第一篇：高三數學教案：圓錐曲線的綜合問題（最終版）

第八節

圓錐曲線的綜合應用

一、基本知識概要：

1知識精講：

圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應用，數形結合的思想，與圓錐曲線有關的定值、最值等問題，主要沿著兩條主線，即圓錐曲線科內綜合與代數間的科間綜合，靈活運用解析幾何的常用方法，解決圓錐曲線的綜合問題；通過問題的解決，進一步掌握函數與方程、等價轉化、分類討論等數學思想.2重點難點：正確熟練地運用解析幾何的方法解決圓錐曲線的綜合問題，從中進一步體會分類討論、等價轉化等數學思想的運用.3思維方式：數形結合的思想，等價轉化，分類討論，函數與方程思想等.4特別注意：要能準確地進行數與形的語言轉換和運算、推理轉換，并在運算過程中注意思維的嚴密性，以保證結果的完整。

二、例題：

例1.A，B是拋物線y2?2px(p?0)上的兩點，且OA?OB（O為坐標原點）求證：

（1）A，B兩點的橫坐標之積，縱坐標之積分別是定植；（2）直線AB經過一個定點

證明：（1）設?OA?OB,?x1x2?y1y2?0A(x1,y1),B(x2,y2),則y1?2px1,y2?2px2,22

兩式相乘得y1y2??4p2,x1x2?4p2

(2)y1?y222?2p(x1?x2),當x1?x2,kAB?2py1?y22py1?y2,2py1?y2(x?2p),所以直線AB的方程y?y1?(x?x1).化簡得y?2p,0)

過定點（2p,0),當x1?x2時，顯然也過點（所以直線AB過定點(2p,0)例

2、（2005年春季北京，18）如圖，O為坐標原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a?0,b?0)，且交拋物線y?2px(p?0)于M（x1,y1），N（x2,y2）兩點。

（1）寫出直線l的截距式方程（2）證明：1y1?1y2?1b2

（3）當a?2p時，求?MON的大小。（圖見教材P135頁例1）解：（1）直線l的截距式方程為

xa?yb?1。

（1）

（2）、由（1）及y2?2px消去x可得by2?2pay?2pab?0

（2）

點M，N的坐標y1,y2為（2）的兩個根。故y1?y2??2pa?2pab,y1?y2??2pa.所以1y1?1y2?y1?y2y1y2?1b?.?2pab（3）、設直線OM、ON的斜率分別為k1,k2,則k1?y1x1,k2?y2x2.當a?2p時，由（2）知，y1y2??2pa??4p2，由y21?2px1,y22?2px2,相乘得(y1y2)?4px1x2,x1x2?22(y1y2)4p22?(4p)4p222?4p,2因此k1k2?y1y2x1x2??4p4p22??1.所以OM?ON，即?MON＝90。

?說明：本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力。

例

3、（2005年黃岡高三調研考題）已知橢圓C的方程為

xa22?yb22?1(a?b?0)，雙曲線xa22?yb22?1的兩條漸近線為l1,l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l?l1，又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上而下依次為A、B。（圖見教材P135頁例2）

（1）當l1與l2夾角為60，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程 ??（2）當FA??AP時，求?的最大值。

?解：（1）?雙曲線的漸近線為y???bax，兩漸近線的夾角為60，又

?ba?1，??POx?30,即ba?tan30??33?a?x23b.又a?b222?4,?a2

?y?1.2?3,b2?1.故橢圓C的方程為3（3）由已知l:y?ab(x?c),與y?bax解得P（ac,ab）, c ??由FA??AP得A(c???a2c??,abc)，將A點坐標代入橢圓方程得

1??41??(c??a)??a2222222222222?(1??)ac,?(e??)???e(1??)

???e?e2??2??(2?e)??3?3?22.22?? e?22?e??2－1。42??的最大值為說明：本題考查了橢圓、雙曲線的基礎知識，及向量、定比分點公式、重要不等式的應用。解決本題的難點是通過恒等變形，利用重要不等式解決問題的思想。本題是培養學生分析問題和解決問題能力的一道好題。例

4、A，F分別是橢圓

(y?1)162?(x?1)122?1的一個上頂點與上焦點，位于x軸的正半軸上的動點T（t,0）與F的連線交射線OA于Q，求：

（1）點A，F的坐標及直線TQ的方程;（2）三角形OTQ的面積S與t的函數關系式及該函數的最小值（3）寫出該函數的單調遞增區間,并證明.解:(1)由題意得A(1,3),F(1,1)直線TQ得方程為x+(t-1)y-t=0(2)射線OA的方程y=3x(x?0),代入TQ的方程，得xQ?由xQ?0,得t??12(?2)t3t12?23,則yQ?3?4(?)?t4443t3t?2

3t3t?29,?S(t)?2312yQOT?394?3t4322(3t?2)(當t?43時取等號）13,?t?,?S(t)?

2所以S(t)的最小值為?4(3)S(t)在?,???3

???上是增函數 ?224??(t2?t1)?(t1?)(t2?)??41339??設?t1?t2,那么S(t1)?S(t2)????

2232(t1?)(t2?)33?t2?.t1?43,?(t1?23)?23,t2?23?23,?,?S(t2)?S(t1)

所以該函數在?4?3,?????上是增函數?

三、課堂小結：

1、解決圓錐曲線的綜合問題應根據曲線的幾何特征，熟練運用圓錐曲線的知識將曲線的幾何特征轉化為數量關系，再結合代數等知識來解。

2、對于求曲線方程中參數范圍問題，應根據題設條件及曲線的幾何性質構造參數滿足的不等式，通過解不等式求得參數的范圍；或建立關于參數的目標函數，轉化為函數的值域來解 四.作業: 教材P136闖關訓練。

第二篇：高二數學教案：圓錐曲線方程：02

橢圓及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程．(二)能力訓練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．

二、教材分析

1．重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導．

(解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關鍵步驟加以補充說明．)3．疑點：橢圓的定義中常數加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)

三、活動設計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．

四、教學過程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？ 對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎上去探求新知識．

提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形．

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內到一定點的距離為常數的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數的點的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛星運行軌道”等??

在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：

平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距． 學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數、教師在演示中要從兩個方面加以強調：

(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內”．

(2)這里的常數有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數大于|F1F2|”．

(二)橢圓標準方程的推導 1．標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合；(3)代數方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當的．

以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數方程

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節課還要

(a＞b＞0)．

關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．

(三)例題與練習

例題

平面內兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

由學生口答，答案為D．(四)小結

1．定義：橢圓是平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作業

1．如圖2-17，在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標準方程．

3．求適合下列條件的橢圓的標準方程：

是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．

六、板書設計

第三篇：圓錐曲線教案 對稱問題教案

圓錐曲線教案 對稱問題教案

教學目標

1．引導學生探索并掌握解決中心對稱及軸對稱問題的解析方法． 2．通過對稱問題的研究求解，進一步理解數形結合的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力．

3．通過對稱問題的探討，使學生會進一步運用運動變化的觀點，用轉化的思想來處理問題．

教學重點與難點

兩曲線關于定點和定直線的對稱知識方法是重點．把數學問題轉化為對稱問題，即用對稱觀點解決實際問題是難點．

教學過程

師：前面學過了幾種常見的曲線方程，并討論了曲線的性質．今天這節課繼續討論有關對稱的問題．大家想一想：點P(x，y)、P′(x′，y′)關于點Q(x0，y0)對稱，那么它們的坐標應滿足什么條件？

師：P(x，y)，P′(x′，y′)關于原點對稱，那么它們的坐標滿足什么條件？ 生：P和P′的中點是原點．即x=-x′且y=-y′． 師：若P和P′關于x軸對稱，它們的坐標又怎樣呢？ 生：x=x′且y=-y′．

師：若P和P′關于y軸對稱，它們的坐標有什么關系？ 生：y=y′且x=-x′．

師：若P和P′關于直線y=x對稱，它們的坐標又會怎樣？ 生：y=x′且x=y′．

生：它們關于直線y=x對稱．

師：若P與P′關于直線Ax+By+C=0對稱，它們在位置上有什么特征？ 生：P和P′必須在直線Ax+By+C=0的兩側． 師：還有補充嗎？

生：PP′的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直．

師：P與P′在直線Ax+By+C=0的兩側且與直線垂直就能對稱了嗎？ 生：還需要保證P和P′到直線Ax+By+C=0的距離相等． 師：P與P′到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？

生：就是P與P′的中點落在直線Ax+By+C=0上，換句話說P與P′的中點坐標滿足直線方程Ax+By+C=0．

師：下面誰來總結一下，兩點P(x，y)、P′(x′，y′)關于直線Ax+By+C=0對稱應滿足的條件？

生：應滿足兩個條件． 生：方程組中含有x′，y′，也可認為這是一個含x′，y′的二元一次方程組．換句話說，給定一個點P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點關于直線Ax+By+C=0的對稱點P′(x′，y′)的坐標．

師：今后有很多有關對稱問題都可以用此方法處理，很有代表性．但也還有其他方法，大家一起看下面的例題．

例1 已知直線l1和l關于直線2x-2y+1=0對稱(如圖2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．

2(選題目的：熟悉對稱直線方程)師：哪位同學有思路請談談．

生：先求出已知兩直線的交點，設l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點斜式求得l2的方程．

(讓這位同學在黑板上把解題的過程寫出來，大家訂正．)

由點斜式，l2的方程為4x-6y+3=0． 師：還有別的解法嗎？

生：在直線l1上任取一點，求出這點關于2x-2y+1=0對稱的點，然后再利用交點，兩點式可求出l的直線方程。(讓這位學生在黑板上把解題過程寫出來，如有錯誤，大家訂正．)解 由方程組：

師：還有別的解法嗎？

生：在l2上任取一點P(x，y)，則P點關于2x-2y+1=0對稱的點P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程組，解出x′，y′，代入l1問題就解決了．

師：請你到黑板上把解題過程寫出來． 解 設P(x，y)為l上的任意一點，2則P點關于直線2x-2y+1=0對稱，點P′(x′，y′)在l1上(如圖2-75)，

又因為P′(x′，y′)在直線l：3x-2y+1=0上，1所以3·x′-2y′+1=0．

即l2的方程為：4x-6y+3=0．

師：很好，大家剛才的幾種解法是求對稱直線方程的常規方法．那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關于一條直線對稱的曲線方程呢？

引申：已知：曲線C：y=x2，求它關于直線x-y-2=0對稱的曲線方程．(選題目的：進一步熟悉對稱曲線方程的一般方法．)師：例1中的幾種解法還都適用嗎？ 生：

(讓學生把他的解法寫出來．)解 設P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點，它關于直線x-y-2=0對稱的點為P′(x1，y1)，因此，連結P0(x0，y0)和P′(x1，y1)兩點的直線方程為y-y0=-(x-x0)．

師：還有不同的方法嗎？

生：用兩點關于直線對稱的方法也能解決． 師：把你的解法寫在黑板上．

生：解：設M(x，y)為所求的曲線上任一點，M0(x0，y0)是M關于直線x-y-2=0對稱的點，所以M0定在曲線C：y=x2上．

代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 師：大家再看一個例子．

點出發射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點到切點所經過的路程．(如圖2-77)

師：解這題的關鍵是什么？ 生：關鍵是找到x軸的交點． 師：有辦法找到交點嗎？ 生：沒人回答．

師：交點不好找，那么我們先假設M就是交點，利用交點M對解決這個問題有什么幫助嗎？

生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點，這樣入射角就等于反射角，從而能推出∠AMO=∠DMx．

師：我們要求|AM|+|MD|能解決嗎？

生：可以先找A關于x軸的對稱點A′(0，-2)，由對稱的特征知：|AM|=|A′M|，這樣把求|AM|+|MD|就可以轉化為|A′M|+|MD|即|A′D|．

師：|A′D|怎么求呢？

生：|A′D|實際上是過A′點到圓切線的長，要求切線長，只需先連結半徑CD，再連結A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如圖2-77)(讓這位學生把解答寫在黑板上．)解 已知點A關于x軸的對稱點為A′(0，-2)，所求的路程即為

師：巧用對稱性，化簡了計算，很好．哪位同學能把這個題適當改一下，變成另一個題目．

生：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點，在x軸上，求一點P，使得|AP|+|PD|為最短．

師：誰能解答這個問題？

生：先過A(0，2)關于x軸的對稱點A′(0，-2)，連結A′D與x軸相交于點P，P為所求(如圖2-78)．

師：你能保證|AP|+|PD|最短嗎？

生：因為A，A′關于x軸對稱，所以|AP|=|A′P|，這時|AP|+|PD|=|A′D|為線段，當P點在x軸其他位置上時，如在P′處，那么，連結AP′、A′P′和P′D．這時|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形兩邊之和大于 生：先作A點關于x軸的對稱點A′(0，-2)，連結A′和圓心C，A′C交x軸于M點，交圓于P點，這時|AM|+|MP|最小(如圖2-79)．

師：你怎樣想到先找A點關于x軸的對稱點A′的呢？

生：由前題的結論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|A′M|+|MP|最小．

師：很好，大家一起動筆算一算(同時讓這位學生上前面書寫)． 生：解A點關于x軸的對稱點為A′(0，-2)，連A′C交x軸于M，交圓C于P點，因為A′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|=

師：我們一起看下面的問題．

例3 若拋物線y=a·x2-1上總存在關于直線x+y=0對稱的兩點，求a的范圍．

師：這題的思路是什么？

生：如圖2-80，設A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關于直線x=-

師：很好，誰還有不同的解法嗎？

生：曲線y=ax2-1關于直線x+y=0對稱曲線方程為：-x=ay2-1，解方

師：今天我們討論了有關點，直線，曲線關于定點，定直線，對稱的問題．解決這些問題的關鍵所在就是牢固掌握靈活運用兩點關于定直線對稱的思想方法，結合圖象利用數形結合思想解決問題．

作業：

1．一個以原點為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-4y=0關于直線l對稱，求直線l的方程．

(2x-y+5=0)2．ABCD是平行四邊形，已知點A(-1，3)和C(-3，2)，點D在直線x-3y-1=0上移動，則點B的軌跡方程是

______．

(x-3y+20=0)

3．若光線從點A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點B(3，9)，則此光線所經過的路程的長是______．

(12)4．已知曲線C：y=-x2+x+2關于點(a，2a)對稱的曲線是C′，若C與C′有兩個不同的公共點，求a的取值范圍．(-2＜a＜1)

設計說明

1．這節課是一節專題習題課，也可以認為是復習題，通過討論對稱問題把有關的知識進行復習，最重要的是充分突出以學生為主體．讓學生討論和發言，就是讓學生參加到數學教學中來，使學生興趣盎然，思維活躍，同時對自己也充滿了信心．這樣，才有利于發揮學生的主動性，有利于培養學生的獨立思考的習慣，發展學生的創造性和思維能力．因此，在數學教學中要有一定的時間讓學生充分地發表自己的見解，從而來提高他們的興趣，發展他們的能力．

2．這節課自始至終貫穿數形結合的數學思想，讓學生在腦海里留下一個深刻的印象，就是對稱問題，歸根結底都可以化成點關于直線的對稱問題，即可用方程組去解決．反過來，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這二次方程的判別式大于零，也可得直線與曲線有兩個交點，這種從形到數，再由數到形的轉化為我們處理解析幾何問題帶來了便利．在解題時，只有站在一定的高度上去處理問題，思路才能開闊，方法才能靈活，學生的能力才能真正的得到培養，同時水平才能提高得較快．

3．習題課的一個中心就是解題，怎樣才能讓學生做盡可能少的題，從而讓學生掌握通理通法，這是一個值得研究和探討的問題．本節課采取了讓學生把題目進行一題多變，一題多解，從中使學生悟出一些解題辦法和規律，從而達到盡可能做少量的題，而達到獲取盡可能多的知識、方法和規律的目的，真正提高學生的分析問題、提出問題、解決問題的能力．解決當前學生課業負擔過重的問題，根除題海戰術給學生帶來的危害．

4．本課的例題選擇可根據自己所教學生的實際情況，下面幾個備用題可供參考．

題目1過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點A作這圓的切線l，M為l上任一點，過M作圓O的另一條切線，切點為Q，求點M在直線l上移動時，△MAQ垂心的軌跡方程．

(選題目的：熟練用代入法求動點的軌跡方程，活用平幾簡化計算．)

解 如圖2-81所示．P為△AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且

題目2若拋物線y=x2上存在關于直線y=m(x-3)對稱的兩點，求實數m的取值范圍．

解(如圖2-82)設拋物線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關于直線

(選題目的：結合對稱問題，訓練反證法的應用．)此題證法很多．下面給一種證法供參考．

證明 如圖2-83，若P、Q兩點關于y=x對稱，可設P(a，b)、5．本教案作業4，5題的參考解答：

4題．解設P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點，它關于點(a，2a)的對稱點是P′(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物線C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．聯立曲線C與C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1．

5題略解：如圖2-84，F1(-5，2)，F2(-1，2)，F1關于直線x-y=1的對稱點為F1(3，-6)，直線F1F2的方程為2x+y=0，代入x-y=1解得，

第四篇：高三數學教案

高三數學教案---點面距離

課型：復習課；課時：1時間：45分鐘 教學目標：

1、知識與技能：在充分了解空間各種距離的概念的基礎

上，探究求空間距離的 一般方法；

2、過程與方法：通過師生互動，發現、總結規律；

3、情感態度價值觀：從發現數學規律中體驗學數學的興趣。重點難點：

1、點到平面的距離是有關距離問題的重點，它主要由兩

種方法求得：

﹙1﹚用定義，直接作出這段距離，經論證在計算；

﹙2﹚轉化為錐體的高，用三棱錐體積公式求點到平面的距離

2、求解距離問題要注意運用化歸與轉化思路：面面距離

→線面距離→點面距離→點點距離。

教學方法：講練結合教具：多媒體

第五篇：2013白蒲中學高二數學教案：圓錐曲線方程：13(蘇教版)

求曲線的軌跡方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握常用動點的軌跡以及求動點軌跡方程的常用技巧與方法．(二)能力訓練點

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養學生綜合運用各方面知識的能力．

(三)學科滲透點

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學生掌握常用動點的軌跡，為學習物理等學科打下扎實的基礎．

二、教材分析

1．重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法．

(解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學生掌握這種方法．)2．難點：作相關點法求動點的軌跡方法．

(解決辦法：先使學生了解相關點法的思路，再用例題進行講解．)

三、活動設計

提問、講解方法、演板、小測驗．

四、教學過程(一)復習引入

大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是：(1)根據已知條件，求出表示平面曲線的方程；(2)通過方程，研究平面曲線的性質．

我們已經對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究，今天在上面已經研究的基礎上來對根據已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統分析．

1(二)幾種常見求軌跡方程的方法 1．直接法

由題設所給(或通過分析圖形的幾何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．

例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點P的軌跡方程；(2)過點A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡．

對(1)分析：

動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運動規律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：設動點P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0． 對(2)分析：

題設中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質而得出，即圓心與弦的中點連線垂直于弦，它們的斜率互為負倒數．由學生演板完成，解答為：

設弦的中點為M(x，y)，連結OM，則OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1，其軌跡是以OA為直徑的圓在圓O內的一段弧(不含端點)． 2．定義法

利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．

直平分線l交半徑OQ于點P(見圖2－45)，當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程．

分析：

∵點P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|． 又P在半徑OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義 寫出P點的軌跡方程．

解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半徑OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由橢圓定義可知：P點軌跡是以O、A為焦點的橢圓．

3．相關點法

若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程．這種方法稱為相關點法(或代換法)．

例3 已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程．

分析：

P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關點，應先找出點P與點B的聯系．

解：設點P(x，y)，且設點B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內分點．

4．待定系數法

求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數法求．

例4 已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲

曲線方程． 分析：

因為雙曲線以坐標軸為對稱軸，實軸在y軸上，所以可設雙曲線方

ax2-4b2x+a2b2=0 ∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應有等根．

∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由學生完成)

由弦長公式得：

即a2b2=4b2-a2．

(三)鞏固練習

用十多分鐘時間作一個小測驗，檢查一下教學效果．練習題用一小黑板給出． 1．△ABC一邊的兩個端點是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的

2．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？

3．求拋物線y2=2px(p＞0)上各點與焦點連線的中點的軌跡方程． 答案：

義法)

由中點坐標公式得：

(四)小結

求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關點法、待定系數法，還有參數法、復數法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數方程、復數以后再作介紹．

五、布置作業

1．兩定點的距離為6，點M到這兩個定點的距離的平方和為26，求點M的軌跡方程．

2．動點P到點F1(1，0)的距離比它到F2(3，0)的距離少2，求P點的軌跡． 3．已知圓x2+y2=4上有定點A(2，0)，過定點A作弦AB，并延長到點P，使3|AB|=2|AB|，求動點P的軌跡方程．作業答案：

1．以兩定點A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，得點M的軌跡方程x2+y2=4 2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P點只能在x軸上且x＜1，軌跡是一條射線

六、板書設計