2.6正多邊形與圓

一、選擇題

1.有以下說法:①各角相等的多邊形是正多邊形;②各邊相等的三邊形是正三邊形;③各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形;④各頂點(diǎn)等分外接圓的多邊形是正多邊形.其中正確的有

()

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

2.下列圖形中既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是

()

A.多邊形

B.邊數(shù)為奇數(shù)的正多邊形

C.正多邊形

D.邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形

3.[2019·湖州]

如圖1,已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O,連接BD,則∠ABD的度數(shù)是

()

圖1

A.60°

B.70°

C.72°

D.144°

4.[2019·蘇州期末]

如圖2,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,若☉O的半徑為6,則△ADE的周長是

()

圖2

A.9+33

B.12+63

C.18+33

D.18+63

5.如圖3,若干個全等的正五邊形排成環(huán)狀,圖中所示的是前3個正五邊形,要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個數(shù)為()

圖3

A.10

B.9

C.8

D.7

二、填空題

6.[2020·株洲]

一個蜘蛛網(wǎng)如圖4所示,若多邊形ABCDEFGHI為正九邊形,其中心為點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別在射線OA,OC上,則∠MON=　　　　°.圖4

7.如圖5,正方形ABCD內(nèi)接于☉O,若☉O的半徑是1,則正方形的邊長是.圖5

8.[2020·葫蘆島]

如圖6,以AB為邊,在AB的同側(cè)分別作正五邊形ABCDE和等邊三角形ABF,連接FE,FC,則∠EFA的度數(shù)是.圖6

9.如圖7,AB,AC分別為☉O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊,而BC恰好是同圓一個內(nèi)接正n邊形的一邊,則n=.圖7

10.[2019·長春模擬]

如圖8,點(diǎn)O是正八邊形ABCDEFGH的中心,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在AB和DE上,且AM=DN,則∠MON的度數(shù)為.圖8

三、解答題

11.如圖9,已知五邊形ABCDE是正五邊形,AD是對角線.求證:AD∥BC.圖9

12.作圖與證明:如圖10,已知☉O和☉O上的一點(diǎn)A,請完成下列任務(wù):

(1)作☉O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF;

(2)連接BF,CE,判斷四邊形BCEF的形狀,并加以證明.圖10

13.如圖11,☉O的半徑為4

cm,六邊形ABCDEF是其內(nèi)接正六邊形,點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,D同時出發(fā),以1

cm/s的速度沿AF,DC向終點(diǎn)F,C運(yùn)動,連接PB,QE,PE,BQ.設(shè)運(yùn)動時間為t

s.(1)求證:四邊形PBQE為平行四邊形.(2)填空:

①當(dāng)t=　　　　時,四邊形PBQE為菱形;

②當(dāng)t=　　　　時,四邊形PBQE為矩形.圖11

14.如圖12,在☉O中,如果作兩條互相垂直的直徑AB,CD,那么弦AC是☉O的內(nèi)接正方形的一邊;如果以點(diǎn)A為圓心,以O(shè)A為半徑畫弧,與☉O相交于點(diǎn)E,F,那么弦AE,CE,EF分別是☉O的內(nèi)接正六邊形、正十二邊形、正三角形的一邊,為什么?

圖12

15.如圖13,正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是☉O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形,點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)B,C開始,同時以相同的速度在☉O上逆時針運(yùn)動,AM,BN相交于點(diǎn)P.圖13

(1)求圖①中∠APB的度數(shù).(2)圖②中∠APB的度數(shù)是　　　　,圖③中∠APB的度數(shù)是.(3)根據(jù)前面的探索,你能否將本題推廣到一般的正n邊形?若能,寫出推廣問題和結(jié)論;若不能,請說明理由.答案

1.[解析]

B　①各角和各邊均相等的多邊形是正多邊形,錯誤;

②各邊相等的三邊形是正三邊形,正確;

③各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形,錯誤;

④各頂點(diǎn)等分外接圓的多邊形是正多邊形,正確.故選B.2.[解析]

D　A選項(xiàng),多邊形無法確定是軸對稱圖形,無法確定是中心對稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;

B選項(xiàng),邊數(shù)為奇數(shù)的正多邊形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;

C選項(xiàng),正多邊形是軸對稱圖形,不一定是中心對稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;

D選項(xiàng),邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,故本選項(xiàng)符合題意.故選D.3.[解析]

C　∵五邊形ABCDE為正五邊形,∴∠ABC=∠C=(5-2)×180°5=108°.∵CD=CB,∴∠CBD=180°-108°2=36°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°.故選C.4.[解析]

D　連接OE.∵多邊形ABCDEF是正多邊形,∴∠DOE=360°6=60°,∴∠DAE=12∠DOE=12×60°=30°,∠AED=90°.∵☉O的半徑為6,∴AD=2OD=12,∴DE=12AD=12×12=6,∴AE=AD2-DE2=63,∴△ADE的周長為6+12+63=18+63.故選D.5.[解析]

D　∵五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°,∴正五邊形的每一個內(nèi)角為540°÷5=108°.如圖,延長正五邊形的兩邊相交于點(diǎn)O,則∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°,360°÷36°=10.∵已經(jīng)有3個正五邊形,∴10-3=7,即完成這一圓環(huán)還需7個正五邊形.故選D.6.[答案]

[解析]

根據(jù)正多邊形的性質(zhì),得

∠AOB=360°÷9=40°,∴∠MON=2∠AOB=80°.7.[答案]

[解析]

如圖,連接OB,OC,則OC=OB=1,∠BOC=90°,在Rt△BOC中,BC=OB2+OC2=2,∴正方形的邊長是2.8.[答案]

66°

[解析]

∵五邊形ABCDE為正五邊形,∴∠EAB=(5-2)×180°5=108°,AE=AB.∵△ABF是等邊三角形,∴∠FAB=60°,AB=AF,∴∠EAF=108°-60°=48°.∵AE=AB,AB=AF,∴AE=AF,∴∠AEF=∠EFA=12×(180°-48°)=66°.9.[答案]

[解析]

如圖,連接OA,OB,OC.∵AB,AC分別為☉O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊,∴∠AOB=360°4=90°,∠AOC=360°3=120°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°,∴n=360°30°=12.10.[答案]

135°

[解析]

如圖,連接OA,OB,OC,OD.∵正八邊形的中心角為360°÷8=45°,∴∠OAM=∠ODN=180°-45°2=67.5°.∵OA=OD,∠OAM=∠ODN,AM=DN,∴△OAM≌△ODN(SAS),∴∠AOM=∠DON,∴∠MON=∠MOB+∠BOC+∠COD+∠NOD=3∠AOB=135°.11.證明:∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠E=∠EAB=∠B=108°,AE=ED,∴∠EAD=∠EDA=36°.∵∠BAD+∠EAD=∠EAB=108°,∴∠BAD=72°.∵∠BAD+∠B=72°+108°=180°,∴AD∥BC.12.[解析]

(1)由正六邊形ABCDEF的中心角為60°,可得△OAB是等邊三角形,繼而可得正六邊形的邊長等于半徑,則可畫出☉O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF;

(2)首先連接OE,由六邊形ABCDEF是正六邊形,易得EF=BC,BF=CE,則可得BF=CE,證得四邊形BCEF是平行四邊形,然后由∠EDC=∠DEF=120°,∠DEC=30°,求得∠CEF=90°,則可證得結(jié)論.解:(1)如圖①,首先作直徑AD,然后分別以A,D為圓心,OA長為半徑畫弧,分別交☉O于點(diǎn)B,F和C,E,連接AB,BC,CD,DE,EF,AF,則正六邊形ABCDEF即為所求.(2)如圖,連接BF,CE,四邊形BCEF是矩形.證明:如圖②,連接OE.∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴AB=AF=DE=DC=FE=BC,∴AB=AF=DE=DC,∴BF=CE,∴BF=CE,∴四邊形BCEF是平行四邊形.∵∠EOD=360°6=60°,OE=OD,∴△EOD是等邊三角形,∴∠OED=∠ODE=60°,∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°.∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=30°,∴∠CEF=∠FED-∠DEC=90°,∴四邊形BCEF是矩形.13.解:(1)證明:∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.∵點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,D同時出發(fā),以1

cm/s的速度沿AF,DC向終點(diǎn)F,C運(yùn)動,∴AP=DQ.在△ABP和△DEQ中,AB=DE,∠A=∠D,AP=DQ,∴△ABP≌△DEQ(SAS),∴BP=EQ.同理可證PE=QB,∴四邊形PBQE是平行四邊形.(2)①當(dāng)PA=PF,QC=QD時,四邊形PBQE是菱形,此時t=2.故答案為2.②當(dāng)t=0時,∠EPF=∠PEF=30°,∴∠BPE=120°-30°=90°,∴此時四邊形PBQE是矩形.當(dāng)t=4

s時,同法可知∠BPE=90°,此時四邊形PBQE是矩形.綜上所述,當(dāng)t=0或4時,四邊形PBQE是矩形.故答案為0或4.14.解:如圖,連接OE.∵OA=AE=OE,∴∠AOE=60°,∴AE是☉O的內(nèi)接正六邊形的一邊.∵∠AOE=60°,∠AOC=90°,∴∠EOC=90°-60°=30°,∴CE是☉O的內(nèi)接正十二邊形的一邊.如圖,連接OF,易知∠AOF=60°,∴∠EOF=60°×2=120°,∴EF是☉O的內(nèi)接正三角形的一邊.15.解:(1)∵點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)B,C開始,同時以相同的速度在☉O上逆時針運(yùn)動,∴BM=CN,∴∠BAM=∠CBN,∴∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°,∴∠APB=180°-∠BPM=120°.(2)90°　72°

(3)能推廣到一般的正n邊形.問題:正n邊形ABCD…內(nèi)接于☉O,點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)B,C開始,同時以相同的速度在☉O上逆時針運(yùn)動,AM,BN相交于點(diǎn)P,求∠APB的度數(shù).結(jié)論:∠APB的度數(shù)為所在正多邊形一個外角的度數(shù),即∠APB=360°n.