第一篇：蘇州市高三數(shù)學二輪復(fù)習示范課教案--12.含絕對值的二次函數(shù)的最值問題(顧日新).doc[最終版]

2013屆高考數(shù)學第二輪復(fù)習研討會

含絕對值的二次函數(shù)的最值問題

蘇州工業(yè)園區(qū)星海實驗中學 顧日新

2013-4-3

一、復(fù)習要點

本節(jié)復(fù)習的重點是含絕對值的二次函數(shù)最值問題。二次函數(shù)的最值問題一般分享四種類型：定軸定區(qū)間、定軸變區(qū)間、變軸定區(qū)間及變軸變區(qū)間，其中準確分類、數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵。

二、知識與方法

問題1：處理二次函數(shù)在區(qū)間的最值問題，一般要考慮哪些元素？

問題2：若二次函數(shù)f(x)的圖像開口向上，如何求f(x)在區(qū)間[m,n]的最大值和最小值？ ．

問題3：若二次函數(shù)f(x)的圖像開口向下，如何求f(x)在區(qū)間[m,n]的最大值和最小值？ ．

三、例題精講

例1 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)?x?x?a?1，x?R．

（1）討論f(x)的奇偶性；

（2）求f(x)的最小值．

例2 已知函數(shù)f(x)?x2?1，g(x)?a|x?1|．

（1）若關(guān)于x的方程|f(x)|?g(x)只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若x?R時，不等式f(x)?g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）求函數(shù)h(x)?|f(x)|?g(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值．

例3 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)?2x2?(x?a)|x?a|．(1)若f(0)?1，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；

(3)（選做）設(shè)函數(shù)h(x)?f(x),x??a,???，求不等式h(x)?1的解集． ．．

四、檢測鞏固

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x|x-a|．求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值．

關(guān)于本節(jié)教學內(nèi)容的說明：

二次函數(shù)是貫穿初高中數(shù)學教學的重點，也是歷年高考的熱點，更是學生學習中的一個難點。在初、高中階段，教材對其處理方式是不同的。初中階段，教材是在明處讓學生在全體實數(shù)上感知二次函數(shù)的整體性態(tài)；而高中階段，學生主要感知的是二次函數(shù)在區(qū)間上的局部性態(tài)，教材則在暗處用后繼知識不斷深化對二次函數(shù)的認識和運用。

二次函數(shù)題型較多，其中求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是學生學習中的一個難點，尤其是含參數(shù)的最值問題，涉及到分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，學生更是理不清頭緒，盲目入手，容易走入歧途。那么，如何突破這個難點？我個人認為，應(yīng)突出“頂點”作用，讓學生明確二次函數(shù)的最值和它的頂點與變量取值區(qū)間的位置有關(guān)。相應(yīng)的圖像可劃分為有頂點和無頂點兩種狀態(tài)：若頂點在，則最值在頂點處或區(qū)間端點處取得；若無頂點，則最值在區(qū)間端點處取得。

含絕對值的二次函數(shù)其本質(zhì)是分段函數(shù)，研究含絕對值的二次函數(shù)就是分段研究二次函數(shù)的局部性態(tài)。設(shè)定分類討論的標準是問題解決的前提條件，數(shù)形結(jié)合則是問題能否正確解決的關(guān)鍵所在。

本學案內(nèi)容共分四個環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)二不是常規(guī)的小題訓練，取而代之的是知識與方法，之所以不設(shè)置小題訓練環(huán)節(jié)，主要是因為本課題涉及的核心知識和方法是學生頗為熟悉的，不走以小題帶知識點的常規(guī)教學套路，是符合二輪復(fù)習學生學情的。本節(jié)課的核心知識和方法以三個問題進行呈現(xiàn)，問題1是二次函數(shù)的整體形態(tài)，問題2、3則是并列的，是二次函數(shù)在區(qū)間的局部形態(tài)。開口向上（下）的拋物線在區(qū)間的最大（小）值一定在區(qū)間端點處取得則體現(xiàn)了簡約思維的特點，也是例2第（3）問確定分類標準的依據(jù)。例題1、2、3分別是定軸變區(qū)間、變軸定區(qū)間、變軸變區(qū)間的類型。下面逐條加以說明。

例1（實物投影—展示學生解題過程）：第（1）問學生要明確函數(shù)奇偶性的討論是由參數(shù)a的取值2變化而引起的，x?1具有偶函數(shù)特性，學生若對x?a(a?R)的圖像有著較為深刻的認識，則對參數(shù)a分等于0和不等于0兩種情況進行討論就顯得非常自然了。第（2）問先去絕對值學生應(yīng)該不成問題，但是要強化根據(jù)絕對值與區(qū)間的位置關(guān)系確定分類討論的標準。

例2（教師示范，全面展現(xiàn)思維過程）：本題的題眼是f(1)?0，結(jié)合分離參數(shù)和分類討論，（1）、（2）可以輕松解決；第（3）較為復(fù)雜，考查學生數(shù)形結(jié)合和分類討論的能力。首先本題的分類標準不易確定，若逐一考慮三段函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系又顯得繁瑣不堪，研究三段函數(shù)各自的圖像、連接點及單調(diào)性則是解決本題的關(guān)鍵。分類標準難確定，圖形直觀難入微是這類題目的難點，對學生的綜合素質(zhì)要求非常高。

例3（學生練習鞏固，實物投影展示解題過程）：本題是江蘇09年高考題，當年高考試卷一改以往20題一定是難題的老印象，以二次函數(shù)為載體，重點考查學生的數(shù)形結(jié)合與分類討論的能力。但是這道題得分不高，這也說明學生分類討論的能力比較弱，要尤其我們的足夠重視。

“二次函數(shù)”模型可以說是高中數(shù)學中應(yīng)用最廣，最具典型性和代表性的函數(shù)模型，其應(yīng)用已滲透到高中數(shù)學的多個章節(jié)，并為高考命題者所青睞。以二次函數(shù)為模型的高考題新招迭出‘給人以耳目一新之感。因此,我們在二輪復(fù)習中，要讓學生樹立二次函數(shù)的模型意識，并結(jié)合教學內(nèi)容，編制新穎別致，富于變化的問題，讓學生自己去感知、歸納、突破，真正達到領(lǐng)悟其內(nèi)涵，靈活運用之境界。

第二篇：二次函數(shù)的最值問題教案

二次函數(shù)的最值問題 莘莊職校 ：吳翩

班級：莘莊職校03級（4）班

2003/12/4 [教學目標]1、2、3、4、使學生掌握二次函數(shù)在給定區(qū)間上最值的理論和方法。引入數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想。

培養(yǎng)學生敏銳的觀察能力，運算準確性，思維的靈活性，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的創(chuàng)新意識，探索問題的創(chuàng)新精神以及多層次，多角度思考問題的創(chuàng)新思維。[教學重點、難點] 重點：當區(qū)間端點不定時，討論二次函數(shù)最值問題。難點：分類討論思想的正確運用。[教學過程]

一、知識回顧

1、二次函數(shù)概念：形如y?ax2?bx?c(a?0)的函數(shù)叫一元二次

函數(shù)。

bb4ac?b2)

其中對稱軸為x??，頂點坐標為(?,2a2a2a2、圖象性質(zhì)

（動畫演示）

（1）單調(diào)性（2）最值

二、問題探究

例題：求函數(shù)f(x)?x2?2x?1在下列區(qū)間最大值和最小值。（動畫演示）

（1）R

f(x)min?f(?1)

（2）[-2，2]

f(x)min?f(?1)

f(x)max?f(2)

（3）[1，3]

f(x)min?f(1)

f(x)max?f(3)

5（4）[-2，?]

45f(x)min?f(?)

f(x)max?f(?2)

41?f(?2)

[-2，?]

f(x)min?f(?1)

f(x)max31[-2，]

3f(x)min?f(?1)

f(x)ma1?f()x3（5）[-2，a]

（學生觀察，討論）

?f(?2)?f(a)

f(x)max①當-2≤a＜-1時

f(x)min?f(?2)?f(?1)

f(x)max②當-1≤a＜0 時

f(x)min?f(a)③當a≥0時

f(x)min?f(?1)

f(x)max

三、問題引申

求函數(shù)f(x)?x2?2x?1在區(qū)間[m，m+2]上的最大值和最小值。

（動畫演示）

?f(m)解：當m＜-3時

f(x)min?f(m?3)

f(x)max?f(m)?f(?1)

f(x)max當-3＜m＜-2時

f(x)min?f(m?2)?f(?1)

f(x)max當-2＜m＜-1時

f(x)min?f(m?2)當m＞-1時

f(x)min?f(m)

f(x)max

四、總結(jié)歸納

五、開拓思維

當二次函數(shù)對稱軸變化時，在指定區(qū)間內(nèi)求最值

研究：二次函數(shù)f(x)?x2?2a?1在區(qū)間[-1，2]上最值。（動畫演示）

第三篇：中考數(shù)學專題復(fù)習練習二次函數(shù)與三角形面積最值

二次函數(shù)與面積的關(guān)系

如圖①,過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(),中間的這條直線在內(nèi)部的部分的長度叫△ABC的“鉛垂高”().我們可得出一種計算三角形面積的新方法:,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.【例題1】如圖②,已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點.(1)

求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式;

(2)

若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點,其橫坐標為,的面積為,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并求出的最大值.【變式訓練1-1】如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．

（1）求點，點和點的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上有一動點，求的值最小時的點的坐標；

（3）若點是直線下方拋物線上一動點，求四邊形面積的最大值．

【拓展總結(jié)】若拋物線上y1＝ax2+bx+c，它與y軸交于C（0，4），與x軸交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是拋物線上B、C之間的一點．

（1）當k＝4時，求拋物線的方程，并求出當△BPC面積最大時的P的橫坐標；

（2）當a＝1時，求拋物線的方程及B的坐標，并求當△BPC面積最大時P的橫坐標；

（3）根據(jù)（1）、（2）推斷P的橫坐標與B的橫坐標有何關(guān)系？

【練習】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連接CD．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P為該拋物線上一動點（與點B，C不重合），設(shè)點P的橫坐標為t．當點P在直線BC的下方運動時，求△PBC的面積的最大值．

【練習】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A.B兩點,且A點坐標為(?2,0),與y軸交于點C(0,3).(1)求出這個二次函數(shù)的解析式；

(2)直接寫出點B的坐標為___；

(3)在x軸是否存在一點P，使△ACP是等腰三角形?若存在，求出滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由；

(4)在第一象限中的拋物線上是否存在一點Q，使得四邊形ABQC的面積最大?若存在，請求出Q點坐標及面積的最大值；若不存在，請說明理由。

【練習】已知一次函數(shù)y＝kx+3與二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象的一個交點坐標為A（3，0），另一個交點B在y軸上，點P為y軸右側(cè)拋物線上的一動點．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）當點P位于直線AB上方的拋物線上時，求△ABP面積的最大值；

（3）當此拋物線在點B與點P之間的部分（含點B和點P）的最高點與最低點的縱坐標之差為9時，請直接寫出點P的坐標和△ABP的面積．

1．如圖，拋物線W的圖象與x軸交于A、O兩點，頂點為點B（﹣1，﹣1）．

（1）求拋物線W的表達式；

（2）將拋物線W繞點A旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線V，使拋物線V的頂點為E，試通過計算判斷拋物線V是否過點B；

（3）在拋物線W或V的圖象上是否存在點D，使S△EBD＝S△EBO？若存在，請求出點D的坐標．

1．如圖拋物線y＝ax2+bx+6的開口向下與x軸交于點A（﹣6，0）和點B（2，0），與y軸交于點C，點P是拋物線上一個動點（不與點C重合）

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P是拋物線上一個動點，若△PCA的面積為12，求點P的坐標；

第四篇：中考數(shù)學復(fù)習二輪沖刺高頻考點模塊練習（二次函數(shù)與線段、面積最值綜合題型）

2021年中考數(shù)學復(fù)習二輪沖刺高頻考點模塊練習

（二次函數(shù)與線段、面積最值綜合題型）

一．

突破與提升策略：

1．面積最大值

（1）三角形有一條邊在坐標軸上：

以在坐標軸上的邊為底邊，過不在坐標軸上的頂點作垂線；

（2）三角形的三邊都不在坐標軸上：

過其中一個頂點作平行于坐標軸的直線(應(yīng)用最多)；

（3）四邊形有兩邊在坐標軸上：

過不在坐標軸上的頂點作坐標軸的垂線.2.面積倍數(shù)關(guān)系：先求出其中一個圖形的面積，再用含未知數(shù)的式子表示所求圖形(另一個圖形)的面積，根據(jù)兩圖形間的面積關(guān)系，列方程求解；或用含相同的未知數(shù)分別表示兩個圖形的面積，再用題中等量關(guān)系列方程求解．

二．典型題提升練習

1.如圖，已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為A(1,4)，與坐標軸交于B，C，D三點，且B點的坐標為(－1,0)，(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)在二次函數(shù)的圖象位于x軸上方部分有兩個動點M，N，且點N在點M的左側(cè)，過點M，N作x軸的垂線交x軸于點G，H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；

2.如圖，拋物線與軸交于、兩點，是以點（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，是線段的中點，連結(jié).則線段的最大值是多少？

3.如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸相交于A(－1,0)，B(3,0)兩點，與y軸相交于點C(0，－3)．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與線段BC交于點M，連接PC.求線段PM的最大值；

4.如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點A（－1，0）和點B（3，0），與y軸交于點N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接CP，過點P作CP的垂線與y軸交于點E.（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式；

（2）當點P在線段OB（點P不與O、B重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值？并求出這個最大值；

5.在平面直角坐標系中，頂點為A的拋物線與x軸交于B，C兩點，與y軸交于點D，已知A(1,4)，B(3,0)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)探究：如圖①，連接OA，過點D作DE∥OA交BA的延長線于點E，連接OE交AD于點F，M是BE的中點，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請說明理由；

(3)應(yīng)用：如圖②，P(m，n)是拋物線在第四象限的圖象上的點，且m＋n＝－1，連接PA，PC，在線段PC上確定一點N，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點N的坐標．

提示：若點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則線段AB的中點坐標為.6.如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y

軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫

坐標為m．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？

7.如圖，拋物線與x軸交于點A（－1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，－3）．點P、Q是拋物線上的動

點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．

（3）直線OQ與線段BC相交于點E，當△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標．

8.已知拋物線y＝－x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝1，其圖象與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C（0,3）．

（1）求b，c的值；

（2）直線l與x軸交于點P．

①如圖1，若l∥y軸，且與線段AC及拋物線分別相交于點E、F，點C關(guān)于直線x＝1的對稱點為D，求四邊形CEDF面積的最大值；

②如圖2，若直線l與線段BC相交于點Q，當△PCQ∽△CAP時，求直線l的表達式．

9.如圖①，拋物線y＝－x2+x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，C，將

直線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，所得直線與x軸交于點D．

（1）求直線AD的函數(shù)解析式；

（2）如圖②，若點P是直線AD上方拋物線上的一個動點

①當點P到直線AD的距離最大時，求點P的坐標和最大距離；

②當點P到直線AD的距離為時，求sin∠PAD的值．

10.如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點，OA=2，OC=6，連接AC和BC.(1)

求拋物線的解析式；

(2)

點D在拋物線的對稱軸上，當△ACD的周長最小時，點D的坐標為；

(3)

點E是第四象限內(nèi)拋物線上的動點，連接CE和BE,求△BCE面積的最大值及此時點E的坐標；

(4)

若點M是y軸上的動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.11.如圖所示，拋物線過點A（－1，0），點C（0，3），且

OB=OC．

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；

（2）點D，E在直線x=1上的兩個動點，且DE=1，點D在點E的上方，求四邊

形ACDE的周長的最小值，（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3∶5

兩部分，求點P的坐標．

12.如圖,已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過A(－5,0),B(－4,－3)兩點,與x軸的另一個交點為C,頂點為D,連接CD.(1)求該拋物線的表達式;

(2)點P為該拋物線上一動點(與點B,C不重合),設(shè)點P的橫坐標為t.①當點P在直線BC的下方運動時,求△PBC的面積的最大值;②該拋物線上是否存在點P,使得∠PBC＝∠BCD?若存在,求出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.13.如圖，已知拋物線經(jīng)過點（-1,0）、（5,0）.（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點的坐標；

（2）若點在拋物線上，且點的橫坐標為8，求四邊形的面積

（3）定點在軸上，若將拋物線的圖象向左平移2各單位，再向上平移3個單位得到一條新的拋物線，點在新的拋物線上運動，求定點與動點之間距離的最小值（用含的代數(shù)式表示）

14.如圖，拋物線與軸交于、兩點在的左側(cè)），與軸交于點，過點的直線與軸交于點，與拋物線的另一個交點為，已知，點為拋物線上一動點（不與、重合）．

（1）求拋物線和直線的解析式；

（2）當點在直線l上方的拋物線上時，過點作軸交直線l于點，作軸交直線l于點，求的最大值；

（3）設(shè)為直線l上的點，探究是否存在點，使得以點、，、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

第五篇：邦學教育一對一教案第五講(二次函數(shù)的最值問題)

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●新高一暑假數(shù)學銜接課程

第5講：二次函數(shù)的最值問題

1．二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0)的最值．

二次函數(shù)在自變量x取任意實數(shù)時的最值情況(當a?0時，函數(shù)在x??b處取得最小值2ab4ac?b24ac?b2，無最大值；當a?0時，函數(shù)在x??處取得最大值，無最小值．

4a2a4a2．二次函數(shù)最大值或最小值的求法．

第一步確定a的符號，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應(yīng)的最大值或最小值． 3．求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值． 例

1、求下列函數(shù)的最大值或最小值．

（1）y?2x2?3x?5；（2）y??x2?3x?4．

例

2、當1?x?2時，求函數(shù)y??x2?x?1的最大值和最小值．

例

3、當x?0時，求函數(shù)y??x(2?x)的取值范圍．

例

4、求函數(shù)y=x4-3x2+2的最小值．

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例

5、當t?x?t?1時，求函數(shù)y?125x?x?的最小值(其中t為常數(shù))． 22

例

6、某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足一次函數(shù)m?162?3x,30?x?54．

(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？

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【課后作業(yè)】

1．拋物線y?x2?(m?4)x?2m?3，當m= _____ 時，圖象的頂點在y軸上；當m= _____ 時，圖象的頂點在x軸上；當m= _____ 時，圖象過原點．

2．用一長度為l米的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為________． 3．設(shè)a?0，當?1?x?1時，函數(shù)y??x2?ax?b?1的最小值是?4，最大值是0，求a,b的值．

4.已知函數(shù)y＝2x+4x－3，當x≤0時，求y的取值范圍． 2

5．已知函數(shù)y?x2?2ax?1在?1?x?2上的最大值為4，求a的值．

26．求關(guān)于x的二次函數(shù)y?x?2tx?1在?1?x?1上的最大值(t為常數(shù))．

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