1.3一元二次方程的根與系數的關系

一、選擇題

1.[2020·邵陽]

設方程x2-3x+2=0的兩根分別是x1,x2,則x1+x2的值為

()

A.3

B.-32

C.32

D.-2

2.[2019·廣東]

已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=0的兩個實數根,則下列結論錯誤的是

()

A.x1≠x2

B.x12-2x1=0

C.x1+x2=2

D.x1·x2=2

3.[2020·無錫錫山區期中]

已知一元二次方程x2-8x-c=0有一個根為2,則另一個根為

()

A.10

B.6

C.8

D.-2

4.[2019·貴港]

若α,β是關于x的一元二次方程x2-2x+m=0的兩個實數根,且1α+1β=-23,則m等于()

A.-2

B.-3

C.2

D.3

5.若關于x的方程x2-(m2-4)x+m=0的兩個根互為相反數,則m等于

()

A.-2

B.2

C.±2

D.4

6.[2019·威海]

已知a,b是方程x2+x-3=0的兩個實數根,則a2-b+2019的值是

()

A.2023

B.2021

C.2020

D.2019

二、填空題

7.[2019·濟寧]

已知1是方程x2+bx-2=0的一個根,則方程的另一個根是.8.[2020·瀘州]

已知x1,x2是一元二次方程x2-4x-7=0的兩個實數根,則x12+4x1x2+x22的值是.9.若x1,x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根,且x1

在解一元二次方程x2+bx+c=0時,小明看錯了一次項系數b,得到的解為x1=2,x2=3;小剛看錯了常數項c,得到的解為x1=1,x2=5.請你寫出正確的一元二次方程:.11.[2020·荊門改編]

已知關于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0的一個根比另一個根大2,則m的值為.12.定義運算:a*b=2ab,若a,b是關于x的方程x2+x-m=0(m>0)的兩個根,則(a+1)*b+2a的值為(用含m的代數式表示).三、解答題

13.已知關于x的一元二次方程x2-2x+a=0的兩個實數根x1,x2滿足x1x2+x1+x2>0,求a的取值范圍.14.若關于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一個根是-2,求k的值及方程的另一個根.15.[2020·黃石]

已知關于x的一元二次方程x2+mx-2=0有兩個實數根.(1)求m的取值范圍;

(2)設方程的兩個實數根為x1,x2,且滿足(x1-x2)2-17=0,求m的值.16.[2019·隨州]

已知關于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有兩個不相等的實數根x1,x2.(1)求k的取值范圍;

(2)若x1+x2=3,求k的值及方程的根.17.[2020·孝感]

已知關于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+12k2-2=0.(1)求證:無論k為何實數,方程總有兩個不相等的實數根;

(2)若方程的兩個實數根x1,x2滿足x1-x2=3,求k的值.18.[2020·玉林]

已知關于x的一元二次方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數根.(1)求k的取值范圍;

(2)若方程的兩個不相等的實數根是a,b,求aa+1-1b+1的值.19.已知關于x的方程(k-1)x2+2kx+2=0.(1)求證:無論k為何值,方程總有實數根.(2)設x1,x2是上述方程的兩個實數根,記S=x2x1+x1x2+x1+x2,S的值能為6嗎?若能,求出此時的k值;若不能,請說明理由.答案

1.[解析]

A　由x2-3x+2=0可知,其二次項系數a=1,一次項系數b=-3.由一元二次方程的根與系數的關系,得x1+x2=--31=3.故選A.2.[解析]

D　∵b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0,∴x1≠x2,選項A不符合題意;

∵x1是一元二次方程x2-2x=0的實數根,∴x12-2x1=0,選項B不符合題意;

∵x1,x2是一元二次方程x2-2x=0的兩個實數根,∴x1+x2=2,x1·x2=0,選項C不符合題意,選項D符合題意.故選D.3.[解析]

B　設方程的另一個根為t.根據題意,得2+t=8,解得t=6,即方程的另一個根為6.故選B.4.[解析]

B　∵α,β是關于x的一元二次方程x2-2x+m=0的兩個實數根,∴α+β=2,αβ=m.∵1α+1β=α+βαβ=2m=-23,∴m=-3.故選B.5.[解析]

A　∵方程x2-(m2-4)x+m=0的兩個根互為相反數,∴不妨設這兩個根是α,β,則α+β=m2-4=0,解得m1=2,m2=-2.但當m=2時,原方程為x2+2=0,方程沒有實數根,不符合題意,故m=-2.故選A.6.[解析]

A　∵a,b是方程x2+x-3=0的兩個實數根,∴b=3-b2,a+b=-1,ab=-3,∴a2-b+2019=a2-3+b2+2019=(a+b)2-2ab+2016=1+6+2016=2023.故選A.7.[答案]

[解析]

設方程x2+bx-2=0的兩個根為x1,x2,則x1x2=-2,令x1=1,則1×x2=-2,解得x2=-2,則方程的另一個根是-2.故答案為-2.8.[答案]

[解析]

根據題意,得x1+x2=4,x1x2=-7,所以x12+4x1x2+x22=(x1+x2)2+2x1x2=16-14=2.9.[答案]

-2　3

[解析]

∵x1,x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根,且x1+x2=1,∴m=1,∴原方程為x2-x-6=0,即(x+2)(x-3)=0.∵x1

x2-6x+6=0

[解析]

根據題意,得2×3=c,1+5=-b,解得b=-6,c=6,所以正確的一元二次方程為x2-6x+6=0.11.[答案]

1或-1

[解析]

設方程的兩根分別為t,t+2.根據題意,得t+t+2=4m,t(t+2)=3m2.由t+t+2=4m,得t=2m-1.把t=2m-1代入t(t+2)=3m2,得(2m-1)(2m+1)=3m2,整理,得m2-1=0,解得m=1或m=-1,所以m的值為1或-1.12.-2m-2

13.解:∵該一元二次方程有兩個實數根,∴b2-4ac=(-2)2-4×1×a=4-4a≥0,解得a≤1.由題意可得x1x2=a,x1+x2=2.∵x1x2+x1+x2>0,∴a+2>0,解得a>-2,∴-20,即[-(2k+1)]2-4(k2+1)>0,整理,得4k-3>0,解得k>34,故k的取值范圍為k>34.(2)∵方程的兩個根分別為x1,x2,∴x1+x2=2k+1=3,解得k=1,∴原方程為x2-3x+2=0,∴x1=1,x2=2.17.解:(1)證明:b2-4ac=[-(2k+1)]2-4×1×12k2-2

=4k2+4k+1-2k2+8

=2k2+4k+9

=2(k+1)2+7.∵無論k為何實數,2(k+1)2≥0,∴2(k+1)2+7>0,∴無論k為何實數,方程總有兩個不相等的實數根.(2)由一元二次方程的根與系數的關系,得x1+x2=2k+1,x1x2=12k2-2.∵x1-x2=3,∴(x1-x2)2=9,∴(x1+x2)2-4x1x2=9,∴(2k+1)2-4×12k2-2=9,化簡得k2+2k=0,解得k=0或k=-2.18.解:(1)∵方程有兩個不相等的實數根,∴b2-4ac=4+4k>0,解得k>-1,∴k的取值范圍為k>-1.(2)由一元二次方程的根與系數的關系,得a+b=-2,a·b=-k,∴aa+1-1b+1=ab-1ab+a+b+1=-k-1-k-2+1=1.19.解:(1)證明:當k-1=0,即k=1時,方程為2x+2=0,解得x=-1,∴方程有實數根;

當k-1≠0,即k≠1時,b2-4ac=(2k)2-4(k-1)×2=4k2-8k+8=4(k-1)2+4>0,∴方程有兩個不相等的實數根.綜上可知,無論k為何值,方程總有實數根.(2)能.∵x1,x2是所給方程的兩個實數根,∴k-1≠0,x1+x2=-2kk-1,x1x2=2k-1,∴S=x2x1+x1x2+x1+x2=x12+x22x1x2+x1+x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2+x1+x2=(-2kk-1)2-4k-12k-1-2kk-1=2k-2.令S=6,則2k-2=6,解得k=4,即當k的值為4時,S的值為6.