她吞吞吐吐地回答道。“奇怪！一般來說，我們在解決問題時會有不同的方法，現在怎么會有兩個不同的答案呢？”老師一臉驚訝：“這到底是怎么回事？”

漸漸地，舉手的人多了：“我們又上當了，問題是‘離甲地多少米？’”

“300-60×4求的是‘離乙地多少米？’”

“求‘離甲地多少米？’實際上是求‘已經行了多少米？’”

“這好比要我們去某個地方，地址都沒聽清就撒腿便跑，結果南轅北轍。”老師適時點評：“錯得好，說得更好！只要我們有收獲、有長進，那么剛才的錯誤就有了價值！”

在交流第5題的感想時，很多學生覺得：“題目太長，理解題意比較費勁。”“是啊，題目的確很長！”老師啟發大家：“你們覺得這道題繞來繞去關鍵在哪？”“小狗在不停地、來回地跑。”學生的回答一針見血。“既然如此，那該怎么解答呢？”老師順水推舟。“應該用55+65=120（米），1200÷120=10（分），10×240=2400（米），理由是??”聽了他的分析，老師點頭贊同，隨后又問：“還有不同意見嗎？”“有！應該再用2400×2=4800（米）”一位瘦瘦的男孩堅定地說。見大家不明所以，他繼續補充道：“題目上說‘帶著小狗的小明和小兵’，問題是‘小狗一共跑了多少米？’可以理解為求一只小狗跑的路程，也可以理解為求兩只小狗跑的路程。”這樣的解釋出人意料又合乎情理，而且很顯然，老師并未預設到這種“生成”，他激動地詢問了這位學生的名字，然后大聲承認：“我原以為劉梁豐同學錯了，所以才讓他交流，事實上他是完全正確的，讓我們把熱烈的掌聲送給他！”

【且聽且思】也許應該感謝那位眉頭緊鎖的女孩，是她的遲疑使得課堂在那一刻峰回路轉；也許還應感謝那位瘦瘦的男孩，是他的堅定使得課堂在那一刻精彩紛呈??學生們的思考讓教學有了生成的空間。但再深入仔細地想想，僅僅有了生成就足夠了嗎？如果華應龍老師缺少智慧獨到的眼光，缺乏“讓差錯顯露出可貴”的思想，那么即便是面對再多的生成也會熟視無睹！試想，若不是華老師的關注細節———發現了女孩的遲疑；若不是習慣于“傾聽不同的聲音”——給了男孩表達的機會，也許上述這些有價值的生成都將被悄無聲息地淹沒在我們的聲音中，一種以“權威者”的身份妄加評判的聲音。

“這題沒有答案！”

【精彩回放】第7題的交流非常熱烈。第一位學生說：“用4×3.2=12.8(平方米),12.8+2.8=15.6(平方米),15.6×0.4=6.24(千克)。”“錯了，錯了！”話音剛落，教室里便傳來此起彼伏的否定聲。老師連忙擺手：“別說‘錯了’，說不定有對的道理呢？應該說‘還有不同的想法嗎’？”另一位學生回答道：“粉刷墻壁時要把窗戶的面積去掉，所以應該用12.8-2.8=10(平方米),10×0.4=4(千克)。”他的分析有條有理，得到了大多數同學的認同。正當大家的觀點趨于一致時，又有一位學生舉手：“我認為這兩個答案都不對。因為要求南墻的粉刷面積必須知道長和高，而題目中并沒有告訴我們高是多少，所以這道題目沒有答案！”沒有答案？大家滿臉震驚，而后再次恍然。老師也深有感觸地說：“我很佩服這位同學，一是佩服他發現了這個大家容易忽視的環節，二是佩服他能在大家的聲音特別高、特別一致時，有勇氣站起來表明自己與眾不同的觀點。這讓我想起了一個故事：一條船在茫茫大海上航行，船上裝了75頭牛、45頭羊，問這條船上的船長年齡多大？”學生哄堂大笑。

【且聽且思】“這題沒有答案！”初聞此言，滿心震驚！平心而論，在平時的練習中，我們已習慣于出有答案的題目，學生也已習慣于解有答案的題目。正是因為習慣于這種定式，所以當學生繞了一大圈發現題目本無答案時，才會在震驚中領會出題者的深意。

一顆數學思維的種子，不管我們是有心還是無意，只要播進了學生的心田，它就會以別人難以感知的方式存活、生長起來，而且，它的果實會成倍地膨脹。透過習以為常的現象，我們是否該再次認真思考——何為“數學思想”？何為“有用的數學”？我想華老師的這堂課已作了絕妙的詮釋。讓我們為這簡約而精彩的復習課叫好！