第一篇：例析直線與圓錐曲線的綜合應用

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例析直線與圓錐曲線的綜合應用

作者：管永建

來源：《高考進行時·高三數學》2013年第02期

直線與圓錐曲線的知識在直線與圓關系的基礎上展開，是高考中的重點，也是學習中的難點。這部分內容既有幾何關系的表述，又有代數關系的轉化，推理運算的要求較高，需從解析幾何基本思想的高度去透徹理解概念以靈活運用其中蘊藏的各類知識，提高綜合解決問題的能力。

例題 在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心是坐標原點O，以直線l：x=-4為準線，離心率為22.（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若M是直線l上任意一點，以OM為直徑的圓D與圓O：x2+y2=8相交于A、B兩點，求證：直線AB必過定點E，并求出點E的坐標；

（3）若點M的縱坐標大于0，直線AB與橢圓C交于P、Q兩點，點P在x軸上方，且EP=3QE，求此時弦AB的長.分析 直線和曲線相交將幾何關系轉化為二次方程來討論，這是解析幾何的基本思想。由于定點是橢圓的焦點，故可聯系橢圓的定義及三角形相似等知識，數形結合是靈活解決問題的關鍵。

第二篇：直線與圓錐曲線練習2

直線與圓錐曲線練習

一、選擇題

1．過點P(0,2)與拋物線y2＝2x只有一個公共點的直線有()．

A．0條B．1條C．2條D．3條

xy2．已知點F1，F2－1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的ab直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2為正三角形，則該雙曲線的離心率是()．

A．2B.C．3D.3

3．(2010·遼寧)設拋物線y＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝()．

A．4 B．8C．8 D．16

14．已知拋物線C的方程為x2，過點A(0，－1)和點B(t,3)的直線與拋物線C沒有公共點，2

則實數t的取值范圍是()．

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.－∞，－?222?2??? ∪，＋∞?2??2C．(－∞，－2∪(2，＋∞)D．(2)∪(，＋∞)

5．(2011·杭州模擬)過點M(－2,0)的直線l與橢圓x＋2y＝2交于P1，P2，線段P1P2的中點為P.設直線l的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2等于()．

11A．－ B．－2C.D．2 22

二、填空題

6．已知以原點為頂點的拋物線C，焦點在x軸上，直線x－y＝0與拋物線C交于A，B的兩點．若P(2,2)為AB 中點，則拋物線C的方程為________．

x227．(2011·中山模擬)設F1，F2為橢圓y＝1的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓4

→→

交于P，Q兩點，當四邊形PF1QF2面積最大時，PF1·PF2的值等于________．

8．(2011·浙江金華十校模擬)斜率為的直線l過拋物線y2＝4x的焦點且與該拋物線交于A，B的兩點，則|AB|＝________.三、解答題

9．在直角坐標系xOy上取兩個定點A1(－2,0)，A2(2,0)，再取兩個動點N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝3.求直線A1N1與A2N2交點的軌跡M的方程；

第三篇：數學直線與圓錐曲線教學反思

數學直線與圓錐曲線教學反思

本節課是平面解析幾何的核心內容之一。在此之前，學生已學習了直線的基本知識，圓錐曲線的定義、標準方程和簡單的幾何性質，這為本節復習課起著鋪墊作用。本節內容是《直線與圓錐曲線的位置關系》復習的第一節課，著重是教會學生如何判斷直線與圓錐曲線的位置關系，體會運用方程思想、數形結合、分類討論、類比歸納等數學思想方法，優化學生的解題思維，提高學生解題能力。這為后面解決直線與圓錐曲線的綜合問題打下良好的基礎。這節復習課還是培養學生數學能力的良好題材，所以說是解析幾何的核心內容之一。

數學思想方法分析：作為一名數學老師，不僅要傳授給學生數學知識，更重要的是傳授給學生數學思想、數學意識。因此本節課在教學中力圖讓學生動手操作，自主探究、發現共性、類比歸納、總結解題規律。

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知心理特征，制定如下教學目標：

1、知識目標：鞏固直線與圓錐曲線的基本知識和性質；掌握直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法，并會求參數的值或范圍。

2、能力目標：樹立通過坐標法用方程思想解決問題的觀念，培養學生直觀、嚴謹的思維品質；靈活運用數形結合、分類討論、類比歸納等各種數學思想方法，優化解題思維，提高解題能力。

3、情感目標：讓學生感悟數學的統一美、和諧美，端正學生的科學態度，進一步激發學生自主探究的精神。

本著課程標準，在吃透教材基礎上，我覺得這節課是解決直線與圓錐曲線綜合問題的基礎。對解決綜合問題，我覺得只有先定性分析畫出圖形并觀察圖形，以形助數，才能定量分析解決綜合問題。如：解決圓錐曲線中常見的弦長問題、中點問題、對稱問題等。

我設計了：（1）提出問題——引入課題（2）例題精析——感悟解題規律（3）課堂練習——鞏固方法（4）小結歸納——提高認識，四個層次的學法，它們環環相扣，層層深入，從而順利完成教學目標。

接下來，我再具體談談這堂課的教學過程：

（一）提出問題

課前我預先讓學生先動手解決兩個學生熟知的問題：直線與圓、直線與橢圓有兩個公共點的問題。讓學生自己歸納解決的方法。對直線與圓既可以用幾何法也可以用代數法，而直線與橢圓只能用代數法。通過問題的設置一方面鞏固舊知，又總結歸納新知：直線與圓與橢圓公共點的個數等于方程組的解的個數。

(二)例題精析

接著引導學生自然過渡到直線與拋物線、直線與雙曲線的位置關系的判斷。對于例1，師生共同完成，特別關注兩次分類討論，一次設直線方程時對斜率存在與否進行討論，另一次消去一個變量y后得到一個方程，是否為二次方程進行再次分類討論，求出三條直線方程后，引導學生在圖形中畫出。引導學生從數和形兩方面加以類比分析。再對題目進行變式，使學生感悟直線與拋物線的公共點個數問題?？赏ㄟ^圖形進行定性分析，但易出錯，可通過定量分析進行論證。對于例2，由學生板演，學生自主探究，師生共同歸納。

（三）課堂練習——鞏固方法

（四）類比歸納——提高認識

由學生總結本節課所學習的主要內容，以及收獲，通過數學思想方法的小結，使學生更深刻地了解數學思想方法在解題中的地位和作用，并且逐漸培養學生的良好個性品質。

第四篇：圓錐曲線與直線相切的條件教案

圓錐曲線與直線相切的條件教案

教學目的(1)掌握圓錐曲線與直線相切的條件及圓錐曲線切線的定義；

(2)使學生會用初等數學方法求圓錐曲線的切線；

(3)應用相切的公式解題，從而培養學生綜合應用能力．

教學過程

一、問題提出

1．有心的二次曲線包括哪些？無心的二次曲線包括哪些？

(答：有心的二次曲線是圓、橢圓及雙曲線；無心的二次曲線是拋物線．)

(由教師啟發下，讓學生共同討論．)

(1)當α＞0，β＞0且α＝β時，方程表示為圓；

(2)當α＞0，β＞0且α≠β時，方程表示為橢圓；

(3)當α、β為異號時，方程表示為雙曲線．

因此，這個方程可以統一表示有心的二次曲線．

3．圓錐曲線與直線的相切的條件是什么？

設直線l′與圓錐曲線相交于P、Q兩點(圖1)，將直線l′繞點P旋轉，使點Q逐漸靠近點P，當l′轉到直線l的位置時，點Q與點P重合，這時，直線l叫做圓錐曲線在點P的切線．也就是圓錐曲線與直線l相切．根據這個定義，于是圓錐曲線方程

f(x，y)＝0

與直線方程

y＝kx＋m

組成的方程組應有兩個相同的實數解．實系數一元二次方程有兩個相同的實數解的充要條件是判別式Δ＝0，根據條件轉化為求Δ＝0．

(啟發學生回答，由教師歸納，然后板書課題．)

今天我們要研究“圓錐曲線與直線相切的條件”．

二、講述新課

根據上面分析，得

由②代入①，化簡、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③

當αk＋β≠0時(二次項系數)，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)

＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2

＝4αβ(αk2＋β－m2)．

(啟發學生討論．)

由于α、β均不為零，因此當Δ＝0時可知有心二次曲線與直線y＝kx＋m相切的充要條件為

m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④

這里αk2＋β恰是方程③的二次項系數．

(引導學生對結論④，在圓、橢圓、雙曲線各種情況下變化規律進行討論，教師邊歸納，邊板書．)

(1)對于圓x2＋y2＝γ2，可寫成

222

222

即有α＝β＝γ2，于是相切條件為m2＝γ2(k2＋1)．

(2)對于橢圓(焦點在x軸上)

即有α＝a，β＝b，于是相切條件為m＝ak＋b．

(3)對于橢圓(焦點在y軸上)

即有α＝b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝b2k2＋a2．

(4)對于雙曲線(焦點在x軸上)

即有α＝a2，β＝－b2，于是相切條件為m2＝a2k2－b2．

(5)對于雙曲線(焦點在y軸上)

即有α＝－b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝a2－b2k2．

[應用有心曲線統一公式，這樣就不必從圓、橢圓、雙曲線一個一個地去求，可避免一個一個冗長復雜的計算，使問題的解決變得簡捷．]

2．無心的二次曲線y2＝2px與直線y＝kx＋m相切的條件

根據上面的分析，得

由②代入①，化簡整理，得

(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．

當二次項系數k2≠0時，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp

＝4p(p－2mk)＝0．

無心的二次曲線x2＝2py與直線y＝kx＋m相切的條件，應為

(讓學生獨立完成．)

三、鞏固新課

(讓學生直接對照上述結論，設所求公切線的斜率為k，截距為m，再根據橢

解 設所求的公切線斜率為k，截距為m，根據相切條件有

由②代入①，化簡整理，得

81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．

因此，所求的公切線方程為

即

x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．

求雙曲線的兩條互相垂直的切線交點的軌跡方程．

(幫助學生分析解題的幾個要點，然后由學生上黑板解，教師巡視指點．)

y=kx＋m，則由相切條件，可知m2=a2k2－b2．

(2)設兩切線交點為P(x0，y0)，則切線方程為

y－y0=k(x－x0)，即

y=kx＋(y0－kx0)．

(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直線，就有

m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．

整理得

(4)k1k2=－1，用韋達定理從方程①求得k1k2，即

因此，點P的軌跡方程為

x＋y=a－b．

這里a＞b，點P的軌跡是一個實圓；

a=b，點P的軌跡是一個點圓；

a＜b，點P無軌跡(虛圓)．

解略．

法，不難得出軌跡方程為圓方程

x＋y=a＋b；

這題若改為求拋物線y=2px的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡方程，方法也類似，不難得出軌跡方程為

即點P一定在準線上．

[這樣改變一下題目，可讓學生開拓思路，舉一反三．]

四、練習

1．已知l為橢圓x＋4y=4的切線并與坐標軸交于A、B兩點，求|AB|的最小值及取得最小值時切線l的方程．

2解 如圖2，設切線方程為

y=kx＋m，根據相切條件有m2=4k2＋1，即①

|OA|2=4k2＋1．

在y=kx＋m中，令y=0，得

即

于是得

代入m=4k＋1，求得 2

因此，所求的切線共有四條(圖3)，它們的方程為

求四邊形ABCD的最大面積．

則由相切條件，知

m2=a2k2＋b2，故兩切線方程為

即

兩切線間的距離

∴四邊形ABCD的最大面積為

五、補充作業

軌跡方程．

2．求出斜率為k的圓錐曲線的切線方程．

教案說明

這一節課的指導思想是：根據現代教育理論，強調在教學的過程中培養能力，特別是思維能力．數學思維結構與科學結構十分相似，學習數學的過程，就是從一種思維結構過渡到另一種思維結構的過程，數學知識只是進行思維結構訓練的材料．二次曲線與直線相切的條件若從上述結構進行訓練，就是使學生形成完整的思維結構，使對數學的認識有新的突破．這一點已成為我在課堂教學中進行探索和研討的課題．

這節課的整個教學過程中，著重于講解——啟導——探究，培養學生的分析能力．講解時，突出重點：“相切條件”，并以此為中心，達到舉一反

三、觸類旁通．其中也穿插了自學討論，而不是教師滿堂灌．

在練習中，注意到了再現性練習、鞏固性練習，同時也留有發現性練習，使學生以新帶舊，鞏固新知，發展智力，反過來從思維結構上形成完整體系，以認識數學本身．

第五篇：直線與圓的方程的綜合應用教案參考

直線與圓的方程的應用

一、教學目標

1、知識與技能

（1）理解直線與圓的位置關系的幾何性質；（2）利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；（3）會用“數形結合”的數學思想解決問題．

2、過程與方法

用坐標法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；

第二步：通過代數運算，解決代數問題； 第三步：將代數運算結果“翻譯”成幾何結論．

3、情態與價值觀

讓學生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應用，培養學生分析問題與解決問題的能力．

二、教學重點、難點：

重點與難點：直線與圓的方程的應用．

三、教學過程

例

4、圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度（精確到0.01）

思考:(用坐標法)

1.圓心和半徑能直接求出嗎？ 2.怎樣求出圓的方程？ 3.怎樣求出支柱A2P2的長度？

解：建立如圖所示的坐標系，設圓心坐標是（0，b）, 圓的半徑是r ,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2.把P（0，4）B（10，0）代入圓的方程得方程組： 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2

解得，b=-10.5

r2=14.52 所以圓的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52

把點P2的橫坐標x=-2 代入圓的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52

22因為y>0,所以y=14.5-(-2)-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長度約為3.86m.例

5、已知內接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.解：以四邊形ABCD互相垂直的對角線作為x軸y軸，建立直角坐標系，設A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)過四邊形的外接圓圓心O’作AC、BD、AD邊的垂線，垂足為M、N、E，則M、N、E分別為AC、BD、AD邊的中點。由線段的中點坐標公式有：

x?x?a?c,y?y?b?d,x?a,y?dOMONEE 2222aca2bdd2122所以，|O'E|?(??)?(??)?b?c 2222222 又|BC|?b2?c2

所以：|O'E|?1|BC|22

用坐標法解決平面幾何問題的步驟：

第一步：建立適當的坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；

第二步：通過代數運算，解決代數問題； 第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論.練習：求直線l: 2x-y-2=0被圓C:(x-3)+y=9所截得的弦長.22解：聯立兩個方程得x1?2x?y?2?0(x?3)2?y2?9

四、課堂小結

? ? ? ? 7?297?29x2?55解得：,4?2294?229y1?y2?55229d?(x1?x2)2?(y1?y2)2?5理解直線與圓的位置關系的幾何性質； 利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系； 熟悉直線與方程的關系，并應用其解決相關問題 會用“數形結合”的數學思想解決問題．