第一篇：[教案]二次函數給定區間最值問題的思維導圖講解及測試題

二次函數給定區間最值問題的思維導圖講解及測試題

二次函數在某一區間上的最值問題，是初中二次函數內容的繼續和發展，隨著區間的確定或變化，以及在系數中增添參變數，使其又成為高考數學中的熱點。

一、軸定區間定

二次函數是給定的，給出的定義域區間也是固定的，我們稱這種情況是“軸定區間定”。例1.函數f(x)??x2?4x?2在區間[[0,3]上的最大值是_______，最小值是______。

思維導圖：第一步：對f(x)??x2?4x?2配方?第二步：求出對稱軸，判斷圖

像開口方向?第三步：判斷對稱軸與區間[0,3]的關系?第四步：確

定該函數在[0,3]上的單調性?第五步：求最值。

解析：由配方法得y??(x?2)?2，其對稱軸方程是x，且圖象開口向下，又2?[0,3]，??f(x)在[0,2]上單調遞增，[2,3]上單調遞減，如圖所示，故函數的最大值為f(，2)?220)??2

最小值為f(。

同學們試著求一下：f(x)??x2?4x?2分別在區間[?1,1],[3,5]上的最值。

小結：二次函數f(x)?ax?bx在給定區間[m,n]內的最值情況：

?,c(a?0)

當a?0時，2bb4ac?b2

（1）當??[m,n]時，f(x)的最小值是f(?)?，f(x)的

2a2a4a

最大值是f(m)、f(n)中的較大者。

（2）當?bb?m，由f(x)在[m,n]上是增函數 ?[m,n]時，若?2a2a

則f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)

若n??b，由f(x)在[m,n]上是減函數，2a則f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

這樣我們把二次函數a?0在閉區間上的最值情況都羅列出來了，對a?0時，二

次函數在閉區間上的最值情況也可作類似的討論。

二、軸定區間動 例2：求函數f(x)?x2?2x?2,x?[m,m?1]的最值。

思維導圖：第一步：對f(x)?x2?2x?2配方?第二步：求出對稱軸，判斷圖

像開口方向?第三步：討論對稱軸與區間[m,m?1]的關系?第四步：確

定該函數在[m,m?1]上的單調性?第五步：求最值。

解析：由配方法得f(x)?(x?1)2?1，故其對稱軸方程是x?1，且圖象開口向上

（1）當1?[m,m?1]，即0?m?1時，?f(x)在[m,1]上單調遞減，[1,m?1]上單調遞增，故函數的最小值為f(1)?1，又f(m)?f(m?1)?m?2m?2?(m?1)?2(m?1)?2??2m?1。

當0?m?

當

221時，ymax?f(m)?m2?2m?2； 21?m?1時，ymax?f(m?1)?m2?1；

2同學們自己完成m?1時、m?0的情況，三、軸動區間定

二次函數隨著參數a的變化而變化，即其圖象是運動的，但定義域區間是固定的，我們稱這種情況是“軸動區間定”。

例3.求函數f在區間[?1,1]上的最值。()x?x?ax?3 思維導圖：第一步：對f配方?第二步：求出對稱軸，判斷圖

()x?x?ax?像開口方向?第三步：判斷對稱軸與區間[?1,1]的關系?第四步：確定

該函數在[?1,1]上的單調性?第五步：求最值。

22a2a

2解析：將f(x)配方得：f(x)?(x?)?3?

2易知對稱軸方程是x??

（1）當?a，圖象開口向上 2a??1，即a?2時，f(x)在[?1,1]上遞增，2

所以函數的最小值是f(，最大值是f()。?1)?4?a1?4?a

（2）當?a?1，即a??2時，f(x)在[?1,1]上遞減，2

所以函數的最大值是f(，最小值是f()。?1)?4?a1?4?a

（3）當?1??a?1，即?2?a?2時，2

同學們自己完成第三種情況：

三、函數動區間動

二次函數是含參數的函數，而定義域區間也是變化的，我們稱這種情況是“函數動區間動”。

(x?1)2例8.求函數f(x)?(x?4)??a2在區間[2a?1,??)的最小值。

42解：將f(x)整理配方得f(x)?5179(x?)2??a2 455

易知對稱軸方程是x?17，圖象開口向上，頂點坐標為(，?a2)，555179617?1?2a，即a?時，551717

?f(x)在[2a?1,]上單調遞減，[,??)上單調遞增，559172

則當x?時，f(x)min??a；

55617

（2）若?1?2a，即a?時，55

（1）若

?f(x)在[2a?1,??)上遞增，則當x時，f(x)min??1?2a針對性測試題：

1.已知函數f(x)?x2?x?1,x?[0,3]的最值情況為

（）

A.有最大值3，但無最小值

B.有最小值3，有最大值1

445179(1?2a?)2??a2。455

C.有最小值1，有最大值19

D.無最大值，也無最小值

2.求函數f(x)?4?x?2?x?1,x?[?3,2]的最大值和最小值。

3.求下列函數的值域：

（1）y?2x?41?x；（2）y?()

4.已知函數y?x2?2x?1, 求它當x?[t?1,t?1]時的最小值。

5.求函數y?x2?2ax?1在區間[0,2]上的最值。

6.已知f(x)?2?log3x,x?[1,9]，求y?[f(x)]?f(x)的最大值及取得最大值時 x的值。

2212?x2?3x?4；（3）y?log1(?x2?4x?12)。

第二篇：二次函數最值問題

《二次函數最值問題》的教學反思

大河鎮 件，設所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個二元二次方程就列出，這也為后面學習二次函數與一元二次方程的關系奠定了基礎，針對上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉化怎樣求這個函數的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據a>0時，當x=－，y最小＝；a<0時，當x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節課講解）

教學反饋：講得絲絲入扣，大部分學生能聽懂，但課后的練習卻“不會做”。反思一：本節課在講解的過程中，不敢花過多的時間讓學生爭辯交流，生怕時間不夠，完成了不教學內容，只能按照自己首先設計好的意圖引領學生去完成就行了。實際上，這節課以犧牲學生學習的主動性為代價，讓學生被動地接受，去聽講，體現不了學生是學習的主人這一關鍵環節。

反思二：數學教學的目標不僅是讓學生學到一些知識，更重要的是讓學生學會運用知識去解決現實問題，讓學生“從問題的背景出發，建立數學模型”的基本流程，如例題中，可讓學生從“列方程→轉化為二次函數解析式→

b4ac?b當x＝－時，y最大（小）＝→解決問題”，讓學生在實踐中發現數2a4a學，掌握數學。

反思三：教學應當促進學生成為學習的主人，離開了學生積極主動學習，老師講得再好，學生也難以接受，或者是聽懂了，但不會做題的現象。傳統的教學“五環節”模式已成為過去，新的課程標準需要我們用新的理念對傳統的教學模式、教學方法等進行改革，讓學生成為課堂的主角。

第三篇：二次函數在區間上的最值

二次函數在區間上的最值問題

教學目的：1.根據函數的概念和函數的單調性研究二次函數 在區間的最值；

2.進一步掌握數形結合相思和分類討論思想.教學重點：二次函數在區間上的最值問題 教學難點：含參問題的討論.教學過程：

一、復習引入

1.二次函數的概念和性質； 2.單調函數的概念.二、例題 例1.求函數y?3x2?12x?15當自變量x在下列范圍內取值時的最值，并求此函數取最值時的x值.（1）x?R;(2)0?x?3;(3)?1?x?1.例2.求函數y?x2?2x?3在區間[0,a]上的最值，并求時x的值.例3關于x的方程x2?(k?2)x?k2?3k?5?0有兩個實根α，β，求α2+β2的最值.例4.已知函數2x2?2ax?3在區間[-1，1]上有最小值，記作g(a).(1)求g(a)的表達式；(2)求g(a)的最大值.三、作業

1.函數yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.112.關于x的不等式9x2?6ax?a2?2a?6?0在[?,]上恒成立，求實數a

33的取值范圍.3.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示。

（I）寫出圖一表示的市場售價與時間的函數關系P=f(t)；

寫出圖二表求援 種植成本與時間的函數關系式Q=g(t)；

（II）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？

（注：市場售價和種植成本的單位：，時間單位：天）

第四篇：二次函數閉區間上的最值問題

二次函數閉區間上的最值問題與根的分布 一、二次函數閉區間上的最值問題

一元二次函數的區間最值問題，核心是對函數對稱軸與給定區間的相對位置關系的討論。一般分為：對稱軸在區間的左邊，中間，右邊三種情況.2 設f(，求x)?ax?bx?c(a?0)f(x)在x?[m，n]上的最大值與最小值。b2a 分析：將f(x)配方，得對稱軸方程x??

當a?0時，拋物線開口向上

若? 若?b2ab2a?[m，n]必在頂點取得最小值，離對稱軸較遠端點處取得最大值； ?[m，n]

b2a 當a?0時，拋物線開口向上，此時函數在[m，n]上具有單調性，故在離對稱軸x??較遠端點處取得最大值，較近端點處取得最小值。當a?0時，如上，作圖可得結論，對二次函數的區間最值結合函數圖象總結如下：

當a?0時

f(x)maxb1?f(m)，??(m?n)(如圖1)??2a2 ??b1?f(n)，??(m?n)(如圖2)?2a2? f(x)minb?f(n)，??n(如圖3)?2a?bb???f(?)，m???n(如圖4)2a2a??bf(m)，??m(如圖5)?2a?

當a?0時

f(x)maxb?f(n)，??n(如圖6)?2a?bb???f(?)，m???n(如圖7)2a2a??bf(m)，??m(如圖8)?2a?

f(x)minb1?f(m)，??(m?n)(如圖9)??2a2?? b1?f(n)，??(m?n)(如圖10)?2a2?1.定二次函數在定區間上的最值

二次函數是給定的，給出的定義域區間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數在定區間上的最值”。

x?4x?2 例1.函數y??在區間0，3上的最大值是_________，最小值是_______。2?? 1

例1： 解：函數y是定義在區間0，3上的二次函數，其??x?4x?2???(x2)?2對稱軸方程是x?2，頂點坐標為（2，2），且其圖象開口向下，顯然其頂點橫坐標在［0，3］上，如圖1所示。函數的最大值為f(2)?2，最小值為f(0)??2。

例2.已知2x?3的最值。)?x?x?1x，求函數f(x222??2 例2： 解：由已知2x?3x，可得0?x?232，即函數f(x)是定義在區間0，???3?上的二?2?11?3?次函數。將二次函數配方得f(x)??x???，其對稱軸方程x??，頂點坐標??2243?3??1?且圖象開口向上。顯然其頂點橫坐標不在區間0，內，如圖2所示。函數f(x)??，?，???2?42??19?3?。???2?42的最小值為f(0)?1，最大值為f?2?b4ac?b? 解后反思：已知二次函數f(（不妨設a?0），它的圖象是頂點為??x)?ax?bx?c，?、對稱軸為

4a??2a2x??b2a、開口向上的拋物線。由數形結合可得在m，n上f(x)的最大值或最小值：

??ac?b?b?4（1）當??m，n時，f(x)的最小值是f????)、f(n)中的較大者。，f(x)的最大值是f(m??2a4a2ab??2（2）當? 若?b2a?m，n時 ??b2a?m，由f(x)在m，n上是增函數 ?? 則f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)

若n??b2a，由f(x)在m，n上是減函數 ?? 則f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)2.動二次函數在定區間上的最值

二次函數隨著參數a的變化而變化，即其圖象是運動的，但定義域區間是固定的，我們稱這種情況是“動二次函數在定區間上的最值”。

例3.已知x?1，且a，求函數f(的最值。x)?x?ax?3?2?0221?x?1，a?2 例3：解：由已知有?，于是函數f(x)是定義在區間?1，1上的二次函數，將f(x)配方得： a?a? f(x)??x???3???24 22??

二次函數f(x)的對稱軸方程是x??a2

2?aa? 頂點坐標為??，3??，圖象開口向上

4??2 由a?2可得x??a2??1，顯然其頂點橫坐標在區間?1，1的左側或左端點上。

?? 函數的最小值是f(?1)?4?a，最大值是f(1)?4?a。

例4.已知二次函數f(在區間?4，1上的最大值為5，求實數a的值。x)?ax?4ax?a?1 例4： 解：將二次函數配方得f，其對稱軸方程為x??，頂點坐標為(()x?a(x?2)?a?4a?1?2，a?4a?1)，2圖象開口方向由a決定。很明顯，其頂點橫坐標在區間?4，1上。

若a?0，函數圖象開口向下，如圖4所示，當x??時，函數取得最大值5 2 即f(?2)?a?4a?1?5222222????0

解得a?2?1 故a ??210(a??210舍去)若a?0時，函數圖象開口向上，如圖5所示，當x?1時，函數取得最大值5 即f()1?5a?a?1?52或a??6 解得a?1

故a?1(a??6舍去)

?2?10或a?1 綜上討論，函數f(x)在區間?4，1上取得最大值5時，a

解后反思：例3中，二次函數的對稱軸是隨參數a變化的，但圖象開口方向是固定的；例4中，二次函數的對稱軸是固定的，但圖象開口方向是隨參數a變化的。3.定二次函數在動區間上的最值

二次函數是確定的，但它的定義域區間是隨參數t而變化的，我們稱這種情況是“定函數在動區間上的最值”。

例5.如果函數f(定義在區間t，x)?(x?1)?1t?1上，求f(x)的最小值。2????x)?(x?1)?1 例5： 解：函數f(，其對稱軸方程為x?1，頂點坐標為（1，1），圖象開口向上。

如圖6所示，若頂點橫坐標在區間t，t?1左側時，有1?t。當x?t時，函數取得最小值 2??()x?f(t)?(t?1)?1 f。min21t1?t?1 如圖7所示，若頂點橫坐標在區間t，即0。當x?1時，t?1上時，有t???函數取得最小值 ??

f()。x?f()1?1min 如圖8所示，若頂點橫坐標在區間t，即t?0。當x時，1?1?t?1t?1右側時，有t?函數取得最小值

f()x?f(t?1)?t?1min2?? 綜上討論，f(x)min?(t?1)2?1,t?1???1,0?t?1 ?2t?0?t?12 例6.設函數f(的定義域為t?2x)?x?4x?4R，求函數f(x)的最小值?(t)的解析式。，t?1，對任意t? 例6： 解：將二次函數配方得：

f()x?x?4x?4?(x?2)?8 其對稱軸方程為x?2，頂點坐標為(2，?8)，圖象開口向上

若頂點橫坐標在區間t?2，即t?4。當x時，函數取得最小值 ?t?2?t?2，t?1左側，則2 ft(?2)??(t4)?8?t??8t8 若頂點橫坐標在區間t?2，即3。當x?2時，函數取得最小值 ?2?2?t?1?t?4，t?1上，則t f(2)??8

若頂點橫坐標在區間t?2，即t?3。當x時，函數取得最小值 1?2?t?1，t?1右側，則t? ft(???1)(t3)?8?t?6t?1222222?????????t2?8t?8(t?4)? 綜上討論，得?(t)???8(3?t?4)

?2?t?6t?1(t?3)4.動二次函數在動區間上的最值

二次函數是含參數的函數，而定義域區間也是變化的，我們稱這種情況是“動二次函數在動區間上的最值”。

4ax(?a)(a?0)(x?3)?y的最小值為4，求參數a的值。

例7.已知y?，且當x?a時，S?a(x?a)代入S中，得

例7： 解：將y?42222S?(x?3)?4a(x?a)2?x?2(3?2a)x?9?4a222

2??x?(3?2a)??12a?8a3?2a，12a?8a)，圖象開口?3?2a 則S是x的二次函數，其定義域為x?a，頂點坐標為(，??，對稱軸方程為x向上。

若3，即0 ?2a?a?a?1

??2

則當x時，S ?12a?8a?4?3?2a最小 此時，a?1，或a?212 若3，即a?1 ?2a?a???a(32a)12a?8a?4 則當x時，S ?a???最小22，a?1 此時，a?5，或a?1（因a?1舍去）

綜上討論，參變數a的取值為a?1，或a?12，或a?5

另外，若函數圖象的開口方向、對稱軸均不確定，且動區間所含參數與確定函數的參數一致，可采用先斬后奏的方法。二次函數在閉區間上的最值只可能在區間端點、頂點處取得，不妨令之為最值，驗證參數的資格，進行取舍。課后練習：

區間最值問題答案

第五篇：二次函數的最值問題教案

二次函數的最值問題 莘莊職校 ：吳翩

班級：莘莊職校03級（4）班

2003/12/4 [教學目標]1、2、3、4、使學生掌握二次函數在給定區間上最值的理論和方法。引入數形結合和分類討論的思想。

培養學生敏銳的觀察能力，運算準確性，思維的靈活性，培養學生發現問題的創新意識，探索問題的創新精神以及多層次，多角度思考問題的創新思維。[教學重點、難點] 重點：當區間端點不定時，討論二次函數最值問題。難點：分類討論思想的正確運用。[教學過程]

一、知識回顧

1、二次函數概念：形如y?ax2?bx?c(a?0)的函數叫一元二次

函數。

bb4ac?b2)

其中對稱軸為x??，頂點坐標為(?,2a2a2a2、圖象性質

（動畫演示）

（1）單調性（2）最值

二、問題探究

例題：求函數f(x)?x2?2x?1在下列區間最大值和最小值。（動畫演示）

（1）R

f(x)min?f(?1)

（2）[-2，2]

f(x)min?f(?1)

f(x)max?f(2)

（3）[1，3]

f(x)min?f(1)

f(x)max?f(3)

5（4）[-2，?]

45f(x)min?f(?)

f(x)max?f(?2)

41?f(?2)

[-2，?]

f(x)min?f(?1)

f(x)max31[-2，]

3f(x)min?f(?1)

f(x)ma1?f()x3（5）[-2，a]

（學生觀察，討論）

?f(?2)?f(a)

f(x)max①當-2≤a＜-1時

f(x)min?f(?2)?f(?1)

f(x)max②當-1≤a＜0 時

f(x)min?f(a)③當a≥0時

f(x)min?f(?1)

f(x)max

三、問題引申

求函數f(x)?x2?2x?1在區間[m，m+2]上的最大值和最小值。

（動畫演示）

?f(m)解：當m＜-3時

f(x)min?f(m?3)

f(x)max?f(m)?f(?1)

f(x)max當-3＜m＜-2時

f(x)min?f(m?2)?f(?1)

f(x)max當-2＜m＜-1時

f(x)min?f(m?2)當m＞-1時

f(x)min?f(m)

f(x)max

四、總結歸納

五、開拓思維

當二次函數對稱軸變化時，在指定區間內求最值

研究：二次函數f(x)?x2?2a?1在區間[-1，2]上最值。（動畫演示）