第一篇：《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》教學(xué)反思

1、觀察、歸納、證明是研究事物的科學(xué)方法。此節(jié)課在研究方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，先從具體例子觀察、歸納其規(guī)律，并且先從二次項(xiàng)系數(shù)是1的方程入手，然后提出二次項(xiàng)系數(shù)不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)關(guān)系，最后對此猜想的正確性作出證明。這個(gè)全過程對培養(yǎng)學(xué)生正確的思考方法很有價(jià)值。

2、教學(xué)設(shè)計(jì)中補(bǔ)充了“簡化的一元二次方程”的定義，對根與系數(shù)關(guān)系的敘述可以方便些。教學(xué)設(shè)計(jì)中還把根與系數(shù)關(guān)系作為兩個(gè)互逆的定理提出，可加深理解兩個(gè)性質(zhì)的不同功能。韋達(dá)定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，則可寫出些方程的兩根之和的值及兩極之積的值。而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的兩個(gè)根，可寫出這個(gè)方程。

3、本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)注重開發(fā)學(xué)生的思維能力，但是學(xué)生動(dòng)手能力略顯不足，在今后的教學(xué)中應(yīng)注意加強(qiáng)。

第二篇：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的教學(xué)反思 （最終版）

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的教學(xué)反思

廬江縣黃道中學(xué) 陳良俊

本節(jié)課通過情景設(shè)置（同學(xué)們，老師這里有一手絕活，你只要給出兩個(gè)數(shù)，我立即就能說出以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程，同學(xué)們?nèi)舨恍牛劬驮囈辉嚕。┱{(diào)起學(xué)生的胃口，激發(fā)起學(xué)生的好奇心和求知欲，在此推動(dòng)下，引領(lǐng)學(xué)生展開探究活動(dòng)，并將探究根與系數(shù)的關(guān)系分為初探、再探兩個(gè)層次，即將二次項(xiàng)系數(shù)為1和非1的一元二次方程分兩次出現(xiàn)，這樣處理基于如下的原因，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的教學(xué)反思。

第一，使得每一位學(xué)生都能參與探究，學(xué)生的認(rèn)知能力總是有所差異的，如果將這兩類方程同時(shí)加以研究的話，有一部分同學(xué)很難參與，事實(shí)上，研究事物往往從簡單到復(fù)雜，當(dāng)a=1時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)a≠1時(shí)，猜想不正確，造成認(rèn)知上的沖突，更能激發(fā)學(xué)生去完善第一次的猜想，培養(yǎng)學(xué)生勇于探究、積極思維的精神，教學(xué)反思《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的教學(xué)反思》。

第二，給予學(xué)生一個(gè)適度的梯度探究空間，在循序漸進(jìn)的教學(xué)原則下，通過“特例探究——一般猜證——深化理解”的教學(xué)設(shè)計(jì)，由“實(shí)驗(yàn)——猜想——再實(shí)驗(yàn)——再猜想”的探究過程，使學(xué)生感悟認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律是由特殊到一般，由具體到抽象的思維過程，學(xué)生在這樣的氛圍下，會(huì)感到新知是舊知的自然延伸和自然流露，對于學(xué)生而言，既經(jīng)歷了一次探究性學(xué)習(xí)，又得到了一次思想方法的涵育和能力提升的機(jī)會(huì)。

總之，在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，充分發(fā)揮了教師主導(dǎo)、學(xué)生主體的作用，通過學(xué)生自身體驗(yàn)過程、探究發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生獲得求知的欲望；通過發(fā)現(xiàn)、猜想、證明的過程，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)研究的方法與思想。學(xué)習(xí)例題、習(xí)題中滲透的數(shù)學(xué)的思想，以此為載體，充分發(fā)揮其素質(zhì)教育的功能，培養(yǎng)起學(xué)生的發(fā)散性思維和探究能力。

第三篇：《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

教學(xué)目標(biāo)：

1、發(fā)現(xiàn)、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生善于獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2、探索、運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，由一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根及未知系數(shù)，提升學(xué)生的合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神。

3、在不解一元二次方程的情況下，會(huì)求直接（或變形后）含有兩根積的代數(shù)式的值，并從中體會(huì)整體代換的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成。教學(xué)重點(diǎn)：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及簡單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)。數(shù)學(xué)思考與問題解決：

通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，注重由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、探索，讓學(xué)生參與“韋達(dá)定理”的發(fā)現(xiàn)、不完全歸納驗(yàn)證以及演繹證明等整個(gè)數(shù)學(xué)思維過程。

一、自學(xué)互研 探索發(fā)現(xiàn)（每小題10分，共30分）（自主完成，組長檢查）

【師生活動(dòng)】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并點(diǎn)撥；評價(jià)、鼓勵(lì)、調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的主動(dòng)性和積極性。

學(xué)生獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案，觀察、對比、發(fā)現(xiàn)問題，逐步由易到難，探索出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；小組長檢查小組成員完成情況；分小組匯報(bào)自學(xué)成果。【設(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的發(fā)現(xiàn)過程，即感性認(rèn)識(shí)過程。通過幾個(gè)具體的方程，經(jīng)過觀察、比較、分析、歸納，感性地得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的一般規(guī)律。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探求規(guī)律的學(xué)習(xí)習(xí)慣和注重自主加合作的學(xué)習(xí)方式。【學(xué)案內(nèi)容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項(xiàng)系數(shù)?（）

二次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)?（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次項(xiàng)系數(shù)

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項(xiàng)系數(shù) ?（）二次項(xiàng)系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常數(shù)項(xiàng)?（）

二次項(xiàng)系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知: X1+X2=?(________)

X1·X2=?（）（________)(_________)?（）

(_________)

二、合作求證 生成新知（每小題10分，共20分）（合作完成，交換檢查）

【師生活動(dòng)】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并點(diǎn)撥；鼓勵(lì)學(xué)生參與合作學(xué)習(xí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生合作交流的主動(dòng)性和積極性。

學(xué)生小組合作完成導(dǎo)學(xué)案，通過推導(dǎo)證明前面的結(jié)論；實(shí)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)變；小組長檢查小組成員完成情況后，兩小組交換檢查推導(dǎo)過程；分小組匯報(bào)合作學(xué)習(xí)成果。【設(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的證明過程，即理性認(rèn)識(shí)過程。讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、探求規(guī)律，兩從理論角度加以驗(yàn)證，經(jīng)歷從特殊到一般的科學(xué)探索過程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那髮W(xué)態(tài)度，團(tuán)隊(duì)精神和合作意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生的相互交流、學(xué)習(xí)。【學(xué)案內(nèi)容】：

（1）根據(jù)以上規(guī)律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為X1和X2，則X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）這是不是一個(gè)普遍規(guī)律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？請用一元二次方程的一般形式證明：(b2-4ac≧0)∵ X1=?b?b2?4ac?b?b2?4ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目標(biāo)達(dá)成（每小題10分，共40分）（合作完成，分組展示）

【師生活動(dòng)】：

教師巡視，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并適時(shí)點(diǎn)撥、強(qiáng)調(diào)；充分利用現(xiàn)有設(shè)施設(shè)備，為學(xué)生搭建電子白板、實(shí)物投影、黑板等不同的展示自我的平臺(tái)；適時(shí)評價(jià)、鼓勵(lì)學(xué)生能多種方法解決問題，促進(jìn)發(fā)散思維的培養(yǎng)。

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)1】：學(xué)生先獨(dú)立完成，組長檢查，后組內(nèi)交流，全班匯報(bào)、評價(jià)。（學(xué)生利用一體機(jī)白板演示解題過程）

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)2】：小組合作完成，組長督促，全班匯報(bào)、評價(jià)。（學(xué)生利用實(shí)物投影展示解題過程）

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)3】：小組合作完成，組長督促，全班匯報(bào)、評價(jià)。（學(xué)生利用黑板展示解題過程）

【設(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的實(shí)踐過程，即教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成、檢測過程。設(shè)計(jì)了三個(gè)不同難度且有梯度的“目標(biāo)”，讓學(xué)生由易到難、由淺入深，加深對一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和書寫的規(guī)范性，培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，以及合作學(xué)習(xí)意識(shí)與數(shù)學(xué)語言的表述能力。【學(xué)案內(nèi)容】：

【目標(biāo)1】不解方程，求下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目標(biāo)2】已知方程X2-4X+M=0的一個(gè)根是-2，求方程的另一個(gè)根及M的值。

【目標(biāo)3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求

x1的值。

2?x22

四、查漏補(bǔ)缺 總結(jié)提高（共10分）（自主完成，集體分享）

【師生活動(dòng)】：

教師鼓勵(lì)學(xué)生談所學(xué)所想所獲，集體分享學(xué)習(xí)成果，歸納課堂所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，解決學(xué)習(xí)中仍然存在的問題和困惑。【設(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為本節(jié)課的總結(jié)提高過程。目的是幫助所有學(xué)生總結(jié)回顧、查漏補(bǔ)缺，形成知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)小結(jié)、善于歸納梳理的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的能力和口頭表達(dá)能力。【學(xué)案內(nèi)容】：

請你談?wù)劚竟?jié)課的收獲或存在的問題。__________________

第四篇：復(fù)習(xí)教案 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

第十三課時(shí) 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，并會(huì)靈活運(yùn)用它們解決問題.二、復(fù)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

（一）復(fù)習(xí)重點(diǎn)： 一元二次方程根的韋達(dá)定理.（二）復(fù)習(xí)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用韋達(dá)定理解決問題.三、復(fù)習(xí)過程：

（一）知識(shí)梳理：

1、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果有實(shí)數(shù)根（即??b?4ac?0），設(shè)兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1?x2??

2、常見的含兩根的對稱式：

（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2（2）222bc，x1x2? aax?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 ； x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2

x2x1x1?x2(x1?x2)2?2x1x2（4）； ???x1x2x1x2x1x2

3、利用根與系數(shù)的關(guān)系判定一元二次方程的兩根符號(hào)： 22c可判斷兩根符號(hào)之間的關(guān)系： acc 若x1x2??0，則x1，x2同號(hào)； 若x1x2??0，則x1，x2異號(hào)，即一正一負(fù)

aab 再由x1?x2??可判斷兩根大小的關(guān)系。

a由x1x2?

4、由x1，x2兩根可構(gòu)造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個(gè)一元二次方程為x2?(x1?x2)x?x1x2?0；

5、一元二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系：

若二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有兩交點(diǎn)，分別設(shè)為A（x1，0），B（x2，0），則x1、x2就是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根，因此，求二次函數(shù)y=ax+bx+c

22的圖象與x軸有交點(diǎn)坐標(biāo)，只要令y=0，解ax?bx?c?0(a?0)的根，就可得到二次函

2數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)。

強(qiáng)調(diào)：應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意： ①根的判別式b2?4ac?0 ②二次項(xiàng)系數(shù)a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根。

例

1、已知方程x?6x?m?2m?5?0的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及

分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。

解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：

?x1?2?6?x1?4?x1?4，解得：或? ??2m?3m??12x?m?2m?5???1∴方程

二、不解方程，判斷兩根的情況。

例

2、不解方程，試判斷方程x?3x?6?0兩根的符號(hào)；

分析：要判斷方程根的符號(hào)，可以根據(jù)根的定義，這樣的方法顯得很笨拙，而我們?nèi)绻酶c系數(shù)的關(guān)系就顯得非常巧妙。

解：由??3?4?(?6)?33?0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)這兩根為x1,x2，得x1?x2??6?0，易得方程兩根一正一負(fù)。

如果得出x1?x2?0，需考慮x1?x2的正負(fù)，從而判斷方程有兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。

三、求作新的方程；

例

3、作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根為一元二次方程x?3x?1?0的兩根的平方． 解：設(shè)方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，那么所求的方程的根為x1,x2，由根與系數(shù)關(guān)系可得：x1?x2?3,x1.x2??1，∴x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?32?2?(?1)?11，22222的另一個(gè)根為4，的值為3或—1。

222 x1?x2?(x1?x2)2?(?1)2?1，∴所求作的方程為x?11x?1?0．

四、不解方程，求方程兩根所組成的某些代數(shù)式的值，這種應(yīng)用與根的判別結(jié)合在一起。例4（1）已知關(guān)于x的方程3x+6x-2=0的兩根為x1，x2，求

222211的值.?x1x2 分析：已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值。這里主要說明解題格式，學(xué)生完成過程.（2）已知關(guān)于x的方程3x-mx-2=0的兩根為x1，x2，且2

2211??3，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值，而第（2）題的第一問就反來了，也就是已知代數(shù)式的值求方程。第②問，再進(jìn)一步，已知代數(shù)式的值，求另一個(gè)代數(shù)式的值.但是，無論是哪一個(gè)問題，所要用到的都是根與系數(shù)的關(guān)系.小結(jié)：1.求方程兩根所組成的代數(shù)式的值，關(guān)鍵在于把所求代數(shù)式變形為兩根的和與兩根的積的形式.例

5、（2000年四川省中考試題）若關(guān)于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，又已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整數(shù)m,使上述一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方？若存在，請求出滿足條件m的值；若不存在，說明理由.“存在性”問題）

分析：（１）提問：此題與哪些知識(shí)有關(guān)？（勾股道理、解直角三角形、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式）

（２）如何利用條件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方”通過這句話，你能明白什么？你先必須求什么？

（４）然后按照解決“存在性”問題的過程去解題.（５）求出m后，要考慮它是否符合題意.通過此題，使學(xué)生明白解決這類問題，一般遵循“三步曲”，即假設(shè)存在——推理論證——得出結(jié)論（合理或矛盾兩種情況）.五、利用根與系數(shù)關(guān)系解決一元二次方程與二次函數(shù)的綜合題： 例

6、已拋物線y?(m?1)x2?(m?2)x?1（m為實(shí)數(shù)）。

（1）m為何值時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)？

（2）如果拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。

分析：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則對應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根m應(yīng)滿足的條件。

?m?1?0略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2???m?0（2）由x?0得C（0，－1）

又∵AB??m? am?1∴S?ABC?∴m?11m?AB?OC???1?2 22m?144或m? 35122126∴y?x?x?1或y??x?x?1

3355

第五篇：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系試題

1．已知方程x2-2x-m=0有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．

2．已知m、n是方程x2－2002x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式mn2+m2n－mn+1的值．

3.已知關(guān)于x的方程x-92x+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，且丨x1-x2丨=22, 求m的值.4．若實(shí)數(shù)x1≠x2，且x1－3x1+1=0，x2－3x2+1=0，求

5．已知關(guān)于x的方程2(x-1)(x-3t)=x(t-4)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和與積相等，求t的值。

6.是否存在整數(shù)m，使關(guān)于x的方程x2-4(m-2)x+4m2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為224?若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

7．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線相交于O，并且AO、BO的長是關(guān)于x的方程x2+(2m－

1)x+m2+3=0的兩個(gè)根，求m的值。

8.在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，已知a=3,b和c是關(guān)于x的方程x2+mx+2-

12222+的值． m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求ΔABC的周長。