23.1.2.30°,45°,60°角的三角函數值

一、選擇題

1.cos30°的值為

()

A.22

B.32

C.1

D.3

2.[2019·懷化]

已知∠α為銳角,且sinα=12,則∠α等于

()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對邊分別是a,b,c,a=1,c=2,則∠A的度數為()

A.30°

B.45°

C.50°

D.60°

4.點M(-sin60°,-cos60°)關于x軸對稱的點的坐標是

()

A.32,12

B.-32,-12

C.-32,12

D.-12,-32

5.[2019·合肥長豐縣一模]

在△ABC中,已知∠A,∠B都是銳角,sinA-12+(1-tanB)2=0,那么

∠C的度數為

()

A.75°

B.90°

C.105°

D.120°

6.已知∠C=75°,則∠A與∠B滿足以下哪個選項才能構成△ABC

()

A.sinA=22,sinB=22

B.cosA=12,cosB=32

C.sinA=22,tanB=3

D.sinA=32,cosB=12

二、填空題

7.在△ABC中,∠C=90°,若∠A=45°,則cosA+cosB=.8.已知α是銳角,若sinα=cos15°,則α=　　　　°.9.已知∠α為銳角,且tanα=3,則tan(90°-α)=.10.如圖1,在正方形網格中,小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,則cos∠BAC=

.11.身高相同的甲、乙、丙三人在同一地面上放風箏,各人放出的線長分別為200

m,250

m,300

m,線與水平線的夾角分別為60°,45°,30°(假設風箏線是拉直的,且風箏線的一端在頭頂處),那么三人中放的風箏最低的是.(填“甲”“乙”或“丙”)

圖1

12.如圖2,在等邊三角形ABC中,D是BC邊上一點,延長AD到點E,使AE=AC,∠BAE的平分線交△ABC的高BF于點O,則tan∠AEO=.圖2

三、解答題

13.計算:

(1)2cos230°-2sin60°·cos45°;

(2)cos60°-22sin45°+|-3tan30°|;

(3)tan260°-4tan60°+4-3cos60°5sin30°-1.14.數學拓展課程《玩轉學具》課堂中,小陸同學發現在一副三角尺中,含45°角的三角尺的斜邊與含30°角的三角尺的長直角邊相等.于是,小陸同學提出一個問題:如圖3,將一副三角尺的直角頂點重合拼放在一起,點B,C,E在同一直線上,若BC=2,求AF的長.請你運用所學的數學知識解決這個問題.圖3

15.如圖4,在△ABC中,AD⊥BC于點D,AC=12,∠BAD=30°,∠DAC=45°,求AB的長.圖4

16.如圖5,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AD平分∠BAC交BC于點D,AD=1633,求∠B的度數及邊AB,BC的長.圖5

17.類似在直角三角形中研究三角函數,我們新定義:等腰三角形中腰與底邊的比叫做底角的鄰對(can),如圖6①,在△ABC中,AB=AC,底角∠B的鄰對記作canB,這時canB=腰底邊=ABBC=ACBC.容易知道一個角的大小與這個角的鄰對值是一一對應的.根據上述角的鄰對的定義,解決下列問題:

(1)計算can30°,can45°和can60°的值;

(2)如圖②,已知在△ABC中,AB=AC,canB=1324,若△ABC的周長為50,求△ABC的面積.圖6

答案

1.B

2.[解析]

A　∵∠α為銳角,且sinα=12,∴∠α=30°.故選A.3.[解析]

B　在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1,c=2,∴sinA=ac=12=22,∴∠A=45°.故選B.4.[解析]

C　關于x軸對稱的點的坐標特征是橫坐標相同,縱坐標互為相反數.5.[解析]

C　∵sinA-12+(1-tanB)2=0,∴sinA-12=0,(1-tanB)2=0,∴sinA=12,tanB=1.又∵∠A,∠B都是銳角,∴∠A=30°,∠B=45°,∴∠C=180°-30°-45°=105°.故選C.6.[解析]

C　∵∠C=75°,∴∠A+∠B=180°-75°=105°.A項,sinA=22,sinB=22,則∠A=45°,∠B=45°,∠A+∠B=90°,故本選項錯誤;

B項,cosA=12,cosB=32,則∠A=60°,∠B=30°,∠A+∠B=90°,故本選項錯誤;

C項,sinA=22,tanB=3,則∠A=45°,∠B=60°,∠A+∠B=105°,故本選項正確;

D項,sinA=32,cosB=12,則∠A=60°,∠B=60°,∠A+∠B=120°,故本選項錯誤.故選C.7.[答案]

[解析]

∵∠A=45°,∠C=90°,∴∠B=45°,∴cosA+cosB=cos45°+cos45°=22+22=2.8.[答案]

[解析]

∵α是銳角,sinα=cos15°,∴α=90°-15°=75°.故答案為75.9.[答案]

[解析]

∵tanα=3,∴α=60°,∴90°-α=30°,∴tan(90°-α)=tan30°=33.10.[答案]

[解析]

連接BC,易判斷△ABC為等腰直角三角形,故cos∠BAC=cos45°=22.11.丙

12.[答案]

[解析]

由題意可證△BOA≌△EOA,則∠AEO=∠ABO=30°,所以tan∠AEO=33.13.解:(1)原式=2×(32)2-2×32×22=32-62=3-62.(2)原式=12-22×22+3×33=12-12+3=3.(3)原式=|tan60°-2|-3×125×12-1=2-3-1=1-3.14.解:在Rt△ABC中,∵BC=2,∠A=30°,∴AC=BCtanA=23,∴EF=AC=23.∵∠E=45°,∴FC=EF·sinE=6,∴AF=AC-FC=23-6.15.解:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADC中,cos∠DAC=ADAC,∴AD=AC·cos45°=12×22=62.在Rt△ABD中,cos∠BAD=ADAB,∴AB=ADcos30°=6232=46.16.解:在Rt△ACD中,∵cos∠CAD=ACAD=81633=32,∠CAD為銳角,∴∠CAD=30°.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=30°,∴∠BAC=60°,∴∠B=90°-∠BAC=30°.∵sinB=ACAB,∴AB=ACsinB=8sin30°=16.∵cosB=BCAB,∴BC=AB·cosB=16×32=83.17.解:(1)如圖,∠B=∠C=30°,AD是BC邊上的高,設AB=AC=2,則BD=CD=3,∴BC=23.根據鄰對的定義,得can30°=canB=ABBC=223=33.若∠B=∠C=45°,則△ABC是等腰直角三角形,則can45°=canB=12=22.若∠B=∠C=60°,則△ABC是等邊三角形,則can60°=canB=1.(2)過點A作AD⊥BC于點D.設AB=AC=13x,則由鄰對的定義,得BC=2413AB=24x,∴13x+13x+24x=50,解得x=1,∴AB=AC=13,BC=24,∴BD=CD=12,∴AD=AB2-BD2=132-122=5,∴S△ABC=12BC·AD=12×24×5=60.