23.2　第2課時　仰角、俯角問題

一、選擇題

1.如圖1,從點C觀測點D的仰角是

()

圖1

A.∠DAB

B.∠DCE

C.∠DCA

D.∠ADC

2.如圖2,在水平地面上,由點A測得旗桿BC的頂點C的仰角為60°,點A到旗桿的距離AB=12米,則旗桿的高度為

()

圖2

A.63米

B.6米

C.123米

D.12米

3.如圖3,在高出海平面100

m的懸崖頂A處,觀測海面上的一艘小船B,并測得它的俯角為30°,則船與觀測者之間的水平距離為

()

圖3

A.503

m

B.100

m

C.(100+3)m

D.1003

m

4.如圖4,甲、乙兩樓相距30米,乙樓的高度為36米,自甲樓樓頂A處看乙樓樓頂B處的仰角為30°,則甲樓的高度為

()

圖4

A.11米

B.(36-153)米

C.153米

D.(36-103)米

5.如圖5,從熱氣球C處測得地面A,B兩點的俯角分別是30°,45°.如果此時熱氣球C處的高度CD為100

m,點A,D,B在同一直線上,那么A,B兩點之間的距離為(結(jié)果保留根號)()

圖5

A.1002

m

B.200

m

C.300

m

D.(1003+100)m

6.如圖6,數(shù)學(xué)實踐活動小組要測量學(xué)校附近樓房CD的高度,在水平地面A處安置測傾器測得樓房CD頂部點D的仰角為45°,向前走20米到達(dá)A＇處,測得點D的仰角為67.5°.已知測傾器AB的高度為1.6米,則樓房CD的高度約為(結(jié)果精確到0.1米;參考數(shù)據(jù):tan67.5°≈2.414)()

圖6

A.34.14米

B.34.1米

C.35.7米

D.35.74米

二、填空題

7.如圖7,在點B處測得塔頂A的仰角為α,點B到塔底C的水平距離BC是30

m,那么塔AC的高度為　　　　m.(用含α的式子表示)

圖7

8.如圖8,無人機于空中A處測得某建筑頂部B處的仰角為45°,測得該建筑底部C處的俯角為17°.若無人機的飛行高度AD為62

m,則該建筑的高度BC約為　　　　m.(參考數(shù)據(jù):sin17°≈0.29,cos17°≈0.96,tan17°≈0.31)

圖8

9.今年,某縣境內(nèi)跨湖高速進(jìn)入施工高峰期,交警隊為提醒出行車輛,在一些主要路口設(shè)立了交通路況警示牌(如圖9).已知立桿AD的高度是4

m,從側(cè)面點C測得警示牌頂端點A和底端點B的仰角(∠ACD和∠BCD)分別是60°,45°,那么路況警示牌AB的高度為.(結(jié)果保留根號)

圖9

10.如圖10,某城市的電視塔AB坐落在湖邊,數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)學(xué)生隔湖測量電視塔AB的高度,在點M處測得塔尖點A的仰角∠AMB為22.5°,沿射線MB方向前進(jìn)200米到達(dá)湖邊點N處,測得塔尖點A在湖中的倒影A＇的俯角∠A＇NB為45°,則電視塔AB的高度為　　　　米.(結(jié)果保留根號)

圖10

三、解答題

11.某地為打造宜游環(huán)境,對旅游道路進(jìn)行改造,如圖11是風(fēng)景秀美的觀景山,從山腳B到山腰D沿斜坡已建成步行道,為方便游客登頂觀景,欲從D到A修建電動扶梯,經(jīng)測量,山高AC=154

m,步行道BD=168

m,∠DBC=30°,在D處測得山頂A的仰角為45°,求電動扶梯DA的長.(結(jié)果保留根號)

圖11

12.無人機社團的同學(xué)計劃利用無人機設(shè)備測量通達(dá)橋拱門的高度,如圖12,他們先將無人機升至距離橋面50米高的點C處,測得橋的拱門最高點A的仰角∠ACF為30°,再將無人機從C處豎直向上升高200米到點D處,測得點A的俯角∠ADG為45°.已知點A,B,C,D,E在同一平面內(nèi),求通達(dá)橋拱門最高點A距離橋面BE的高度AB.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):2≈1.41,3≈1.73)

圖12

13.圖13是某路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖,燈柱AC的高為11米,燈桿AB與燈柱AC的夾角∠A=120°,路燈采用錐形燈罩,在地面上的照射區(qū)域DE的長為18米,從D,E兩處測得路燈B的仰角分別為α和β,且tanα=6,tanβ=34,求燈桿AB的長度.圖13

答案

1.[解析]

B　∵從點C觀測點D的視線是CD,水平線是CE,∴從點C觀測點D的仰角是∠DCE.故選B.2.[解析]

C　∵AB=12米,∠BAC=60°,由tan∠BAC=BCAB,得BC=AB·tan∠BAC=12×tan60°=123(米).故選C.3.D

4.[解析]

D　如圖,過點A作AE⊥BD于點E.在Rt△ABE中,AE=CD=30米,∠BAE=30°,∴BE=30×tan30°=103(米),∴AC=ED=BD-BE=(36-103)米,∴甲樓的高度為(36-103)米.故選D.5.[解析]

D　由題意,知∠A=30°,∠B=45°,CD=100

m,∴AD=CDtan30°=1003(m),BD=CDtan45°=100(m),故AB=AD+BD=(1003+100)m.6.[解析]

C　設(shè)BB＇的延長線與CD交于點C＇,則BC＇⊥CD,∴BC＇=C＇Dtan45°,B＇C＇=C＇Dtan67.5°.∵BB＇=BC＇-B＇C＇,∴C＇Dtan45°-C＇Dtan67.5°=20,解得C＇D≈34.14(米),∴CD≈34.14+1.6≈35.7(米).7.30tanα

8.[答案]

262

[解析]

如圖,過點A作AE⊥BC于點E,則四邊形ADCE為矩形,∴EC=AD=62.在Rt△AEC中,tan∠EAC=ECAE,則AE=ECtan∠EAC≈620.31=200.在Rt△AEB中,∵∠BAE=45°,∴BE=AE≈200,∴BC≈200+62=262(m),則該建筑的高度BC約為262

m.故答案為262.9.[答案]

12-433

m

[解析]

在Rt△ACD中,∵∠ACD=60°,AD=4

m,∴tan60°=ADCD=3,∴CD=433

m.在Rt△BDC中,∵∠BCD=45°,∴tan45°=BDCD=1,∴BD=CD=433

m,∴AB=AD-BD=12-433

m.故答案為12-433

m.10.[答案]

1002

[解析]

如圖,連接AN.由題意知,BM⊥AA＇,BA=BA＇,∴BM垂直平分AA＇,∴AN=A＇N,∠ANB=∠A＇NB=45°.∵∠AMB=22.5°,∴∠MAN=∠ANB-∠AMB=22.5°,∴∠AMN=∠MAN,∴AN=MN=200米.在Rt△ABN中,∵∠ANB=45°,∴AB=22AN=1002米.故答案為1002.11.解:如圖,過點D分別作DE⊥BC于點E,DF⊥AC于點F.又∵AC⊥BC,∴四邊形DECF為矩形,∴FC=DE,DF=EC.在Rt△DBE中,∠DBC=30°,BD=168

m,∴DE=12BD=84

m,∴FC=DE=84

m,∴AF=AC-FC=154-84=70(m).在Rt△ADF中,∵∠ADF=45°,∴DA=2AF=702

m.答:電動扶梯DA的長為702

m.12.解:如圖,過點A作AM⊥DE于點M,則∠AMD=∠AMC=90°.在Rt△ACM中,∠ACM=90°-∠ACF=90°-30°=60°,∴tan∠ACM=tan60°=AMCM=3,∴AM=3CM.在Rt△ADM中,∠ADM=90°-∠ADG=90°-45°=45°,∴tan∠ADM=tan45°=AMDM=1,∴DM=AM=3CM.由題意,知CD=200米,∴CM+3CM=200,∴CM=1003-100≈73(米).∵∠ABE=∠AME=∠MEB=90°,∴四邊形ABEM是矩形,∴AB=ME=CM+CE≈73+50=123(米).答:通達(dá)橋拱門最高點A距離橋面BE的高度AB約為123米.13.解:如圖,過點B作BF⊥CE于點F,過點A作AG⊥BF于點G,則四邊形ACFG為矩形,∴∠CAG=90°,FG=AC=11米.由題意得∠BDE=α,tanβ=BFEF=34.設(shè)BF=3x米,則EF=4x米.在Rt△BDF中,∵tan∠BDF=BFDF,∴DF=BFtan∠BDF=3x6=12x(米).∵DF+EF=DE=18米,∴12x+4x=18,解得x=4,∴BF=12米,∴BG=BF-FG=12-11=1(米).∵∠BAC=120°,∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°,∴AB=2BG=2米.答:燈桿AB的長度為2米.