第一篇：一元二次方程根與系數的關系應用例析解

一元二次方程根與系數的關系應用例解

（有興趣的同學，請把趁熱打鐵部分做一做，有答案的哈）

對于一元二次方程，當判別式△＝時，其求根公式為：；若兩根為，當△≥0時，則兩根的關系為：；，根與系數的這種關系又稱為韋達定理；它的逆定理也是成立的，即當，時，那么則是的兩根。一元二次方程的根與系數的關系，綜合性強，應用極為廣泛，在中學數學中占有極重要的地位，也是數學學習中的重點。學習中，老師除了要求同學們應用韋達定理解答一些變式題目外，還常常要求同學們熟記一元二次方程及應用求根公式求出方程即

根的判別式的兩個根

存在的三種情況，以，進而分解因式。下面就對應用韋達定理可能出現的問題舉例做些分析，希望能給同學們帶來小小的幫助。

一、根據判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關于的方程（1）根，且關于的方程（2）方程（1）有整數解？

分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數值。

解：∵方程（1）有兩個不相等的實數根，∴

有兩個不相等的實數

沒有實數根，問取什么整數時，1 解得；

∵方程（2）沒有實數根，∴

解得；

于是，同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是

其中，的整數值有或

當時，方程（1）為，無整數根；

當時，方程（1）為，有整數根。

解得：

所以，使方程（1）有整數根的的整數值是。

說明：熟悉一元二次方程實數根存在條件是解答此題的基礎，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。

二、判別一元二次方程兩根的符號。

例1：不解方程，判別方程

兩根的符號。

分析：對于來說，往往二次項系數，一次項系數，常數項皆為已知，可據此求出根的判別式△，但△只能用于判定根的存在與否，若 2 判定根的正負，則需要確定既要求出判別式的值，又要確定

或

或的正負情況。因此解答此題的關鍵是：的正負情況。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有兩個不相等的實數根。設方程的兩個根為，∵＜0 ∴原方程有兩個異號的實數根。

說明：判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數的關系”結合起來進行確定，另外由于本題中若＞0，仍需考慮

＜0，所以可判定方程的根為一正一負；倘的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。

三、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數的值。

例2：已知方程值。

分析：此題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把

代入原方程，的一個根為2，求另一個根及的先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數的關系求出另一個根及的值。

解法一：把

代入原方程，得：

即

解得

當時，原方程均可化為：

，解得：

∴方程的另一個根為4，的值為3或—1。

解法二：設方程的另一個根為，根據題意，利用韋達定理得：，∵，∴把代入，可得：

∴把代入，可得：，即

解得

∴方程的另一個根為4，的值為3或—1。

說明：比較起來，解法二應用了韋達定理，解答起來較為簡單。

例3：已知方程和比兩根的積大21，求

有兩個實數根，且兩個根的平方的值。分析：本題若利用轉化的思想，將等量關系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉化為關于的方程，即可求得的值。

解：∵方程有兩個實數根，∴△

解這個不等式，得

設方程兩根為

則

，≤0

∵

∴

∴

整理得：

解得：

又∵，∴

說明：當求出意的。

后，還需注意隱含條件，應舍去不合題

四、運用判別式及根與系數的關系解題。

例5：已知、是關于的一元二次方程零實數根，問和

能否同號？若能同號，請求出相應的的兩個非的取值范圍；若不能同號，請說明理由，解：因為關于的一元二次方程

有兩個非零實數根，∴則有

∴

又∵、是方程的兩個實數根，所以由一元二次方程根與系數的關系，可得：

假設、同號，則有兩種可能：

（1）（2）若，則有： ；

即有：

解這個不等式組，得

∵時方程才有實樹根，∴此種情況不成立。若，則有：

即有：

解這個不等式組，得；

又∵，∴當時，兩根能同號

說明：一元二次方程根與系數的關系深刻揭示了一元二次方程中根與系數的內在聯系，是分析研究有關一元二次方程根的問題的重要工具，也是計算有關一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯系的試題出現頻率很高，應是同學們重點練習的內容。

六、運用一元二次方程根的意義及根與系數的關系解題。例：已知、是方程的兩個實數根，求的值。

分析：本題可充分運用根的意義和根與系數的關系解題，應摒棄常規的求根后，再帶入的方法，力求簡解。

解法一：由于是方程的實數根，所以

設，與相加，得：）

（變形目的是構造根據根與系數的關系，有：，和）

于是，得：∴=0

解法二：由于、是方程的實數根，∴

∴

說明：既要熟悉問題的常規解法，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標志，是努力的方向。

有關一元二次方程根的計算問題，當根是無理數時，運算將十分繁瑣，這時，如果方程的系數是有理數，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。

七、運用一元二次方程根的意義及判別式解題。例8：已知兩方程

和

至少有一個相同的實數根，求這兩個方程的四個實數根的乘積。

分析：當設兩方程的相同根為時，根據根的意義，可以構成關于和二元方程組，得解后再由根與系數的關系求值。

解：設兩方程的相同根為，根據根的意義，有 的

兩式相減，得

當時，方程的判別式

方程無實數解

當時，有實數解

代入原方程，得，所以

于是，兩方程至少有一個相同的實數根，4個實數根的相乘積為

說明：（1）本題的易錯點為忽略對除了犯有默認的討論和判別式的作用，常常的錯誤，甚至還會得出并不存在的解：

當時，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個根的相乘積為：；

（2）既然本題是討論一元二次方程的實根問題，就應首先確定方程有實根的條件：

且另外還應注意：求得的【趁熱打鐵】 的值必須滿足這兩個不等式才有意義。

一、填空題：

1、如果關于的方程的兩根之差為2，那么。

2、已知關于的一元二次方程。

兩根互為倒數，則

3、已知關于的方程則。

4、已知是方程的兩根為，且，的兩個根，那么： ；

。

5、已知關于的一元二次方程，則 ；的兩根為。

和，且

6、如果關于的一元二次方程個根是，的值為。

7、已知為。

8、一個一元二次方程的兩個根是為：。

二、求值題：

1、已知是方程

和是的一個根是，那么另一的一根，則另一根為，的值，那么這個一元二次方程的兩個根，利用根與系數的關系，求的值。

2、已知的值。是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求

3、已知是方程的值。的兩個根，利用根與系數的關系，求

4、已知兩數的和等于6，這兩數的積是4，求這兩數。

5、已知關于x的方程求的值及方程的兩個根。

6、已知方程值及這個相同的根。

三、能力提升題：

1、實數在什么范圍取值時，方程

有正的實數根？

和

有一個相同的根，求的的兩根滿足關系式，2、已知關于的一元二次方程（1）求證：無論

取什么實數值，這個方程總有兩個不相等的實數根。、滿足，求的值。（2）若這個方程的兩個實數根

3、若，關于的方程有兩個相等的正的實數根，求的值。

4、是否存在實數，使關于的方程的兩個實根，滿足請說明理由。，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，5、已知關于的一元二次方程（）的兩實數根為，若，求的值。

6、實數、分別滿足方程和，求代數式的值。

答案與提示：

一、填空題：

1、提示：，，∴，∴，解得：

2、提示：，由韋達定理得：，∴，解得：，代入檢驗，有意義，∴。

3、提示：由于韋達定理得：，∵，∴，∴，解得：。

4、提示：由韋達定理得：，；；由，則

可判定方程的兩根異號。有兩種情況：①設＞0，＜0，；②設＜0，＞0，則。

5、提示：由韋達定理得：，∴，∴，∵。，∴，6、提示：設，解得：，由韋達定理得：，，即，∴。

7、提示：設，由韋達定理得：，∴∴，∴

8、提示：設所求的一元二次方程為，那么，13 ∴求的一元二次方程為：

二、求值題：，即

；；∴設所

1、提示：由韋達定理得：，∴

2、提示：由韋達定理得：，∴

3、提示：由韋達定理得：，∴

4、提示：設這兩個數為看作方程程：，于是有，，因此

可的兩根，即，解得：。，所以可得方，所以所求的兩個數分別是 14

5、提示：由韋達定理得，，∵，∴∴解得：，∴，化簡得：；

；以下分兩種情況：

①當時，，組成方程組： ；解這個方程組得：；

②當時，，組成方程組：；

解這個方程組得：

6、提示：設得方程組：

和相同的根為，于是可

；①②得：；，解這個方程得： 15 以下分兩種情況：（1）當代入①得。

時，代入①得；（2）當時，所以和相同的根為，的值分別為。

三、能力提升題：

1、提示：方程有正的實數根的條件必須同時具備：①判別式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式組：

解這個不等式組得：＞1

2、提示：（1）

＞0，所以無論的判別式△

取什么實數值，這個方程總有兩個不相等的實數根。（2）利用韋達定理，并根據已知條件可得：

解這個關于的方程組，可得到：，由于，所以可得，解這個方程，可得：，；

3、提示：可利用韋達定理得出①組：

＞0，②＞0；于是得到不等式

求得不等式組的解，且兼顧

；即可得到

＞，再由

可得：，接下去即可根據，＞，得到，即：＝4

4、答案：存在。

提示：因為，所以可設（）；由韋達定理得：，；于是可得方程組：

解這個方程組得：①當時，；②當時，；

所以的值有兩個：；；

5、提示：由韋達定理得：，則，即，解得：

6、提示：利用求根公式可分別表示出方程

和的根：，∴，∴，∴，又∵，變形得：，∴，∴

第二篇：一元二次方程根與系數的關系說課稿

一元二次方程根與系數的關系說課稿

作為一名教學工作者，通常會被要求編寫說課稿，說課稿有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。那么優秀的說課稿是什么樣的呢？下面是小編幫大家整理的一元二次方程根與系數的關系說課稿，歡迎閱讀與收藏。

[教材分析]

中學階段我們研究的多項式函數中有二次函數，研究的幾何圖形中有二次曲線。因此一元二次方程便成為了方程中研究的重要內容。一元二次方程有根與系數關系，求根公式向我們揭示了兩根與系數間的密切關系，而根與系數還有更進一步的發現，這一發現在數學學科中具有極強的實用價值，本節內容既是代數式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知識的進一步深化，又蘊含有豐富的數學思想方法，也為學生們將來的學習打下了必要的基礎。

[學生分析]

進入了初二下半學期，隨著年齡的增長以及實驗幾何向論證幾何的逐步推進，學生們的邏輯推理能力已有了較大提高。因此在學過了一元二次方程的解法后，自主探究其根與系數的關系是完全可能的。再加上我所執教的學生，他們有著較強的認知力與求知欲，

基于以上思考，我在設計中擴大了學生的智力參與度，也相對放大了知識探索的空間。

[教學目標]

在學生探求一元二次方程根與系數關系的活動中，經歷觀察、分析、概括的過程以及“實踐——認識——再實踐——再認識”的過程，得出一元二次方程根與系數的關系。

能利用一元二次方程根與系數的關系檢驗兩數是否為原方程的根;已知一根求另一根及系數。

理解數學思想，體會代數論證的方法，感受辯證唯物主義認識論的基本觀點。

[教學重難點]

發現并掌握一元二次方程根與系數的關系，包括知識從特殊到一般的發生發展過程

[教學過程]

一、復習導入

請學生求解表格內的方程，完成解法的交流以及求根公式的復習，求根公式向我們揭示了兩根與系數間的關系，那么一元二次方程根與系數間是否還有更深一層的聯系呢?由此疑問，導入新課。

二、探求新知

數學學科中由數到式的結構編排，讓我們想到了從兩根運算上的最簡組合：和差積商展開進一步研究。初探新知中，我將學生們分成兩組，分別對二次項系數為1的一元二次方程兩根進行和差積商的運算，之后將結果匯總展示，共同觀察與系數的聯系。我在這些方程中安排了兩個無理根方程。當學生們發現這兩個無理根在求和，求積后，竟變成了有理數，而且每一組兩根和(積)都與系數有著密切的聯系，此時的他們不難對兩根和與兩根積產生關注，經歷了對二次項系數為1的一元二次方程兩根和差積商的研究后，確定了課題并獲得猜想：“兩根和等于一次項系數的相反數,兩根積等于常數項。”對于這一猜想，會有學生提出不同看法，他們提出研究二次項系數非1的一元二次方程。學生的質疑啟動再探新知。直接研究一元二次方程兩根和、兩根積與系數的關系。這一環節中我不再給出具體的方程要求研究，故除了部分同學自定義方程求根求和求積后產生猜想，還有部分同學對仍保留在板書部分的求根公式著手進行兩根和，積的運算。這兩種方案齊頭并進，當前者通過不斷驗證來說明他們猜想的可靠度時，后者通過論證，在嚴格意義下，說明了此結論的正確性。對于論證中學生出現的問題，我們在第一時間內揪錯指正，

在知識初探與再探后，學生獲得了新知，得到了一元二次方程根與系數的關系，

三、訓練感悟

我將之前從學生那里收集來的錯解對照表中方程，詢問檢驗其正誤的方法。學生根據已有經驗，將其代入方程，進行檢驗。為尋求更為簡便的方法，引出作用一，利用根與系數的關系，不解方程檢驗兩數是否為原方程的根。我再給出兩例，便于鞏固練習，更明確了只有當兩數和(積)同時滿足方程兩根和(積)的時侯，才是正確的根。當學生們正為找到了一種行之有效的檢驗方法，高興不已的時候。突然間，表格中的數據丟失了，我分別隱去了方程的一根及b,c,a三個系數。為了將材料修復，學生小組展開熱烈的討論。有了上一題的經驗，學生們會利用根與系數關系，不解方程，求出另一根及系數。也會使用代入求解的方法解題，通過新舊方法的比較，在訓練中獲得感悟：方法的選擇在于簡便，學生們在選擇了恰當的方法后，修復了材料也鞏固了新知。

四、總結提升

由學生回顧知識的發生發展及應用過程，以“我的收獲”與“我的疑惑”交流心得。我再幫助學生整理所學知識，引導領會數學的思想。我還會自豪的告訴他們，數學家們還發現了存在于一元n次方程中的根與系數的普遍關系，這一內容將在高數中有所涉及，激勵奮進五、分層作業，除必做題外，留有一道思考題：已知x1,x2分別是方程2x2+3x-5=0和兩個根，利用根與系數關系，求：（1）x12x2 +x1x22（2）x12 +x22（3）x1－x2的值。作為能力上的提升。也為下一課內容作下鋪墊。

[設計意圖]

現在的設計較之以往，有所繼承，有所變革。

1.研究啟動入口不同

過去我總是先給出若干具體方程要求學生求根，并計算兩根和(積)，作出猜想。這樣的數學后曾有學生問我：“老師為什么會想到兩根和(積)與系數的關系，而不是其它?”這種疑問的產生一定與過去設計指定了學生的活動過程有關，為了給學生的活動指向更為寬泛，讓兩根和積與系數的研究更顯合理，現在的設計中主要體現了由數到式的研究，從兩根和差積商的重組合再有所觀察，有所挑選，方才定位于兩根和(積)作進一步的探究。這種設計正是從數學內部下了功夫，由知識線索的連貫性，師生共同理順了實驗對象的來龍去脈，從數學本身上培養了學生的觀察、分析、概括的綜合能力。

2.探究部分兩步走

我將二次項系數為1，非1的一元二次方程分兩次出現，分別放置與知識初探和再探兩個環節，這樣設計的原因有一：學生的認知能力總是有所差異的，如果將這些方程合二為一加以研究的話，一部分同學對別人獲得的正確猜想是瞬間接受，卻缺乏思維的參與。事實上，研究事物往往從簡單到復雜，在這里，當a=1時，易找規律，當a ≠1后造成的認知沖突，更是激發了這一猜想的`完善。其實這一串，由實驗——猜想——再實驗——再猜想的思維過程，既符合認知規律，也是一種研究性學習的示范，一種創造性能力的培養。為了讓每一個學生都親身參與其中，真正感受由“實踐——認識——再實踐——再認識”這一客觀世界認知論的基本規律。便是我如此設計的原因之一。原因二：研究入口處，利用兩根和差積商的結果，優選出對和積的研究。初探中二次項系數為1的方程兩根計算足以起到這一篩選作用。因此在下一環節的再探新知中，便自然關閉了對兩根差與商相對較為繁瑣的計算，直接由兩根和積入手研究與系數的關系，提高了研究的效率。

3.再探新知放手走

我沒有再給出任何具體的方程以供研究，這里的放手，引出了學生不同的操作方法。一部分學生把注意力轉放在求根公式上展開直接論證，就連另一部分學生自定義方程數據研究的方式也各不相同，他們有的翻開筆記本查閱之前解方程的資料;有的反湊特殊值方程;更有的會從中提煉出代數論證的方法;當然也有借助于計算器完成了繁瑣的計算。

放手的探究，為了給學生更大的思維空間，讓學生有更多方法的選擇，從而展開自主的學習。

[尾聲]

但原學生們帶著對數學的興趣與喜愛，在學的海洋里，奮勇搏擊。而作為一名青年教師的我，亦將在教學的舞臺上，不斷求索。多由學生所想來引導;多設角度空間去探究;多從細節處滲透數學思想，充分利用數學課堂來達成文化傳承與發展創新的協調統一。

第三篇：一元二次方程根與系數的關系試題

1．已知方程x2-2x-m=0有兩個正的實數根，求m的取值范圍．

2．已知m、n是方程x2－2002x+1=0的兩個實數根，求代數式mn2+m2n－mn+1的值．

3.已知關于x的方程x-92x+m=0有兩個實數根x1、x2，且丨x1-x2丨=22, 求m的值.4．若實數x1≠x2，且x1－3x1+1=0，x2－3x2+1=0，求

5．已知關于x的方程2(x-1)(x-3t)=x(t-4)的兩個實數根的和與積相等，求t的值。

6.是否存在整數m，使關于x的方程x2-4(m-2)x+4m2=0的兩個實數根的平方和為224?若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

7．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線相交于O，并且AO、BO的長是關于x的方程x2+(2m－

1)x+m2+3=0的兩個根，求m的值。

8.在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，已知a=3,b和c是關于x的方程x2+mx+2-

12222+的值． m=0的兩個實數根，求ΔABC的周長。

第四篇：《一元二次方程根與系數的關系》教案

《一元二次方程根與系數的關系》教案

教學目標：

1、發現、了解一元二次方程的根與系數的關系，培養學生善于獨立思考、合作交流的學習習慣。

2、探索、運用一元二次方程的根與系數關系，由一元二次方程的一個根求出另一個根及未知系數，提升學生的合作意識和團隊精神。

3、在不解一元二次方程的情況下，會求直接（或變形后）含有兩根積的代數式的值，并從中體會整體代換的數學思想，促進學生數學思維的養成。教學重點：

一元二次方程的根與系數的關系及簡單應用。教學難點：

一元二次方程的根與系數的關系的推導。數學思考與問題解決：

通過創設一定的問題情境，注重由學生自己發現、探索，讓學生參與“韋達定理”的發現、不完全歸納驗證以及演繹證明等整個數學思維過程。

一、自學互研 探索發現（每小題10分，共30分）（自主完成，組長檢查）

【師生活動】：

教師引導，巡視，隨時發現問題、了解學生導學案完成情況并點撥；評價、鼓勵、調動學生參與的主動性和積極性。

學生獨立完成導學案，觀察、對比、發現問題，逐步由易到難，探索出一元二次方程的根與系數的關系；小組長檢查小組成員完成情況；分小組匯報自學成果。【設計意圖】：

本環節為“一元二次方程的根與系數的關系”的發現過程，即感性認識過程。通過幾個具體的方程，經過觀察、比較、分析、歸納，感性地得出一元二次方程的根與系數的關系的一般規律。培養學生發現問題、探求規律的學習習慣和注重自主加合作的學習方式。【學案內容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次項系數是_____，一次項系數是______，常數項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項系數?（）

二次項系數常數項?（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次項系數

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次項系數是_____，一次項系數是______，常數項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項系數 ?（）二次項系數比一比，你發現了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常數項?（）

二次項系數比一比，你發現了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次項系數是_____，一次項系數是______，常數項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你發現的規律可知: X1+X2=?(________)

X1·X2=?（）（________)(_________)?（）

(_________)

二、合作求證 生成新知（每小題10分，共20分）（合作完成，交換檢查）

【師生活動】：

教師引導，巡視，隨時發現問題、了解學生導學案完成情況并點撥；鼓勵學生參與合作學習，調動學生合作交流的主動性和積極性。

學生小組合作完成導學案，通過推導證明前面的結論；實現一元二次方程的根與系數的關系感性認識到理性認識的轉變；小組長檢查小組成員完成情況后，兩小組交換檢查推導過程；分小組匯報合作學習成果。【設計意圖】：

本環節為“一元二次方程的根與系數的關系”的證明過程，即理性認識過程。讓學生自己發現問題、探求規律，兩從理論角度加以驗證，經歷從特殊到一般的科學探索過程，培養學生科學、嚴謹的求學態度，團隊精神和合作意識，促進學生的相互交流、學習。【學案內容】：

（1）根據以上規律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的兩個根為X1和X2，則X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）這是不是一個普遍規律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？請用一元二次方程的一般形式證明：(b2-4ac≧0)∵ X1=?b?b2?4ac?b?b2?4ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目標達成（每小題10分，共40分）（合作完成，分組展示）

【師生活動】：

教師巡視，隨時發現問題、了解學生導學案完成情況并適時點撥、強調；充分利用現有設施設備，為學生搭建電子白板、實物投影、黑板等不同的展示自我的平臺；適時評價、鼓勵學生能多種方法解決問題，促進發散思維的培養。

導學案【目標1】：學生先獨立完成，組長檢查，后組內交流，全班匯報、評價。（學生利用一體機白板演示解題過程）

導學案【目標2】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學生利用實物投影展示解題過程）

導學案【目標3】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學生利用黑板展示解題過程）

【設計意圖】：

本環節為“一元二次方程的根與系數的關系”的實踐過程，即教學目標的達成、檢測過程。設計了三個不同難度且有梯度的“目標”，讓學生由易到難、由淺入深，加深對一元二次方程的根與系數的關系的理解和應用，強調學生對科學的嚴謹性和書寫的規范性，培養學生對所學知識的應用意識和應用能力，以及合作學習意識與數學語言的表述能力。【學案內容】：

【目標1】不解方程，求下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目標2】已知方程X2-4X+M=0的一個根是-2，求方程的另一個根及M的值。

【目標3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的兩個實數根，求

x1的值。

2?x22

四、查漏補缺 總結提高（共10分）（自主完成，集體分享）

【師生活動】：

教師鼓勵學生談所學所想所獲，集體分享學習成果，歸納課堂所學知識點，解決學習中仍然存在的問題和困惑。【設計意圖】：

本環節為本節課的總結提高過程。目的是幫助所有學生總結回顧、查漏補缺，形成知識體系，培養學生及時小結、善于歸納梳理的學習習慣，提高學生運用數學語言的能力和口頭表達能力。【學案內容】：

請你談談本節課的收獲或存在的問題。__________________

第五篇：復習教案 一元二次方程根與系數關系

第十三課時 一元二次方程根與系數關系

一、復習目標：掌握一元二次方程根的判別式和韋達定理，并會靈活運用它們解決問題.二、復習重點和難點：

（一）復習重點： 一元二次方程根的韋達定理.（二）復習難點：靈活運用韋達定理解決問題.三、復習過程：

（一）知識梳理：

1、根與系數的關系（韋達定理）

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果有實數根（即??b?4ac?0），設兩實數根為x1，x2，則x1?x2??

2、常見的含兩根的對稱式：

（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2（2）222bc，x1x2? aax?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 ； x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2

x2x1x1?x2(x1?x2)2?2x1x2（4）； ???x1x2x1x2x1x2

3、利用根與系數的關系判定一元二次方程的兩根符號： 22c可判斷兩根符號之間的關系： acc 若x1x2??0，則x1，x2同號； 若x1x2??0，則x1，x2異號，即一正一負

aab 再由x1?x2??可判斷兩根大小的關系。

a由x1x2?

4、由x1，x2兩根可構造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個一元二次方程為x2?(x1?x2)x?x1x2?0；

5、一元二次方程與二次函數的聯系：

若二次函數y=ax+bx+c的圖象與x軸有兩交點，分別設為A（x1，0），B（x2，0），則x1、x2就是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根，因此，求二次函數y=ax+bx+c

22的圖象與x軸有交點坐標，只要令y=0，解ax?bx?c?0(a?0)的根，就可得到二次函

2數y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點坐標的橫坐標。

強調：應用一元二次方程根與系數的關系時，應注意： ①根的判別式b2?4ac?0 ②二次項系數a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應用根與系數的關系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根。

例

1、已知方程x?6x?m?2m?5?0的一個根為2，求另一個根及

分析：此題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數的關系求出另一個根及的值。

解：設方程的另一個根為x1，根據題意，利用韋達定理得：

?x1?2?6?x1?4?x1?4，解得：或? ??2m?3m??12x?m?2m?5???1∴方程

二、不解方程，判斷兩根的情況。

例

2、不解方程，試判斷方程x?3x?6?0兩根的符號；

分析：要判斷方程根的符號，可以根據根的定義，這樣的方法顯得很笨拙，而我們如果利用根與系數的關系就顯得非常巧妙。

解：由??3?4?(?6)?33?0，方程有兩個不相等的實數根。設這兩根為x1,x2，得x1?x2??6?0，易得方程兩根一正一負。

如果得出x1?x2?0，需考慮x1?x2的正負，從而判斷方程有兩個正根還是兩個負根。

三、求作新的方程；

例

3、作一個一元二次方程，使它的兩個根為一元二次方程x?3x?1?0的兩根的平方． 解：設方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，那么所求的方程的根為x1,x2，由根與系數關系可得：x1?x2?3,x1.x2??1，∴x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?32?2?(?1)?11，22222的另一個根為4，的值為3或—1。

222 x1?x2?(x1?x2)2?(?1)2?1，∴所求作的方程為x?11x?1?0．

四、不解方程，求方程兩根所組成的某些代數式的值，這種應用與根的判別結合在一起。例4（1）已知關于x的方程3x+6x-2=0的兩根為x1，x2，求

222211的值.?x1x2 分析：已知方程，求兩根組成代數式的值。這里主要說明解題格式，學生完成過程.（2）已知關于x的方程3x-mx-2=0的兩根為x1，x2，且2

2211??3，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數式的值，而第（2）題的第一問就反來了，也就是已知代數式的值求方程。第②問，再進一步，已知代數式的值，求另一個代數式的值.但是，無論是哪一個問題，所要用到的都是根與系數的關系.小結：1.求方程兩根所組成的代數式的值，關鍵在于把所求代數式變形為兩根的和與兩根的積的形式.例

5、（2000年四川省中考試題）若關于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有兩個實數根，又已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整數m,使上述一元二次方程兩個實數根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方？若存在，請求出滿足條件m的值；若不存在，說明理由.“存在性”問題）

分析：（１）提問：此題與哪些知識有關？（勾股道理、解直角三角形、根與系數的關系、根的判別式）

（２）如何利用條件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程兩個實數根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方”通過這句話，你能明白什么？你先必須求什么？

（４）然后按照解決“存在性”問題的過程去解題.（５）求出m后，要考慮它是否符合題意.通過此題，使學生明白解決這類問題，一般遵循“三步曲”，即假設存在——推理論證——得出結論（合理或矛盾兩種情況）.五、利用根與系數關系解決一元二次方程與二次函數的綜合題： 例

6、已拋物線y?(m?1)x2?(m?2)x?1（m為實數）。

（1）m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點？

（2）如果拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C，且△ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。

分析：拋物線與x軸有兩個交點，則對應的一元二次方程有兩個不相等的實數根，將問題轉化為求一元二次方程有兩個不相等的實數根m應滿足的條件。

?m?1?0略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2???m?0（2）由x?0得C（0，－1）

又∵AB??m? am?1∴S?ABC?∴m?11m?AB?OC???1?2 22m?144或m? 35122126∴y?x?x?1或y??x?x?1

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