高三第一輪復習專題訓練之圓錐曲線中的定點定值問題的四種模型

模型一：“手電筒”模型

例題、（07山東）已知橢圓C：若直線與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標。

解：設，由得，以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點且，，整理得：，解得：，且滿足

當時，直線過定點與已知矛盾；

當時，直線過定點

綜上可知，直線過定點，定點坐標為

◆方法總結：本題為“弦對定點張直角”的一個例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB，則AB必過定點。（參考百度文庫文章：“圓錐曲線的弦對定點張直角的一組性質”）

◆模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個限定AP與BP條件（如定值，定值），直線AB依然會過定點（因為三條直線形似手電筒，固名曰手電筒模型）。（參考優酷視頻資料尼爾森數學第一季第13節）

此模型解題步驟：

Step1：設AB直線，聯立曲線方程得根與系數關系，求出參數范圍；

Step2：由AP與BP關系（如），得一次函數；

Step3：將代入，得。

◆遷移訓練

練習1：過拋物線M:上一點P（1,2）作傾斜角互補的直線PA與PB，交M于A、B兩點，求證：直線AB過定點。（注：本題結論也適用于拋物線與雙曲線）

練習2：過拋物線M:的頂點任意作兩條互相垂直的弦OA、OB，求證：直線AB過定點。（經典例題，多種解法）

練習3：過上的點作動弦AB、AC且，證明BC恒過定點。（本題參考答案：）

練習:4：設A、B是軌跡：上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標。（參考答案）

【答案】設，由題意得，又直線OA,OB的傾斜角滿足，故，所以直線的斜率存在，否則，OA,OB直線的傾斜角之和為從而設AB方程為，顯然，將與聯立消去，得

由韋達定理知①

由，得1＝==

將①式代入上式整理化簡可得：，所以，此時，直線的方程可表示為即

所以直線恒過定點.練習5：（2013年高考陜西卷（理））已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程;

(Ⅱ)已知點B(-1,0),設不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是的角平分線,證明直線過定點.【答案】解:(Ⅰ)

A(4,0),設圓心C

(Ⅱ)

點B(-1,0),.直線PQ方程為:

所以,直線PQ過定點(1,0)

練習6：已知點是平面上一動點，且滿足

（1）求點的軌跡對應的方程；

（2）已知點在曲線上，過點作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過定點？試證明你的結論.【解】（1）設

（5分））

第22題

練習7：已知點A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖.（I）證明:

為定值;

（II）若△POM的面積為，求向量與的夾角；

（Ⅲ）證明直線PQ恒過一個定點.解：（I）設點、M、A三點共線，(II)設∠POM=α，則

由此可得tanα=1.又

(Ⅲ)設點、B、Q三點共線，即

即

由（*）式，代入上式，得

由此可知直線PQ過定點E（1，－4）.模型二：切點弦恒過定點

例題：有如下結論：“圓上一點處的切線方程為”，類比也有結論：“橢圓處的切線方程為”，過橢圓C：的右準線l上任意一點M引橢圓C的兩條切線，切點為

A、B.（1）求證：直線AB恒過一定點；

（2）當點M在的縱坐標為1時，求△ABM的面積。

【解】（1）設M

∵點M在MA上∴

①

同理可得②

由①②知AB的方程為

易知右焦點F（）滿足③式，故AB恒過橢圓C的右焦點F（）

（2）把AB的方程

∴

又M到AB的距離

∴△ABM的面積

◆方法點評：切點弦的性質雖然可以當結論用，但是在正式的考試過程中直接不能直接引用，可以用本題的書寫步驟替換之，大家注意過程。

◆方法總結：什么是切點弦？解題步驟有哪些？

參考：PPT圓錐曲線的切線及切點弦方程，百度文庫

參考：“尼爾森數學第一季_3下”，優酷視頻

拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，資料

練習1：（2013年廣東省數學（理）卷）已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.(Ⅰ)

求拋物線的方程;

(Ⅱ)

當點為直線上的定點時,求直線的方程;

(Ⅲ)

當點在直線上移動時,求的最小值.【答案】(Ⅰ)

依題意,設拋物線的方程為,由結合,解得.所以拋物線的方程為.(Ⅱ)

拋物線的方程為,即,求導得

設,(其中),則切線的斜率分別為，所以切線：,即,即

同理可得切線的方程為

因為切線均過點,所以,所以為方程的兩組解.所以直線的方程為.(Ⅲ)

由拋物線定義可知，所以

聯立方程,消去整理得

由一元二次方程根與系數的關系可得,所以

又點在直線上,所以,所以

所以當時,取得最小值,且最小值為.練習2：（2013年遼寧數學（理））如圖,拋物線,點在拋物線上,過作的切線,切點為(為原點時,重合于),切線的斜率為.(I)求的值;(II)當在上運動時,求線段中點的軌跡方.【答案】

模型三：相交弦過定點

相交弦性質實質是切點弦過定點性質的拓展，結論同樣適用。參考尼爾森數學第一季_3下，優酷視頻。但是具體解題而言，相交弦過定點涉及坐標較多，計算量相對較大，解題過程一定要注意思路，同時注意總結這類題的通法。

例題：如圖，已知直線L：的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、B在直線上的射影依次為點D、E。連接AE、BD，試探索當m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點N？若交于定點N，請求出N點的坐標，并給予證明；否則說明理由。

法一：解：

先探索，當m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK中點N,且。猜想：當m變化時，AE與BD相交于定點

證明：設，當m變化時首先AE過定點N

∴KAN=KEN

∴A、N、E三點共線

同理可得B、N、D三點共線

∴AE與BD相交于定點

法2：本題也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得與x軸交點M、N,然后兩個坐標相減=0.計算量也不大。

◆方法總結：方法1采用歸納猜想證明，簡化解題過程，是證明定點問題一類的通法。這一類題在答題過程中要注意步驟。

例題、已知橢圓C：，若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結論。

方法1：點A1、A2的坐標都知道，可以設直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點是A1(-2,0)和M，通過韋達定理，可以求出點M的坐標，同理可以求出點N的坐標。動點P在直線上，相當于知道了點P的橫坐標了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點的縱坐標，得到兩條直線的斜率的關系，通過所求的M、N點的坐標，求出直線MN的方程，將交點的坐標代入，如果解出的t>2，就可以了，否則就不存在。

解：設，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得

是方程的兩個根，則，即點M的坐標為，同理，設直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點M、N的坐標代入，化簡后得：

又，橢圓的焦點為，即

故當時，MN過橢圓的焦點。

方法總結：本題由點A1(-2,0)的橫坐標－2是方程的一個根，結合韋達定理，得到點M的橫縱坐標：，；其實由消y整理得，得到，即，很快。不過如果看到：將中的換下來，前的系數2用－2換下來，就得點N的坐標，如果在解題時，能看到這一點，計算量將減少，這樣真容易出錯，但這樣減少計算量。本題的關鍵是看到點P的雙重身份：點P即在直線上也在直線A2N上，進而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點，即橫截距，將點M、N的坐標代入，化簡易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿足。

◆方法2：先猜想過定點，設弦MN的方程，得出方程，進而得出與T交點Q、S，兩坐標相減=0.如下：

◆方法總結：法2計算量相對較小，細心的同學會發現，這其實是上文“切點弦恒過定點”的一個特例而已。因此，法2采用這類題的通法求解，就不至于思路混亂了。相較法1，未知數更少，思路更明確。

練習1：（10江蘇）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓+=1的左右頂點為A,B，右焦點為F，設過點T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.⑴設動點P滿足PF2－PB2=4,求點P的軌跡

⑵設x1=2,x2=，求點T的坐標

⑶設t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)

解析：問3與上題同。

練習2：已知橢圓中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過、、三點．過橢圓的右焦點F任做一與坐標軸不平行的直線與橢圓交于、兩點，與所在的直線交于點Q.（1）求橢圓的方程：

（2）是否存在這樣直線，使得點Q恒在直線上移動？若存在,求出直線方程,若不存在,請說明理由.解析：（1）設橢圓方程為

將、、代入橢圓E的方程，得

解得.∴橢圓的方程

（也可設標準方程，知類似計分）

（2）可知：將直線

代入橢圓的方程并整理．得

設直線與橢圓的交點，由根系數的關系，得

直線的方程為：

由直線的方程為：，即

由直線與直線的方程消去，得

∴直線與直線的交點在直線上．

故這樣的直線存在模型四：動圓過定點問題

動圓過定點問題本質上是垂直向量的問題，也可以理解為“弦對定點張直角”的新應用。

例題1.已知橢圓

是拋物線的一條切線。（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由。

解：（I）由

因直線相切，故所求橢圓方程為（II）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：

當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：,由

即兩圓相切于點（0，1）

因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）.事實上，點T（0，1）就是所求的點，證明如下。

當直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）

若直線L不垂直于x軸，可設直線L：

由

記點、∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）,故在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件.◆方法總結：圓過定點問題，可以先取特殊值或者極值，找出這個定點，再證明用直徑所對圓周角為直角。

例題2：如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個頂點，點是橢圓的右焦點。點是軸上位于右側的一點，且滿足。

（1）求橢圓的方程以及點的坐標；

（2）過點作軸的垂線，再作直線

與橢圓有且僅有一個公共點，直線交直線于點

。求證：以線段為直徑的圓恒過定點，并求出定

點的坐標。

解：（1），設，由有，又，于是，又，又，橢圓，且。

（2）方法1：，設，由，由于（*），而由韋達定理：，，設以線段為直徑的圓上任意一點，由有

由對稱性知定點在軸上，令，取時滿足上式，故過定點。

法2：本題又解：取極值，PQ與AD平行，易得與X軸相交于F（1,0）。接下來用相似證明PF⊥FQ。

問題得證。

練習：（10廣州二模文）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，橢圓與拋物線在第一象限的交點為，.圓的圓心是拋物線上的動點,圓與軸交于兩點，且.（1）求橢圓的方程；

（2）證明:無論點運動到何處,圓恒經過橢圓上一定點.（1）解法1：∵拋物線的焦點坐標為，∴點的坐標為.∴橢圓的左焦點的坐標為，拋物線的準線方程為.設點的坐標為，由拋物線的定義可知,∵,∴，解得.由，且,得.∴點的坐標為.在橢圓:中，.∴.∴橢圓的方程為.解法2：∵拋物線的焦點坐標為，∴點的坐標為.∴

拋物線的準線方程為.設點的坐標為，由拋物線的定義可知,∵,∴，解得.由，且得.∴點的坐標為.在橢圓:中，.由解得.∴橢圓的方程為.（2）證法1:

設點的坐標為,圓的半徑為，∵

圓與軸交于兩點，且,∴

.∴.∴圓的方程為.∵

點是拋物線上的動點,∴

().∴.把代入

消去整理得:.方程對任意實數恒成立，∴

解得

∵點在橢圓:上,∴無論點運動到何處,圓恒經過橢圓上一定點.證法2:

設點的坐標為,圓的半徑為，∵

點是拋物線上的動點,∴

().∵

圓與軸交于兩點，且,∴

.∴

.∴

圓的方程為.令,則,得.此時圓的方程為.由解得∴圓:與橢圓的兩個交點為、.分別把點、代入方程進行檢驗，可知點恒符合方程，點不恒符合方程.∴無論點運動到何處,圓恒經過橢圓上一定點.