22.2　第3課時　相似三角形判定定理2

一、選擇題

1.已知一個三角形的兩個內角分別是40°,60°,另一個三角形的兩個內角分別是60°,80°,則這兩個三角形

()

A.一定不相似

B.不一定相似

C.一定相似

D.全等

2.如圖1,在△ABC中,∠AED=∠B,則下列等式成立的是

()

圖1

A.DECB=ADDB

B.AECB=ADBD

C.DECB=AEAB

D.ADAB=AEAC

3.下列各選項中的三角形有可能不相似的是

()

A.各有一個角是45°的兩個等腰三角形

B.各有一個角是60°的兩個等腰三角形

C.各有一個角是105°的兩個等腰三角形

D.兩個等腰直角三角形

4.如圖2,在△ABC中,AE交BC于點D,∠C=∠E,AD=4,BC=8,BD∶DC=5∶3,則DE的長為

()

圖2

A.203

B.174

C.163

D.154

5.如圖3,在矩形ABCD中,將△ABF沿著AF折疊,點B恰好落在DC邊上的點E處,則一定有

()

圖3

A.△ADE∽△ECF

B.△ECF∽△AEF

C.△ADE∽△AEF

D.△AEF∽△AFB

6.[2018·淮南期末]

已知:如圖4,∠ADE=∠ACD=∠ABC,則圖中相似三角形共有()

圖4

A.1對

B.2對

C.3對

D.4對

二、填空題

7.如圖5,在△ABC中,M是AB的中點,點N在BC上,BC=2AB,∠BMN=∠C,則BNNC=.圖5

8.如圖6,已知在Rt△ABC中,CD是斜邊上的高,AC=4,BC=3,則AD=.圖6

9.如圖7,一束光線從y軸上的點A(0,1)發出,經過x軸上的點C反射后,反射光線經過點B(6,2),則點C的坐標是.圖7

三、解答題

10.如圖8,在正方形ABCD中,M為BC上的點,E是AD的延長線上的點,過點E作EF⊥AM于點F,EF交DC于點N.(1)求證:△ABM∽△EFA;

(2)當F為AM的中點時,若AB=12,BM=5,求DE的長.圖8

11.已知:如圖9,△ABC是等邊三角形,點D,E分別在邊BC,AC上,∠ADE=60°.(1)求證:△ABD∽△DCE;

(2)如果AB=3,EC=23,求DC的長.圖9

12.如圖10,若要在寬AD為20米的城南大道兩邊安裝路燈,路燈的燈臂BC長2米,且與燈柱AB成120°角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線CO與燈臂BC垂直,當燈罩的軸線CO通過公路路面的中心線時照明效果最好,此時,路燈的燈柱AB的高應該設計為多少米(結果保留根號)?

圖10

13.如圖11,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(8,0),點B的坐標為(0,6),C是線段AB的中點.在x軸上是否存在一點P,使得以P,A,C為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.圖11

答案

1.[解析]

C　第一個三角形中第三個內角的度數為180°-40°-60°=80°,所以這兩個三角形有兩角分別相等,故這兩個三角形相似.故選C.2.[解析]

C　根據“一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似”可以判定△ADE∽△ACB,再根據相似三角形的對應邊成比例,可知等式DECB=AEAB成立.3.A

4.[解析]

D　∵BD∶DC=5∶3,BC=8,∴BD=5,DC=3.∵∠BDE=∠ADC,∠E=∠C,∴△BDE∽△ADC,∴BDAD=DEDC,即54=DE3,解得DE=154.5.[解析]

A　根據題意可知,∠DAE+∠AED=∠AED+∠CEF=90°,∴∠DAE=∠CEF.又∵∠D=∠C=90°,∴△ADE∽△ECF.6.D

7.[答案]

[解析]

∵M是AB的中點,∴AB=2BM.∵BC=2AB,∴BC=4BM.∵∠BMN=∠C,∠B=∠B,∴△BMN∽△BCA,∴BMBC=BNAB=14.∵BC=2AB,∴BN=18BC,∴BNCN=17.故答案為17.8.[答案]

165

[解析]

在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=5.∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴ACAB=ADAC,則AD=AC2AB=165.9.[答案]

(2,0)

[解析]

設點C的坐標是(x,0),則CO=x.如圖,過點B作BM⊥x軸于點M.∵一束光線從y軸上的點A(0,1)發出,經過x軸上的點C反射后,反射光線經過點B(6,2),∴AO=1,BM=2,OM=6,∠ACO=∠BCM.∵∠AOC=∠BMC=90°,∴△AOC∽△BMC,∴AOBM=COCM,∴12=x6-x,解得x=2.經檢驗,x=2是原方程的根且符合題意.故答案為(2,0).10.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,AD∥BC,∴∠EAF=∠AMB.∵EF⊥AM,∴∠AFE=∠ABC=90°,∴△ABM∽△EFA.(2)∵∠ABC=90°,AB=12,BM=5,∴AM=AB2+BM2=13.∵F為AM的中點,∴AF=6.5.∵△ABM∽△EFA,∴AMEA=BMFA,∴1312+DE=56.5,∴DE=4.9.11.解:(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠C=60°.∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠B=∠ADE=60°,∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE.(2)由(1)得△ABD∽△DCE,∴BDCE=ABDC.設DC=x,則BD=3-x,∴3-x23=3x,解得x=1或x=2.經檢驗,x=1或x=2都是原方程的根且符合題意.∴DC的長為1或2.12.解:如圖,延長OC,AB交于點P.∵∠ABC=120°,∴∠PBC=60°.∵∠OCB=90°,∴∠P=30°.∵AD=20米,∴OA=12AD=10米.在Rt△CPB中,∵BC=2米,∠P=30°,∴PB=2BC=4米,PC=23米.∵∠P=∠P,∠PCB=∠A=90°,∴△PCB∽△PAO,∴PCPA=BCOA,∴PA=PC·OABC=103米,∴AB=PA-PB=(103-4)米.答:路燈的燈柱AB的高應該設計為(103-4)米.13存在.因為A(8,0),B(0,6),所以AO=8,BO=6.由勾股定理,得AB=10.因為C為AB的中點,所以AC=12AB=5.(1)若∠CPA=90°,則△CPA∽△BOA,此時AP∶AO=AC∶AB,即AP∶8=5∶10,解得AP=4,所以OP=4,所以點P的坐標為(4,0);

(2)若∠PCA=90°,則△APC∽△ABO,所以AP∶AB=AC∶AO,即AP∶10=5∶8,解得AP=6.25,所以OP=8-6.25=1.75,所以點P的坐標為(1.75,0).綜上所述,符合條件的點P的坐標為(4,0)或(1.75,0).