21.4　第1課時　利用二次函數(shù)模型解決最值問題

一、選擇題

1.某汽車出租公司一天的租車總收入y(元)與每輛出租車的日租金x(元)滿足函數(shù)表達式y(tǒng)=-35(x-120)2+19440(0≤x≤200),則該公司一天的租車總收入最多為

()

A.120元

B.200元

C.1200元

D.19440元

2.某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室,一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長),中間用一道墻隔開,并在如圖1所示的三處各留1

m寬的門,已知計劃中的材料可建墻體(不包括門)總長為27

m,則能建成的兩間飼養(yǎng)室總面積最大為()

圖1

A.75

m2

B.752

m2

C.48

m2

D.2252

m2

3.某大學生利用課余時間在網(wǎng)上銷售一種成本為50元/件的商品,每月的銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)之間的函數(shù)表達式為y=-4x+440,要想每月獲得最大利潤,該商品的銷售單價應定為

()

A.60元/件

B.70元/件

C.80元/件

D.90元/件

4.某公司在甲、乙兩地同時銷售某種品牌的汽車.已知在甲、乙兩地的銷售利潤y(單位:萬元)與銷售量x(單位:輛)之間分別滿足:y1=-x2+10x,y2=2x.若該公司在甲、乙兩地共銷售15輛該品牌的汽車,則能獲得的最大利潤為

()

A.30萬元

B.40萬元

C.45萬元

D.46萬元

二、填空題

5.某商品的利潤y(元)與單價x(元/件)之間的函數(shù)表達式為y=-5x2+10x,當0.5≤x≤2時,該商品的最大利潤是.6.一件工藝品的進價為100元,若以標價135元出售,每天可售出100件.根據(jù)銷售統(tǒng)計,一件工藝品每降價1元出售,則每天可多售出4件,要使每天獲得的利潤最大,每件需降價　　元.7.將一條長為20

cm的鐵絲剪成兩段,并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形,則這兩個正方形面積之和的最小值是　　　　cm2.8.某縣在治理違建的過程中,某小區(qū)拆除了自建房,改建綠地.如圖2,自建房占地是邊長為20

m的正方形ABCD,改建的綠地是矩形AEFG,其中點E在AB上,點G在AD的延長線上,且DG=2BE.如果設BE的長為x(單位:m),綠地AEFG的面積為y(單位:m2),那么y與x之間滿足的函數(shù)表達式為　　　　　,綠地AEFG的最大面積為　　　m2.圖2

三、解答題

9.某校在基地參加社會實踐活動中,帶隊老師給學生出了一道題:基地計劃新建一個矩形的生物園地,一邊靠舊墻(墻足夠長),另外三邊用總長為69米的不銹鋼柵欄圍成,與墻平行的一邊留一個寬為3米的出入口,如圖3所示,如何設計才能使園地的面積最大?下面是兩位學生爭議的情境:

圖3

請根據(jù)上面的信息,解決問題:

(1)設AB=x米(x>0),試用含x的代數(shù)式表示BC的長;

(2)請你判斷誰的說法正確,并說明理由.10.某水果商店銷售一種進價為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果,若售價為50元/千克,則一個月可售出500千克;若售價在50元/千克的基礎上每上漲1元/千克,則月銷售量就減少10千克.(1)當售價為55元/千克時,每月銷售水果多少千克?

(2)當月利潤為8750元時,水果的售價為多少?

(3)當水果的售價為多少時,獲得的月利潤最大?

11.如圖4,有長為24

m的籬笆,一面利用墻(墻的最大可用長度a為10

m),圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃(由兩個小矩形花圃組成).設花圃的一邊AB為x

m,面積為S

m2.(1)求S與x之間的函數(shù)表達式.(2)如果要圍成面積為45

m2的花圃,那么AB的長是多少米?

(3)能圍成面積比45

m2更大的花圃嗎?如果能,請求出最大面積,并說明圍法;如果不能,請說明理由.圖4

12.如圖5,二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點A(2,4)與B(6,0).(1)求a,b的值;

(2)C是該二次函數(shù)圖象上A,B兩點之間的一動點,橫坐標為x(2

答案

1.D

2.[解析]

A　設垂直于現(xiàn)有墻的一邊長為x

m,則平行于現(xiàn)有墻的一邊長為27+3-3x=(30-3x)m,則飼養(yǎng)室的總面積S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當x=5時,S取最大值,為75,故能建成的兩間飼養(yǎng)室的總面積最大為75

m2.3.C

4.[解析]

D　設在甲地銷售x輛,則在乙地銷售(15-x)輛.根據(jù)題意,得總利潤W=y1+y2=-x2+10x+2(15-x)=-x2+8x+30=-(x-4)2+46.由二次函數(shù)的性質(zhì),可知當x=4時,W取最大值,為46,故能獲得的最大利潤為46萬元.5.[答案]

5元

[解析]

y=-5x2+10x=-5(x-1)2+5,所以當x=1時,函數(shù)有最大值5,且1在0.5≤x≤2的范圍內(nèi),所以當0.5≤x≤2時,該商品的最大利潤為5元.6.5

7.[答案]

12.5

[解析]

設這兩個正方形的邊長分別為x

cm和y

cm,它們的面積之和為S

cm2.根據(jù)題意,得4x+4y=20,S=x2+y2,所以y=5-x,S=x2+(5-x)2=2x2-10x+25=2(x2-5x)+25=2(x-52)2+252.所以當x=2.5時,這兩個正方形的面積之和最小,最小值是12.5

cm2.8.y=-2x2+20x+400　450

9.解:(1)由AB=x米,可得BC=69+3-2x=(72-2x)米.(2)小英的說法正確.理由:設矩形生物園地的面積為S平方米,則S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648.∵72-2x>0,∴x<36.∴0

m.(3)能圍成面積比45

m2更大的花圃.∵S=-3x2+24x=-3(x-4)2+48,其函數(shù)圖象開口向下,對稱軸為直線x=4,∴當x>4時,y隨x的增大而減小,∴在143≤x<8的范圍內(nèi),當x=143時,S取得最大值,S最大值=1403,即最大面積為1403

m2,此時AB=143

m,BC=10

m.[素養(yǎng)提升]

[解析]

(1)把點A與點B的坐標代入二次函數(shù)表達式,即可求出a與b的值;

(2)過點A作x軸的垂線,垂足為D(2,0),連接CD,過點C作CE⊥AD,CF⊥x軸,垂足分別為E,F,分別表示出△OAD,△ACD以及△BCD的面積,它們之和即為S,得出S關于x的函數(shù)表達式,根據(jù)x的取值范圍,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值,以及此時x的值.解:(1)將A(2,4)與B(6,0)代入y=ax2+bx,得4a+2b=4,36a+6b=0,解得a=-12,b=3.(2)由(1)知二次函數(shù)的表達式為y=-12x2+3x.如圖,過點A作x軸的垂線,垂足為D,則D(2,0),連接CD,過點C作CE⊥AD,CF⊥x軸,垂足分別為E,F.∵S△OAD=12OD·AD=12×2×4=4,S△ACD=12AD·CE=12×4×(x-2)=2x-4,S△BCD=12BD·CF=12×4×-12x2+3x=-x2+6x,∴S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,∴S關于x的函數(shù)表達式為S=-x2+8x(2