第一篇：應用問題與一元二次方程教學設計

應用問題與一元二次方程

目標認知 學習目標：

(1)經歷分析具體問題中的數量關系，建立方程模型并解決問題的過程，認識方程模型的重要性，并總

結運用方程解決實際問題的一般步驟.(2)通過列方程解應用題，進一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力.學習重點：

掌握運用方程解決實際問題的方法.學習難點：

建立方程模型.一、知識要點梳理

知識點

一、列一元二次方程解應用題的一般步驟

1.列方程解實際問題的三個重要環節：

一是整體地、系統地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.2.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.3.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；

列(根據題目中的等量關系，或將一個量表示兩遍，由此得到方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；

答(切忌答非所問).知識點

二、數字問題

(1)任何一個多位數都是由數位和數位上的數組成.數位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位??，它們數位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、??，數位上的數字只能

是0、1、2、??、9之中的數，而最高位上的數不能為0.因此，任何一個多位數，都可用其各數位

上的數字與其數位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數.如：一個三位數，個位上數為a，十位上數為b，百位上數為c，則這個三位數可表示為：

100c+10b+a.(2)幾個連續整數中，相鄰兩個整數相差1.如：三個連續整數，設中間一個數為x，則另兩個數分別為x-1，x+1.幾個連續偶數(或奇數)中，相鄰兩個偶數(或奇數)相差2.如：三個連續偶數(奇數)，設中間一個數為x，則另兩個數分別為x-2，x+2.知識點

三、平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數、后來數、增長率或降低率，以及增長或降低的次數之間的數量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數的基礎上增長或降低兩次.(1)增長率問題：

平均增長率公式為a(1+x)n=b(a為原來數，x為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為a(1-x)n=b(a為原來數，x為平均降低率，n為降低次數，b為降低后的量.)

知識點

四、利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期數：存入銀行的時間叫期數.利率：每個期數內的利息與本金的比叫利率.(2)公式:

利息=本金×利率×期數

利息稅=利息×稅率(稅率是20%)

本金×(1+利率×期數)=本息和

本金×[1+利率×期數×(1-20%)]=本息和(收利息稅時)

知識點

五、利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數

知識點

六、形積問題

此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規則圖形分割或組合成規則圖形，根據圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內在關系并列出方程.二、規律方法指導

1.利用一元二次方程解決實際問題，需注意把實際問題轉化為數學問題，其關鍵是要找出等量關系.2.列一元二次方程解實際應用題的一般步驟和列一元一次方程與二元一次方程組解實際應用題的基本步驟相似.3.在總結答案之前對一元二次方程解的合理性進行檢驗.2 經典例題透析 類型

一、數字問題

1.兩個連續奇數的積是323，求這兩個數．

思路點撥：兩個連續奇數相差2.解：設較小的奇數為x-1，則另一奇數為x+1；依題意得：

(x-1)(x+1)=323

x2-1=323

x2=324

∴x1=18，x2=-18

當x=18時，18-1=17，18+1=19．

當x=-18時，-18-1=-19，-18+1=-17．

答：兩個奇數分別為17，19；或者-19，-17． 舉一反三：

【變式1】兩個連續整數的積是210，求這兩個數． 思路點撥：兩個連續整數相差1.解：設較小的整數為x，則另一個整數為(x+1)

依題意得：

x(x+1)=210

x2+x-210=0

解之，得： x1=14，x2=-15

當x=14時，x+1=15；

當x=-15時，x+1=-14；

答：這兩個數為14、15或-

15、-14.【變式2】已知兩個數的和是12，積為35，求這兩個數． 解：設其中一個數為x，則另一個數為(12-x)

依題意得：

x(12-x)=35

x2-12x+35=0

解之，得：

x1=5，x2=7

當x=5時，12-x=7；

當x=7時，12-x=5；

答：這兩個數為5、7.2.有一個兩位數等于其數字之積的3倍，其十位數字比個位數字小2，求這兩位數．

思路點撥：數與數字的關系是：兩位數=十位數字×10+個位數字． 解：設個位數字為x，則十位數字為(x-2)，這個兩位數為10(x-2)+x，依題意得：10(x-2)+x=3x(x-2)

整理，得： 3x2-17x+20=0

解之，得：x1=4，x2=

(不合題意，舍去)

當x=4時，10(x-2)+x=24

答：這個兩位數為24.舉一反三：

【變式1】有一個兩位數，它們的十位數字與個位數字之和為8，如果把十位數字與個位數字調換后，所得的兩位數乘以原來的兩位數就得1855，求原來的兩位數．

解：設原來的兩位數的個位數字是x，則十位數字是(8-x)，原來的兩位數為10(8-x)+x，依題意得：[10(8-x)+x][10x+(8-x)]=1855

化簡得：x2-8x+15=0

解之，得：x1=3，x2=5

當x=3時，10(8-x)+x=53

當x=5時，10(8-x)+x=35

答：原來的兩位數為53或35.類型

二、平均變化率問題

3.某工廠第一季度的一月份生產電視機是1萬臺，第一季度生產電視機的總臺數是3.31萬臺，求二月份、三月份生產電視機平均增長的百分率是多少？

思路點撥：直接假設二月份、三月份生產電視機平均增長率為x．?因為一月份是1萬臺，那么二月份應是(1+x)萬臺，三月份應是在二月份的基礎上以二月份比一月份增長的同樣“倍數”增長，即(1+x)+(1+x)x=(1+x)2萬臺，那么就很容易從第一季度總臺數列出等式．

解：設二月份、三月份生產電視機平均增長的百分率為x，依題意得：1+(1+x)+(1+x)2?=3.31

去括號：1+1+x+1+2x+x2=3.31

整理，得：x2+3x-0.31=0

解得：x1=10%，x2=-3.1(不合題意，舍去)

答：二月份、三月份生產電視機平均增長的百分率為10%.舉一反三：

【變式1】某電腦公司2001年的各項經營中，一月份的營業額為200萬元，一月、?二月、三月的營業額共950萬元，如果平均每月營業額的增長率相同，求這個增長率．

思路點撥：設這個增長率為x，由一月份的營業額就可列出用x表示的二、三月份的營業額，又由三個月的總營業額列出等量關系．

解：設平均增長率為x

則200+200(1+x)+200(1+x)2=950

整理，得：x2+3x-1.75=0

解得：x1=50%，x2=-3.5(不合題意，舍去)

答：所求的增長率為50%．

4.我國人均用紙為28公斤，每個初中畢業生離校時大約有10公斤廢紙；用1噸廢紙造出來的再生好紙，所能節約的造紙木材相當于18棵大樹，而平均每畝森林只有50至80棵這樣的大樹．

(1)若我市2005年初中畢業生中環保意識較強的5萬人，能把自己離校時的全部廢紙送 4 到回收站使之制造為再生好紙，那么最少可使多少畝森林免遭砍伐？

(2)宜昌市從2001年初開始實施天然林保護工程，到2003年初成效顯著，森林面積大約由1 374.094萬畝增加到1 500.545萬畝．假設該地區年用紙量的15%可以作為廢紙回收利用，并且森林面積年均增長率保持不變，請你按宜昌市總人口為415萬人計算：在從2005年初到2006年初這一年度內，我市新增加的森林面積與因廢紙回收利用所能保護的森林面積之和最多可能達到多少畝(精確到1畝)？

解：(1)5萬名初中畢業生廢紙回收使森林免遭砍伐的最少畝數為

5×104×10÷1 000×18÷80=112.5(畝)．

(2)設2001年到2003年初我市森林面積年均增長率為x，則1 374.094(1+x)2=1 500.545．

故x1=0.045=4.5%，x2=-2.045(舍去)．

所以2005年初到2006年初全年新增森林面積：

1500.545×104×(1+4.5％)2×4.5％≈737 385(畝)．

又全市回收廢紙所能保護的森林面積最多為

415×104×28×１5％÷1 000×18÷50≈6 275(畝)．

新增森林面積和保護森林面積之和為：

737 385+6 275=743 660(畝)．

總結升華：此例不僅考查了同學們解答實際應用問題的能力，還對同學們發揚節約精神、增強環保意識起到潛移默化的作用． 類型

三、利息問題

5.某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率．

思路點撥：設這種存款方式的年利率為x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就變為1000+2000x·80%，其它依此類推．

解：設這種存款方式的年利率為x

則：1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320

整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

解得：x1=-2(不符，舍去)，x2=

答：所求的年利率是12.5%．

=0.125=12.5% 類型

四、利潤(銷售)問題

6.某商場禮品柜臺春節期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發現，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元?

思路點撥：總利潤=每件平均利潤×總件數．設每張賀年卡應降價x元，?則每件平均利潤應是(0.3-x)元，總件數應是(500+×100)5

解：設每張賀年卡應降價x元

則(0.3-x)(500+)=120

解得：x=0.1，x2=-0.3(不合題意，舍去)

答：每張賀年卡應降價0.1元．

舉一反三：

【變式1】某超市將進貨單價為40元的商品按50元出售，每天可賣500件．如果這種商品每漲價1元，其銷售量就減少10件，假設超市為使這種商品每天賺得8 000元的利潤，商品的售價應定為每件多少元?

思路點撥：本題中的不變量是每天賺得8 000元的利潤．相等關系是：每件商品的利潤×銷售數量=8 000元．

解：設該商品的售價為每件(50+x)元，則每件商品的利潤為[(50+x)-40]元，銷售量為(500-10x)件．

根據題意，得[(50+x)-40](500-10x)=8 000．

解得x1=10，x2=30．

當x=10時，50+10=60(元)

當x=30時，50+30=80(元)

所以，每天要賺得8 000元的利潤,這種商品的售價應定為每件60元或80元．

【變式2】某種服裝，平均每天可銷售20件，每件盈利44元．若每降價1元，每天可多銷售5件，如果每天要盈利1 600元，每件應降價多少元？

思路點撥：設每件應降價x元，則根據題意，可得如下表格：

解：設每件服裝應降價x元，根據題意，得

(44-x)(20+5x)=1 600，解得x1=36，x2=4．

答：每件服裝應降價4元或36元．

【變式3】某種新產品進價是120元，在試銷階段發現每件售價(元)與產品的日銷量(件)始終存在下表中的數量關系：

(1)請你根據上表所給數據表述出每件售價提高的數量(元)與日銷量減少的數量(件)之間的關系．

(2)在不改變上述關系的情況下，請你幫助商場經理策劃每件商品定價為多少元時，每日盈利可達到1 600元？

解：(1)由表格中數量關系可知：該產品每件售價上漲1元，其日銷量就減少1件．

(2)設每件產品漲價x元，則銷售價為(130+x)元，日銷量為(70-x)件．

由題意，得［(130+x)-120］(70-x)=1 600，解得x1=x2=30，130+30=160(元)．

答：每件商品定價為160元時，每日盈利達到1 600元．

總結升華：隨著市場經濟的日益繁榮，市場競爭更是激烈．因此，“銷售問題”還將是人們關注的焦點，還會被搬上中考試卷．這不僅較好地鍛煉了學生分析問題、解決問題的能力，而且讓同學們真正體會到數學的寶貴價值．值得說明的是，第(2)小題還可以用表格中其它兩組數據列出方程，結果相同，同學們不妨試一試． 類型

五、形積問題

7.張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15米3的無蓋長方體運輸箱，且此長方體運輸箱底面的長比寬多2米．現已知購買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？

解：設這種運輸箱底部寬為x米，則長為(x+2)米．依題意，得x(x+2)×1=15．

化簡，得x2+2x-15=0．

解之，得x1=3，x2=-5(不合題意，舍去)．

所以這種運輸箱底部長為5米，寬為3米．

由長方體展開圖知，購買的矩形鐵皮面積為

(5+2)×(3+2)=35(米2)．

故購回這張矩形鐵皮要花35×20=700(元)．

總結升華：本題要深刻理解題意中的已知條件，弄清各數據的相互關系，布列方程，并正確決定一元二次方程根的取舍問題．解決此類問題要善于運用轉化的思想方法，將實際問題轉化為數學問題．

舉一反三：

【變式1】一間會議室，它的地板長為20m，寬為15m，現在準備在會議室地板的中間鋪一塊地毯，要求四周沒鋪地毯的部分寬度相同，而且地毯的面積是會議室地板面積的一半，那么沒鋪地毯的部分寬度應該是多少？

思路點撥：本題的關鍵句是“地毯的面積是會議室地板面積的一半”，據此可得等量關系：地毯面積=會議室面積的一半．

解：設沒鋪地毯的部分寬為xm，則地毯的長為(20-2x)m，寬為(15-2x)m．根據題意，得

，解得x1=2.5，x2=15(不合題意，舍去)

答：沒鋪地毯的部分寬度應該是2.5m．

【變式2】某林場計劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，?上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

(1)渠道的上口寬與渠底寬各是多少？

(2)如果計劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？

思路點撥：因為渠深最小，為了便于計算，不妨設渠深為xm，則上口寬為x+2，?渠底 7 為x+0.4，那么，根據梯形的面積公式便可建模．

解：(1)設渠深為xm，則渠底為(x+0.4)m，上口寬為(x+2)m.依題意，得：(x+2+x+0.4)x=1.6

整理，得：5x2+6x-8=0

解得：x1==0.8m，x2=-2(不合題意，舍)

∴上口寬為2.8m，渠底為1.2m．

(2)=25(天)

答：渠道的上口寬與渠底寬分別是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．

類型六、一元二次方程應用新題型

條件探求型

8.要建一個面積為150m2的長方形養雞場，為了節約材料，雞場的一邊靠著原有的一面墻，墻長為am，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為35m．

(1)求雞場的長與寬各是多少？

(2)題中，墻的長度a對題目的解起著怎樣的作用？

思路點撥：第(2)小題著眼于作為條件出現的常數a，探索這一條件對題目的解有何影響，需根據第(1)小題的結果進行研究．

解：(1)設平行于墻的一邊長為xm，則另一邊的長為，根據題意，得

解得x1=15，x2=20．，當x=15時，；當x=20時，．

答：略．

(2)由題意可知：當a＜15時，此題無解；當15≤a＜20時，此題只有一個解；當a≥20時，此題有

兩解．

方案設計型

9.某中學有一塊長為am，寬為bm的矩形場地，計劃在該場地上修筑寬都為2米的兩條互相垂直的道路，余下的四塊矩形小場地建成草坪．

(1)如圖1，請分別寫出每條道路的面積(用含a或含b的代數式表示)；

(2)已知a∶b=2∶1，并且四塊草坪的面積之和為312m2，試求原來矩形場地的長

與寬各為多少米？

(3)在(2)的條件下，為進一步美化校園，根據實際情況，學校決定對整個矩形場地作如下設計(要求同

時符合下述兩個條件)：

條件①：在每塊草坪上各修建一個面積盡可能大的菱形花圃(花圃各邊必須分別與所在草坪的對角線平

行)，并且其中有兩個花圃的面積之差為13m2；

條件②：整個矩形場地(包括道路、草坪、花圃)為軸對稱圖形．

請你畫出符合上述設計方案的一種草圖(不必說明畫法與根據)，并求出每個菱形花圃的面積．

解：(1)這兩條道路的面積分別為2am2與2bm2．

(2)設b=xm，則a=2xm，依題意，得

x·2x-(2x+4x-4)=312．

整理，得x2-3x-154=0，解得x1=14，x2=-11(舍去)．

所以b=x=14，a=2x=28．

即矩形的長為28m，寬為14m．

(3)符合設計方案的一種草圖如圖2所示，其中四個菱形花圃中，第1個與第2個，第3個與第4個花圃 的面積分別相等．

設AE=x，則FB=14-2-x=12-x(m)，(m)．

依題意，得

解得x=7(m)．

．

所以大菱形花圃的面積為

(m2)，小菱形花圃的面積為

(m2)．

(注：其他符合設計方案的三種花圃見圖3，圖4，圖5，同上法仍可求得大、小花圃的面積分別為45.5m2與32.5m2)9

學習成果測評 基礎達標

一、選擇題

1．某電視機廠計劃用兩年的時間把某種型號的電視機的成本降低36%，若每年下降的百分數相同，則這個百分數為()

A．10%

B．20%

C．120%

D．180%

2．某超市一月份的營業額為200萬元，已知第一季度的總營業額共1000萬元，如果平均每月增長率為x，則由題意列方程應為()

A．200(1+x)2=1000

B．200+200×2x=1000

C．200+200×3x=1000

D．200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000

3．某商品計劃經過兩個月的時間將售價提高20%，設每月平均增長率為x，則列出的方程為()

A．x+(1+x)x=20%

B．(1+x)2=20%

C．(1+x)2=1.2

D．(1+x%)2=1+20%

4．2005年一月份越南發生禽流感的養雞場100家，后來

二、?三月份新發生禽流感的養雞場共250家，設二、三月份平均每月禽流感的感染率為x，依題意列出的方程是()

A．100(1+x)2=250

B．100(1+x)+100(1+x)2=250

C．100(1-x)2=250

D．100(1+x)2

5．一臺電視機成本價為a元，銷售價比成本價增加25%，因庫存積壓，所以就按銷售價的70%出售，那么每臺售價為()

A．(1+25%)(1+70%)a元

B．70%(1+25%)a元

C．(1+25%)(1-70%)a元

D．(1+25%+70%)a元

6．若兩個連續整數的積是56，則它們的和是()

A．±15

B．15

C．-15

D．11

7．一個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共()

A．12人

B．18人

C．9人

D．10人

8．直角三角形兩條直角邊的和為7，面積為6，則斜邊為()

A．

B．

5C．

D．7

9．從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長方形，余下的面積是48cm2，則原來的正方形鐵片的面積是()

A．8cm

B．64cm

C．8cm

2D．64cm2

10．一個兩位數等于它的個位數的平方，且個位數字比十位數字大3，?則這個兩位數為()

A．25

B．36

C．25或36

D．-25或-36

二、填空題

1．某農戶的糧食產量，平均每年的增長率為x，第一年的產量為6萬kg，第二年的產量為_______萬kg，第三年的產量為_______萬kg，三年總產量為_______萬kg．

2．某糖廠2008年食糖產量為a噸，如果在以后兩年平均增長的百分率為x，那么預計2010年的產量將是

________．

3．市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調藥品的價格．某種藥品經過連續兩次降價后，由每盒

200元下調至128元，求這種藥品平均每次降價的百分率是_________．

4．一種藥品經過兩次降價后，每盒的價格由原來的60元降至48.6元，那么平均每次降價的百分率是

_________．

5．某地區開展“科技下鄉”活動三年來，接受科技培訓的人員累計達95萬人次，其中第一年培訓了

20萬人次．設每年接受科技培訓的人次的平均增長率都為x，根據題意列出的方程是____________．

6．矩形的周長為，面積為1，則矩形的長和寬分別為________．

7．長方形的長比寬多4cm，面積為60cm2，則它的周長為________．

8．一條長64cm的鐵絲被剪成兩段，每段均折成正方形．若兩個正方形的面積和等于160cm2，則這兩個正

方形的邊長分別為__________________．

三、解答題

1．為了響應國家“退耕還林”，改變我省水土流失的嚴重現狀，2008年我省某地退耕 11 還林1600畝，計劃到2010年一年退耕還林1936畝，問這兩年平均每年退耕還林的平均增長率．

2．某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結1000個桃子，現準備多種一些桃樹以提高產量，試驗發現，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產量就會減少2個，如果要使產量增加15.2%，那么應多種多少棵桃樹?

3．在一塊長12m，寬8m的長方形平地中央，劃出地方砌一個面積為8m2?的長方形花壇，要使花壇四周的平地寬度一樣，則這個寬度為多少? 4．有一個兩位數，兩個數位上的數字之和是6，?這兩個數位上的數字之積等于這個兩位數的，求這個兩位數．

能力提升

一、選擇題

1．某農戶種植花生，原來種植的花生畝產量為200千克，出油率為50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．現在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增長率是畝產量的增長率的．則新品種花生畝產量的增長率為()

A．20％

B．30%

C．50%

D．120%

2．育才中學為迎接香港回歸，從1994年到1997年四年內師生共植樹1997棵，已知該校1994年植樹342棵，1995年植樹500棵，如果1996年和1997年植樹的年增長率相同，那么該校1997年植樹的棵數為()

A．600

B．60

4C．595

D．605

3．有兩塊木板，第一塊長是寬的2倍，第二塊的寬比第一塊的長少2m，長是第一塊寬的3倍，已知第二塊木板的面積比第一塊大108m2，這兩塊木板的長和寬分別是()

A．第一塊木板長18m，寬9m，第二塊木板長27m，寬16m；

B．第一塊木板長12m，寬6m，第二塊木板長18m，寬10m；

C．第一塊木板長9m，寬4.5m，第二塊木板長13.5m，寬7m；

D．以上都不對

4．某種出租車的收費標準是：起步價7元(即行駛距離不超過3km都需付7元車費)；超過3km以后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km計)，某人乘出租車從甲地到乙地共支付車費19元，則此人從甲地到乙地經過的路程()

A．正好8km

B．最多8km

C．至少8km

D．正好7km

二、填空題

1．某旅店底樓的客房比二樓少一間，各個房間住的人數同這層樓的房間數相同，現有36人，底樓都住

滿，而二樓只剩下一間空房，則二樓的房間是______．

2．在一塊長15cm，寬10cm的鐵片的中間挖一個面積為36cm2的長方形的空間，且使剩下的四周一樣寬，設這寬為x，則可得方程為_______________．

3．一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小4，?且個位數字與十位數字的平方和比這個兩位數小

4，設個位數字為x，則方程為________________．

4．如圖，是長方形雞場平面示意圖，一邊靠墻，另外三面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長為35m，所圍的

面積為150m2，則此長方形雞場的長、寬分別為_______．

三、解答題

1．某工程隊在我市實施棚戶區改造過程中承包了一項拆遷工程．原計劃每天拆遷1250m2，因為準備工作不足，第一天少拆遷了20%．從第二天開始，該工程隊加快了拆遷速度，第三天拆遷了1440m2．

求：(1)該工程隊第一天拆遷的面積；

(2)若該工程隊第二天、第三天每天的拆遷面積比前一天增加的百分數相同，求這個百分數．

2．某同學根據2004年江蘇省內五個城市商品房銷售均價(即銷售平均價)的數據，繪制了如下統計圖：

(1)這五個城市2004年商品房銷售均價的中位數、極差分別是多少？

(2)若2002年A城市的商品房銷售均價為1600元/平方米，試估計A城市從2002年到2004年商品房銷售均價的年平均增長率約是多少？

3．常州春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區旅游，推出了如下收費標準：

某單位組織員工去天水灣風景區旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區旅游？ 綜合探究

1．某軍艦以20節的速度由西向東航行，一艘電子偵察船以30?節的速度由南向北航行，它能偵察出周圍50海里(包括50海里)范圍內的目標．如圖，當該軍艦行至A處時，電子偵察船正位于A處正南方向的B處，且AB=90海里，如果軍艦和偵察船仍按原速度沿原方向繼續航行，那么航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦?如果能，最早何時能偵察到?如果不能，請說明理由．

答案與解析 基礎達標

一、選擇題

1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C

二、填空題

1.6(1+x)，6(1+x)2，6+6(1+x)+6(1+x)2； 2.a(1+x)2噸；

3.20%；

4.10%； ；

6.；

7.32cm；

5.8.12cm、4cm.三、解答題

1．解：設每年退耕還林的平均增長率為x，依題意，得1600(1+x)2=1936，解之，得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合題意，舍)

答：每年退耕還林的平均增長率為10%.2．解：設多種x棵樹，依題意，得(100+x)(1000-2x)=100×1000×(1+15.2%)，整理，?得?x2-400x+7600=0，解之，得x1=20，x2=380.答：應多種20棵或380棵桃樹.3．解：設寬為xm，依題意，得(12-2x)(8-2x)=8

整理，得：x2-10x+22=0

(舍去)，x2=5-)m..解得：x1=5+

答：這個寬度為(5-

4．解：設兩位數十位數為x，則個位數為6-x

依題意，得x(6-x)=

(10x+6-x)化簡整理，得x2-3x+2=0 解之，得x1=1，x2=2 當x1=1時，6-x=5，此兩位數為15 當x1=2時，6-x=4，此兩位數為24 答：這個兩位數是15或24.能力提升

一、選擇題

1.A 2.D 3.B 4.B

二、填空題

1.5；

2.(15-2x)(10-2x)=36；

3.10(x+4)+x-4=(x+4)2+x2；

4.20m和7.5m或15m和10m

三、解答題

1．(1)1000m2；(2)20%．

2．(1)中位數是2534(元/平方米)；極差是3515-2056=1459(元/平方米)．

(2)設A城市2002年到2004年的年平均增長率為x，由題意，得

1600(1+x)2=2119．(1+x)2=1.324375，解之，得

(不合題意，舍)15

答：平均增長率約為15%．

3．解：設該單位這次共有

名員工去天水灣風景區旅游，因為，所以員工人數一定超過25人．可得方程

解得：．

當時，故舍去

當時，符合題意

答：該單位這次共有30名員工去天水灣風景區旅游． 綜合探究

1．能．解：設偵察船最早由B出發經過x小時偵察到軍艦，依題意，得(90-30x)2+(20x)2=502

整理，得：13x2-54x+56=0，解之，得x1=2，x2=2，∴最早再過2小時能偵察到．

第二篇：《一元二次方程的應用——增長率問題》教學設計

《一元二次方程的應用——增長率問題》教學設計

清水五中

董小武

教學目標：

1、使學生學會用列一元二次方程的方法解決有關增長率的問題。

2、進一步培養學生轉化實際問題為數學問題的能力和分析問題、解決問題的能力。

3、通過增長率問題的學習能抓住問題的關鍵，揭示它的規律性，展示解題簡潔性的數學美。

教學準備：

教學課件、學案

教學重點：使學生學會用列一元二次方程的方法解決有關增長率的問題。

教學難點：提高學生轉化實際問題為數學問題的能力以及分析問題、解決問題的能力。教學過程：

一、出示課題：《一元二次方程的應用——增長率問題》

二、出示學習目標：

1、使學生學會用列一元二次方程的方法解決有關增長率的問題。

2、進一步培養學生轉化實際問題為數學問題的能力和分析問題、解決問題的能力。

3、通過增長率問題的學習能抓住問題的關鍵，揭示它的規律性，展示解題簡潔性的數學美。

（請學生讀一遍）

三、（根據以前學過的知識解決下面的問題）

請你評一評：小星的媽媽賣玩具，某天媽媽用每件10元的價格進了一批玩具，第二天以每件20元的價格標價，小星心里想：“媽媽若賣完這批玩具，那么財富增加了100%呢！”你認為有道理嗎？你能寫出增長率公式嗎？

[請同學們想一想，寫出你的答案。然后請同學回答，老師點評，并把增長率公式變形為：實際數=基數（1+增長率）]

四、根據變形后的增長率公式做出下面的問題（在微機上解答，看誰答的又快又好）

小星的媽媽又以每件20元的價格進了另一批玩具，決定在進價的基礎上以增長50%的價格定價，讓小星幫忙算一算該標價多少？你能幫小星算一算嗎？

五、[我們已經知道了增長率公式，請根據這個公式解決下面的問題，在微機上解答，答完后看看與實際情況是不是相符] 一件商品10元，增長率是0，則這件商品的價格是多少？增長率是-0.3呢？若降低率是1呢？降低率是1.2呢？若降低率是-0.2呢？

[討論所得結果，發現結論：增長率>0

0<降低率<1] 設計理念：通過以上幾個簡單的增長率問題的解答，讓同學們掌握增長率基本公式，并知道增長率>0，0<降低率<1為以后的學習打好基礎。

六、[請一個同學讀一下下面的探究題，教師分析題意] 2015年某市為解決中小企業節能環保問題,市政府采取了一系列政策措施,2015用于支持這項改革試點的扶持資金約為180億元,預計到2017年將到達304.2億元,求2015年到2017年市政府每年投入支持這項改革資金的平均增長率? [根據以下程序引導：分析:設這兩年的平均增長率為x,則2015年投入的資金為180(1+x)億元，2016年投入資金是以2015年投入的資金為基數，所以2017年投入資金為180(1+x)(1+x)即180(1+x)2

[給同學們展示解題步驟，要注意增長率為負數不合題意要舍去]

七、[由上題的解答我們會得到以下結論（一步步的引導學生去分析）

在上題中你會發現: 2015年

2016 年

2017年

2018年……

3180

180(1+x)

180(1+x)

2180(1+x)…

由上述關系可知：若用a表示基數，b表示實際數，x表示增長率則

第1次增長后的量是a(1+x)=b

第2次增長后的量是a(1+x)2=b

……

第n次增長后的量是a(1+x)n=b

這就是重要的增長率公式.反之，若為n次降低，則平均降低率公式為；

a(1-x)n=b

八、[我們已經學習了增長率公式，請同學們分組討論后寫出本題的解題步驟，然后找一個同學說出他的解題步驟] 某商場二月份的銷售額為1000萬元，三月份的銷售額下降了20%，商場從四月份起改進經營措施，銷售額穩步增長，五月份銷售額達到1350.2萬元，求四、五兩個月的平均增長率。

設計理念：讓同學們展開討論，并寫出解題過程，對所學知識起到了加固的作用。

九、[請同學們自己獨立解決下面的問題，看看學的怎么樣] 考考你：

1、某農場糧食產量是：2015年1200萬千克，2017年為1452萬千克。如果平均每年的增長率為x，則可得方程

---------（）A.1200(1+x)=1452

B.1200(1+2x)=1452 C.1200(1+x%)2=1452

D.1200(1+x%)=1452

2、某超市一月份的營業額為200萬元，一月、二月、三月的營業額共1000萬元，如果平均月增長率為x，則由題意得方程為-------------------------（）A.200(1+x)2=1000

B.200+200×2×x=1000 C.200+200×3×x=1000

D.200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000

3、某開發區人口和人均住房面積近3年來增長情況如下圖，據此回答問題

錯誤！未指定書簽。

（1）這個區在2015年和2016年中，哪一年增加的住房面積較多？

（2）由于開發區建設需要，預計到2018年該區人口數將比2016年增加4萬，若要使到時人均住房面積達到12平方米，則這兩年的住房面積平均年增長率應達到多少？

[請同學解答，對好答案，看一下學的怎么樣，錯的改正] 設計理念：通過做練習，使學生對本節課的內容掌握的更好，而且學會識圖，會找等量關系。

十、小結：

1、平均增長（降低）率公式 a(1?x)n?b

2、注意：

（1）1與x的位置不要調換

（2）解這類問題列出的方程一般用直接開平方法（3）增長率>0； 0<降低率<1

十一、布置作業：[熟能生巧，勤能補拙。請同學們課后做完講義上的練習題。我相信同學們一定能獨立完成。] 教學反思：

《一元二次方程的應用——增長率問題》與我們的生活密切相關，在解決增長率問題時，要弄清關鍵詞語的含義和有關數量間的關系，掌握其規律，還應注意各種數據變化的基礎，針對本節課的內容，制作了多媒體教學課件，讓學生在探討、練習中完成所學內容。

本節課中，同學們能積極投入到課堂教學中，認真思考、討論，踴躍發言，課堂氣氛活躍，在個別問題的回答上，學生大膽發言，配合默契，達到了積極的教學效果。

第三篇：一元二次方程應用2010

1、（2009煙臺市）某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉”政策的實施，商場決定采取適當的降價措施.調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．

（1）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請寫出y與x之間的函數表達式；（不要求寫自變量的取值范圍）

（2）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？

2、(2009武漢)某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？

3、某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.⑴利用函數表達式描述橙子的總產量與增種橙子樹的棵數之間的關系.（2）增種多少棵橙子,可以使橙子的總產量達到60400個?

4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品．據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產品的銷售情況，請售答以下問題：

（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；

（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x函數關系式（不必寫出x的取值范圍）；（3）商店想在月銷售成本不超過1000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？

5、某化工材料經銷公司購進了一種化工原料共7000千克，購進價格為每千克30元．物價部門規定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元．市場調查發現：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克．在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元（天數不足一天時，按整天計算）．設銷售單價為x元，日均獲利為y元．求y關于x的二次函數關系式，并注明x的取值范圍；

6、（2009年貴州省黔東南州）凱里市某大型酒店有包房100間，在每天晚餐營業時間，每間包房收包房費100元時，包房便可全部租出；若每間包房收費提高20元，則減少10間包房租出，若每間包房收費再提高20元，則再減少10間包房租出，以每次提高20元的這種方法變化下去。

（1）設每間包房收費提高x（元），則每間包房的收入為y1（元），但會減少y2

間包房租出，請分別寫出y1、y2與x之間的函數關系式。

（2）為了投資少而利潤大，每間包房提高x（元）后，設酒店老板每天晚餐包房總收入為y（元），請寫出y與x之間的函數關系式。

7、（2009年甘肅慶陽）（8分）某企業2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機的不利影響，仍實現盈利2160萬元．從2006年到2008年，如果該企業每年盈利的年增長率相同，求：（1）該企業2007年盈利多少萬元？

（2）若該企業盈利的年增長率繼續保持不變，預計2009年盈利多少萬元？

8、(2009年湖州)隨著人民生活水平的不斷提高，我市家庭轎車的擁有量逐年增加.據統計，某小區2006年底擁有家庭轎車64輛，2008年底家庭轎車的擁有量達到100輛.（1）若該小區2006年底到2009年底家庭轎車擁有量的年平均增長率都相同，求該小區到2009年底家庭轎車將達到多少輛？

（2）為了緩解停車矛盾，該小區決定投資15萬元再建造若干個停車位.據測算，建造費用分別為室內車位5000元/個，露天車位1000元/個，考慮到實際因素，計劃露天車位的數量不少于室內車位的2倍，但不超過室內車位的2.5倍，求該小區最多可建兩種車位各多少個？試寫出所有可能的方案.9.建造一個面積是140平方米的倉庫，要求其一邊靠墻，墻長16米，在與墻平行的一邊開一道２米寬的門?，F人32米長的材料來建倉庫，求這個倉庫的長是多少米？

10、如圖在△ABC中，∠B是直角，AB=6厘米，BC=12厘米。點P從A點開始，沿AB方向以每秒1厘米的速度移動，同時點Q從點B開始，沿BC方向以每秒厘米移動。問幾秒時△PBQ的面積等于8平方厘米？

11．（2009年甘肅慶陽）若關于x的方程x2

?2x?k?1?0的一個根是0，則k?．

12.、（2009威海）若關于x的一元二次方程x2

?(k?3)x?k?0的一個根是?2，則另一個根是______．、（2009山西省太原市）某種品牌的手機經過四、五月份連續兩次降價，每部售價P 13由3200元降到了2500元．設平均每月降價的百分率為x，根據題意列出的方程是．

第四篇：一元二次方程的應用(教學設計)

3.5 一元二次方程的應用（1）

學習目標：1.能根據題意找出正確的等量關系.2.能正確的列出一元二次方程解決實際問題.學習過程：

前面我們學習過了一元一次方程、分式方程，并能用它們來解決現實生活與生產中的許多問題，同樣，我們也可以用一元二次方程來解決一些問題。

想一想，列方程解應用題的關鍵是什么？ 一.自主學習

例1.如圖，有一塊長40cm、寬30cm的矩形鐵片，在它的四角各截去一個全等的小正方形，然后拼成一個無蓋的長方體盒子.如果這個盒子的底面積等于原來矩形鐵片面積的一半，那么盒子的高是多少？ 分析：這個問題中的等量關系是： 解：

例2.如圖，MN是一面長10m的墻，要用長24m的籬笆，圍成一個一面是墻、中間隔著一道籬笆的矩形花圃ABCD.已知花圃的設計面積為45平方米，花圃的寬度應當是多少？ 解：設矩形花圃ABCD的寬為x（m），那么長____m.根據問題中給出的等量關系，得到方程_________________________________.解這個方程，得x1＝，x2＝ 根據題意，舍去_________________.所以，花圃的寬是________m.二.對應練習

10mMADNB2C1.從一塊正方形木板上鋸掉2cm寬的矩形木條，剩余矩形木板的面積是48cm.求原正方形木板的面積.2.有一塊矩形的草坪，長比寬多4m.草坪四周有一條寬2m的小路環繞，已知小路的面積與草坪的面積相等地，求草坪的長和寬.三.當堂檢測

1.兩個數的和是20，積是51，求這兩個數.2.如圖，道路AB與BC分別是東西方向和南北方向，AB＝1000m.某日晨練，小瑩從點A出發，以每分鐘150m的速度向東跑；同時小亮從點B出發，北C以每分鐘200m的速度向北跑，二人出發后經過幾分鐘，他們之間的直線距離仍然是1000m？

2東小亮B小瑩A

第1頁

3.5一元二次方程的應用（2）

學習目標1.會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間關系的應用題．

2.通過列方程解應用問題，進一步提高分析問題、解決問題的能力．

學習過程 一.自主學習

例1.某工廠2002年的年產值為500萬元，2004年的產值為605萬元，求2002－2004年該 廠年產值的增長率.提示：如果設該廠2002－2004年產值的平均增長率為x，那么2003年的年產值為_____________________________，2004年的年產值為______________________________.例2.某種藥品原售價為每盒4元，兩次降價后，每盒售價為2.56元，求該藥品平均每次的降價率.提示：如果設該藥品平均每次的降價率為x，那么第一次降價后該藥品每盒的售價為______________，第二次降價后該藥品每盒的售價為_________________.二.自我練習

1.兩個連續奇數的積是323，求這兩個數.2.將進貨單價為40元的商品按50元售出時，能賣500個，已知該商品每漲價1元時，其銷售量就減少10個，為了賺8000元利潤，售價應定為多少，這時應進貨為多少個？

三.當堂小結

四.當堂檢測

1.某農場的糧食產量在兩年內從600噸增加到726噸，該農場平均每年的增長率是多少？

第2頁

2.某農機廠一月份生產聯合收割機300臺，為了滿足夏收季節市場對聯合收割機的需求，三月份比一月份多生產132臺，求二、三兩個月平均每月的增長率.3.已知兩個數的和是12，積為23，求這兩個數.4.（山西）“五一”黃金周期間，某高校幾名學生準備外出旅游，有兩項支出需提前預算：

（1）備用食品費，購買備用食品共花費300元，在出發時，又有兩名同學要加入（不再增加備用食品費），因此，先參加的同學平均每人比原來少分攤5元，現在每人需分攤多少元食品費？（2）租車費：現有兩種車型可供租用，座數和租車費如下表所示：

車型 座數 租車費（元/輛）A 7 500 B 5 400 請選擇最合算的租車方案，（僅從租車費角度考慮）并說明理由。

第3頁

第五篇：《一元二次方程的應用》教學設計

《一元二次方程的應用》教學設計

金水初中

朱健樂

一、教學目標：

a、知識與技能目標

（1）以一元二次方程解決的實際問題為載體，使學生初步掌握數學建模的基本方法。（2）通過對一元二次方程應用問題的學習和研究，讓學生體驗數學建模的過程，從而學會利用一元二次方程來解決有關利潤問題，并正確地用語言表述問題及其解決過程。

b、過程與方法目標

通過自主探索、合作交流等活動，發展學生數學思維，培養學生合作學習意識，激發學生學習熱情。c、情感態度與價值觀目標

使學生認識到數學與生活緊密相連，數學活動充滿著探索與創造，讓他們在學習活動中培養合作協助精神,增強國情教育，從而使學生獲得成功的體驗，建立自信心，更加熱愛數學、熱愛生活。

二、教學重點：

培養學生運用一元二次方程分析和解決實際問題的能力，學習數學建模思想。

三、教學難點：

將同類題對比探究，培養學生分析、鑒別的能力。

四、教學內容：

問題1：如果每束玫瑰盈利10元，平均每天可售出40束.為擴大銷售，經調查發現，若每束降價1元，則平均每天可多售出8束.如果小新家每天要盈利432元，那么每束玫瑰應降價多少元？

分析：本題是商品利潤問題。解決這類問題必須明確幾個關系：利潤＝（售價－進價）×銷售數量；

這是一個常規性的問題，只要結合生活常識稍加引導，學生不難找出等量關系，然后列方程解答。但是類似問題中，有時我們要對某些關鍵語句加以斟酌，或者討論，才能得出結論。如： 問題2：

情急之下，小新家準備零售這批玫瑰.如果每束玫瑰盈利10元，平均每天可售出40束.為擴大銷售，經調查發現，若每束降價1元，則平均每天可多售出8束.如果小新家每天要盈利432元，同時也讓顧客獲得最大的實惠.那么每束玫瑰應降價多少元？ 問題3：

小新家的花圃用花盆培育玫瑰花苗.經過試驗發現，每盆植入3株時，平均每株盈利3元；以同樣的栽培條件，每盆每增加1株，平均每株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達到10元，并盡量降低成本，則每盆應該植多少株？ 問題4：

某種服裝,平均每天可銷售20件,每件盈利44元.若每件降價1元,則每天可多售5件.如果每天盈利1600元,每應降價多少元?

問題5：

某商場銷售一批名牌襯衫,現在平均每天能售出20件,每件盈利40元.為了盡快減少庫存,商場決定采取降價措施.經調查發現:如果這種襯衫的售價每降低1元時,平均每天能多售出2件.商場要想平均每天盈利1200元,每件襯衫應降價多少元?

引導學生積極參與探究、分析對比得出：問題1、3、4兩題的兩個答案都滿足題意。問題2、5兩題為盡快減少庫存，只選取降價多的那個答案。學生進一步總結、歸納得出：若題中強調盡量減少庫存或盡快減少庫存，應只選取降價多的那個答案。若題中沒有特殊要求，那么兩個答案可能都滿足題意（當然實際問題中不能取負）。

五、分層作業

1.必做題：作業本（復習題）

2.選做題：(學有余力的同學不妨探討一下)一個容器裝滿40升純酒精倒出一部分后用水注滿，在倒出與第一次同量的混合液后用水加滿，此時溶液內含純酒精10升，求每次倒出的升數.