22.3

第1課時

相似三角形的性質(zhì)

一、選擇題

1.已知△ABC∽△DEF,若△ABC與△DEF的相似比為34,則△ABC與△DEF對應(yīng)中線的比為()

A.34

B.43

C.916

D.169

2.已知△ABC∽△DEF,且相似比為1∶2,則△ABC與△DEF的面積比為

()

A.1∶4

B.4∶1

C.1∶2

D.2∶1

3.[2020·銅仁]

已知△FHB∽△EAD,它們的周長分別為30和15,且FH=6,則EA的長為

()

A.3

B.2

C.4

D.5

4.如果兩個相似三角形的面積比為1∶4,那么它們的周長比是

()

A.1∶16

B.1∶4

C.1∶6

D.1∶2

5.如圖1,將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A＇B＇C＇的位置,已知△ABC的面積為16,陰影部分三角形的面積為9.如果AA＇=1,那么A＇D的長為

()

圖1

A.2

B.3

C.4

D.32

6.如圖2,在△ABC中,點D,F在AB邊上,DE∥FG∥BC,且S△ADE=S四邊形DFGE=S四邊形FBCG,則AD∶DF∶FB的值為

()

圖2

A.1∶1∶1

B.1∶2∶3

C.1∶2∶3

D.1∶(2-1)∶(3-2)

7.如圖3,D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點,DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE=1∶3,則S△DOE∶S△COA的值為

()

圖3

A.13

B.14

C.19

D.116

二、填空題

8.已知△ABC∽△A＇B＇C＇,ABA＇B＇=12,△ABC的角平分線CD=4

cm,△ABC的面積為64

cm2.△A＇B＇C＇的角平分線C＇D＇的長為　　　　,△A＇B＇C＇的面積為.9.在△ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點,則△ADE與△ABC的周長之比為.10.如圖4,在?ABCD中,AE∶EB=3∶4,DE交AC于點F,則△AEF與△CDF的周長之比為;若△CDF的面積為14

cm2,則△AEF的面積為.圖4

11.如圖5,光源P在橫桿AB的正上方,AB在燈光下的影子為CD,AB∥CD,AB=2

m,CD=6

m,點P到CD的距離是2.7

m,則AB離地面的距離為　　　　m.圖5

12.[2020·東營]

如圖6,P為平行四邊形ABCD的邊BC上一點,E,F分別為PA,PD上的點,且PA=3PE,PD=3PF,△PEF,△PDC,△PAB的面積分別記為S,S1,S2,若S=2,則S1+S2=.圖6

三、解答題

13.如圖7,在△ABC中,D,E分別是△ABC的AB,AC邊上的點,DE∥BC,CF,EG分別是△ABC與△ADE的中線,已知AD∶DB=4∶3,EG=4

cm,求CF的長.圖7

14.如圖8,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,BC⊥AC,CD⊥AD,AB=18,AC=12.(1)求AD的長;

(2)若DE⊥AC,CF⊥AB,垂足分別為E,F,求DECF的值.圖8

15.如圖9,已知正方形DEFG的頂點D,E在△ABC的邊BC上,頂點G,F分別在邊AB,AC上.如果BC=4,△ABC的面積是6,求正方形DEFG的邊長.圖9

16.如圖10所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,CE是∠BCD的平分線,且CE⊥AB,E為垂足,BE=2AE.若四邊形AECD的面積為1,求四邊形ABCD的面積.圖10

答案

1.A　2.A

3.[解析]

A　相似三角形的周長之比等于相似比,所以△FHB和△EAD的相似比為30∶15=2∶1,所以FH∶EA=2∶1,即6∶EA=2∶1,解得EA=3.故選A.4.[解析]

D　如果兩個相似三角形的面積比為1∶4,那么這兩個相似三角形的相似比為1∶2,∴這兩個相似三角形的周長比為1∶2.5.[解析]

B　如圖,∵S△ABC=16,S△A＇EF=9,且AD為BC邊上的中線,∴S△A＇DE=12S△A＇EF=4.5,S△ABD=12S△ABC=8.∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A＇B＇C＇,∴A＇E∥AB,∴△DA＇E∽△DAB,則(A＇DAD)2=S△A＇DES△ADB,即(A＇DA＇D+1)2=4.58,解得A＇D=3或A＇D=-37(舍去).故選B.6.[解析]

D　∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC.∵S△ADE=S四邊形DFGE=S四邊形FBCG,∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶2∶3,∴AD∶AF∶AB=1∶2∶3,∴AD∶DF∶FB=1∶(2-1)∶(3-2).故選D.7.[解析]

D　∵S△BDE∶S△CDE=1∶3,∴BE∶CE=1∶3.∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,且△BDE∽△BAC,∴DEAC=BEBC=11+3=14,∴S△DOES△COA=DEAC2=142=116.8.[答案]

cm　256

cm2

[解析]

∵△ABC∽△A＇B＇C＇,ABA＇B＇=12,∴CDC＇D＇=ABA＇B＇=12.∵△ABC的角平分線CD=4

cm,∴C＇D＇=4×2=8(cm).∵△ABC的面積△A＇B＇C＇的面積=(ABA＇B＇)2=14,△ABC的面積為64

cm2,∴△A＇B＇C＇的面積為64×4=256(cm2).9.[答案]

[解析]

由D,E分別是邊AB,AC的中點,得出DE是△ABC的中位線,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)知DE∥BC,進而得到△ADE與△ABC相似,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),得到△ADE與△ABC的周長之比為12.10.[答案]

3∶7　187

cm2

[解析]

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DC∥AB,DC=AB,∴△AEF∽△CDF.∵AE∶EB=3∶4,∴AE∶AB=3∶7,∴AE∶DC=3∶7.∵△AEF∽△CDF,∴△AEF的周長∶△CDF的周長=AE∶DC=3∶7.∵△AEF∽△CDF,∴S△CDF∶S△AEF=(CD∶AE)2.∵CD∶AE=7∶3,△CDF的面積為14

cm2,∴△AEF的面積為187

cm2.11.[答案]

1.8

[解析]

∵AB∥CD,∴△PAB∽△PCD.∵AB=2

m,CD=6

m,∴ABCD=13.設(shè)AB離地面的距離為x

m,∵點P到CD的距離是2.7

m,∴點P到AB的距離是(2.7-x)m,∴2.7-x2.7=13,解得x=1.8.故AB離地面的距離為1.8

m.12.[答案]

[解析]

本題考查了相似三角形的判定、性質(zhì),三角形的面積,解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件推出相似三角形,并由相似比得到面積比.∵PA=3PE,PD=3PF,∠APD=∠EPF,∴△PEF∽△PAD,相似比為1∶3.∵△PEF的面積為S=2,∴S△PAD=9S=9×2=18,∴S1+S2=S△PAD=18.13.解:∵AD∶DB=4∶3,∴AD∶AB=4∶7.∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE.∵CF,EG分別是△ABC與△ADE的中線,∴ADAB=EGCF,∴47=4CF,∴CF=7(cm).14.解:(1)∵AC平分∠BAD,BC⊥AC,CD⊥AD,∴∠BAC=∠CAD,∠BCA=∠CDA,∴△ABC∽△ACD,∴ABAC=ACAD,∴AD=AC2AB=12218=8,即AD的長為8.(2)∵△ABC∽△ACD,DE⊥AC,CF⊥AB,∴DECF=ACAB=23.15.解:如圖,過點A作AH⊥BC于點H,交GF于點M.∵△ABC的面積是6,∴12BC·AH=6,∴AH=2×64=3.設(shè)正方形DEFG的邊長為x,則GF=x,MH=x,∴AM=3-x.∵GF∥BC,AH⊥BC,∴AM⊥GF,△AGF∽△ABC,∴GFBC=AMAH,即x4=3-x3,解得x=127,即正方形DEFG的邊長為127.16.解:如圖,延長BA與CD,交于點F.∵AD∥BC,∴△FAD∽△FBC.∵CE是∠BCD的平分線,∴∠BCE=∠FCE.∵CE⊥AB,∴∠BEC=∠FEC=90°.又∵EC=EC,∴△BCE≌△FCE(ASA),∴BE=EF,∴BF=2BE.∵BE=2AE,∴EF=2AE,∴AE=AF,∴BF=4AE=4AF,∴S△FADS△FBC=(AFBF)2=116.設(shè)S△FAD=x,則S△FBC=16x,∴S△BCE=S△FEC=8x,∴S四邊形AECD=7x.∵四邊形AECD的面積為1,∴7x=1,∴x=17,∴四邊形ABCD的面積=S△BCE+S四邊形AECD=15x=157.